Sur les théorèmes de Sylvester et la règle de Newton dans la théorie des équations algébriques à coefficients réels

Research Collection

Doctoral Thesis

Sur les théorèmes de Sylvester et la règle de Newton dans la théorie des équations algébriques à coefficients réels

Author(s):

Marchand, Emile Publication Date:

1913

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https://doi.org/10.3929/ethz-a-000104550

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-Sur les Théorèmes de Sytoester

et la Règle ^{de Newton}

DANS LA.

Théorie des équations algébriques à coefficients réels

THÈSE

présentée ^{à l'Ecole} polytechnique fédérale ^{à Zurich,} pour l'obtention du grade de docteur ès-sciences mathématiques

PAR

Emile MARCHAND

de Sonviiieretde Neuchàte]

liapporleur^: M. le Prof. D1 A. UuRwnz.

Co-rapporleur^: M. le Prof. I)] A. Hmsui.

NEUCHATEL

IMPKIMKKII; WOLFRATH 4 SPEKLÉ

1913

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A mes chersparents,

Hommage ^de profonde reconnaissance! E. M.

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CURRICULUM VITM

Je suis né le 13 février 1890, ^{à La} Ghaux-de-Fonds, ^{etsuis ori¬}

ginaire de Sonvilier(Berne) ^{et de} Neuchâtel-Ville. J'étais encore tout

jeune, lorsque^mes parents^—Arthur-Emile Marchand etJulie-Rose,

née Rosselet ^— allèrent habiter Neuchâtel. Jefréquentai ^{les écoles} communales,puis^le Gymnase ^{cantonal de}Neuchâtel;^enjuillet1908, j'obtins^legrade^de bachelier ès-sciences.

Au mois d'octobre de la même année, je ^me fis immatriculer à l'Universitéde Neuchâtel, ^etenautomne1910, ^laFaculté des sciences de l'Université deNeuchâtelmeconféra^legrade ^delicencié ès-sciences

mathématiques.

Jemerendis ensuite à Zurich, ^{à l'Ecole} polytechniquefédéral^,

et me fis ^{inscrire comme étudiant} régulier dans la division pour maîtres demathématiques ^{et de} physique. ^Enjuillet 1912, j'obtins ^le diplôme ^{de l'Ecole} polytechnique fédérale pour l'enseignement ^des mathématiques^{et de la}physique.

Depuis ^octobre1912, je^suis assistant deM. leProf.Dv M. Gross- mann, professeur ^de géométrie descriptive ^{à l'Ecole} polytechnique fédérale.

Je tiens ici à expr-imer ^{ma très} profonde reconnaissance à tous mes professeurs, tant à Neuchâtel qu'à ^Zurich; et spécialement, ^à

M. le Prof. ^{Dy A.} Hurwitz, qui, après ^m'avoir suggéré ^{l'idée de ce} travail,^n'acessé, ^{dans le cours de mes} recherches, ^demetémoigner

de l'intérêt et de m'encourager par ^ses conseils. Qu'il reçoive ^ici l'hommage ^dema très sincèregratitude^!

Zurich,juin^1913.

Emile MARCHAND.

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Sur les Théorèmes de

Sylvester

et la

Règle

Newton,

dans la théorie des

équations

Par Emile MARCHAND

AVANT-PROPOS

En 1637, ^Descartes publiait ^{daus sa Géométrie sa fameuse} règle, ^connue depuis ^{sous le nom de} Règle ^des signes ^{de Des¬}

cartes, ^et qui permet ^{de déterminer une limite} supérieure ^du

nombre des racines positives ^d'une équation algébrique par

l'unique ^{examen des} signes ^des coefficients de cette équation.

Newton, ^{dans ses} leçons, ^alors qu'il ^était professeur ^{à l'Uni¬}

versité de Cambridge, ^{donna une} règle qui permet ^de préciser

les résultats obtenus parl'application ^{de la} Règle ^de Descartes,

en faisant intervenir, ^non pas seulement les signes des coeffi¬

cients de l'équation, ^{mais aussi la valeur elle-même de ces}

coefficients. En 1707, ^Newton publiait ^sa règle, ^{sans démons¬}

tration, dans YArithmetica universalis.

Dans le courant du XVIIIme siècle, ^{et dans la} première ^moi¬

tié du XIXme, plusieurs mathématiciens distingués essayèrent

de la démontrer; ^on peut citer, ^en particulier, ^Maclaurin, Camp¬

bell, Waring, Euler; leurs efforts échouèrent.

Voici ce que dit M. Cantor dans ^ses Vorlesungen ^{ilbe?- Ge-}

schïchte der Mathematik (1898) ^{t. 3,} p. 554, ^en parlantdes travaux de Maclaurin et de Campbell, ^{à ce} sujet^:

«Dièse Abhandluugen (de Maclaurin et de Campbell) ^brach-

ten Erlâuterungen ^{zu Newton's} Regel ^{fur die} Auffinduug ^der

Anzahl complexerWurzeln einer gegebenen Gleichung, behaup-

teten auch seine Regel ^{beweisen zu} kônuen, blieben aber that- sâchlich den Beweis schuldig ^{und beruhrten} nicht einmal die

Schwierigkeit ^der Ausuahmsfalle.»

Il faut attendre jusqu'en 1864, époque ^où Sylvester, ^alors professeur ^de mathématiques, ^{à la «} Royal Military Academy», de Woolwich, publia plusieurs ^{travaux à ce} sujet. Il commença à donner la démonstration de la Règle ^de Newton pour quel-

— 8 ^—

ques équations ^de degré inférieur, ^{dans un mémoire} publié ^dans

les Philosophical Transactions oj ^the Royal Society of ^London.

(1864), ^{vol. 154.}

Poursuivant ses recherches, il trouva le principe ^{d'une dé¬}

monstration nouvelle, ^{et découvrit une série de} théorèmes, qui

sont exactement à la Règle ^de Newton, ^ce que le théorème de Budan-B'ourier est à la Règle ^de Descartes, ^la Règle ^{se dédui¬}

sant des théorèmes comme un cas particulier. Sylvester publia

ses travaux dans diverses revues anglaises; spécialement ^dans The Transactions of ^the Royal ^Irish Academy, ^vol. 24, ^{et dans} The Philosophical Magazine, ^4. série, ^{vol. 31.}

Budan, ^en 1811, ^et Fourier, ^en 1831, ^en généralisant ^la Règle ^de Descartes, ^{ont donné leur nom au théorème. 11 est} donc de même juste ^et logique ^{de faire une} distinction entre, d'une part, ^la Règle ^de Newton, et, d'autre part, ^{les théorèmes}

de Sylvester, ^{et de ne} plus ^les comprendre ^dans l'appellation

commune de théorème de Newton.

Depuis Sylvester, plusieurs mathématiciens se sont intéres¬

sés à cette question ^{et ont} publié ^divers articles, soit dans des revues scientifiques, soit dans des traités d'algèbre supérieure.

Leurs buts ont été, ^en général, ^{non de refaire le travail de} Sylvester, ^{mais de} l'exposer.

On peut ^mentionner:

Aug. Poulain (Revue hebdomadaire des sciences Les Mondes, 1866, vol. 11).

A. Genocchi {Nouvelles ^{annales de} mathématiques, ^2me série,

t. 6, 1867).

Laguerre. Œuvres.

M. de Jonquières {Comptes ^rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, 1884, ^t. 99, quatre articles).

Jul. Petersent {Théorie ^der algebraischen Gleichungen, 1878).

Heinrich Weber {Lehrbuch ^der Algebra, 1898).

Le but de cette étude a été de refaire complètement ^{le tra¬}

vail de Sylvester, ^{en ne faisant aucune} restriction au sujet ^des

fonctions qui interviennent, ^{et en attachant une} importance spéciale ^{à l'examen de certains cas} particuliers, pas même mentionnés par Sylvester, ^et qui, jusqu'à aujourd'hui, n'ont,

comme il semble, jamais été traités avec rigueur. ^Il s'agit, ^en particulier, ^{de ce} que M. Cantor, ^{dans la citation} ci-dessus, appelle ^«die Schwierigkeit der Ausnahmsfâlle».

— 9 ^—

M. H. Weber dit aussi dans son Lehrbueh der Algebra, ^en parlant des théorèmes de Sylvester:

«Ob der Satz bei richtiger ZgMung ^{dermehrfachen Wurzeln}

auch noch im Falle mehrfacher Wurzeln gûltig bleibt, mag dahin gestellt ^bleiben.»

Ce travail comprend ^trois parties:

I. Le premier ^et le deuxième théorème de Sylvester.

II. La Règle ^{de Newton.}

III. Compléments ^aux théorèmes de Sylvester.

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PREMIÈRE

Le premier ^et le deuxième théorème de Sylvester.

CHAPITRE PREMIER

Notions préliminaires. ^{— Enoncé des théorèmes.}

§ ^1-

Introduction.

Soit f(x)^{=o une} équation algébrique à coefficients réels du nême degré.

Le problème qui ^fait l'objet de cette étude consiste à dé¬

terminer une limite supéiieure ^du nombre des racines de cette équation comprises ^{dans un} intervalle réel donné _; il

s'agit ^de préciser le théorème de Budan-Fourierl.

f(x), ^{et ses dérivées} successives, nx\nx),...., r»Kx),

fournissent une première ^série de fonctions.

A cette série, adjoignons-en ^{une seconde:}

F0(«), F4(œ), Fa(œ), ^{... .,} F»(a),

où les fonctions sont définies comme suit:

F0(x)⁼\f(x)f

K(*)⁼^U{pK^f^->>-ifP-1)(«)]l/(1,+1,(*)J Fn(x)⁼[f(>»(x)f

p pouvant ^être 1,2, ^{. . . .,} (n—1).

1 Au sujet^duthéorème duBudan-Fourier, voirletravail de M. A.Hurwitz, dans les Mathematische Annalen, vol. 71 (1911).

— 12 ^- La double série de fonctions

f(x), /», ^...., /<»>(«) F0(a;), F.Cœ), ....,F„(^)

joue ^{un rôle} prépondérant ^{dans les théorèmes de} Sylvester.

Les constantes rp, p⁼0, 1, ..., (n—1)., introduites ci-

dessus, ^sont assujetties à satisfaire deux conditions :

aj ^{ces constantes doivent être} positives I rp>0 p⁼0,1,2, ^...., (n^—1).

b) pour ^arriver à la deuxième condition, ^on peut ^remar¬

quer que, lorqu'on ^se propose de déterminer Fp(x), ^{on ren¬}

contre l'expression

2rp—-rp_i

et, ^{dans le but de} simplifier ^les expressions des dérivées des fonctions Fp(x), ^on assujettit ^{les constantes} rp à satisfaire la formule de récurrence :

II rp+i=^2rp^—rp-i. p⁼i, 2, ..., (n—2).

Telles sont les deux conditions pour^ladétermination_{des rp.}

A l'aide de II, ^on peut exprimer r2, r3, ^..., rn_u ^en fonc¬

tion de r0 ^et de r{.

r%⁼L2r{^—r0 r3⁼3r1^—2r0 rj>=J»'i—(P—*)»o

ra_i⁼(n^—4)^^—(n^—2)r0.

^=P^-(p-4)r0⁼r0-fp(ri^—r0)=r0+ap.

r0, rl5 ^{..., r„_i} doivent être positifs; ^{il faut alors} que ^a soit

plus grand que ^( a >

1 \ ^{H- 1}

Les fonctions fp\x), /)⁼4, 2, ...., », ^ne peuvent pas ^être

identiquement nulles; ^{il en} est autiement de Fp(x), p=4, 2,

..., (n-1).

- 13 ^-

On peut ^montrer que ^les deux conditions nécessaires et suffisantes _pour que la fonction Fp(x) ^soit identiquement ^nulle

sont :

j"

1. _a, la constante de la formule_{des rp,} doit être a⁼ —-.

n

2. f-v-1)^) ^{doit être} de la forme

f(p-i)(x)⁼c(x^—xi)»-P+1

c désignant ^{une constante,} positive ^ou négative.

Supposons,

fW(x) _ ^ f(P+V(x)

Vp

/^%)

[f(p-%x)fp

c[/W(«)fp_1

fip-V^x) ^et fW(x) ^{sont des} polynômes ^{dont le} degré ^est respec¬

tivement (n—jo—j—^{1) et (n—p). L'identité} précédente exige donc

rp(n—p-\-\) ⁼ rp^_j(n—p) ^ou (ro+ «P)0^~P+1) ⁼fa>+^a(P^—1)1(w^-P)

d'où a=~° C.Q.F.D.

H

Il est facile, ^de plus, ^{de montrer} que ^l'identité (4) exige

encore

fP-^Xx) ⁼ c(x^—x^'-p+K

En effet, ^{cette identité} (1) devient, pour ^{a = -,}

n

[f(p-V(x)]n-P ⁼ ci[fM(x)]n-P+1 c1=const. ^{9^0.}

Si, pour ^un instant, ^on pose

f(p-l\x)⁼y, ^{on a} fW(x)⁼y',

et l'identité ci-dessus devient

y"-P ⁼ c1 y'»~P+l

n—p

d'où ?/' ⁼ c2 yn-p+i c2^=const.^0.

p^—n

dy ^.y^{n—p+i =} c2. cte.

14

d'où, par intégration,

p—» i |

y ^{«-P+1 i} =c.«-(-C ^{c=const.=z^0}

(/«-/>+! ^=ê.x-f-C

Si _#, désigne ^{une racine de} ?/⁼ /'(p—l\x)⁼0, C_=—c.«!

et y⁼fip-i)(x) ^—ç (a;^—a;<)»-p+1

CTQ. ^F.D.

Il est aisé de démontrer que, réciproquement, lorsque f(p-i)(x) ^{= c} (x~xiy~P+1

on a F»(#)⁼0, ^{dans le cas où a= -.}

n

On voit ainsi que, lorsque Fp(x)⁼0, ^{on a} nécessairement

F/)+i(a;) ⁼0, ..., Fs-j^^O.

L'expression générale ^{des constantes} rp ^est donc

r0 étant ^une quantité positive, ^d'ailleurs quelconque, ^comme toujours, ^du reste, ^{dans la suite.} Mais, pour ^a=——,y* et

n

seulement pour ^cette valeur particulière, ^une [F„_i(a;)] ^ou plusieurs ^fonctions Fp(x) peuvent ^être identiquement ^nulles.

Pour la clarté de la démonstration des théorèmes de Syl- vester, ^{il est} alors utile de traiter spécialement ^{ce cas} parti¬

culier, ^{et de considérer :}

—y

aj ^a> impossibilité^de Fp(œ)⁼⁰ p=l, ^...(n—1), bj ^{a— -} possibilité ^de Fp(x) ⁼⁰ p⁼l, ..., (n^—1), CJ < X < .

n^—1 n

Disons, ^{tout de} suite, que ^ce dernier cas ne présente

aucun intérêt pour les théorèmes de Sylvester, et, qu'à ^l'ave¬

nir, ^on considérera les constantes rp données par la formule rp⁼r0~\-oc^. p ^a^ ^.

— 15 ^—

§ ^2.

Définitions et conventions.

Considérons, ^au point ^{de vue des} signes, les deux séries de nombres réels:

^0' Mi '2» ^{' '} '' r D

T T T T \ ^'

Loi m> 1ç>i ⁱ x« ;

Supposons^{tn^zO et} T„^0, ^et désignons ^cette double série R par l'expression ^{double série} primaire.

S'il se trouve un couple^d'éléments correspondants '*, ^tel

que tr^Û ^et Tr=z^0, ^on pourra décomposer ^{R en deux} groupes secondaires R' et R":

'()> Hi Hi ^• } '»" I _nt t '"' *»" +l> ^{• •} •> 'n ^ ^iw,

T T T ^TM T T ^t

±0î11'12) ^•• » lr 1 i-r, J-r+l, ^{•, i-n})

On écrira alors symboliquement R=R'-|-R". ^{R' et R"}

poui'ront aussi à leur tour être décomposés.

Considérons, ^{dans ce} qui suit, ^{l'un des} groupes ^{ainsi for¬}

més, par exemple, ^R':

*0i ht hl ^{-1 t?} I ^rw J-Oj M> ^2' ^{• •} •> '''

Une succession de deux éléments peut présenter^unevaria¬

tion ou une permanence. Le nombre total des variations dans la ligne supérieure ^sera désigné par y(R'); P(R') ^{sera le}

nombre des permanences; V(R') ^et P(R') ^{seront les nombres} analogues ^{relatifs à la} ligne inférieure.

Chaque couple de successions correspondantes, ^' '+1,

peut présenter quatre combinaisons, qu'on appellera perma¬

nence-permanence ^ou double-permanence, variation-variation

ou double-variation, variation-permanence, ^et permanence- variation.

Les nombres qui expriment ^{combien de fois chacune de}

ces combinaisons se trouve répétée ^{dans les deux suites} accouplées, ^serontreprésentés par les notations pP(R'), wV(R'), wP(R') ^etpV(R').

Il est évident que l'on ^a

uP(R)⁼uP(R')-fj;P(R"), ^etc.

- 16 ^-

Il peut arriver que, parmi les nombres t, ^et T,, ^{un ou} plu¬

sieurs d'entre eux soientnuls. Il s'agit ^maintenant d'expliquer

comment on les interprétera.

Les conventions au sujet ^des zéros, qui ^vontsuivre, pour¬

ront paraître quelque peu arbitraires. On ^les préférera cepen¬

dant à d'autres par le fait qu'une partie ^{d'entre elles ont été}

établies _{par Newton} lui-même, ^{dans son} Arithmeticu univer-

salis, ^et qu'elles permettent ^de démontrer laRègle ^{de Newton} jusque ^{dans ses} moindres détails.

Si, pour le premier couple ^d'éléments correspondants

0 > on a, soit <0—0, soitT0⁼0, ^on supprimera ^tout simple-

ment ce couple; et, ^{ainsi de} suite, jusqu'à ^ce qu'on ^{arrive à}

un couple ^' ( tel _que t,^0 ^et T,-=^0.

Lorsqu'il ^n'existe qu'un couple ^' >,tel que l'on aitsimulta- nément U^Q, ^et Tj^O, ^{àsavoir r}

(,

t/(R')⁼⁰ p(R')=0 joP(R')⁼⁰ vP(R')⁼0, ^etc.

Pour plus ^de simplicité, ^{on remettra} maintenant à la place de ^' i, ^° L en supposant ^donc t0^0 ^et T0^0.

L) lo'

Entre le couple ainsi défini ^{° '} et ^r >, ^{un ou} plusieurs des nombres intermédiaires t ou T peuvent ^{être nuls. Par} convention, ^on considérera ces zéros-là, ^suivant les cas, soit

comme quantités positives, ^{et on les} écrira, 0, ^{soit comme} quantités négatives, 0.

Formulons les conventions suivantes A et B.

A. Supposons que

quels que soient les T correspondants; ^{m étant l'un des nom¬}

bres 1, 2, ^{. .} ., (r^—I), ^et m', ^{l'un des nombres} 1, 2, ^{. .} .,

(r— m); ^ce que, à l'avenir, ^{on écrira} m=i,2,..., (r-4)

»«'=!, 2, ^{. .} ., (r— m).

— 17 ^—

On donnera alors aux zéros représentant tm, £m+i, ^-,

<m_l_m'_i, ^{le même} signe que celui de tm+m'-

B. Supposons ^que

T,_!^0 T/⁼T,+1=...=T/+/._1⁼⁰ T,+,.^0

/⁼l,2,...,(r-1)

l'⁼l,2, ...,(r-l).

£Vi général, ^{on donnera}

au zéro représentant Ti+;r_,,^{lesigne contrairede celuideT/+i>}

» » Tt+li_!i, ^{le même} signe que ^{» r »}

» » Ti+;i_3, ^{le signe} contraire de ^{» » »} et ainsi de suite, ^{en variant} toujours ^les signes.

Il y ^a deux cas d'exception ^:

Premier ^cas d'exception.

Supposons qu'on ^ait simultanément:

tp—i^O tp⁼ *p-\-\^{= • • •=}tp+p'—i⁼⁰ tp+p'^O Tp_i5^0 Tp⁼Tp+i^{=. . .=}Tp+i/_i⁼⁰ Tp+/J-^0

p⁼l,a, ^• ,(r-4) />'⁼4,!2>. ^. ,,(r^—p).

Pour les zéros de la série des tf, ^{on a la convention} pré¬

cédente A: tous les zéros prennent ^{le même} signe que ^celui de tp^.

Pour les zéros de la série des T, ^{on donne au dernier,} Tp+p'-i, ^le signe ^{contraire de celui de} Tp+p'; ^à Tp+p'-a, ^le

même signe que celui de Tp+p'; ^{etc., comme} l'indique ^la

convention précédente B, sauf dans le cas où tv-i ^et tp+p'

sont de signes contraires,

tp—i tp+p' ^<0-

Dans ce cas, il faut que ^le zéro représentant Tp ^{ait le}

même signe que Tp_i.

Ainsi, lorsque

fp_i ^>0, tp+6^>0, Tp_i ^> 0, Tp_5^>0, ^{on a}

+ ©©©©© ⁺

+ 0 © 0 © 0 +

2

— 18 ^- tandis que, lorsque

fp_i ^> 0, tp+6 <0, Tp_j ^>0, Ty,+»^>0, ^{on a}

+ 00000-

+ ©0000 ⁺

Deuxième cas d'exception.

Ce cas d'exception ^{est très} particulier; ^{il ne se} présente jamais pour ^un groupe secondaire, mais seulement pour ^la double série primaire, ^{et seulement} lorsqu'on ^{a :}

t0=£0 tx?±0 ta^0 ...*„_,5*0 tn^0 ⁾ T0^OT,⁼Tî^=...=T»_,=

OTfl^oS

Dans ce cas, très particulier, ^{les zéros} représentant Tt, T2,

.. ., T„_2, TB_i, seront tous considérés comme des quantités positives

Ti⁼T8^=...=T„_1=©.

Telles sont les conventions qui ^{seront maintenues dans}

tout le cours de ce travail.

§ ³

Principe ^{de la} démonstration des théorèmes de Sylvester.

Considérons les deux séries de fonctions, introduites

au § 1,

m, f\x), nx),..., f*\x) ) F0(x), J», ï\(x), ^...,

FH(x)){

Remarquons que fW(x) ^{est une constante} différente de zéro, ^et que ¥n(x)⁼[fn)(xf ^est constamment positif.

Pour une valeur bien déterminée _x, il est clair que joP, vP, vY, pY correspondant ^{à cette} double série ont des valeurs bien déterminées. Lorsque ^x varie, pP, vP, vY, pY ^varient également, ^{de sorte} qu'on peut envisager ^ces expressions

comme des fonctions de x.

Ainsi se trouventdéfinies les quatre^fonctions pP(x), vP(x), vY(x) ^et pY(x), par rapport ^{aux séries} (1).

Ce qui ^sera dit dans la suite de ce paragraphe ^de vP(x) s'appliquera ^{aussi à} pP(oc), vY(x) ^etpY(x).

— 19 ^-

Dans les séries (1), ^{faisons œ=}X1, X4 réel; ^{on a} vVÇKJ;

pour ^une deuxième valeur réelle de _x, a?⁼X2, X2>X1,

on a vP(Xa). Supposons que dans l'intervalle X4 ^{. . .} X2 (Xlf^a;^X2), ^{aucune des fonctions} f, ^aucune des fonctions F

ne s'annule_; il est évident, ^{en vertu de} la continuité des fonctions f ^et F que

«P(X1)⁼«P(X2).

Si on se propose de représenter graphiquement ^{la fonc¬}

tion v'P(x), ^{dans un intervalle} réel, ^{a . .} .b, a<b, ^{on a :}

t/P(a)

vPÏjb)

Cl Xt Juq ^JCo JUfc ^o

xii xv> x.6, ..., Xk étant les seules valeurs de x de l'intervalle

a . . . b, (a^x^b) qui ^{annulent une ou} plusieurs ^fonctions f ^{ou F. Ces racines sont} nécessairement en nombre fini, d'après ^{la nature des fonctions} f ^{et F.} (Lorsqu'une ^ou plu¬

sieurs fonctions F sont identiquement nulles, ^{on les consi¬}

dère comme constantes, positives ^ou négatives).

Pour les théorèmes de Sylvester, ^{il est de} première ^im¬

portance de chercher à déterminer vV{a)^—v9(b).

Soit, par définition,

A,⁼yP(a;,^—h)^— vP(xi-]-h) ^t=l, L2, ...,k.

h étant un infiniment petit, ^comme toujours dans la suite.

On voit alors que

vV(a)^—vP(b)=

Va,.

Examinons de très près ^A,-.

Par hypothèse, ^{une ou} plusieurs valeurs de la double suite

m, f\x,), n*.), ••-,

fw&)\

¥0(xt), Ft(x,), F,(xt), ..., Fn(xt)) ^{' '*"'}

sont nulles.

— 20 ^—

On décompose ^{cette double} série, ^{en un certain nombre}

de groupes ?,- et ^{en un} certain nombre de groupes gt, de la même façon qu'on ^a décomposé ^{R en} (R'-f-R") ^{au commen¬}

cement du § ^2.

Pour la distinction des groupes ^ et gi, ^on observe les

règles ^suivantes:

A) pour ^les groupes ?,-, tous les éléments doivent être diffé¬

rents de zéro.

B) pour les groupes gt, les éléments des couples ^extrêmes

doivent être différents de zéro (sauf toutefois dans le cas où

f(xi)⁼0; ^il suffit alors que les éléments ^{du dernier} couple

soient différents de zéro); pour les couples intermédiaires, ^{il est} nécessaire qu'un ^au moins des éléments soit nul.

Par exemple, ^on peut ^avoir:

n.' Y.' n." y." v/" n.i" n.(m) Y.(mi)

La différence des variations-permanences, par rapport ^à

un groupe gP\ pour (x,-—h) ^et (xi-\-h) ^est désignée par

%/"] ^l=i,% ..., m.;

on définirait, d'une manière analogue, 8[Y,fcJ li⁼\, ^'2, .... mt.

On peut remarquer que 5[-|-;w]⁼0, d'après la loi de for¬

mation des groupes -y,.

A; devient

1...m

/

1...h 1...m

d'où vP(o)^—vP(b)= V

Vs^wj.

Donc, ^la détermination de vV(a)^—vV(b) ^{revientà celle des} w

!-_î: I ^{: :} :;

Quelle pourra être la constitution de ces groupes gft)C!

Elle ne varie pas à l'infini, ^{et on} répartit les groupes gP ^en

trois catégories.

Pour la distinction qui ^va suivre, ^{il est nécessaire de se} rappeler ^{la loi} de formation des groupes gi ^{et la} définition des fonctions F0(x), F^x), ^{. .} ., F„(x).

— 21 ^—

Catégorie ^I.

Cette catégorie ^{ne renferme} que ^les groupes, tels que les éléments du premier couple ^du groupe soient nuls. On a

donc

f(xl)=0

F0(xt)⁼[f(Xl)f^=0.

Supposons f'(x,)^0; ^alors

F,(*,)⁼r,L/'M2^-r0.f(Xl) ^.f"(x,)⁼r{[f'(Xl)f^>0,

etle groupe ^{ne se} compose que de deux couples.

Si f'(x,)⁼Q, ^alors Fl(xl)⁼ri[f'(xl)]2⁼0, ^{et ainsi de suite.}

On reconnaît que ^{tous les} éléments du groupe, ^à l'excep¬

tion de ceux du dernier couple, ^{sont nuls.}

Par exemple ^:

f{Xl)⁼⁰ f'(xt)^{=0 . . .} f<r-»(*,)⁼⁰/*>(*,)^ 0

F0«)⁼⁰ ¥^^{=0 ... Fr_!(a;,)=0} F,(a,)5*0 /=1, 2, ..., A-.

r=J,2, ..., n.

Pour les deux catégories suivantes, les éléments des cou¬

ples ^extrêmes des groupes, ^sont différents _{de zéro ;} les grou¬

pes qui ^{rentrent dans l'une ou} l'autre des catégories ^{II et III} ont, ^au minimum, ^trois couples.

Catégorie ^II.

On répartit^les groupes ^{de cette} catégorie ^{en deux sous-} catégories^:

lia. ^— Les groupes ^{de cette} sous-catégorie ^{ne sont com¬}

posés que ^de trois couples; ^le premier ^{élément du} couple

intermédiaire est nul. On a donc:

/*p-i>(œ,)^0 fp\Xl)⁼⁰ p+i)(a;,)^0

Fp_,(s,) ^>0 Fp(xt)=—r>_! /(p-»(a;l)./a'+i)(a;1)^0 Fp+1(xt) ^>0.

p=l,2, ...,(n-4)

t=l,2, ..., A.

Il résulte donc que ^le second élément du couple ^inter¬

médiaire est différent de zéro, puisque f^-1)(xl)^0 ^et fip+%x,)^{^ 0.}

— 22 ^—

116. ^— Les groupes de ^cette sous-catégorie ^{ont au mini¬}

mum quatre couples ^d'éléments correspondants; ^le premier

élément du premier coupleintermédiaire est nul. On a donc:

Fp-!^) ^X).

Quant ^à Fp(Xi)⁼rp \f^xt)Y ^— rp_i /^-'Jfa) fip+vÇxi)⁼

=^—rp_1/'^-1)(a;!)/'^+1>(*!), ^{sielle est différentede} zéro, ^{il faut} que

fip+Vfa)^{^ 0 d'où} Fp+1{xt)⁼rp+1[f(p+^(Xi)f^> 0,

et le groupe ^ne serait composé que de trois couples ^{et ren¬}

trerait dans la sous-catégorie ^lia.

Il faut donc supposer ^ici Fp(a?,-)^{=0, ce} qui ^entraîne f(p+»(Xi)⁼0, puis

Fp+1(Xi)⁼rp+1[p+»fo)]*^-rpflP\Xi) f(?+%&)^=0.

Si on suppose f^+^fa)^{^}0, ^alors

Fp+t(oCi)=rp+i [f(P+^(xi)f-rp+1f(p+')(xi)f^+%xd⁼

=rp+t\^+»Kxi)Y>0

et le groupe ^est composé ^de quatre couples.

Si /'<p+2)(,r!-)⁼0, ^{on a aussi} Fp+8(a;t-)^{=0; et, ainsi de}

suite.

On reconnaît que ^tous les éléments d'un groupe de 116 sont nuls, ^à l'exception ^{de ceux des} couples ^extrêmes.

Par exemple ^:

fip-\Xi)^0fW(x,)=f<P+1\xi)^=...=fip+'-Q(xi)⁼⁰f(P+r\Xi)^0 Fp-iiXi]^>0 Fp(Xi)⁼Fp+i(Xi)^==...=Fp+r-i(xi)⁼⁰Fp+r(xi) ^>0.

p⁼i, 2, ..., (n—2) r=2, 3, ^. .., (n—p)

»=1,2, ..., A.

Catégorie^III.

Pour les groupes de ^cette catégorie, ^le premier ^élément

du premier couple intermédiaire est différent de zéro. On a

donc:

f(p-v(Xi)^0 f^(Xi)^0 Fp^{x,)^0.