Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2016 mathphys-online

(1)

Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2016

Mathematik 12 Technik - B II - Lösung



Teilaufgabe 1.0

Ein Meeresgebiet ist festgelegt durch die Koordinaten eines ruhenden Forschungsschiffes F( 6000| 1000| 0), den Fußpunkt eines Leuchtturms L( 200| 5000| 0) sowie eines zunächst an der Wasseroberfläche fahrenden Unterseeboots mit U_k( 40-2k| -20| 0) mit k ∈ R.

Die angegebenen Koordinaten stellen Punkte in einem dreidimensionalen kartesischen Koordinaten- system dar. Seegang, Drift und Wind sowie die Erdkrümmung bleiben bei den Berechnungen unbe- rücksichtigt.

Die Koordinaten sind alle in Metern angegeben, auf das Mitführen der Einheit Meter kann bei den Berechnungen verzichtet werden.

Teilaufgabe 1.1 (7 BE)

Zeigen Sie, dass sich das U-Boot geradlinig auf der Wasseroberfläche bewegt, und berechnen Sie den minimalen Abstand des U-Bootes vom Forschungsschiff.

Ortsvektor des Unterseebootes:

Gerade g: OUk



 40 2k

20 0

 



 

=



40

20 0

 



 



^k

2 0 0

 



 







= Das ist eine Geradengleichung mit x₃ = 0.

Wählen Sie einen beliebigen Punkt G ∈ g (allgemeiner Geradenpunkt):

GF



 6000 1000 0

 



 



40 2k

20 0

 



 





=

5960 2 k 1020

0

 



 

=



g ⊥ GF



 :

5960 2 k 1020

0

 



 



2 0 0

 



 





=04 k  11920=0 auflösen k  2980 k=2980 in g insetzen:

Ortsvektor Lotfußpunkt K: OK



 40 2(2980)

20 0

 



 

=



6000

20 0

 



 

=



Verbindungsvektor von K und F: KF



 OF



 OK





=

6000 1000

0

 



 



6000

20 0

 



 





=

0 1020

0

 



 

=



Abstand: dKF

0 1020

 



 





dKF 1020

(2)

Teilaufgabe 1.2.0

Für die folgenden Aufgaben gilt k=10, somit U₁₀( 20| -20| 0).

Teilaufgabe 1.2.1 (6 BE)

Untersuchen Sie, ob sich ein Blauwal an der Position B( 1587| 2243| 0) außerhalb oder innerhalb des von den Punkten F, L und U₁₀ begrenzten Seegebiets aufhält.

Ortsvektor Unterseeboot: Ortsvektor Blauwaal:

OU10



 20

20 0

 



 

=



OB



 1597 2243

0

 



 





Ortsvektor Forschungsschiff: Ortsvektor Leuchtturm:

OF



 6000 1000

0

 



 





OL



 200

5000 0

 



 





Idee: Vektor FB





als Linearkombination der Vektoren FU10





und FL





darstellen.

FU10



 20

20 0

 



 



6000 1000

0

 



 





=

5980

1020 0

 



 

=



FL



 200 5000

0

 



 



6000 1000

0

 



 





=

5800 4000

0

 



 

=



FB



 1597 2243 0

 



 



6000 1000

0

 



 





=

4403 1243

0

 



 

=



λ FU10



 μFL





 FB





= ⇔ λ

5980

1020 0

 



 





μ

5800 4000

0

 



 







4403 1243

0

 



 

=



1

( ) 5980λ5800μ=4403auflösenλ 4403 5980

290μ

 299

 2

( ) 1020λ4000μ=1243

Aus (1) λ 4403

5980

290μ

 299

=

In (2) 1020 4403

5980 290 299μ





 

 





 4000μ=1243auflösenμ 59621 149180



μ0

59621 149180 0.4

 λ0

4403 5980

290 299μ0



 λ0 0.35

(3)

FL





FB





μ0 FL





λ0 FU10





FU10





Funksignale werden zwischen Forschungsschiff F, der Spitze des Leuchtturms S( 200| 5000| 50) und dem Unterseeboot ausgetauscht.

Die Punkte F, S und U₁₀ liegen in einer Ebene E. Bestimmen Sie je eine Gleichung der Ebene E in Parameter- und Koordinatenform.

[ Mögliches Teilergebnis: E: 51x1 299x2 29836x3 7000=0 ]

E: xE



 OF





ρ FS





 τ FU10





= 

FS



 200

5000 50

 



 



6000 1000

0

 



 





=

5800 4000

50

 



 

=



FU



 20

20 0

 



 



6000 1000 0

 



 





=

5980

1020 0

 



 

=



xE



 6000 1000

0

 



 



^ρ

5800 4000

50

 



 





 τ

5980

1020 0

 



 





= 

Normalenvektor:

5800 4000

50

 



 



5980

1020 0

 



 





51000 299000



29836000

 



 





nE



 51

299 29836

 



 

=



(4)

Vektorielle Normalenform:

nE



 x1 x2 x3

 

 

 

 

OF





 

 

 

 

 =0

Koordinatenform:

x1 x2 x3

 

 

 

 

6000 1000

0

 



 





 

 

 

 

51

299 29836

 



 





=051 x1 299 x2 29836 x3 7000=0

Bestimmen Sie die Koordinaten aller Punkte, die sowohl in der Wasseroberfläche als auch in der Ebene E aus 1.2.2 liegen.

Wasseroberfläche O: x3 0=

Ebene E: 51x1 299x2 29836x37000=0

O ∩ E: 51x1 299x2 7000=0

Wähle: x2=λ

51x1 299 λ7000=0auflösen x1 299λ 51

7000

 51



Schnittgerade s: xs





299λ 51

7000

 51 λ 0

 

 

 

 

 

 

=

7000 51

0 0

 

 

 

 

 

 

λ 299

51 1 0

 

 

 

 

 

 



= 

Teilaufgabe 1.3.0

Von der Position U10 taucht das U-Boot geradlinig in Richtung u

 120 300

100

 



 

=



bis in eine Wassertiefe von 200 Metern zum Tauchpunkt T ab.

Berechnen Sie die Koordinaten des Tauchpunktes T und die beim Tauchvorgang zurückgelegte Strecke. Runden Sie auf ganze Meter.

xh





OU10





λ u





=

20

20 0

 



 



^τ

120 300

100

 



 





 Tauchgerade h: =

(5)

x3=200 Tauchtiefe:

200=100τ auflösenτ  2

⇒

OT



 20

20 0

 



 



²

120 300

100

 



 







=

260 580

200

 



 

=



Tauchendpunkt:

d= TU10

20

20 0

 



 



260 580

200

 



 





=

240

600 200

 



 

=



Abstand:

d (240)² (600)²200² d676.461

d676 Meter gerundet:

Laut Herstellervorgaben darf das Tauchboot beim Tauchvorgang einen maximalen Tauchwinkel von 16 Grad gegenüber der Horizontalen nicht überschreiten.

Prüfen Sie das Einhalten der Vorgaben durch Berechnung.

⇒

cos( )α 0 0 1

 



 



120 300

100

 



 





1 120 300

100

 



 





= 100

120² 300²(100)²

= 5 286

 286

= =0.296

α acos 0.296( ) α 72.782 °

Tauchwinkel φ 90° α φ17.218 °

Das U-Boot taucht zu steil!