Physik A/B 1
Studiengang B.Sc. Elektrotechnik und Informationstechnik ...
Prof. Dr. Shaukat Khan
TU Dortmund - Fakultät Physik Lehrstuhl für Beschleunigerphysik
Zentrum für Synchrotronstrahlung (DELTA)
shaukat . khan (at) tu - dortmund . de
DELTA-Gebäude, Raum 03 Maria-Goeppert-Mayer-Str. 2 Prof. Dr. Dieter Suter
TU Dortmund - Fakultät Physik
Lehrstuhl für Experimentelle Physik IIIA Hochauflösende Spektroskopie
dieter . suter (at) tu - dortmund . de Chemie-Physik-Bau, Raum CP-03-162 Otto-Hahn-Str. 4a
2 Vorlesung
Di 08:30 - 10:00 Hörsaalgebäude II Hörsaal 3 Mi 08:30 - 10:00 Hörsaalgebäude II Hörsaal 1
Übungen
Mo 10:15 - 11:45 Physikgebäude Raum P1-02-111 Mo 10:15 - 11:45 Physikgebäude Raum P1-02-323 Mo 10:15 - 11:45 DELTA Seminarraum
Mo 12:15 - 14:00 Seminarraumgebäude 1 Raum 3.008 Di 12:15 - 14:00 Otto-Hahn-Str. 4a Raum CP-E0-139 * Di 12:15 - 14:00 Hörsaalgebäude II Hörsaal 8
* Ausnahme Di 03.05.: SRG 1.024
erster Termin Mo 18.04. bzw. Di 19.04.
Ausweichtermine in den Übungsgruppen klären
Modulprüfung
Haupttermin Mo 25.07. 11:00 * Ersatztermin Mi 28.09. 08:00
* evtl. verschoben, wird noch geklärt
Inhalte der Vorlesung
werden regelmäßig auf der Webseite der Vorlesung veröffentlicht:
http://www.delta.tu-dortmund.de/cms/de/Studium/Homepage_Khan/Lehre/Physik_AB1_SS2016/index.html
Google: "DELTA Dortmund" Direktorium Homepage Khan Lehre Physik A/B 1
Inhalte der Übungen
Vor- und Nachbesprechung der Übungsaufgaben Besprechung allgemeiner Fragen und Unklarheiten
Einschreibung in die Übungsgrupen: Bitte in die Liste eintragen
Ausgabe der Übungsaufgaben: Donnerstag abends online (erstmals am 14.04.)
Abgabe der Übungsaufgaben: am darauf folgenden Donnerstag 10:00 (Kästen im Foyer Physik) Übungsaufgaben bevorzugt in kleinen Gruppen (max. 4 Studierende) bearbeiten und abgeben
Studienleistung
Voraussetzung für die Teilnahme an der Modulprüfung:
1) Regelmäßige Teilnahme an den Übungen (max. 2x ohne Attest fehlen)
2) Aktive Teilnahme an den Übungen (min. 2x eine Übungsaufgabe vorrechnen)
3) Erfolgreiche Teilnahme an den Übungen (min. 50% der erreichbaren Übungspunkte) Wer eine Aufgabe nicht vorrechnen kann, verliert die Übungspunkte für diese Aufgabe!
Die Anerkennung von Studienleistungen aus dem Sommersemester 2015 ist möglich
Modulprüfung
4 Abgabe der Übungsaufgaben
- Do abends online verfügbar, Vorbesprechung in den Gruppen
- Abgabe Do bis 10:00 (Kasten im Foyer Physik), Rückgabe und Nachbesprechung in den Gruppen - Zusammenarbeit erwünscht: maximal 4 Namen auf einem Lösungsblatt
- Lösungen handschriftlich in Papierform (dokumentenecht, geheftet, Name/Gruppe auf jedem Blatt) - wichtig: Gruppennummer deutlich rechts oben auf dem ersten Blatt
Beispiel: Gruppe 2 Kasten 209:
1) Mo 10:15 - 11:45 Physik P1-02-111 Andreas Rosin, Nora Schulz
2) Mo 10:15 - 11:45 Physik P1-02-323 Christian Hans Dehen, Philipp Gust
Kasten 210:
3) Mo 10:15 - 11:45 DELTA Fabian Götz, Nils Lockmann 4) Mo 12:15 - 13:45 SRG 1 3.008
Raffael Niemczyk, Dennis Zimmermann
Kasten 214:
5) Di 12:15 - 13:45 OH 4a CP-E0-139 Giovanni Cascio, Marius Toschke 6) Di 12:10 - 13:45 HSG II Hs 8
Arne Meyer auf der Heide, Mateusz Suski
Vorläufiger Plan:
1. Woche: Organisatorisches, Einführung, Kinematik des Massenpunktes 2. Woche: Dynamik des Massenpunkts, Energie, Impuls, Gravitation 3. Woche: Starrer Körper, Kreisel, Schwingungen, Akustik
4. Woche: Bezugssysteme, spez. Relativität, deformierbare Körper, Flüssigkeiten und Gase 5. Woche: Ideale und reale Gase, Hauptsätze der Wärmelehre, Transportphänomene
6. Woche: Elektrostatik, Dielektrika, elektrischer Strom, Ohmsches Gesetz
7. Woche: Magnetostatik, Lorentzkraft, Amperesches Gesetz, Biot-Savart-Gesetz 8. Woche: Materie im Magnetfeld, Induktion, Maxwellsche Gleichungen
9. Woche: Elektromagnetische Wellen, Geometrische Optik 10. Woche: Wellenoptik, Strahlung, Schwarzer Körper 11. Woche: Photoeffekt, Quantenphysik
12. Woche: Bohrsches Atommodell, Schrödingergleichung, Wasserstoffatom 13. Woche: Periodensystem, Moleküle, Festkörper, Halbleiter, Laser
14. Woche: Kernphysik, Radioaktivität, Spaltung, Fusion, Elementarteilchen 15. Woche: Reserve
Die gesamte Physik in einem Semester
- Mechanik und Wärme - Elektrodynamik und Optik - Physik des 20. Jahrhunderts
6 Literatur
- Webseite der Vorlesung: zur Orientierung ok, aber keine optimale Lerngrundlage - Bücher: https://de.wikipedia.org/wiki/Buch
(angegebene Preise ohne Gewähr)
Einbändige Standardwerke
P. Tipler, G. Mosca: Physik für Wissenschaftler und Ingenieure (Springer 2014) 79,98 € D. Giancoli, Physik: Lehr- und Übungsbuch (Pearson Studium 2009) 79,95 €
D. Halliday, R. Resnick: Physik (Wiley-VCH 2009) 72,90 €
D. Halliday, R. Resnick: Physik: Bachelor-Edition (Wiley-VCH 2009) 52,90 € D. Meschede, C. Gerthsen: (Springer 2015) 49,99 €
Mehrbändige Standardwerke
W. Demtröder: Experimentalphysik 1 - 4 (Springer)
R. Feynman, R. Leighton, M. Sands: Feynman-Vorlesungen über Physik 1 - 3 (Oldenbourg)
Kürzere Darstellungen
E. Hering, R. Martin, M. Stohrer: Physik für Ingenieure (Springer 2012) 49,95 € B. Povh: Anschauliche Physik (Springer 2014) 39,99 €
D. Griffiths: Einführung in die Physik des 20. Jahrhunderts (Pearson 2015) 29,95 €
Prüfungstrainer
H.-C. Mertins, M. Gilbert: Prüfungstrainer Experimentalphysik (Spektrum 2011) 27,95 €
Hinweis:
Hinweis
http://www.physik.tu-dortmund.de/images/Broetchen/broetchen_und_borussia_sommer_2016.pdf
1.2 Physikalische Größen
Ein zentraler Begriff der Physik ist die Messung, d.h. der Vergleich einer physikalischen Größe mit einer Maßeinheit. Eine physikalische Größe ist eine beobachtbare und quantitativ darstellbare Eigenschaft eines Gegenstands oder eines Vorgangs. Eine Maßeinheit ist ein festgelegter Wert einer physikalischen Größe. Eine wichtige Eigenschaft einer Messgröße ist der Fehler. Konventionen:
8 1 Physik - eine Einführung
1.1 Methodik
16./17. Jahrhundert: Übergang von der Naturphilosophie zur Naturwissenschaft
Statt die unbeeinflusste Natur zu beobachten, werden Experimente unter kontrollierten Bedingungen durchgeführt und physikalische Größen mit Instrumenten gemessen. Es wird versucht, die
experimentellen Ergebnisse mit möglichst wenigen Grundprinzipien mathematisch zu beschreiben.
Theorie Experiment
stellt axiomatische Systeme auf spürt neue Gesetzmäßigkeiten auf (Induktion) macht Voraussagen (Deduktion) überprüft Voraussagen
12,87 0,05
kg 12,87kg 0,4% 12,87(5)kg 12,9kgkg 0,05 kg
Masse m12,87
Größe Symbol Maßzahl Einheit Fehler mit Einheit
Das SI-Einheitensystem (système international d'unités) Sieben Basiseinheiten:
Meter: Weg des Lichts in 1/299.792.458 Sekunde.
Kilogramm: Masse des internationalen Prototyps.
Sekunde: Dauer von 9.192.631.770 Perioden der Strahlung
aufgrund der Hyperfeinstruktur des Grundzustands des 133Cs-Atoms.
Ampere: Strom durch zwei parallele Drähte, die 1 Meter voneinander entfernt eine Kraft von 2∙10-7 Newton aufeinander ausüben.
Kelvin: Der 273,16-te Teil der Temperatur des Tripelpunkts von Wasser.
Mol: Stoffmenge, die so viele Atome/Moleküle enthält wie 0,012 kg 12C.
Candela: Lichtstärke einer monochromatischen Strahlungsquelle
(Frequenz 540∙1012 Hz) mit einer Intensität von 1/683 Watt pro Steradiant.
Abgeleitete Einheiten:
mit Namen z.B. Einheit der Kraft 1 Newton (1 N = 1 kg∙m/s2) ohne Namen z.B. Einheit der Geschwindigkeit 1 m/s
Bureau International des Poids et Mesures www.bipm.org
10
Vorsilben von SI-Einheiten Griechisches Alphabet A a Alpha
B b Beta G g Gamma D d Delta E e Epsilon Z z Zeta H h Eta Q J Theta I i Iota K k Kappa L l Lambda M m My N n Ny X x Xi O o Omikron P p Pi R r Rho S s Sigma T t Tau U u Ypsilon C c Chi F j Phi Y y Psi W w Omega
Winkel
Gebräuchliche Einheiten: Grad, Winkelminuten, Winkelsekunden 1º = 1/360 des Vollwinkels = 60' = 60∙60"
Abgeleitete Einheit: Radiant (Bogenmaß) 1 rad = Bogenlänge / Radius (m/m) = 57,3º 1º = 17,5 mrad (milliradiant)
Bogenmaß ist insbesondere für kleine Winkel praktisch, denn dann gilt:
Nautische Einheit: Strich
1 Strich = 1/32 des Vollwinkels = 11,25º
a a a tan sin
12
Fehler
Jede Messung einer Größe x ist mit Unsicherheiten behaftet. "Fehler"
bedeutet hier nicht, dass etwas falsch gemacht wurde, sondern gibt die Genauigkeit der Messung an. Oft (aber nicht immer) ist eine
Standardabweichung s der Streuung von Messwerten gemeint. Wenn die Werte einer oftmals wiederholten Messung eine Normalverteilung bilden (was oft der Fall ist), liegen 68% der Werte innerhalb einer Standardabweichung.
Fehler können in verschiedener Form angegeben werden:
Absoluter Fehler: Dx Relativer Fehler: Dx/x
(Zahlenwert ×100 ergibt den relativen Fehler in Prozent) Gare Montparnasse/Paris 22. Oktober 1895
Fehler haben verschiedene Ursachen:
Zufällige Fehler:
instrumentelle Ungenauigkeit, Ablesefehler, statistischer Fehler einer Zählung. Bei n Messungen bilden die Messwerte i.d.R. eine Normalverteilung. Der Fehler des Ergebnisses (arithmetischer Mittelwerts der Messwerte) nimmt mit der Zahl der Messungen ab.
Die normierte Gauss-Funktion ist:
Systematische Fehler:
z.B. falsche Eichung des Instruments, Wiederholung der Messung reduziert den Fehler nicht.
e n x
f m
x
x s s
s p
s
- -
mit
2 2
1 0
2 ) 1
( s : mittlerer Fehler der Einzelmessung, Breite der Verteilung sm: mittlerer Fehler des arithmetischen Mittels
Beispiel: Dx = 2 mm Fehler beim Abmessen einer Strecke von 10 m, relativer Fehler Dx/x = 0,0002 oder 0,02%
Experiment
28 Messungen des Durchmessers einer Stahlkugel mit einer Schieblehre.
Die sog. Nonius-Skala erlaubt eine Messung mit einer Genauigkeit von typisch 1/20 mm (z.T. sogar besser).
Die auffällige Häufung von ganzzahligen Werten (in mm) legt nahe, dass die Messaufgabe nicht verstanden und die Nonius-Skala nicht verwendet wurde. Außerdem sind die Abweichungen von 1 bis 2 mm für zufällige Ablesefehler zu groß. Das Experiment muss leider als kläglich
gescheitert angesehen werden. Schieblehre mit Nonius-Skala
(Wikipedia, CC licence, Autor: ArtMechanic)
Anwendung der Nonius(Vernier)-Skala:
Ganzzahlige Messwerte in mm werden an der festen Skala abgelesen, wobei der 0-Strich der beweglichen Nonius-Skala auf den Wert zeigt (im Bild zwischen 3 und 4 mm).
Bruchteile eines Millimeters werden durch den Strich der Nonius-Skala angezeigt, der sich mit einem Strich der festen Skala deckt (im Bild ca. 0,62 mm). Die anderen Striche der Nonius-Skala sind zu den festen Strichen deutlich versetzt.
14
Fehlerfortpflanzung
ist die Berechnung des Fehlers eines Werts, der eine Funktion mehrerer Größen mit Fehlern ist. Für unabhängige Fehler gilt das Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz:
Einfache Fälle:
2 2 2
2
) 2
,
( u x y
y u x
y u x f
u s s s
2 2 2
4 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
1
y x
u y
x y
y u x
y x
x u y
y x u
y x u
x y u
y x
u
x y u
y x
u
y x u
y x u
s s s s
s s
s s s s
s s
s s s
s s
s Addition und Subtraktion von x und y:
Absolute Fehler quadratisch addiert
Multiplikation und Division von x und y:
relative Fehler quadratisch addiert
1.3 Weltbild der Physik
Physikalische Gesetze gelten universell
- auf Längenskalen von 10-19 m (1/10000 Protonendurchmesser) bis 1026 m (beobachtbares Universum) - auf Zeitskalen von 10-18 s (Kurzzeitphysik) bis 4∙1017 s (Alter des Universums)
- bei Geschwindigkeiten von 0 bis 3∙108 m/s (Lichtgeschwindigkeit) Wenige elementare Teilchen und 4 Wechselwirkungen
Standardmodell der Elementarteilchenphysik
1.3 Teilchen
Materie besteht aus Atomen (und Molekülen, die aus Atomen zusammengesetzt sind).
Atome haben eine Hülle aus Elektronen und einen sehr kleinen Kern aus Protonen und Neutronen.
Elektronen sind Elementarteilchen, sogenannte Leptonen. Protonen und Neutronen bestehen aus Quarks.
Quarks kommen nicht allein vor, sie bilden Baryonen (3 Quarks z.B. Proton und Neutron) oder Mesonen (2 Quarks z.B. Pionen).
Zu jedem Quark oder Lepton gehört ein Antiteilchen mit entgegengesetzter Ladung, z.B. zum negativ geladenen Elektron gehört ein positiv geladenes Positron gleicher Masse.
Ferner gibt es sogenannte Eichbosonen (Photon, Gluonen, Z, W) und das Higgs-Teilchen.
Welle-Teilchen-Dualismus: Der Begriff "Teilchen" wurde durch die Quantenphysik relativiert.
Licht kann durch Wellen oder Teilchen (Photonen) beschrieben werden. Ebenso können Teilchen wie z.B. Elektronen Welleneigenschaften zeigen.
16
1.4 Wechselwirkungen (Kräfte)
Es gibt (nur) vier fundamentale Wechselwirkungen, die durch "Auttauschteilchen" vermittelt werden:
- Gravitation (schwach anziehende Wirkung von Körpern mit Masse) Austauschteilchen: Graviton (hypothetisch)
- elektromagnetische Wechselwirkung (fast alle makroskopischen Phänomene) Austauschteilchen: Photon
- starke Wechselwirkung (hält Atomkern zusammen) Austauschteilchen: Gluonen
- schwache Wechselwirkung (zeigt sich in manchen Teilchenreaktionen) Austauschteilchen: W- und Z-Boson
Beispiel: gegenseitige Abstoßung von Elektronen.
Die Wechselwirkung findet nicht "einfach so"
statt, sondern die Elektronen tauschen ständig Photonen aus. Photonen sind masselos und die Reichweite der Kraft ist so groß, dass wir sie beobachten können. Da Gluonen, W und Z nicht masselos sind, ist die Reichweite der starken und schwachen Wechselwirkung sehr kurz.
Es gibt Ansätze, die Wechselwirkungen zu
"vereinheitlichen", was insbesondere bei der Gravitation auf Schwierigkeiten stößt.
1.5 Das Universum
Die Sonne ist ein Stern, ein massereicher selbstleuchtender Himmelskörper, der von Planeten umkreist wird.
Planeten können von kleineren Himmelskörpern (Monden) umkreist werden. Sterne bilden Galaxien, z.B.
ist die Sonne einer von 300 Milliarden Sternen der Milchstraße. Das Universum enthält eine Vielzahl von Galaxien, die Gruppen bilden (Haufen, Filamente...), sowie Gas und Staub. Man vermutet seit einiger Zeit die Existenz eines großen Anteils von "dunkler" (unverstandener) Materie.
Das Alter des Universums wird auf 13,8 Milliarden Jahre geschätzt. Ca. 380.000 Jahre nach dem "Urknall"
war das Universum so weit abgekühlt, dass Atome entstehen konnten - das Universum wurde durchsichtig.
18 2 Mechanik
2.1 Mechanik von Massepunkten (Punktmassen)
Für viele Anwendungen kann man sich die Masse eines Körpers in einem Punkt vereinigt denken.
Damit kann man alles beschreiben, was nicht von der Form oder der inneren Struktur des Körpers abhängt z.B. seine Bewegung im Raum (Bewegung der Erde um die Sonne, Flugbahn eines Fußballs, Bewegung eines Protons in einem Beschleuniger), nicht aber Rotation oder Verformung des Körpers.
2.1.1 Kinematik von Massepunkten
Die Kinematik beschreibt die Bewegung von Körpern (Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung),
nicht aber die Ursache der Bewegung (Kräfte).
Der Ort eines Teilchens (die Position im Raum) ist i.d.R. zeitabhängig und wird durch einen Vektor dargestellt, z.B. in kartesischen Koordinaten:
Geschwindigkeit und Beschleunigung sind gerichtete Größen. Auch sie werden durch Vektoren dargestellt und können zeitabhängig sein:
Galileo Galilei 1564-1642
Isaac Newton 1642-1726 z
y
x y t e z t e
e t x t
z t y
t x t
r
( ) ( ) ( )
) (
) (
) ( )
(
) (
) (
) ( )
( )
( ) (
) ( )
(
t a
t a
t a t
a t
v t v
t v t
v
z y x
z y
x
Oft verläuft eine Bewegung in eine Richtung, die i.d.R. als x-Koordinate gewählt ist. Da die Werte der y- und z-Koordinate sich dann nicht ändern, kann man sie weglassen und statt den Vektoren Skalare für Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung verwenden.
Der Betrag der (momentanen) Geschwindigkeit ist v(t) v(t) vx2(t)v2y(t)vz2(t) Die Geschwindigkeit ist die zeitliche Änderung des Orts, die Beschleunigung ist die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit. Eine Änderung der Beschleunigung wird hier nicht betrachtet.
Mittlere Geschwindigkeit
Momentane Geschwindigkeit
Mittlere Beschleunigung
Momentane Beschleunigung
Das Symbol D wird gerne für Differenzen von zwei Werten einer Größe verwendet, während d eine sehr kleine (infinitisimale) Änderung bezeichnet.
Die Ableitung nach der Zeit d.../dt wird in der Physik oft durch einen Punkt über der Messgröße symbolisiert.
t r t
t
t r t v r
D D
-
-
1 2
1
2) ( )
(
) ( ) ( )
( t r t
dt r t d
v
t v t
t
t v t a v
D D
-
-
1 2
1
2) ( )
(
) ( ) ( )
( t v t
dt v t d
a
) (t2 v )
(t1 v
) (t1
r r(t2) r
Δ
) (t1 v
v Δ
Alltagserfahrung mit der Durchschnittsgeschwindigkeit
Zwei einfache Bewegungen:
1) Geradlinig gleichförmig: 2) Gleichmäßig beschleunigt:
Geschwindigkeit konstant Beschleunigung konstant
20
0 ) ( ) ( ) (
) ( ) (
) (
0 0
t x t v t a
v t x t v
t v t x
0 0
0
) ( )
(
) ( )
(
x t v dt t v t
x
v dt t a t
v
0
0 0
0 0
2 0
) ( ) (
) ( ) (
2 ) 1 (
a t v t a
v t a t x t v
x t v t a t
x
0 0
2 0
0 0
2 ) 1
( )
(
) ( )
(
x t v t a dt
t v t
x
v t a dt t a t
v
) ( )
( )
(t v t a t
x
) ( )
( )
(t v t x t
a
ableiten
integrieren
Alltagserfahrung mit der Momentangeschwindigkeit 41 km/h im falschen Moment in einer Tempo-30-Zone
(Polizei Hamburg)
Beispiel für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung:
Freier Fall: Gravitationsbeschleunigung in der Nähe der Erdoberfläche 9,81 m/s2 (Normwert 9,807 m/s2, an den Polen 9,832 m/s2, am Äquator 9,780 m/s2).
Fallzeit T einer Kapsel im Bremer Fallturm aus H = 110 m Höhe:
m s 9,81
s m
m
0
2
74 , 220 4
2 2
1
2 ) 1
(
2
2
-
g T H
H T
g
T g H
T h
2
2 ) 1 0 ( ) ( )
(t g t h t h g t
v - -
Unabhängige Überlagerung von Bewegungen a) Zwei gleichförmige Bewegungen
Beispiel 1: Zwei gleichförmige Bewegungen entlang derselben Koordinate:
Ein Motorboot fährt mit 6 Knoten "Fahrt durchs Wasser" (Knoten = Seemeile pro Stunde = 1,852 km/h) einer Strömung von 2 Knoten entgegen. Die "Fahrt über Grund" ist 4 Knoten.
Beispiel 2: Zwei gleichförmige Bewegungen entlang verschiedener Koordinaten:
Ein Schwimmer durchquert mit 1,2 m/s einen Fluss von 240 m Breite senkrecht zur Strömung von 2 m/s.
Der Fallturm in Bremen (ZARM) dient der Erzeugung von Schwerelosigkeit in freien Fall für wissenschaftliche Experimente
22
Zwei Experimente mit der Luftkissenschiene
1) Gleichförmige Bewegung: Ein Schlitten bewegt sich reibungsarm auf einer ebenen Luftkissenschiene. Die Zeit der Unterbrechung einer Lichtschranke (je höher die
Geschwindigkeit, desto kürzer die Dunkelzeit) wird an zwei Orten gemessen. Solange keine Kräfte auf den Schlitten einwirken, bleibt seine Geschwindigkeit konstant.
2) Schiefe Ebene: Wird die Luftkissenschiene geneigt, so wird der Schlitten durch die Komponente seiner Gewichtskraft, die parallel zur Schiene ist (der sog. Hangabtrieb, siehe später), beschleunigt. Der Schlitten wird entlang der Schiene schneller.
Die gemessenen Geschwindigkeiten (bzw. Dunkelzeiten der Lichtschranken) hängen nicht von der Masse des Schlittens ab.
Experimente mit einem Wasserstrahl
Die Bewegung des Wassers aus eine Düse ist eine unabhängige Überlagerung von zwei
Bewegungen (i) einer gleichförmigen Bewegung mit einer Geschwindigkeit, die vom Wasserdruck abhängt, und (ii) dem freien Fall, der eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung darstellt.
Die Kombination beider Bewegungen ergibt eine Parabel, die als Schattenwurf zu sehen ist. Die roten Markierungen auf den hängenden Maßstäben (s. Bild) entsprechen Punkten auf einer Parabel.
