Formeln und praktische Anwendungen TECHNIK ELEKTRO-

Seite

1

FE Fachkunde Elektrotechnik

NIN Niederspannungs-Installations-Norm

5. Auflage

19. Juni 2009

Bearbeitet durch:

Niederberger Hans-Rudolf dipl. Elektroingenieur FH/HTL/STV dipl. Betriebsingenieur HTL/NDS Vordergut 1

8772 Nidfurn

Telefon 055 654 12 87 P Telefax 055 654 12 88 P

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Web www.ibn.ch

ELEKTRO- TECHNIK

Formeln und

praktische Anwendungen

Version 5.15

Seite

2

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Änderungen

Pos. Titel Bemerkung Datum der

Änderung Version

1 Aufteilung verbessert 05.11.07 1

2 Neue Organisation der Kapitel Kapitel dem internen Lehrplan angepasst 05.04.08 4

3 Inhaltsverzeichnis Eingefügt 20.02.09 13

4 Mechanik und Kräfterechnen angepasst 22.02.09 13

5 Inhaltsverzeichnis Angepasst 17.04.09 14

6 Seitenzahlen verändert 18.04.09 15

Seite

3

Erläuterungen zu der Seitenaufteilung

Die Kapitel des Beufsfachschulunterrichts sind wie folgt gewählt:

Nr Inhalt ab

Seite Bildungs-

plan

Allgemeines 1

1 Arbeitssicherheit und Gesundheitsschutz 1000 BET 2.1, 2.2

2 Chemie und Wekstoffkunde 2000 BET 2.1

3 Mathematik 3000 TG 3.1

4 Mechanik 4000 TG 3.5.1 – 3.5.3

5 Wärmelehre 5000 TG 3.5.4

6 Chemische Spannungsquellen 6000 BET

TG ES 2.1.2 3.5.5 5.2.6 – 5.2.7

7 Elektrotechnik Grundlagen 7000 TG 3.2

8 Magnetismus 8000 TG 3.2.5

9 Induktion, Einphasenwechselstrom 9000 TG 3.2.6

10 Werkstattzeichnen 10000 TD 4.1.2, 4.2.2

4.2.5

11 Schemazeichnen 11000 TD 4.2.3, 4.2.6

12 Installationszeichnen 12000 TD 4.2.4, 4.2.7

13 Regeln der Technik, Niederspannungs-Installations-Norm (NIN) 13000 TD 4.3.1 – 4.3.6

14 Elektrisches Feld 14000 TG 3.2.5, 3.2.6

15 Drehstrom 15000 ES 5.1.2

16 RCL-Schaltungen, Kompensation 16000 TG 3.2.7

17 Elektronik 17000 TG 3.3

18 Wärme- und Kälteapparate 18000 ES 5.2.4

19 Transformatoren 19000 ES 5.1.1

20 Elektrische Maschinen 20000

21 Beleuchtungstechnik 21000 TG

ES 3.5.6 – 3.5.7 5.2.2

22 Messinstrumente, Messtechnik 22000

23 Steuerungstechnik, Gebäudeautomation 23000

24 Kommunikationstechnik 24000 TG 3.4

25 Richtlinien für die Installation von Telekommunikationsanlagen

(RIT) 25000 TD 4.3.7

26 Tabellen 26000

Seite

4

Inhaltsverzeichnis

1 ARBEITSSICHERHEIT UND GESUNDHEITSSCHUTZ 2 CHEMIE UND WERKSTOFFKUNDE

3 MATHEMATIK 4 PHYSIK/MECHANIK 5 WÄRMELEHRE

6 ELEKTROCHEMISCHE SPANNUNGSQUELLEN 7 ELEKTROTECHNIK GRUNDLAGEN

8 MAGNETISMUS

9 INDUKTION, EINPHASENWECHSELSTROM 10 WERKSTATTZEICHNEN

11 SCHEMAZEICHNEN

12 INSTALLATIONSZEICHNEN 13 REGELN DER TECHNIK 14 ELEKTRISCHES FELD 15 DREHSTROM

16 RLC-SCHALTUNGEN, KOMPENSATION 17 ELEKTRONIK

18 WÄRME-, KÄLTEAPPARATE 19 TRANSFORMATOREN

20 ELEKTRISCHE MASCHINEN 21 BELEUCHTUNGSTECHNIK

22 MESSINSTRUMENTE, MESSTECHNIK

23 STEUERUNGSTECHNIK, GEBÄUDEAUTOMATION 24 KOMMUNIKATIONSTECHNIK

25 RICHTLINIEN INSTALLATION TELEFONIE (RIT)

26 TABELLEN

Seite

5

Stichwortverzeichnis

Absoluter Nullpunkt...501

Addition und Subtraktion...306

Aggregatszustände...502

Algebra Gleichungen...1401

Arbeit ...402

Arbeitssicherheit Gefahrenstoffe...105

Grundsätze Branchenlösung ...101

Notfalldispositiv...106

Sicherheitsregeln ...103, 104 Sicherheitsvorkehrungen von Gebäuden ...107

Unfallverhütung...102

Arithmetische Zeichen ...305

Aussenleiterstrom ...1503

Aussenleiterströme bei unsymetrischer ohmscher last ...1516, 1517 Aussenwinkel...319

Autotransformator...1904

Basisgrössen der Physik ...401

Baterieschaltung ...601

Batterien Elektrochemische Spannungsreihen ...2606

Elektrochemisches Äquivalent...2610

Begriffe zur Temperatur...501

Belasteter Spannungsteiler...719

Beleuchtung Dimensionierung...2102

Grundlagen ...2101

Beschleunigung ...415

Beschleunigungskraft ...416

Binome...311

Bremsung ...415

Brückenschaltung ...722

Chemie- und Werkstoffkunde Bedeutung und Wert der Stoffe...202

Chemische Prozesse...206

Eigenschaften ...203

Einteilung der Stoffe ...201

Grundbegriffe...205

Kennzeichnung Gefahrenstoffe ...207

Umweltschutz ...208

Verwendung der Stoffe ...204

Dauermagnet Eigenschaften ...802

Wirkungen aufeinander ...802

Energie ...431

Dichte Gase und Dämpfe ...2611

Dielektrizitätszahlen...2608

Division von Doppelbrüchen ...310

Division von Zahlen (Bruch)...309

Drehmoment auf gleicher Welle ...423

Kraft nicht senkrecht...418

Kraft senkrecht ...417

Mechanische Leistung ...437

nicht auf gleicher Welle ...424

Drehstromtrafo...1907

Drehstromverbraucher... 1510

Drehzahl... 405

Drehzahlübersetzung ... 424

Dreieck... 319

Dreieck-Stern-Umwandlung... 723

Dreiphasengenerator ... 1501

Druck... 426

Durchflutung... 1903

Effektivwert ... 906

Einheit der Kalorie... 2616

Einphasengenerator... 903

Einphasen-Transformatoren ... 1903, 1904 Einphasenwechselstrom ... 905

Frequenz... 905

Generator... 903

Kreisfrequenz... 907

Leistung... 921

Netzfrequenz... 904

Periodendauer... 905

Winkelgeschwindigkeit... 907

Elektrische Arbeit Blindarbeit ... 728, 928 Dreiphasen-Wechselstrom ... 1513

Energiekosten AC ... 928

Energiekosten DC... 728

Gleichstrom... 727

Wirkarbeit... 728, 928 Elektrische Energie ... 727

Elektrische Leistung Dreiphasen Wechselstrom... 1508

Einphasen Wechselstrom ... 921

Energiezähler ... 922, 1512 Gleichstrom... 726

Elektrischer Kreis ... 806

Elektrischer Stromkreis... 702

Elektromagnet Eigenschaften ... 803

Wirkungen aufeinander... 803

Elektromotor... 808

Elektronischer Trafo... 1909

Elemntarladung Elektron... 705

Energie... 402

kinetisch ... 431

mechanische Arbeit ... 431

Energie der Lage... 430

Energiekosten ... 1514

Energieumwandlung ... 402, 438 Erdbeschleunigung ... 407

Erdmagnetfeld... 801

Ergänzungswinkel... 319

Exponentialrechnen ... 312

Federkraft... 414

Fehler im Dreileiternetz... 1519

Fehler im Vierleiternetz mit Neutralleiter... 1515

Fehler im Vierleiternetz ohne Neutralleiter... 1518

Flächendruck ... 426

Flaschenzüge mit losen Rollen ... 422

ohne lose Rollen ... 421

Seite

6

Funktionen, Darstellung...340

Funktionen, Grafische Lösungen...341

Gefahrensymbole ...2631

Generator...904

Generatorenregel...902

Geradlinige Bewegung ...404

Gesamtwirkungsgrad...439

Geschwindigkeit...406

Geschwindigkeitsübersetzung ...424

Gewichtskraft...413

Gleichschenkliges Dreieck ...321

Gleichseitiges Dreieck ...320

Gleichstrommotoren Anlassverfahren...2003

Schaltungen...2002

Gleichungen...315

Gleichungen mit mehreren Variablen ...316

Grichisches Alphabet...2601

Hebel Drehmoment...419

-gesetz ...419

mehr als zwei Kräften ...420

mit zwei Kräften ...419

Heizungsberechnung k-Wert...512, 513 u-Wert...512, 513 Heizwertberechnungen...514

Höhensatz...323

Höhensatz von Euklid ...323

Hohlzylinder ...335

Hydrostatischer Auftrieb ...428

Hydrostatischer und hydraulischer Druck ...427

Hypotenuse, Katheten ...322

Induktion ...901, 1903 Selbstinduktion ...909

Induktionsgesetz...901

Induktivität...910

Innenwinkel...319

Isobaren...426

Kälteapparate ...1801

Kaplan-Turbine ...435

Katheten, Hypotenuse ...322

Kathetensatz von Euklid ...323

Kennwerte Wasserturbinen ...435

Kinetische Energie...431

Kirchhoffsche Gesetze ...725

Knoten ...406

Kohlenstoffisotop ...2626

Kompensation Drehstrom ...1606, 1607 Einphasig ...1606, 1607 mit Blindleistung...1606

mit Wirkleistung ...1607

Kondensator Bauformen ...1406

Energie ...1402

Feldstärke...1401

Gleichstromkreis...1403

Kapazität...1402

Kenngrössen...1406

Ladevorgang...1403

Permeabilität ... 1402

Serieschaltung ... 1404

Körper mit Horizontalschnittstelle ... 338

Kraftberechnung Beschleunigungskraft... 416

Federkraft... 414

Gewichtskraft ... 413

Pfeilsystem... 408

Seilaufhängung ... 410

Teilkräfte entgegengesetzt... 409

Teilkräfte gleichgerichtet ... 409

Teilkräfte senkrecht ... 410

Kraftübersetzung... 423, 424 Kreis, Kreisring... 330

Kreisausschnitt... 328

Kreisförmige Bewegung... 405

Kreisfrequenz... 907

Kreissegment ... 329

Kugel... 337

Längenausdehnung ... 507

Längenausdehnungskoeffizienten ... 2614

Leistung Mechanisch aus Kraft und Geschwindigkeit ... 432,

433 Mechanisch aus Kraft und Weg... 432, 433 Leistungsänderung an konstantem Widerstand .. 726

Leistungsverlust Dreiphasenwechselstrom-Leitungen... 1521

Einphasenwechselstrom-Leitungen ... 930

Gleichstrom-Leitungen... 731

Leitfähigkeit... 710

Leitungswiderstand ... 709

Leitwert... 710

Logarithmieren ... 314

Magnetischer Kreis ... 805, 806 Magnetismus... 801

Elektromotor... 808

Generatorenregel... 902

Induktion ... 901

Induktionsgesetz ... 901

Motorenregel... 807

Selbstinduktion... 909

Masse ... 403

Masse des Elektrons... 705

Massumrechnungen ... 304

Massvorsätze... 301

Mechanische Arbei von Wasserturbinen ... 430

Mechanische Arbeit Kraft und Weg... 429

Mechanische Energie ... 429

Mechanische Leistung Drehzahl und Drehmoment... 437

Wasserturbinen... 434

Meilen... 406

Messbereicherweiterung Voltmeter... 720

Momentanwert ... 906 Motoren

Anlassverfahren ... 2003, 2005 Drehzahlsteuerung... 2003, 2006 Schaltungen ... 2002, 2004

Seite

7

Multiplikation ...307

Multiplikation mit Brüchen...308

Nebeneinanderchaltung von Widerständen ...712

Nebenwinkel ...319

Nennspannung ...1503

Netzfrequenz ...904

Netzspannung...1503

Neutralleiterstrom Grafisch ...1505

Rechnerisch...1506

NIN...1301

Ohmscher Widerstand einer Spule ...714

Ohmsches Gesetz ...705

Parallelogramm ...324

Parallelschaltung von idealen Spulen...918

Parallelschaltung von realen Spulen ...919

Parallelschaltung von Widerständen ...712

Pascal’sches Dreieck ...311

Pelton-Turbine ...435

Periodendauer ...905

Pfeisystem ...408

Phasenverschiebung ...1509

Potentielle Energie...430

Primärspannung ...1904

Prisma...333

Prozentrechnen ...302

Pyramide...336

Pythagoras...323

Quadrat...325

Raumaufteilung...303

Rechteck...326

Rechtwinkliges Dreieck ...322

Regeln der Technik ...1301

Reibung Gleitreibung ...425

Haftreibung ...425

Rollreibung...425

Reihenschaltung von Widerständen...711

Relative Atommasse...2626

Relative Atommassen...2626

Rhombus ...324

RLC-Schaltungen ...1601, 1602 RLC-Schaltungen in Resonanz ...1603, 1604, 1605 Scheitelwert ...906

Scheitelwinkel ...319

Schemazeichnen ...1101, 1201 Schmelz- und Verdampfungswärme ...505

Schmelzwärme ...2612

Sechseck ...331

Seemeilen...406

Seilaufhängung...410

Sekundärspannung...1904

Serieschaltung von idealen Spulen ...916

Serieschaltung von realen Spulen ...917

Serieschaltung von Widerständen...711

Siemens...710

Spannungsabfall Dreiphasenwechselstrom ...1520

Einphasenwechselstrom...929

Gleichstrom ...730

Spannungsänderung Wärmeänderung ... 509

Zeitänderung... 509

Spannungsdifferenz ... 730

Spannungserzeuger... 704

Spannungsquellen Chemischer Vorgang ... 604

Ersatzschaltbilld ... 601

Galvanisieren ... 607

Netzersatzanlagen ... 608

Parallelschaltung... 603

Primärelemente... 605

Sekundärelemente... 606

Serieschaltung ... 602

Spannungsverlust ... 730

Spannungswandler ... 1906

Spartransformator... 1904

Spezielle Widerstandsschaltungen Drehstromverbraucher... 1510

Spezifische Schmelz- und Verdampfungswärme ... 2612

Spezifische Werte reiner Metalle ... 2602, 2603 Spezifische Werte sonstiger Stoffe... 2604

Spezifischer elektrischer Widerstand... 709

Spule Induktivität... 912

Spulenwiderstand Ohmisch... 714

Stern- und Dreieckschaltung... 1502

Stern-Dreieck-Umwandlung... 723

Strangspannung... 1503

Strangstrom ... 1503

Stromdichte... 707

Stromwandler... 1905

Stromwirkungen ... 703

Stufenwinkel... 319

Supplementwinkel... 319

Tabellen Dichte Gase und Dämpfe ... 2611

Dielektrizitätszahlen ... 2608

Elektrochemische Spannungsreihen ... 2606

Frequenzen ... 2618

Gefahrensymbole... 2631

Grichisches Alphabet ... 2601

Krafteinheiten... 2609

Längenausdehnungskoeffizienten ... 2614

Relative Atommasse ... 2626

Spezielle Einheiten... 2616

Spezifische Schmelz- und Verdampfungswärme ... 2612

Spezifische Werte reiner Metalle ... 2602, 2603 Spezifische Werte sonstiger Stoffe... 2604

Tabellenform der Elemente ... 2627

Temperaturskalen... 2617

Unterer Heizwert von Brennstoffen... 2613

Unterer Heizwert von Gasen... 2613

Volumenausdehnungskoeffizienten ... 2615

Wärmeausdehnungskoeffizienten ... 2615

Wellenlängen ... 2618

Wertigkeitsbegriff ... 2628

Tabellenform der Elemente ... 2627

Seite

8

gleichgerichtet...409

Kraftzerlegung ...412

nicht senkrecht aufeinander ...411

senkrecht aufeinander ...410

Temperaturdifferenz ...501

Temperatureinfluss auf elektrischen Widerstand .716 Temperaturkoeffizient...716

Temperaturskalen...501

Thaleskreis ...323

Transformatoren Autotransformator...1904

Dreiphasenwechselstrom ...1907

Einphasenwechselstrom...1903, 1904 Elektronisch ...1909

Spartransformator...1904

Wirbelströme ...1908

Trapez...327

Trigonometrie ...339

Übersetzungsverhältnis ...1903, 1904 Übersicht über die Temperaturskalen ...2617

Umdrehung...405

Umfangsgeschwindigkeit...405

Umrechnung Einheit der Kalorie ...2616

Leistung ...2616

Unbelasteter Spannungsteiler ...718

Unterer Heizwert von Brennstoffen...2613

Unterer Heizwert von Gasen ...2613

Vektoren ...408

Verdampfungswärme ...505, 2612 Vergleich elektrischer mit magnetischem Kreis....806

Verkettungsfaktor ...1503

Verluste...438

Verlustleistung ...438

Volumenausdehnung...508

Volumenausdehnungskoeffizienten...2615

Volumenstrom der Turbine ...434

Wärmeapparate...1801

Wärmearbeit...503, 504 Wärmeenergie ... 402

Wärmeinhalt Boiler ... 503, 504, 506, 509 Wärmelehre ... 501, 508 Wärmenergie ... 503, 504, 506 Wärmewirkungsgrad... 438, 506 Wechselstrom Elektrische Arbeit ... 923

Elektrische Energie ... 923

Ideale Spule ... 913

Kondensator... 920

Ohmscher Widerstand... 908

Phasenverschiebung ... 915

Reale Spule... 914

Wechselstrommotoren Anlassverfahren ... 2005

Drehzahlsteuerung... 2006

Schaltungen ... 2004

Werkstattzeichnen ... 1001

Wertigkeitsbegriff ... 2628

Widerstands-Schaltung Belasteter Spannungsteiler... 719

Brückenschaltung ... 722

Dreieck... 723

Mesbereich V-Meter... 720

Stern... 723

Unbelasteter Spannungsteiler... 718

Würfelwiderstände ... 724

Windungszahl ... 1903

Wirkungsgrad... 438

Arbeit, Leistung ... 438

Einzelteil... 438

Energie,Wärme... 438

Gesamtanlage... 439

Würfel ... 332

Würfel-Widerstände... 724

Wurzelrechnen... 313

Zählerformel... 922, 1512 Zahnradübersetzung... 424

Zylinder ... 334

Seite

100 1 Arbeitssicherheit und Gesundheitsschutz

Erläuterungen zu der Seitenaufteilung

Inhalt ab

Seite Kapitel Lehrplan

Grundsätze Branchenlösung

^{1100 1.1 2.2.1}

Massnahmen zur Verhütung von Unfällen

^{1200 1.2 2.2.4}

Sicherheitsregeln

1300 1.3 2.2.4

Gefahrenstoffe

1400 1.4 2.1.4

Konkretes Notfalldispositiv

^{1500 1.5 2.2.5}

Technische Sicherheitsvorkehrungen von

Gebäuden

^{1600 1.6 2.2.5}

Repetitionsfragen

1700 1.7

Gefahrensymbole

1800 1.8

2.7 2.1.4

Seite

101 Grundsätze Branchenlösung

6

Spezialisten - Beratung - Analysen - Ausbildung

(BATISEC / SUVA) Arbeitgeber

- Gesamtverantwortung - Gefahren ermitteln - Massnahmen - Laufend prüfen

Arbeitnehmer - Unterstützung - Informationen - Mitsprache Verantwortlichkeiten

Verantwortlichkeiten

Arbeitssicherheit Gesundheitsschutz

Grundsätzliches

NextNextNext BackBackBackEndEndEnd KapitelKapitelKapitel

FE14 Version 5

Seite

102 Massnahmen zur Verhütung von Unfällen

10

Grundsätzliches

Gefahren erkennen Durch Schulung der Arbeitnehmer, können diese viel Gefahren erkennen und

somit Massnahmen zur Unfallvermeidung treffen.

Gefahren erkennen Durch Schulung der Arbeitnehmer, können diese

viel Gefahren erkennen und somit Massnahmen zur Unfallvermeidung treffen.

Gefahren entfernen Bestehende Gefahren sollten wenn immer möglich

entfernt werden.

z.B.

- Rutschige Böden reinigen - Defekte Maschinen

entfernen / reparieren Gefahren entfernen

Bestehende Gefahren sollten wenn immer möglich

entfernt werden.

z.B.

- Rutschige Böden reinigen - Defekte Maschinen

entfernen / reparieren

Gefahren abschirmen Kann die Gefahrenquelle nicht entfernt werden sollte

sie mit entsprechenden Massnahmen abgeschirmt

werden.

z.B.

- Schweissvorhänge - Abschirmung beim

Schleifen

Gefahren abschirmen Kann die Gefahrenquelle nicht entfernt werden sollte

sie mit entsprechenden Massnahmen abgeschirmt

werden.

z.B.

- Schweissvorhänge - Abschirmung beim

Schleifen Gefahren erkennen

Durch Schulung der Arbeitnehmer, können diese viel Gefahren erkennen und

somit Massnahmen zur Unfallvermeidung treffen.

Gefahren erkennen Durch Schulung der Arbeitnehmer, können diese

viel Gefahren erkennen und somit Massnahmen zur Unfallvermeidung treffen.

Gefahren erkennen Gefahren erkennen

Gefahren entfernen Bestehende Gefahren sollten wenn immer möglich

entfernt werden.

z.B.

- Rutschige Böden reinigen - Defekte Maschinen

entfernen / reparieren Gefahren entfernen

Bestehende Gefahren sollten wenn immer möglich

entfernt werden.

z.B.

- Rutschige Böden reinigen - Defekte Maschinen

entfernen / reparieren

Gefahren abschirmen Kann die Gefahrenquelle nicht entfernt werden sollte

sie mit entsprechenden Massnahmen abgeschirmt

werden.

z.B.

- Schweissvorhänge - Abschirmung beim

Schleifen

Gefahren abschirmen Kann die Gefahrenquelle nicht entfernt werden sollte

sie mit entsprechenden Massnahmen abgeschirmt

werden.

z.B.

- Schweissvorhänge - Abschirmung beim

Schleifen

NextNextNext BackBackBackEndEndEnd KapitelKapitelKapitel

FE14 Version 5

Seite

103 Sicherheitsregeln

Im Normalfall sind Arbeiten an elektrischen Installationen im spannungslosen Zustand auszuführen.

5 Sicherheitsregeln

1 Freischalten und allseitig trennen

2 Gegen Wiedereinschalten sichern

3 Auf Spannungslosigkeit prüfen

4 Erden und kurzschliessen

5 Gegen benachbarte, unter Spannung stehende Teile schützen

NIV Art. 22

Arbeitssicherheit

An Niederspannunganlagen kann auf das Erden und Kurz- schliessen verzichtet werden, wenn keine Gefahr von Spannungsübertragung oder Rückspeisung besteht.

NIV Art. 22

^1d

Hinweis anbringen

„Nicht schalten“

Digitaler Spannungsprüfer

FE17 Version 5

Seite

104 Erste Hilfe

67

Alarmierung

Wer spricht Was ist passiert

Wo ist der Brand /Verunfallte Wann ist es passiert

Wie viel Personen sind Betroffen

Hinterlassen Sie eine Telefonnummer die frei bleibt.

Sanität 144

Feuerwehr 118

Polizei 117

Rega 1414

Vergiftungen 145

NextNextNext BackBackBackEndEndEnd KapitelKapitelKapitel

FE17 Version 5

Seite

105 Gefahrenstoffe

49 Kennzeichnung,

Hinweise auf der Etikette und

Sicherheitsdatenblätter beachten. (1)

Chemische Produkte in Originalverpackung aufbewahren - nie in Getränkeflaschen umfüllen. (2) Arbeitsbereiche ausreichend lüften.

Sich zweckmässig schützen (Schutzbrille, Handschuhe,

Atemschutz).

NextNextNext BackBackBackEndEndEnd KapitelKapitelKapitel

Ätzend

Augenschutz benutzen

Giftig

Explosions- gefährlich

Am Schluss unter Kapitel 26 Tabellen finden Sie die Gefahrensymbole!

FE14 FE15 FE16 Version 5

Seite

106 Konkretes Notfalldispositiv

FE14 Version 5

Seite

107 Technische Sicherheitsvorkehrungen von Gebäuden

o Alarmanlagen o Videoüberwachung o Brandmeldeanlagen o Notbeleuchtungen o Notstromanlagen o Schlüsselverwaltung o Zutritt- und Austrittkontrolle o Personensuchanlagen o Sicherheitsmanagement o Notschaltungen

Gleichrichter Wechselrichter

Lade- regler

Batterie

FE517 FE394 FE397 Version 5

Seite

200 2 Chemie und Werkstoffkunde

Erläuterungen zu der Seitenaufteilung

Inhalt ab

Seite Kapitel Lehrplan

Einteilung der Stoffe

^{2100 2.1 2.1.1}

Bedeutung und Wert der Stoffe

2200 2.2 2.1.1

Eigenschaften der Stoffe

^{2300 2.3 2.1.2}

Verwendung der berufsrelevanten Stoffe

^{2400 2.4 2.1.2}

Chemische Grundbegriffe

^{2500 2.5 2.1.3}

Chemische Prozesse

^{2600 2.6 2.1.3}

Kennzeichnung von Gefahrenstoffen

2700 2.7 2.1.4

Umweltschutzphilosophie

^{2800 2.8 2.1.5}

Seite

201 Einteilung der Stoffe

Version 5

Seite

202 Bedeutung und Wert der Stoffe

%

Material Herkunftsländer

36,9

Eisen

3,01

Aluminium

Stahl Germanium

15

Silizium

0,06

Kohlenstoff

2,9

Nickel

29

Sauerstoff

0,18

Kobalt Zink Zinn

0,01

Kupfer

Südamerika, Südafrika, Kanada

6,7

Magnesium

3

Kalzium

0,15

Phosphor

0,01

Barium

%

Material Herkunftsländer Wolfram

Silber Gold

0,14

Mangan

0,08

Wasserstoff

0,11

Chrom

0,58

Titan Keramik Baumwolle Glimmer Gummi

0,9

Natrium

0,73

Schwefel

0,25

Kalium

0,02

Chlor

Version 5

Seite

203 Eigenschaften der Stoffen

Version 5

Seite

204 Verwendung der berufsrelevanten Stoffe

Version 5

Seite

205 Chemische Grundbegriffe

Version 5

Seite

206 Chemische Prozesse

Version 5

Seite

207 Kennzeichnung von Gefahrenstoffen

Version 5

Seite

208 Umweltschutzphilosophie

Version 5

Seite

300 3 Mathematik

Erläuterungen zu der Seitenaufteilung

Inhalt ab

Seite Kapitel Lehrplan

Arithmetik und Algebra - Grundlagen

^{3100 3.1 3.1.1}

Algebra - Grundrechenarten

^{3200 3.2 3.1.1}

Algebra - Gleichungen

3300 3.3 3.1.1

Geometrie – Planimetrie

3400 3.4 3.1.2

3.1.2 3.1.2

Geometrie – Steriometrie

^{3700 3.7 3.1.2}

Geometrie – Trigonometrie und Einheitskreis

3800 3.8 3.1.2

Algebra - Grafische Darstellungen und Lösungen

3900 3.9 3.1.3

Seite

301 Massvorsätze

Zur Vereinfachung der Schreibweise werden folgende Vielfache und Bruch- teile von Dekaden verwendet.

Vorsatz Vorsatz- zeichen

Zehner- potenz

Vorsatz Vorsatz- zeichen

Zehner- potenz

Yotta Y 10

²⁴

Zetta Z 10

²¹

Exa E 10

¹⁸

Peta P 10

¹⁵

Tera T 10

¹²

Dezi d 10

^-1

Giga G 10

⁹

Zenti c 10

^-2

Mega M 10

⁶

Milli m 10

^-3

Kilo k 10

³

Mikro µ 10

^-6

Hekto h 10

²

Nano n 10

^-9

Deka da 10

¹

Piko p 10

^-12

Femto f 10

^-15

Atto a 10

^-18

Zepto z 10

^-21

Yokto y 10

^-24

Griechisches Aphabet siehe Seite 2601.

FE19 Version 5

Seite

302 Prozentrechnen

Beispiel 1

„Wirkungsgrad - Motorleistung“

2

1

P

P P

_V

= −

P1

P

2

P1

P

2

M ∼

%

%

= ⋅ 100

Auf Ab

P η P

„Differenzwert -Leistung“

% 100

1 1 2

%

− ⋅

=

∆ P

P P P

Beispiel 2

„Differenzwert - Spannungsabfall“

RL

U1

Bild 1.7.1

RV

RL

U2

VL

UL

VL

UL

V1 V2

I

% 100

1 2 1

% − ⋅

=

∆ U

U u U

Beispiel 3

„Differenzwert -Temperatur“

% 100

20 20

% − ⋅

=

∆

ϑ

ϑ ϑ ϑ

°C

−

=

∆ϑ ϑ 20

Bild 1.2.1

ϑ20 ϑ

ϑ ϑ

R

Rϑ

R20

Rϑ

∆ϑ

∆R

∆R

∆ϑ

Prozentwert

% 100

w

%

G W = ⋅

%

%

= ⋅ 100 G w W

Differenzwert G

G w W −

=

∆

%

%

− ⋅ 100

=

∆ G

G w W

Achtung

Negativer Endwert bedeutet eine Abnahme gegenüber dem Grundwert.

Positiver Endwert entsteht bei einer Zunahme (Leistungs- zunahme bei Spannungszunahme).

G Grundwert

G ist der angenommene 100%-Wert

W Wert der mit dem Grundwert verglichen wird. Wieviel in abso- lutem Betrag ist dieser Wert vom Grundwert

w% Prozentsatz [%]

∆w Differenzwert Wieviel in relativem Betrag ist dieser Wert vom 100%-Wert w%

∆ Prozentsatz der

Differenz [%]

P1 Anfangsleistung

[ W ]

P2 Endleistung

[ W ]

PV Leistungsverluste

[ W ]

U1 Anfangsspannung

[ V ]

U2 Endspannung

[ V ]

∆u Spannungsabfall

[ V ]

ϑ1 Anfangstemperatur

[ ° C ]

ϑ2 Endtemperatur

[ ° C ]

∆ϑ Temperaturdifferenz

[ ° C ]

Version 5

Seite

303 Einteilungen

Lampeneinteilung in einem Raum

) 1 (

)

(

_{1 2}

− +

⋅ +

= −

n

a b n a x l

) 1 (

) (

_{1 2}

− +

= − n

a a x l

l

a1

a2

b x ^b x b x b

Bild22.05.06

l

a1

a2

b b b b

2

1

n b ( n 1 ) x a

a

l = + ⋅ + − ⋅ +

l

a1

a2

b

x x x

Bild 22.05.07

l

a1

a2

b

2

1

( n 1 ) x a

a

l = + − ⋅ +

l

a1

x x x

a₂

Bild22.05.08

l

a1 a₂

Bei allen eingesetzten Einheiten ist auf die Gleichheit zu achten.

] [m

] [dm

] [cm

] [mm

Einheitenumrechnung siehe Seite 304.

x

Lampenabstand

[m ] b

Lampenlänge

[m ] a

1 Wandabstand

links

[m ]

a

1 Wandabstand

rechts

[m ]

n

Anzahl Lampen

[− ]

Version 5

Seite

304 Umrechnung der Längen- , Flächen und Volumenmasse

Länge

∗

Fläche

∗

Volumen

∗

Exponent

1 2 3

* mm

10

1

10

²

10

³

* cm

10

1

10

²

10

³

* dm

10

1

10

²

10

³

* m

10

3

10

⁶

10

⁹

* km

:

Rechnet man von einem kleineren Mass zu einem grösseren Mass, so muss mit dem Faktor in der Tabelle dividiert werden.

.

Rechnet man von einem grösseren Mass zu einem kleineren Mass, so muss mit dem Faktor in der Tabelle multipliziert werden.

mm

100 = ? m

Teiler 100 mm

= 1000

100mm

= 0 , 1 m

Dies entspricht einem Teiler von 1000

10

³

= .

1 dm

3

= ? cm

³

Faktor dm

³

⋅

1 = 1 dm

³

⋅ 1000 = 1000cm

³

Dies entspricht dem Faktor 1000 .

Version 5

Seite

305 Arithmetik

Kopfrechnen

Kopfrechnen mit allen möglichen Zahlen ist die Basis der Gedankenknotenbildung im Gehirn. Die Schule hat auch die Aufgabe diese Gedankenknoten zu festigen und zu erweitern. Der gleiche Effekt wie mit den Zahlen kann durch sprachli- che Weiterentwicklung erreicht werden.

Bildung ist also nicht nur eine Frage der Mathematik sondern auch des Allgemeinwissens.

Wichtig ist bei aller Anwendung

Einmal geschrieben ist wie zehnmal gelesen!

Arithmetische Zeichen

(nach DIN 1302)

Beschreibung Beispiel

+ plus, und

3 + 4 = 7

- minus, weniger

5 − 3 = 2

x ⋅

mal, multipliziert

2 ⋅ 6 = 12

:

geteilt durch, dividiert

4

3 12 =

= gleich

11 = 3 + 8

≡

identisch gleich

5 ≡ 5

≠

ungleich, nicht gleich

5 ≠ 7

≈

nahezu gleich, rund, etwa

0 , 333

3 1 ≈

∞

^unendlich

^{= ∞}

0 1

< kleiner als

5 < 8

≤

kleiner als oder gleich

a ≤ b

> grösser als

7 > 1

absoluter Betrag

7

= ˆ

entspricht

1 cm = ˆ 500 N

(z.B. in einer Zeichnung)

Wurzel aus

9 = 3

∑

^{Summe 4 1 2 3 4}

1

a a a a a

i i

= + + +

∑

=

Version 5

Seite

306 Addition und Subtraktion

In einer Summe darf man die Summanden vertauschen.

(Kommutativgesetz)

a + b = b + a

Beim addieren darf man die Summanden zu Teilsummen zusammenfassen.

(Assoziativgesetz)

( a + b ) + c = a + ( b + c )

Gleichnamige Ausdrücke können zusammen- gefasst werden, indem die Beizahlen addiert oder subtrahiert werden.

a a a

a 3 2 5

6 − + =

a a a

a 2 ( 4 2 ) 6

4 + = + ⋅ =

Die Reihenfolge der einzelnen Glieder darf

verändert werden.

a − 2 c + b = a + b − 2 c

Es lassen sich nur gleichnamige Ausdrücke

zusammenfassen.

3 a + 5 b + a − 2 b = 4 a + 3 b

Steht ein

+

-Zeichen vor dem Klammeraus- druck, so können die Klammer und das

+

- Zeichen weggelassen werden, ohne dass sich der Wert in der Klammer ändert.

b a b a + ( − ) = −

c b a c b

a + ( − ) = + −

Steht ein

−

-Zeichen vor der Klammer, so müssen bei ihrem Weglassen alle Vorzeichen in der Klammer umgekehrt werden. (Das

−

- Zeichen vor der Klammer fällt mit der Klammer weg)

b a ) b (

a− − = + c b a ) c b (

a− − = − +

Summa nd Summa nd

Sum me

a b + = c

c b a − b = c a

Minuend

Subtrahend Differenz

Version 5

Seite

307 Multiplikation, Multiplizieren

Zwischen Faktoren, nicht aber zwischen Zif- fern, kann man das Malzeichen weglassen

4 ⋅ = a 4 a

5 2 ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ a b 5 2 ab = 10 ab

Man kann die Faktoren vertauschen

(Kommutativgesetz).

b a c ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = a b c abc

b a c ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 3 4 12 abc

Ist ein Faktor Null, so ist das ganze Produkt Null.

3 0 ⋅ = 0 a ⋅ = 0 0

10 ⋅ ⋅ ⋅ = a 0 b 0

Man darf Teilprodukte zusammenfassen

(Assoziativgesetz).

4 a ⋅ 5 b = ⋅ ⋅ 4 5 ab = 20 ab

Gleiche Anzahl negativer Vorzeichen ergeben

ein positives ( + ) Resultat.

a b ⋅ = ab ( − ⋅ − a ) ( b ) = ab

Ungerade Anzahl negativer Vorzeichen erge- ben ein negatives ( - ) Resultat

ab b a ⋅ = −

− ) (

ab b a ⋅ ( − ) = −

Man multipliziert ein Klammerausdruck mit einem Faktor, indem man jedes Glied einer

Summe mit dem Faktor multipliziert.

n a b ⋅ ( + ) = na + nb

Man multipliziert zwei Klammerausdrücke, indem man jedes Glied der einen Summe mit jedem Glied der anderen Summe multipliziert (siehe auch Binome).

= + + )( ) (a b c d

bd bc bc ac + + +

Einen gemeinsamen Faktor kann man aus-

klammern.

an + bn − n = ⋅ n a ( + b − 1 )

Definition der Elemente beim Multiplizieren

a b ⋅ = c

Fa k tor Fa k tor

Produk t Resulta t

Version 5

Seite

308 Multiplikation mit Brüchen

Ein Bruch wird mit einer Zahl multipliziert, indem die Zahl mit dem Faktoren des Zählers

multipliziert wird.

b

c ac b a ⋅ =

Brüche werden multipliziert, indem die Fakto- ren des Zählers und die Faktoren des Nenners

multipliziert werden.

bd

ac d c b a ⋅ =

a

b c ac

⋅ = b

Fa k tor Fa k tor

Produk t

a b

c d

ac

⋅ = bd

Fa k tor Fa k tor

Produk t

b a

Zähler

Nenner

a

Version 5

Seite

309 Division von Einfachbrüchen

Doppelpunkt und Bruchstrich sind gleichbe-

deutende Rechenzeichen.

a b

b a = :

Zähler und Nenner darf man nicht vertau- schen, es entsteht sonst der Kehrwert des

Bruches.

2

3 3

; 2 ≠

≠ a b b a

Gleiche Anzahl negativer Vorzeichen ergeben ein positives ( + ) Resultat.

b a b a = +

Ungerade Anzahl negativer Vorzeichen erge- ben ein negatives ( - ) Resultat

b a b a b

a = + =

−

−

b a b a = −

−

b a b

a = −

−

Beim Kürzen Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl teilen.

3 6

3

2 3 2

ab bc

a b b c

a

= + ⋅ ⋅ c

⋅ ⋅ ⋅ =

Man darf niemals bei einem Bruch einzelne

Summanden einer Summe kürzen.

a a a a a

2 2

2 + ≠ + =

Sind bei einem Bruch Zähler oder Nenner Summen, so muss man alle Summanden

durch die gleiche Zahl kürzen.

b c

a ac ab + = +

Sind Zähler und Nenner Summen, so muss man, wenn möglich, gemeinsame Faktoren ausklammern und kann dann gleiche Faktoren kürzen. Der zun kürzende Faktor kann in sich

auch eine Summe sein.

b

a c b b

c b a bc b

ac

ab =

+

= + + +

) (

) (

2

Normalerweise wird eine Division als Bruch geschrieben

a

b = a b : = c

Q uotioent (Bruch)

Divisor Divident

b a

Zähler

Nenner

a

Version 5

Seite

310 Dividieren von Doppelbrüchen

Doppelbrüche werden dividiert, indem man den zweiten Bruch umstürzt und dann die

Brüche multipliziert.

bc

ad c d b a d c b a d c b a

=

⋅

=

= :

Wird ein Bruch durch eine Zahl dividiert, so wird der Nenner des Bruches mit dieser Zahl

multipliziert.

bc

a c b a c b a c b a

=

⋅

=

= 1

: 1

Wird ein Zahl durch einen Bruch dividiert, so wird die Zahl mit dem Nenner des Bruches multipliziert.

Doppelbrüche werden dividiert, indem man den zweiten Bruch umstürzt und dann die Brüche multipliziert.

b ac b c a c b a c b a

c b

a = = = ⋅ = : 1

1 1

Ein Doppelbruch kann vereinfacht werden, indem man mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner die zwei Brüche erweitert (Erweite-

rungsmethode) b a

ab a b ab a b b ab a

b a b b a

+

= −

⋅



 



 +

⋅



 



 −

= +

−

2 2

1 1 1

1

a b c d

Q uotioent (Doppelbruch)

Dividend (Bruch)

Divisor (Bruch)

b a

Zähler

Nenner

a

Version 5

Seite

311 Binome

Version 5

Seite

312 Exponentialrechnen, Potenzieren

A dd iti on u nd S ub tr ak tio n

2 2

2

2

2 4

3 a + a − a = a

Gleiche Potenzen, also Ausdrücke mit glei- chen Exponenten und gleicher Basis werden

addiert oder subtrahiert, indem man nur ihre Beizahlen addiert oder subtrahiert und die

Potenz beibehält.

M ul tip lik at io n

a a

ⁿ

⋅

^m

= a

^{m n+}

Potenzen mit gleicher Basis werden multipli- ziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis mit der Summe der Exponen-

ten potenziert.

D iv is io n

a a a

m n

=

m n⁻

Potenzen mit gleichen Basen werden divi- diert, indem man die Basis mit der Differenz

der Exponenten potenziert.

P ot en zi er en v on P ot en ze n

( ) ( ) ^a

^{m n}

^{= a}

^{n m}

^{= a}

^{m n⋅}

Eine Potenz wird potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten

potenziert.

Man kann die Exponenten vertauschen.

Version 5

Seite

313 Wurzelrechnen, Radizieren

A dd iti on u nd S ub tr ak tio n

3 3

3

3

3 4

2 a + a − a = a

Gleichnamige Wurzelausdrücke lassen sich zusammenziehen (Beizahlen addieren und

subtrahieren).

M ul tip lik at io n

n n

n

a ⋅ b = a ⋅ b

Gleichnamige Wurzeln werden multipliziert, indem die Wurzel aus dem Produkt der Ra-

dikanden gezogen wird.

Ei Produkt wird radiziert, indem jeder Faktor radiziert wird.

D iv is io n

n n

n

b a b

a =

Gleichnamige Wurzeln werden dividiert, in- dem die Wurzel aus dem Quotienten der

Radikanden gezogen wird.

Ein Quotient wird radiziert, indem aus dem Zähler und aus dem Nenner die Wurzel

gezogen wird.

P ot en zi er en ( )

^{n mmn}

^{a a =}

n n

a a

1

=

( )

^{n m mn}

n m

a a

a = =

Eine Wurzel wird potenziert, indem der Ra- dikand potenziert und daraus die Wurzel

gezogen wird.

Jede Wurzel kann in eine Potenz mit gepro- chenem Exponenten umgewandelt werden.

Version 5

Seite

314 Logarithmieren

Potenzieren

Umkehrung 1 des Potenzieren führt zum Radizieren

Umkehrung 2 des Potenzieren führt zum Logarithmieren

Logab ist dijenige reelle Zahl x, für die a^X =b gilt.

x = log

_a

b

Ba sis N umerus

Loga rithmus

Ein Produkt wird logarithmiert, indem man

die Logarithmen der Faktoren addiert.

log (

_a

u v ⋅ ) = log

_a

u + log

_a

v

Ein Bruch wird logarithmiert, indem man vom Logarithmus des Zählers den Loga-

rithmus des Nenners subtrahiert

log

_a

u log

_a

log

_a

v = u − v

Ein Potenz wird logarithmiert, indem man den Logarithmus der Basis mit dem Expo-

nenten multipliziert

log

_a

b

ⁿ

= ⋅ n log

_a

b

Sonderfall

log

_a ^v

b

ⁿ

n log

_a

v b

= ⋅

Die Kennzahl des des Logarithmus für eine Zahl, die grösser ist als eins, ist immer um 1 kleiner als die Stellenzahl der ganzen Zahl vor dem Komma.

3 = log 1000

Stellenza hl

=4

Kennza hl

Die Kennzahl des Logarithmus für eine Zahl, die kleiner ist als 1, ist immer negativ (-1, -2, -3) und ohne Berücksichtigung des Kommas gleich der Anzahl Nullen vor der ersten Ziffer. Man schreibt sie hinter die Mantisse.

− =3 log ,0 001

Stellenza hl

=4

Kennza hl

Version 5

Seite

315 Gleichungen mit einer Variablen

Werden Grössen miteinander durch ein Gleichheits- zeichen verbunden, so entsteht eine Gleichung.

Ist in einer Gleichung ein Glied unbekannt, so wird die Gleichnung Bestimmungsgleichung genannt; die unbekannte (x) kann bestimmt werden.

Eine Gleichung kann anschaulich mit einer Waage verglichen werden, welche im Gleichgewicht ist.

Die Waage bleibt auch im Gleichgewicht, wenn auf beiden Seiten (Waagschalen) die gleiche verände- rung stattfindet, z.B. 8kg weggenommen wird analog gilt dies auch bei den Gleichungen.

12 8 = + x

8 12 8 8 − = − +

x

8 12 −

= x

= 4 x

Merke:

Eine Gleichung bleibt eine wahre Ausssage, wenn man beide Seiten in gleicher

Weise verändert, d.h., man kann auf beiden Seiten die gleiche Zahl addieren,

oder sbtrahieren - mit der gleichen Zahl multiplizieren oder durch die gleiche Zahl dividieren, sowie radizieren oder potenzieren.

Achtung

Durch Null darf man nicht dividieren.

Beim radizieren bzw wurzelziehen entstehen immer zwei Lösungen.

Version 5

Seite

316 Gleichungen mit mehreren Variablen

Bilden Gleichungen mit mehreren Variablen ein Gleichungssystem, so kann man die Lösungsvariablen leicht rechnerisch bestimmen. In der Regel wird die Zahl der Gleichungen mit denen der Variablen übereinstimmen. Bei der rechnerischen Bestimmung der Lösungsvariablen unterscheidet man 3 Verfahren. Mit Hilfe dieser Verfahren versucht man, aus dem Gleichungssystem durch Umformung eine Gleichung mit einer Variablen zu gewinnen. Nachdem man diese Variable be- stimmt hat, kann die zweite Variable leicht berechnet werden.

Additions- bzw. Subtraktionsmethode

Man multipliziert bei dieser Methode eine oder beide Gleichungen so mit Zahlen, daß beim anschließenden Addieren bzw. Subtrahieren entsprechender Glieder eine Variable wegfällt (bei uns die Variable y).

Die entstehende Gleichung mit einer Variablen wird wie üblich gelöst.

Um die zweite Variable zu finden, setzt man die ausgerechnete Lö- sung in eine der beiden Gleichungen ein und rechnet die zweite Un- bekannte aus.

Gleichsetzungsmethode

Bei dieser Methode werden beide Gleichungen nach einer Variablen umgeformt und dann gleichgesetzt. Die entstehende Gleichung mit einer Variablen wird wie üblich gelöst. Um die zweite Variable zu finden, muß man wiederum die ausgerechnete Variable in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Dabei immer die einfachste Gleichung wählen.

Einsetzungsmethode

Hierbei rechnet man aus einer Gleichung eine Variable aus und setzt sie dann in die andere Gleichung ein. Man erhält wiederum eine Glei- chung mit einer Variablen, die ausgerechnet werden kann. Die zweite Variable wird durch rückläufiges Einsetzen ausgerechnet.

Merke:

Je nach Aussehen der Gleichungen wird eine der Methoden gewählt, und zwar die, die am schnellsten zum Ziel führt.

Version 5

Seite

317 Quadratische Gleichungen mit einer Lösung

Version 5

Seite

318 Quadratische Gleichungen mit zwei Lösungen

Version 5

Seite

319 Allgemeines Dreieck

Flächenberechnungen und Bezeichnungen

2 h

c

A c ⋅

=

c b a U = + +

Stufenwinkel Scheitelwinkel Innenwinkel

Neben- bzw. Supple- mentwinkel

Ergänzugs- bzw. Aus- senwinkel

Beispiel „Stufenwinkel α^“:

r

1

h

c b

c

a

A B

C

M

Bild 22.03.01

r

1

h

c b

C

Umkreis

Merke

Der Umkreis wird durch die Mittelsenkrechten ge- bildet.

α

β

γ γ

α

β

δ λ µ

β

γ γ α

α

β

Bild 22.8.1 A

B

C

a

c

b

A

Fläche

[ m

²

] a

Seite des

Dreieckes

[m ] b

Seite des

Dreieckes

[m ] c

Seite des

Dreieckes

[m ] U

Umfang

[m ]

h

c Höhe auf Seite c des Dreieckes

[m ]

r

1 Umkreisradius

[m ] M

Mittelpunkt des

Umkreises

Achtung

Bei anderen Massen ist auf die Massgleichheit zu achten!

Umrechnungen siehe Seite 3.1.10

Version 5

Seite

320 Flächenberechnungen

Gleichseitiges Dreieck

 =



 



− 

=

2 2

2 a a h

_a

=

−

=

^{2 2}

4 1 4

4 a a

h

_a

2 ⋅ 3

= a h

_a

⋅ =

= 2 h

a

A a =

⋅

⋅ 2 2 3 a a

4

2

3

= a ⋅ A

a U = 3

3 3 3

1

a r a ⋅ =

=

6 3

2

= a ⋅ r

r

1

h

a

a

a

a

A B

C

M

r1

r2

r

2

Bild 22.03.02

r

1

h

a

C

Umkreis r1

r2

r

2 Inkreis

Merke

Der Umkreis wird durch die Mittelsenkrechten ge- bildet. Der Inkreis wird durch die Winkelhalbieren- den gebildet.

Beim gleichseitigen Dreieck sind die Winkelhalbie- rende und die Mitelsenkrechte deckungsgleich.

A

Fläche

[ m

²

] a

Seiten des

Dreieckes

[m ]

U

Umfang

[m ]

h

a Höhe auf Seite a des Dreieckes

[m ]

r

1 Umkreisradius

[m ] r

2 Inkreisradius

[m ] M

Mittelpunkt des

Umkreises

Achtung

Bei anderen Massen ist auf die Massgleichheit zu achten!

Umrechnungen siehe Seite 3.1.10

Version 5

Seite

321 Flächenberechnungen

Gleichschenkliges Dreieck

c a U = 2 +

r

1

h

c a

b=

c

a

A B

C

M

r

²

Z

Bild 22.06.01

r

1

h

c a

b

C

Umkreis

r

2 Inkreis

Merke

Der Umkreis wird durch die Mittelsenkrechten ge- bildet.

Der Inkreis wird durch die Winkelhalbierenden gebildet.

A

Fläche

[ m

²

] a

,

b

,

c

Seiten des Dreieckes

[m ]

U

Umfang

[m ]

h

c Höhe auf Seite c des Dreieckes

[m ]

r

1 Umkreisradius

[m ] r

2 Inkreisradius

[m ] M

Mittelpunkt des

Inkreises

Z

Mittelpunkt des Umkreises

Bei anderen Massen ist auf die Massgleichheit zu achten!

Umrechnungen siehe Seite 3.1.10

Version 5

Seite

322 Bezeichnungen am Dreieck

Rechtwinkliges Dreieck

c b

a

A

B C

α

β

Bild 22.03.03

b

C

Die Eckbezeichnungen werden am Drei- eck im Gegenuhrzeigersinn beschriftet.

b

Kathete

Ankathete „AK“ zum Winkel

α

Gegenkathete „GK“ zum Winkel

β

a

Kathete

Ankathete „AK“ zum Winkel

β

Gegenkathete „GK“ zum Winkel

α

c

Hypotenuse „H“

Version 5

Seite

323 Lehrsatz von Pythagoras

Satz vom Pythagoras 2 2

2

a b

c = +

Die Benennung des Satzes nach Pythagoras stammt von Euklid.

c b a U = + +

Kathetensatz von Euklid

p c a

²

= ⋅

q c b

²

= ⋅

Höhensatz von Euklid

q p h

_C²

= ⋅

Thales von Milet

„Das Wasser ist das Beste“

Er galt als der älteste der sieben Weisen in der Antike.

c b

a

A

B C

α

β

Bild 22.03.03

b

C

Merke:

Alle Dreiecke unter dem Thaleskreis sind „Recht- winklig“.

hc b

c

a

A B

C

M

p ^q

Bild 22.03.04

hc b

C Thaleskreis

p

Hypotenusenabschnitt

q

Hypotenusenabschnitt

Seitendefinitionen siehe Seite 352.

Alle Längenmasse möglich. Es ist auf die Massgleichheit zu achten.

Umrechnungen siehe Seite 3.1.10

"Alles ist Zahl"

Pythagoras von Samos (Geboren um 570 v. Christus, † nach

510 v. Chr.), war ein griechischer

Philosoph

Euklid von Alexandria (ca. 365 v. Christus vermutlich in

Alexandria oder Athen;

† ca. 300 v. Chr.), war ein griechischer

Mathematiker.

Version 5