Verschl¨ usselungssystem

Com(r,m) :=g^rv^m

T: B:

w¨ahltp,qPrimzahlen qgroßer Teiler vonp−1

G Untergruppe von ZZ^∗p der Ordnungq

w¨ahltg Generator inG

w¨ahlts∈ {0, . . . ,q−1}zuf¨allig h:=g^s

p,h,g

- ^p,h,g

Damit haben wir ein ElGamal System.

Threshold-Scheme und Homomorphe Verschl¨usselung Durch ein Zentrum aufgebautes Wahlsystem Wahlsystem ohne Zentrum

Aufbau (15:13) Walter Unger Z

Verschl¨ usselungssystem

Com(r,m) :=g^rv^m

T: B:

w¨ahltp,qPrimzahlen qgroßer Teiler vonp−1

G Untergruppe von ZZ^∗p der Ordnungq w¨ahltg Generator inG

w¨ahlts∈ {0, . . . ,q−1}zuf¨allig h:=g^s

p,h,g

- ^p,h,g

Damit haben wir ein ElGamal System.

Threshold-Scheme und Homomorphe Verschl¨usselung Durch ein Zentrum aufgebautes Wahlsystem Wahlsystem ohne Zentrum

Aufbau (15:13) Walter Unger Z

Verschl¨ usselungssystem

Com(r,m) :=g^rv^m

T: B:

w¨ahltp,qPrimzahlen qgroßer Teiler vonp−1

G Untergruppe von ZZ^∗p der Ordnungq w¨ahltg Generator inG

w¨ahlts∈ {0, . . . ,q−1}zuf¨allig h:=g^s

p,h,g

- ^p,h,g

Damit haben wir ein ElGamal System.

Threshold-Scheme und Homomorphe Verschl¨usselung Durch ein Zentrum aufgebautes Wahlsystem Wahlsystem ohne Zentrum

Aufbau (15:13) Walter Unger Z

Verschl¨ usselungssystem

Com(r,m) :=g^rv^m

T: B:

w¨ahltp,qPrimzahlen qgroßer Teiler vonp−1

G Untergruppe von ZZ^∗p der Ordnungq w¨ahltg Generator inG

w¨ahlts∈ {0, . . . ,q−1}zuf¨allig h:=g^s

p,h,g

- ^p,h,g

Damit haben wir ein ElGamal System.

Threshold-Scheme und Homomorphe Verschl¨usselung Durch ein Zentrum aufgebautes Wahlsystem Wahlsystem ohne Zentrum

Aufbau (15:13) Walter Unger Z

Verschl¨ usselungssystem

Com(r,m) :=g^rv^m

T: B:

w¨ahltp,qPrimzahlen qgroßer Teiler vonp−1

G Untergruppe von ZZ^∗p der Ordnungq w¨ahltg Generator inG

w¨ahlts∈ {0, . . . ,q−1}zuf¨allig h:=g^s

p,h,g

- ^p,h,g

Damit haben wir ein ElGamal System.

Threshold-Scheme und Homomorphe Verschl¨usselung Durch ein Zentrum aufgebautes Wahlsystem Wahlsystem ohne Zentrum

Aufbau (15:14) Walter Unger Z

Eigenschaften

gGenerator inG h:=g^s

I Einm∈G wird verschl¨usselt mit (c1,c2) = (g^α,h^αm) mit einem zuf¨allig gew¨ahltenα∈ {0, . . . ,q−1}.

I Die Entschl¨usselung erfolgt ¨ubers durchm=c2c₁^−s. I Diese Verschl¨usselung ist homomorph:

I Sei (c₁,c₂) und (c₁⁰,c₂⁰) Verschl¨usselung vonmund m⁰.

I Dann gilt:

(c₁,c₂)(c₁⁰,c₂⁰) = (c₁c₁⁰,c₂c₂⁰)

= (g^αg^α0,h^αmh^α0m⁰)

= (g^α+α0,h^α+α0mm⁰)

= Verschl¨usselung vonmm⁰

Threshold-Scheme und Homomorphe Verschl¨usselung Durch ein Zentrum aufgebautes Wahlsystem Wahlsystem ohne Zentrum

Aufbau (15:14) Walter Unger Z

Eigenschaften

gGenerator inG h:=g^s

I Einm∈G wird verschl¨usselt mit (c1,c2) = (g^α,h^αm) mit einem zuf¨allig gew¨ahltenα∈ {0, . . . ,q−1}.

I Die Entschl¨usselung erfolgt ¨ubersdurchm=c2c₁^−s.

I Diese Verschl¨usselung ist homomorph:

I Sei (c₁,c₂) und (c₁⁰,c₂⁰) Verschl¨usselung vonmund m⁰.

I Dann gilt:

(c₁,c₂)(c₁⁰,c₂⁰) = (c₁c₁⁰,c₂c₂⁰)

= (g^αg^α0,h^αmh^α0m⁰)

= (g^α+α0,h^α+α0mm⁰)

= Verschl¨usselung vonmm⁰

Threshold-Scheme und Homomorphe Verschl¨usselung Durch ein Zentrum aufgebautes Wahlsystem Wahlsystem ohne Zentrum

Aufbau (15:14) Walter Unger Z

Eigenschaften

gGenerator inG h:=g^s

I Einm∈G wird verschl¨usselt mit (c1,c2) = (g^α,h^αm) mit einem zuf¨allig gew¨ahltenα∈ {0, . . . ,q−1}.

I Die Entschl¨usselung erfolgt ¨ubersdurchm=c2c₁^−s. I Diese Verschl¨usselung ist homomorph:

I Sei (c₁,c₂) und (c₁⁰,c₂⁰) Verschl¨usselung vonmund m⁰.

I Dann gilt:

(c₁,c₂)(c₁⁰,c₂⁰) = (c₁c₁⁰,c₂c₂⁰)

= (g^αg^α0,h^αmh^α0m⁰)

= (g^α+α0,h^α+α0mm⁰)

= Verschl¨usselung vonmm⁰

Threshold-Scheme und Homomorphe Verschl¨usselung Durch ein Zentrum aufgebautes Wahlsystem Wahlsystem ohne Zentrum

Aufbau (15:14) Walter Unger Z

Eigenschaften

gGenerator inG h:=g^s

I Einm∈G wird verschl¨usselt mit (c1,c2) = (g^α,h^αm) mit einem zuf¨allig gew¨ahltenα∈ {0, . . . ,q−1}.

I Die Entschl¨usselung erfolgt ¨ubersdurchm=c2c₁^−s. I Diese Verschl¨usselung ist homomorph:

I Sei (c1,c2) und (c₁⁰,c₂⁰) Verschl¨usselung vonmundm⁰.

I Dann gilt:

(c₁,c₂)(c₁⁰,c₂⁰) = (c₁c₁⁰,c₂c₂⁰)

= (g^αg^α0,h^αmh^α0m⁰)

= (g^α+α0,h^α+α0mm⁰)

= Verschl¨usselung vonmm⁰

Threshold-Scheme und Homomorphe Verschl¨usselung Durch ein Zentrum aufgebautes Wahlsystem Wahlsystem ohne Zentrum

Aufbau (15:14) Walter Unger Z

Eigenschaften

gGenerator inG h:=g^s

I Einm∈G wird verschl¨usselt mit (c1,c2) = (g^α,h^αm) mit einem zuf¨allig gew¨ahltenα∈ {0, . . . ,q−1}.

I Die Entschl¨usselung erfolgt ¨ubersdurchm=c2c₁^−s. I Diese Verschl¨usselung ist homomorph:

I Sei (c1,c2) und (c₁⁰,c₂⁰) Verschl¨usselung vonmundm⁰.

I Dann gilt:

(c₁,c₂)(c₁⁰,c₂⁰) = (c₁c₁⁰,c₂c₂⁰)

= (g^αg^α0,h^αmh^α0m⁰)

= (g^α+α0,h^α+α0mm⁰)

= Verschl¨usselung vonmm⁰

Threshold-Scheme und Homomorphe Verschl¨usselung Durch ein Zentrum aufgebautes Wahlsystem Wahlsystem ohne Zentrum

Aufbau (15:14) Walter Unger Z

Eigenschaften

gGenerator inG h:=g^s

I Einm∈G wird verschl¨usselt mit (c1,c2) = (g^α,h^αm) mit einem zuf¨allig gew¨ahltenα∈ {0, . . . ,q−1}.

I Die Entschl¨usselung erfolgt ¨ubersdurchm=c2c₁^−s. I Diese Verschl¨usselung ist homomorph:

I Sei (c1,c2) und (c₁⁰,c₂⁰) Verschl¨usselung vonmundm⁰.

I Dann gilt:

(c₁,c₂)(c₁⁰,c₂⁰) = (c₁c₁⁰,c₂c₂⁰)

= (g^αg^α0,h^αmh^α0m⁰)

= (g^α+α0,h^α+α0mm⁰)

= Verschl¨usselung vonmm⁰

Threshold-Scheme und Homomorphe Verschl¨usselung Durch ein Zentrum aufgebautes Wahlsystem Wahlsystem ohne Zentrum

Aufbau (15:14) Walter Unger Z

Eigenschaften

gGenerator inG h:=g^s

I Einm∈G wird verschl¨usselt mit (c1,c2) = (g^α,h^αm) mit einem zuf¨allig gew¨ahltenα∈ {0, . . . ,q−1}.

I Die Entschl¨usselung erfolgt ¨ubersdurchm=c2c₁^−s. I Diese Verschl¨usselung ist homomorph:

I Sei (c1,c2) und (c₁⁰,c₂⁰) Verschl¨usselung vonmundm⁰.

I Dann gilt:

(c₁,c₂)(c₁⁰,c₂⁰) = (c₁c₁⁰,c₂c₂⁰)

= (g^αg^α0,h^αmh^α0m⁰)

= (g^α+α0,h^α+α0mm⁰)

= Verschl¨usselung vonmm⁰

Threshold-Scheme und Homomorphe Verschl¨usselung Durch ein Zentrum aufgebautes Wahlsystem Wahlsystem ohne Zentrum

Aufbau (15:14) Walter Unger Z

Eigenschaften

gGenerator inG h:=g^s

I Einm∈G wird verschl¨usselt mit (c1,c2) = (g^α,h^αm) mit einem zuf¨allig gew¨ahltenα∈ {0, . . . ,q−1}.

I Die Entschl¨usselung erfolgt ¨ubersdurchm=c2c₁^−s. I Diese Verschl¨usselung ist homomorph:

I Sei (c1,c2) und (c₁⁰,c₂⁰) Verschl¨usselung vonmundm⁰.

I Dann gilt:

(c₁,c₂)(c₁⁰,c₂⁰) = (c₁c₁⁰,c₂c₂⁰)

= (g^αg^α0,h^αmh^α0m⁰)

= (g^α+α0,h^α+α0mm⁰)

= Verschl¨usselung vonmm⁰

Threshold-Scheme und Homomorphe Verschl¨usselung Durch ein Zentrum aufgebautes Wahlsystem Wahlsystem ohne Zentrum

Aufbau (15:14) Walter Unger Z

Eigenschaften

gGenerator inG h:=g^s

I Einm∈G wird verschl¨usselt mit (c1,c2) = (g^α,h^αm) mit einem zuf¨allig gew¨ahltenα∈ {0, . . . ,q−1}.

I Die Entschl¨usselung erfolgt ¨ubersdurchm=c2c₁^−s. I Diese Verschl¨usselung ist homomorph:

I Sei (c1,c2) und (c₁⁰,c₂⁰) Verschl¨usselung vonmundm⁰.

I Dann gilt:

(c₁,c₂)(c₁⁰,c₂⁰) = (c₁c₁⁰,c₂c₂⁰)

= (g^αg^α0,h^αmh^α0m⁰)

= (g^α+α0,h^α+α0mm⁰)

= Verschl¨usselung vonmm⁰

Threshold-Scheme und Homomorphe Verschl¨usselung Durch ein Zentrum aufgebautes Wahlsystem Wahlsystem ohne Zentrum

Aufbau (15:15) Walter Unger Z

Aufbau

gGenerator inG h:=g^s (c₁,c₂) = (g^α,h^αm)

Zentrum T: B:

bestimmt Shamir

(t,n)-Threshold-Scheme d.h. (j,sj) f¨ur 16j6n

hj:=g^sj f¨ur 16j6n (j,hj)

16j6n- ^{(j,hj), 1}6j6n

Sodann werden noch die Teilgeheimnisse ¨uber einen sicheren Kanal an die Ausz¨ahler verteilt:

Zentrum T: Aj:∈ {1, . . . ,n} (j,sj,hj), 16j6n

(j,sj)

- ^(j,sj)

Threshold-Scheme und Homomorphe Verschl¨usselung Durch ein Zentrum aufgebautes Wahlsystem Wahlsystem ohne Zentrum

Aufbau (15:15) Walter Unger Z

Aufbau

gGenerator inG h:=g^s (c₁,c₂) = (g^α,h^αm)

Zentrum T: B:

bestimmt Shamir

(t,n)-Threshold-Scheme d.h. (j,sj) f¨ur 16j6n

hj:=g^sj f¨ur 16j6n (j,hj)

16j6n- ^{(j,hj), 1}6j6n

Sodann werden noch die Teilgeheimnisse ¨uber einen sicheren Kanal an die Ausz¨ahler verteilt:

Zentrum T: Aj:∈ {1, . . . ,n}

(j,sj,hj), 16j6n

(j,sj)

- ^(j,sj)

Threshold-Scheme und Homomorphe Verschl¨usselung Durch ein Zentrum aufgebautes Wahlsystem Wahlsystem ohne Zentrum

Aufbau (15:15) Walter Unger Z

Aufbau

gGenerator inG h:=g^s (c₁,c₂) = (g^α,h^αm)

Zentrum T: B:

bestimmt Shamir

(t,n)-Threshold-Scheme d.h. (j,sj) f¨ur 16j6n

hj:=g^sj f¨ur 16j6n (j,hj)

16j6n- ^{(j,hj), 1}6j6n

Sodann werden noch die Teilgeheimnisse ¨uber einen sicheren Kanal an die Ausz¨ahler verteilt:

Zentrum T: Aj:∈ {1, . . . ,n}

(j,sj,hj), 16j6n

(j,sj)

- ^(j,sj)

Threshold-Scheme und Homomorphe Verschl¨usselung Durch ein Zentrum aufgebautes Wahlsystem Wahlsystem ohne Zentrum

Aufbau (15:16) Walter Unger Z

Im Dokument Algorithmische Kryptographie Kapitel 15 Elektronische Wahlen 2 (Seite 62-79)