(a) Verhalten der Spannungen σy und der in-krementellen Energiefreisetzungsrate G für Ne=4,8,16,32,64 Elemente über der Klebschicht-dicke
(b) Visualisierung des Optimierungsproblems, Glei-chung (2.113). Die Versagenslast Pf ist die mini-male Last bei der die beiden RestriktionenF(σij) undG(G) erfüllt sind.
Abbildung 4.5: Konfiguration: Neto et al. (2012) für 2c=10 mm
In Abbildung 4.5a ist der Diskretisierungseinfluss beispielhaft für einen Riss zwischen Klebung und unterem Fügeteil für eine Konfiguration von Neto et al. (2012) mit 2c=10 mm gezeigt.
Zu sehen ist die Spannungslösung für einen ungerissenen Zustand und die inkrementelle Energiefreisetzungsrate für den Übergang zum gerissenen Zustand. Beides ist aufgetragen für Ne=4,8,16,32,64 Elemente über der Klebschichtdicke. In Hell et al. (2014) wurde gezeigt, dass für Klebschichtversagen mit einer Risslängea>1/3t zu rechnen ist. Aus diesem Grund ist der Graph nochmals mit einer vertikalen Linie unterteilt, wobei in diesem Fall nur der Teilbereich rechts Einfluss auf die Auswertung des gekoppelten Spannungs- und Energie-Kriteriums hat.
Für die Spannungslösung σy zeigt sich das typische Verhalten an einer Spannungssingularität mit wachsenden Spannungen für eine feinere Diskretisierung. Für den Bereich x≥1/3t zeigen die Spannungslösungen für alle betrachteten Elementgrößen keine Abweichungen. Für die Auswertung des Spannungsteilkriteriums ist also mit keinem Diskretisierungseinfluss zu rechnen. Die inkrementelle Energiefreisetzungsrate zeigt auch bei Risslängen a≥1/3t einen Diskretisierungseinfluss. In Abbildung 4.5b ist das zugehörige Optimierungsproblem aus Gleichung 2.113 aufgetragen. Es ist zu sehen, dass der Diskretisierungseinfluss auf die inkrementelle Energiefreisetzungsrate nur in abgeschwächter Form auf die Versagenslast wirkt. Zwischen den betrachteten Fällen mit Ne = 4 und Ne = 16 unterscheidet sich die Versagenslast um weniger als 1%, während die inkrementelle Energiefreisetzungsrate eine Abweichung von 4,3% aufweist. Ne = 32,64 ist zum Lösen des Optimierungsproblems daher wegen der sich ergebenden hohen Rechenzeiten nicht zielführend und auch nicht notwendig.
Zu erklären ist die abgeschwächte Auswirkung des Diskretisierungsfehlers für die inkrementelle Energiefreisetzungsrate auf die Versagenslast mit dem Zusammenhang G∼P2.
Um die hoch belasteten Bereiche identifizieren zu können, wird im Folgenden eine Spannungs-analyse durchgeführt. Dazu werden die Spannungen entlang der Grenzfläche zwischen der Klebschicht und dem oberen Fügeteil und die Spannungen entlang der Grenzfläche zwischen der ersten und zweiten Einzelschicht über der Klebschicht ausgewertet. In Abbildung 4.6 sind jeweils die Normalspannungen σy und die Schubspannungen τxy entlang des Überlappungsbe-reichs aufgetragen, in Abbildung 4.6a für die Grenzfläche zwischen Klebschicht und oberem Fügeteil und in Abbildung 4.6b für die interlaminare Grenzfläche zwischen der ersten und zweiten Schicht über der Klebschicht. Die Ergebnisse zeigen für die beiden Fälle eindeutig
4.2 Voruntersuchungen zur finiten Bruchmechanik 55
(a) Spannungen entlang der Grenzfläche zwischen Klebschicht und Fügeteil.
(b)Interlaminare Spannungen zwischen der 1. und 2. Schicht im Laminat über der Klebschicht.
Abbildung 4.6: Konfiguration: Ribeiro et al. (2016) für 2c= 10 mm und Klebstoff XNR6823.
eine Spannungssingularität der Bi-Materialkerbe bzw. die Spannungsüberhöhungen an den Enden des Überlappungsbereichs. In der Klebschicht sind somit bei x=0 Risse vom Rand, direkt ausgehend von der Bi-Materialkerbe zu vermuten. Dies ist in guter Übereinstimmung mit experimentellen Ergebnissen und den Voruntersuchungen der Kohäsivzonenmodellierung.
Ebenfalls in der Klebschicht liegen Spannungsüberhöhungen am gegenüberliegenden Über-lappungsende vor. Direkt am Rand bei x=c sinken die Spannungen wieder stark ab, die Normalspannungen können je nach untersuchter Konfiguration sogar in den Druckbereich übergehen. Somit liegt der hoch belastete Bereich an dieser Stelle innerhalb der Struktur.
Da in den experimentellen Untersuchungen an dieser Stelle kein Versagen vorkommt, wird diese im Weiteren nicht mehr betrachtet. Die interlaminaren Spannungen aus Abbildung 4.6b zeigen an beiden Überlappungsenden ebenfalls zwei hoch belastete Bereiche mit Spannungs-konzentrationen. Sowohl bei x=−c als auch bei x=c liegen die hoch belasteten Bereiche innerhalb der Struktur und erstrecken sich nicht bis zur Berandung. An beiden Stellen wurde in Experimenten Rissinitiierung dokumentiert, siehe Abbildungen 3.3 und 3.4. Rissinitiierung in diesen beiden Bereichen wird im Folgenden als Riss über dem Kerb (RÜK) für x=−c bzw. Riss vom gegenüberliegenden Rand (RGR) für x=c bezeichnet. Für den RÜK ergibt sich neben der Risslänge noch ein zusätzlicher Parameter, die Position des Rissmittelpunktes (RM). Wird dieser zusätzliche Parameter im gekoppelten Spannungs- und Energiekriterium vollständig berücksichtigt, steigt der Rechenaufwand erheblich. Durch eine Analyse der inkre-mentellen Energiefreisetzungsrate für den RÜK kann der Modellierungsaufwand reduziert werden.
In Abbildung 4.7 ist die inkrementelle Energiefreisetzungsrate über die Position des Rissmit-telpunktes aufgetragen, mit dem Scharparameter Risslänge. Die grünen Linien begrenzen die Region, in welcher der RM zugehörig zur jeweiligen Risslänge liegen darf. Diese Region wird über das Spannungskriterium festgelegt. Der grüne Bereich auf der Abszisse zeigt direkt den überlasteten Bereich für eine Risslänge a→0 an. Wird ein RM festgehalten, ist ein monotoner Anstieg der inkrementellen Energiefreisetzungsrate mit der Risslänge zu beobachten. Wird hingegen die Risslänge festgehalten und der Rissmittelpunkt variiert, zeigt sich ein nicht-monotoner Verlauf. Die Spitze der grünen Begrenzungslinie zeigt auf den Maximalwert der inkrementellen Energiefreisetzungsrate. Gleichzeitig ist dies der Punkt, welcher die maximal mögliche Risslänge anzeigt. Die maximal mögliche Risslänge überspannt den gesamten über-lasteten Bereich, weshalb für diesen Fall keine Variation des Rissmittelpunktes möglich ist. Da
Abbildung 4.7: Einfluss der Rissmittelpunkt-Koordinate RM und der Risslänge aauf die inkre-mentelle Energiefreisetzungsrate für einen RÜK. Die grünen Linien begrenzen die Region in der der RM zugehörig zur jeweiligen Risslänge liegen darf. Die betrachtete Konfiguration ist aus Ribeiro et al. (2016) übernommen mit 2c= 10,0 mm und einer äußeren Last P = 10 000 N.
der maximal mögliche Riss gleichzeitig derjenige mit der maximalen Energiefreisetzungsrate ist, genügt es für die Versagenslastbestimmung, nur diese Risslänge zu modellieren. Damit entfällt der Rissmittelpunkt als Parameter. Ist der maximal mögliche Riss energetisch nicht zulässig, sind es auch alle anderen Risslängen nicht, unabhängig davon wo ihre jeweiligen RM im überlasteten Bereich liegen.