Cauchysche Integralformel

Cauchysche Integralformel

F¨ur ein beschr¨anktes GebietD, das durch entgegen dem Uhrzeigersinn orientierte (Gebiet liegt

”links“) st¨uckweise stetig differenzierbare Kurven Ck berandet wird, und eine in D analytische und in D stetige Funktion f gilt

f(z) = 1 2πi

Z

C

f(w)

w−z dw, C =X

k

C_k,

f¨ur alle z ∈D.

Durch Differenzieren unter dem Integral erh¨alt man eine Darstellung f¨ur die Ableitungen:

f⁽ⁿ⁾(z) = n!

2πi Z

C

f(w)

w −z dw, z ∈D.

Aus der komplexen Differenzierbarkeit folgt somit die Existenz und Stetigkeit von Ableitungen beliebiger Ordnung.

Cauchysche Integralformel 1-1

Beweis:

schneide aus dem Gebiet D eine Kreisscheibe D_r um z mit Radius r aus Mit Cr dem entgegen dem Uhrzeigersinn orientierten Rand vonDr

berandet C −C_r das Teilgebiet D\D_r (korrekte Orientierung des Randes:

D\D_r liegt

”links“ von −C_r).

Cauchys Theorem =⇒ 0 =

Z

C−Cr

f(w)

w −z dz ⇔ Z

C

. . .= Z

Cr

. . . denn der Integrand ist auf D\D_r analytisch

berechne das Integral ¨uberCr

Stetigkeit vonf =u+ iu Z

Cr

. . .= Z 2π

0

f(z+re^it)

re^it ire^itdt = 2πi u(z+re^is) +iv(z+re^i˜s) f¨ur s,˜s ∈[0,2π] nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung

R

Cr . . .→2πif(z) f¨ur r →0 =⇒ behauptete Integralformel

Cauchysche Integralformel 2-1

Beispiel:

f(z) = e^z, C : t7→e^it, 0≤t ≤2π Cauchysche Integralformel f¨ur einen Kreis =⇒

Z

C

e^z

z dz = 2πi e⁰ = 2πi Versuch der direkten Berechnung:

dz = i e^itdt

2π

Z

0

e^eit

e^itie^itdt = i

2π

Z

0

e^eitdt kein Erfolg!

Cauchysche Integralformel 3-1

Beispiel:

f(w) =

m

X

k=0

a_k(w −z)^k, C : t7→z+re^it,0≤t ≤2π Integraldarstellung f¨ur Ableitungen =⇒

2πif⁽ⁿ⁾(z) n! =

Z

C

f(w)

(w −z)ⁿ⁺¹dw =





m

X

k=0

a_k Z

C

(w −z)^k−n−1dw





k 6=n:∃ Stammfunktion f¨ur die Monome (w −z)^k−n−1 und R

C. . .= 0

=⇒ [· · ·] = 0 f¨ur m<n und f¨urm≥n gilt [· · ·] =a_n

Z

C

dw

w −z =a_n(2πi) n(C,z)

| {z }

Umlaufzahl

= 2πia_n

konsistent mit der direkten Berechnung der Ableitung

Cauchysche Integralformel 4-1