Was bisher geschah!!

Kritische Orientierungen T^∗ O(mn λ₆(mn) log(mn))

Was bisher geschah!!

Kritische Orientierungen T^∗ O(mn λ₆(mn) log(mn)) Orientierungen T⁰ (konv. Eck. von C_verb^θ ) O(m²n² log(mn))

Was bisher geschah!!

Kritische Orientierungen T^∗ O(mn λ₆(mn) log(mn)) Orientierungen T⁰ (konv. Eck. von C_verb^θ ) O(m²n² log(mn))

Orientierungen T⁰⁰ (wicht. Komp.) O(mn λ₆(mn) log(mn))

Was bisher geschah!!

Kritische Orientierungen T^∗ O(mn λ₆(mn) log(mn)) Orientierungen T⁰ (konv. Eck. von C_verb^θ ) O(m²n² log(mn))

Orientierungen T⁰⁰ (wicht. Komp.) O(mn λ₆(mn) log(mn))

T aus T^∗, T ⁰ und T⁰⁰ O(mn λ₆(mn) log(mn))

Was bisher geschah!!

Kritische Orientierungen T^∗ O(mn λ₆(mn) log(mn)) Orientierungen T⁰ (konv. Eck. von C_verb^θ ) O(m²n² log(mn))

Orientierungen T⁰⁰ (wicht. Komp.) O(mn λ₆(mn) log(mn))

T aus T^∗, T ⁰ und T⁰⁰ O(mn λ₆(mn) log(mn))

T enth¨alt alles was wir brauchen!

Was bisher geschah!!

Kritische Orientierungen T^∗ O(mn λ₆(mn) log(mn)) Orientierungen T⁰ (konv. Eck. von C_verb^θ ) O(m²n² log(mn))

Orientierungen T⁰⁰ (wicht. Komp.) O(mn λ₆(mn) log(mn))

T aus T^∗, T ⁰ und T⁰⁰ O(mn λ₆(mn) log(mn))

T enth¨alt alles was wir brauchen!

Alle sortiert!!

Was bisher geschah!!

Kritische Orientierungen T^∗ O(mn λ₆(mn) log(mn)) Orientierungen T⁰ (konv. Eck. von C_verb^θ ) O(m²n² log(mn))

Orientierungen T⁰⁰ (wicht. Komp.) O(mn λ₆(mn) log(mn))

T aus T^∗, T ⁰ und T⁰⁰ O(mn λ₆(mn) log(mn))

T enth¨alt alles was wir brauchen!

Alle sortiert!!

Danach: Mit T den notwendigen Kantengraph aufbauen!!

Freie Orient. T Alg. 2.11

• Idee:

Freie Orient. T Alg. 2.11

• Idee: Aus T^∗ die g¨ultigen Orient. mit T⁰ und T⁰⁰ und Listen

Freie Orient. T Alg. 2.11

• Idee: Aus T^∗ die g¨ultigen Orient. mit T⁰ und T⁰⁰ und Listen

• Output:

Freie Orient. T Alg. 2.11

• Idee: Aus T^∗ die g¨ultigen Orient. mit T⁰ und T⁰⁰ und Listen

• Output: T: Menge aller g¨ultigen kritischen Orientierungen

Freie Orient. T Alg. 2.11

• Idee: Aus T^∗ die g¨ultigen Orient. mit T⁰ und T⁰⁰ und Listen

• Output: T: Menge aller g¨ultigen kritischen Orientierungen

• Datenstruktur:

Freie Orient. T Alg. 2.11

• Idee: Aus T^∗ die g¨ultigen Orient. mit T⁰ und T⁰⁰ und Listen

• Output: T: Menge aller g¨ultigen kritischen Orientierungen

• Datenstruktur: F¨ur jedes Kontaktpaar O unterhalte nach θ sort.

Liste L_O(θ): Kontakte O⁰ die zusammen mit O Knoten in C_frei^θ erzeugen.

Freie Orient. T Alg. 2.11

• Idee: Aus T^∗ die g¨ultigen Orient. mit T⁰ und T⁰⁰ und Listen

• Output: T: Menge aller g¨ultigen kritischen Orientierungen

• Datenstruktur: F¨ur jedes Kontaktpaar O unterhalte nach θ sort.

Liste L_O(θ): Kontakte O⁰ die zusammen mit O Knoten in C_frei^θ erzeugen.

• Initialisierung:

Freie Orient. T Alg. 2.11

• Idee: Aus T^∗ die g¨ultigen Orient. mit T⁰ und T⁰⁰ und Listen

• Output: T: Menge aller g¨ultigen kritischen Orientierungen

• Datenstruktur: F¨ur jedes Kontaktpaar O unterhalte nach θ sort.

Liste L_O(θ): Kontakte O⁰ die zusammen mit O Knoten in C_frei^θ erzeugen.

• Initialisierung: Ber. C_frei^θ⁰ f¨ur Startorientierung θ₀, init. Listen L_O(θ₀) mit Kontaktpaaren O, O⁰, die in C_frei^θ⁰ Knoten erzeugen.

Freie Orient. T Alg. 2.11

• Idee: Aus T^∗ die g¨ultigen Orient. mit T⁰ und T⁰⁰ und Listen

• Output: T: Menge aller g¨ultigen kritischen Orientierungen

• Datenstruktur: F¨ur jedes Kontaktpaar O unterhalte nach θ sort.

Liste L_O(θ): Kontakte O⁰ die zusammen mit O Knoten in C_frei^θ erzeugen.

• Initialisierung: Ber. C_frei^θ⁰ f¨ur Startorientierung θ₀, init. Listen L_O(θ₀) mit Kontaktpaaren O, O⁰, die in C_frei^θ⁰ Knoten erzeugen.

• Listen werden f¨ur drei Kontakte verwendet!!

Freie Orient. T Alg. 2.11

Bearbeite nach steigendem Winkel alle krit. Orient. θ_i ∈ T^∗:

Freie Orient. T Alg. 2.11

Bearbeite nach steigendem Winkel alle krit. Orient. θ_i ∈ T^∗:

• Teste, ob bei θ_i evtl. neue Komponente entsteht.

Freie Orient. T Alg. 2.11

Bearbeite nach steigendem Winkel alle krit. Orient. θ_i ∈ T^∗:

• Teste, ob bei θ_i evtl. neue Komponente entsteht.

• Falls ja:

Freie Orient. T Alg. 2.11

Bearbeite nach steigendem Winkel alle krit. Orient. θ_i ∈ T^∗:

• Teste, ob bei θ_i evtl. neue Komponente entsteht.

• Falls ja:

– Falls θ_i ∈/ T⁰⁰: ignoriere θ_i.

Freie Orient. T Alg. 2.11

Bearbeite nach steigendem Winkel alle krit. Orient. θ_i ∈ T^∗:

• Teste, ob bei θ_i evtl. neue Komponente entsteht.

• Falls ja:

– Falls θ_i ∈/ T⁰⁰: ignoriere θ_i.

– Ansonsten aktualisiere die Listen L_O(θ_i).

Freie Orient. T Alg. 2.11

Bearbeite nach steigendem Winkel alle krit. Orient. θ_i ∈ T^∗:

• Teste, ob bei θ_i evtl. neue Komponente entsteht.

• Falls ja:

– Falls θ_i ∈/ T⁰⁰: ignoriere θ_i.

– Ansonsten aktualisiere die Listen L_O(θ_i).

• Falls nein:

Freie Orient. T Alg. 2.11

Bearbeite nach steigendem Winkel alle krit. Orient. θ_i ∈ T^∗:

• Teste, ob bei θ_i evtl. neue Komponente entsteht.

• Falls ja:

– Falls θ_i ∈/ T⁰⁰: ignoriere θ_i.

– Ansonsten aktualisiere die Listen L_O(θ_i).

• Falls nein:

– O, O⁰, O⁰⁰ die zugeh. Kontaktpaare.

Freie Orient. T Alg. 2.11

Bearbeite nach steigendem Winkel alle krit. Orient. θ_i ∈ T^∗:

• Teste, ob bei θ_i evtl. neue Komponente entsteht.

• Falls ja:

– Falls θ_i ∈/ T⁰⁰: ignoriere θ_i.

– Ansonsten aktualisiere die Listen L_O(θ_i).

• Falls nein:

– O, O⁰, O⁰⁰ die zugeh. Kontaktpaare. Suche nach O oder O⁰ in L_O⁰⁰(θ_i), nach O oder O⁰⁰ in L_O⁰(θ_i), nach O⁰ oder O⁰⁰ in

L_O(θ_i).

Freie Orient. T Alg. 2.11

Bearbeite nach steigendem Winkel alle krit. Orient. θ_i ∈ T^∗:

• Teste, ob bei θ_i evtl. neue Komponente entsteht.

• Falls ja:

– Falls θ_i ∈/ T⁰⁰: ignoriere θ_i.

– Ansonsten aktualisiere die Listen L_O(θ_i).

• Falls nein:

– O, O⁰, O⁰⁰ die zugeh. Kontaktpaare. Suche nach O oder O⁰ in L_O⁰⁰(θ_i), nach O oder O⁰⁰ in L_O⁰(θ_i), nach O⁰ oder O⁰⁰ in

L_O(θ_i).

– Falls z.B. O⁰ in L_O(θ_i) (oder O in L_O⁰(θ_i)) (θ_i ist frei):

Freie Orient. T Alg. 2.11

Bearbeite nach steigendem Winkel alle krit. Orient. θ_i ∈ T^∗:

• Teste, ob bei θ_i evtl. neue Komponente entsteht.

• Falls ja:

– Falls θ_i ∈/ T⁰⁰: ignoriere θ_i.

– Ansonsten aktualisiere die Listen L_O(θ_i).

• Falls nein:

– O, O⁰, O⁰⁰ die zugeh. Kontaktpaare. Suche nach O oder O⁰ in L_O⁰⁰(θ_i), nach O oder O⁰⁰ in L_O⁰(θ_i), nach O⁰ oder O⁰⁰ in

L_O(θ_i).

Freie Orient. T Alg. 2.11

Bearbeite nach steigendem Winkel alle krit. Orient. θ_i ∈ T^∗:

• Teste, ob bei θ_i evtl. neue Komponente entsteht.

• Falls ja:

– Falls θ_i ∈/ T⁰⁰: ignoriere θ_i.

– Ansonsten aktualisiere die Listen L_O(θ_i).

• Falls nein:

– O, O⁰, O⁰⁰ die zugeh. Kontaktpaare. Suche nach O oder O⁰ in L_O⁰⁰(θ_i), nach O oder O⁰⁰ in L_O⁰(θ_i), nach O⁰ oder O⁰⁰ in

L_O(θ_i).

– Falls z.B. O⁰ in L_O(θ_i) (oder O in L_O⁰(θ_i)) (θ_i ist frei): ber.

– Falls Suche erfolglos (z.B. nur zwei Kontaktpaare),

– Falls Suche erfolglos (z.B. nur zwei Kontaktpaare), teste θ_i ∈ T⁰.

– Falls Suche erfolglos (z.B. nur zwei Kontaktpaare), teste θ_i ∈ T⁰. Falls ja:

– Falls Suche erfolglos (z.B. nur zwei Kontaktpaare), teste θ_i ∈ T⁰. Falls ja: Es entsteht konvexe Ecke von C_verb^θ , aber keine neue Komponente, θ_i ist g¨ultig.

– Falls Suche erfolglos (z.B. nur zwei Kontaktpaare), teste θ_i ∈ T⁰. Falls ja: Es entsteht konvexe Ecke von C_verb^θ , aber keine neue Komponente, θ_i ist g¨ultig. Falls nein:

– Falls Suche erfolglos (z.B. nur zwei Kontaktpaare), teste θ_i ∈ T⁰. Falls ja: Es entsteht konvexe Ecke von C_verb^θ , aber keine neue Komponente, θ_i ist g¨ultig. Falls nein: ignoriere θ_i.

• T besteht aus allen nicht ignorierten Orientierungen aus T^∗.

Veranschaulichung!!

Insgesamt!!

Kritische Orientierungen T^∗ O(mn λ₆(mn) log(mn)) Orientierungen T⁰ (konv. Eck. von C_verb^θ ) O(m²n² log(mn))

Orientierungen T⁰⁰ (wicht. Komp.) O(mn λ₆(mn) log(mn)) T aus T^∗, T ⁰ und T⁰⁰ O(mn λ₆(mn) log(mn)) T enth¨alt alles was wir brauchen!

Damit l¨aßt sich sukzessive V ^θ bestimmen, sukzessive der Kantengraph aufbauen

Zeit O(mn λ₆(mn) log(mn))

Aufbau des Kantengraphen: Alg. 2.12

• Berechne Menge T aller kritischen Orientierungen, sortiert nach aufsteigendem θ!

Aufbau des Kantengraphen: Alg. 2.12

• Berechne Menge T aller kritischen Orientierungen, sortiert nach aufsteigendem θ! Zeit: O(nmλ₆(mn) log mn),

Aufbau des Kantengraphen: Alg. 2.12

• Berechne Menge T aller kritischen Orientierungen, sortiert nach aufsteigendem θ! Zeit: O(nmλ₆(mn) log mn),

|T| = O(nmλ₆(mn))

Aufbau des Kantengraphen: Alg. 2.12

• Berechne Menge T aller kritischen Orientierungen, sortiert nach aufsteigendem θ! Zeit: O(nmλ₆(mn) log mn),

|T| = O(nmλ₆(mn))

• W¨ahle θ₀ ∈/ T und berechne V ^θ⁰.

Aufbau des Kantengraphen: Alg. 2.12

• Berechne Menge T aller kritischen Orientierungen, sortiert nach aufsteigendem θ! Zeit: O(nmλ₆(mn) log mn),

|T| = O(nmλ₆(mn))

• W¨ahle θ₀ ∈/ T und berechne V ^θ⁰.

• Initialisiere E mit den Kanten und Knoten aus V ^θ⁰, dabei bleiben die Lebensdauerintervalle L(u) zun¨achst undefiniert.

Aufbau des Kantengraphen: Alg. 2.12

• Berechne Menge T aller kritischen Orientierungen, sortiert nach aufsteigendem θ! Zeit: O(nmλ₆(mn) log mn),

|T| = O(nmλ₆(mn))

• W¨ahle θ₀ ∈/ T und berechne V ^θ⁰.

• Initialisiere E mit den Kanten und Knoten aus V ^θ⁰, dabei bleiben die Lebensdauerintervalle L(u) zun¨achst undefiniert. (Wir sind mitten in einem Intervall!!)

Aufbau des Kantengraphen: Alg. 2.12

• Sukzessive:

Aufbau des Kantengraphen: Alg. 2.12

• Sukzessive: F¨ur Orientierung θ_i in T:

Aufbau des Kantengraphen: Alg. 2.12

• Sukzessive: F¨ur Orientierung θ_i in T:

– Bestimme die ¨Anderungen in V ^θ: ¨Ubergang von θ = θ_i − ε nach θ = θ_i + ε

Aufbau des Kantengraphen: Alg. 2.12

• Sukzessive: F¨ur Orientierung θ_i in T:

– Bestimme die ¨Anderungen in V ^θ: ¨Ubergang von θ = θ_i − ε nach θ = θ_i + ε

– Entferne alle verschwindenden Knoten und Kanten v₁, . . . , v_r, e₁, . . . , e_s aus V ^θ,

Aufbau des Kantengraphen: Alg. 2.12

• Sukzessive: F¨ur Orientierung θ_i in T:

– Bestimme die ¨Anderungen in V ^θ: ¨Ubergang von θ = θ_i − ε nach θ = θ_i + ε

– Entferne alle verschwindenden Knoten und Kanten v₁, . . . , v_r, e₁, . . . , e_s aus V ^θ, setze θ_i als obere Grenze der Lebensdauer von L(v_j) bzw. L(e_k) ein

Aufbau des Kantengraphen: Alg. 2.12

• Nach 2π Durchlauf bei θ₀: Trage noch fehlenden Lebensdauern

Aufbau des Kantengraphen: Alg. 2.12

• Nach 2π Durchlauf bei θ₀: Trage noch fehlenden Lebensdauern nach, genauer: fasse zwei Knoten der Art (u,(θ₁, undef.)) und (u, (undef., θ )) zu Knoten (u, (θ , θ )) zusammen

Aufbau des Kantengraphen: Alg. 2.12

Analyse:

Aufbau des Kantengraphen: Alg. 2.12

Analyse:

Alle ¨Anderungen in O(mnλ₆(mn) log mn),

Aufbau des Kantengraphen: Alg. 2.12

Analyse:

Alle ¨Anderungen in O(mnλ₆(mn) log mn), bereits gezeigt

Aufbau des Kantengraphen: Alg. 2.12

Analyse:

Alle ¨Anderungen in O(mnλ₆(mn) log mn), bereits gezeigt Kantengraph hat Komplexit¨at O(mnλ₆(mn))

Aufbau des Kantengraphen: Alg. 2.12

Analyse:

Alle ¨Anderungen in O(mnλ₆(mn) log mn), bereits gezeigt Kantengraph hat Komplexit¨at O(mnλ₆(mn))

Anfangs: O(mn),

Aufbau des Kantengraphen: Alg. 2.12

Analyse:

Alle ¨Anderungen in O(mnλ₆(mn) log mn), bereits gezeigt Kantengraph hat Komplexit¨at O(mnλ₆(mn))

Anfangs: O(mn), dann kommen noch O(mnλ₆(mn)) Anderungen¨ dazu

Aufbau des Kantengraphen: Alg. 2.12

Analyse:

Alle ¨Anderungen in O(mnλ₆(mn) log mn), bereits gezeigt Kantengraph hat Komplexit¨at O(mnλ₆(mn))

Anfangs: O(mn), dann kommen noch O(mnλ₆(mn)) Anderungen¨ dazu

Aufbau: O(mnλ₆(mn) log mn)!

Im Dokument Weitere Vorgehensweise! (Seite 131-197)