Kapitel 8 Das Benchmark Bench01 115
8.3 Theoretische Überlegungen zu unteren Schranken
8.4.1 Vergleich verschiedener Nachbarschaften 121
Zuerst werden verschiedene Nachbarschaften getestet. Folgende Nachbarschaftsoperatoren werden verwendet:
(1) Change (2) Push1 (3) PushChange (4) Swap
(5) Lin2OptSameResource
Inwieweit diese Operatoren für die Optimierung der ursprünglichen Problemstellung günstig sind, wird anhand der folgenden Nachbarschaften untersucht:
N1 mit (1), (2), (3), (4), (5) N2 mit (1), (2), (3), (4) N3 mit (1), (3), (5) N4 mit (2), (4), (5) N5 mit (1), (3)
Bei einer Simulation wird bei einem Sweep jeweils ein Operator der Nachbarschaft ausgewählt, wobei jeder die gleiche Auswahlwahrscheinlichkeit besitzt, dann werden die zu verändernden Posi-tionen zufällig bestimmt.
Die Ergebnisse werden exemplarisch an der gegebenen Instanz 0 diskutiert. 3 Aufgabenstellungen werden zu dieser Instanz untersucht (M, S, M+S). Die Lieferzeitpunkte müssen bei jeder Lösung eingehalten werden.
In Abbildung 8.5 (linke Spalte) sind die durchschnittlichen Ergebnisse aus jeweils 10 Simulationen für verschiedene Anzahl an Sweeps pro Temperaturschritt für die verschiedenen Nachbarschaften und Aufgabenstellungen zu sehen.
N4 schneidet deutlich schlechter ab als die anderen. Es ist somit darauf zu achten, zumindest einen der beiden Operatoren (1) und (3) in die Nachbarschaft aufzunehmen. Dies ist eigentlich nahelie-gend, denn diese beiden Operatoren sind die einzigen, die für eine gleichmäßige Auslastung der Ressourcen innerhalb einer Produktionsstufe sorgen. Ohne diese Operatoren ist die Lösung stark von der anfangs gewählten Zuordnung der Aktivitäten zu den Ressourcen abhängig.
Die beiden Nachbarschaften N3 und N5 sind bei größeren Rechenzeiten (Anzahl Sweeps pro Tem-peraturschritt) schlechter als N1 und N2. Es ist somit nicht ausreichend, nur die Operatoren (1) und (3) zu nutzen. Die gebildete Nachbarschaft ist nicht ausreichend. Es erscheint sinnvoll, eher Opera-toren hinzuzufügen, die kleine Änderungen an der Konfiguration vornehmen, (2) oder (4), als sol-che, die die Konfiguration in einem größeren Bereich umordnen, (5).
Welche der beiden Nachbarschaften N1 und N2 die bessere ist, und damit die Aussage, ob Operator (5) günstig ist, hängt von der Aufgabenstellung und der zur Verfügung stehenden Rechenzeit ab.
Es kann somit nur davon ausgegangen werden, dass neben den Operatoren (1) und (3) die Operato-ren (2) und (4) als günstig für diese Aufgabenstellung zu werten sind. Operator (5) wirkt sich nicht immer positiv auf die Optimierung aus.
Operator (5) ist bei anderen Optimierungsproblemen meist sehr erfolgreich, kann hier jedoch nicht vollständig überzeugen. Möglicherweise liegt es daran, dass er hier keine Systemeigenschaften aus-nutzen kann. Während er bei einem TSP nur zwei Kanten in der ‚Tour’ zerschneidet, ändert er hier den Produktionsplan evtl. zu stark. Betrachtet man sich die einzelnen Rüstmatrizen der Maschinen, so sieht man, dass diese nicht symmetrisch sind, d.h. eine Anwendung des Operators auf eine Akti-vitätsreihenfolge A-B-C-D-E in der Weise, dass A-D-C-B-E entsteht, ersetzt nicht nur die Rüstzei-ten A-B und D-E, sondern verändert auch die RüstzeiRüstzei-ten B-C und C-D in die von C-B und D-C. Bei Produktionsplanungsproblemen mit symmetrischen Rüstmatrizen erweist sich der Operator als sehr viel günstiger.
Nachbarschaften, die mit anderen, in Kapitel 3.2.5 vorgestellten Operatoren gebildet werden, zei-gen keine durchschlazei-genden Erfolge. Es konnten zwar ähnlich gute Ergebnisse erzielt werden, je-doch keine großen Verbesserungen. Auf diese zusätzlichen Operatoren wird deshalb verzichtet.
Bei den bisherigen Experimenten wurde nun jedoch nur festgestellt, welche Operatoren zu verwen-den sind, nicht jedoch, mit welcher Auswahlwahrscheinlichkeit. Bisher wurverwen-den nur Ergebnisse ge-zeigt, bei denen die Auswahlwahrscheinlichkeit jedes Operators der Nachbarschaft gleich ist. Auf die Testreihen zu verschiedenen Auswahlwahrscheinlichkeiten soll hier verzichtet werden, da es nach Meinung des Autors dann zu einer viel zu problem- (bzw. instanz-) spezifischen Anpassung des Verfahrens kommen würde. Es könnte dann nicht mehr davon ausgegangen werden, dass die Ergebnisse auf andere Instanzen der Problemstellung übertragen werden können. Ein Anwender
verfügt jedoch nicht über genügend Zeit, bei der Annahme eines neuen Auftragspakets (Instanz) regelmäßig diese Forschungsarbeit durchführen zu lassen. Vielmehr soll nun eine Vorgehensweise vorgestellt werden, die die Auswahlwahrscheinlichkeiten, und damit auch die Verwendung der O-peratoren, selbstständig reguliert. Der Autor geht nicht davon aus, dass dies zu besseren Resultaten führt, als eine an eine Probleminstanz speziell angepasste Auswahlwahrscheinlichkeit es tun würde.
Der Vorteil liegt eher darin, dass es dann nicht mehr nötig sein wird, die Operatoren selbst auszu-wählen, und eine ‚falsche’ Auswahl somit verhindert wird.
Verglichen wird nun das durchschnittliche Ergebnis des adaptiven Verfahrens AD (vgl. Kapitel 3.2.5.4) aus jeweils 10 Simulationen für verschiedene Rechenzeiten und den 3 verschiedenen Auf-gabenstellungen mit dem Durchschnitt aller zuvor getesteten Nachbarschaften avA und dem Durch-schnitt der ‚besseren’ Nachbarschaften avB (N1, N2, N3, N5). Bei den ‚besseren’ Nachbarschaften wird auf N4 verzichtet, da es eigentlich offensichtlich ist, dass die Operatoren (1) und/oder (3) be-nötigt werden, um gute Resultate zu erhalten. Die Ergebnisse werden in Abbildung 8.5 (rechte Spalte) gezeigt.
Es zeigt sich, dass die Idee der adaptiven Anpassung der Auswahlwahrscheinlichkeiten der einzel-nen Operatoren nicht fehlschlägt. Im Vergleich zum Durchschnitt aller zuvor getesteten Nachbar-schaften schneidet das adaptive Verfahren für alle verwendeten Rechenzeiten deutlich besser ab.
Vergleicht man die Ergebnisse mit avB, so zeigt sich, dass hier erst bei größeren Rechenzeiten mit einer Verbesserung zu rechnen ist, diese jedoch nicht bemerkenswert ist.
Verglichen mit den einzelnen Nachbarschaften kann die adaptive nicht immer Verbesserungen er-zielen. Hier zeigt sich, dass die adaptive Regelung nicht zu den besten Resultaten führt. Manche Operatoren werden durchaus benötigt, um die Nachbarschaft zu vergrößern, ohne direkt zu Verbes-serungen zu führen. Bei diesen Operatoren kann dann davon ausgegangen werden, dass sie im Lö-sungsraum verschiedene tiefe Täler über einen Höhenzug verbinden. Ohne diese Verbindung wäre es den anderen Operatoren nicht möglich, in wenigen Schritten, von einem dieser Täler in ein ande-res, möglicherweise tieferliegenderes zu wandern. Lokal gesehen muss dabei jedoch zwischenzeit-lich immer eine gewisse Verschlechterung in Kauf genommen werden.
Im Folgenden wird, falls nicht anders erwähnt, nur noch mit der Nachbarschaft N2 gearbeitet.
2100
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Sweeps
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Sweeps
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Sweeps
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Sweeps
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Sweeps
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Sweeps
S
avA avB AD
Abbildung 8.5: Es werden die durchschnittlichen Ergebnisse von Simulationen mit den 5 verschiedenen Nachbar-schaften gezeigt (linke Spalte). In der rechten Spalte sind die durchschnittlichen Ergebnisse der Simu-lationen mit allen Nachbarschaften (avA), den besseren Nachbarschaften (avB) und der adaptiven Nachbarschaft (AD) zu sehen.
8.4.2 Ergebnisse zu verschiedenen Prioritäten der Kriterien
Im Folgenden soll untersucht werden, wie sich die einzelnen Kriterien aufeinander auswirken. Es werden verschiedene Instanzen erstellt, bei denen der Lieferzeitpunkt verändert wird, um den Ein-fluss der harten Nebenbedingung der Lieferzeitpunkte auf die anderen Optimierungskriterien zu untersuchen. Dazu wird jedem Auftrag einer Instanz der gleiche Lieferzeitpunkt gesetzt. Die so aus der Instanz 0 erzeugten Instanzen (1, 2 und 3) haben die Lieferzeitpunkte 2280, 2520 und 3960. Zu den beiden anderen Kriterien (Durchlaufzeit, Rüstzeit) wird die Pareto-Front der besten gefunde-nen Lösungen bei vorgegebener Rechenzeit für Instanz 0 aufgezeichnet.
2050 2100 2150 2200 2250 2300
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Sweeps
M
2280 2520 3960
2600 2800 3000 3200 3400
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Sweeps
M+S
2280 2520 3960
300 400 500 600 700 800 900 1000
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
Sweeps
S
2280 2520 3960
Abbildung 8.6: Zu sehen sind die durchschnittlichen Lösungen für die Optimierung mit verschiedenen Lieferzeit-punkten.
300 500 700 900 1100 1300 1500
2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600
M
S
100 1000 5000 10000
Abbildung 8.7: Pareto-Fronten verschiedener Rechenzeiten (100-10000 Sweeps pro Temperaturschritt) für Instanz 0.
Das Setzen engerer Lieferzeitpunkte (Abbildung 8.6) hat bei der Optimierung der Durchlaufzeit (M) fast keinen Einfluss auf die Qualität der Ergebnisse. Die Unterschiede bei den durchschnittli-chen Lösungen sind kleiner 1%. Es fällt jedoch auf, dass das Setzen von Lieferzeitpunkten bei mitt-leren Rechenzeiten (5000 Sweeps) zu besseren Resultaten führen kann. Bei der Optimierung der Rüstzeiten (S) ergibt sich ein anderes Bild. Je enger die Grenzen gesetzt sind, umso schlechter sind die durchschnittlichen Ergebnisse für alle Rechenzeiten. Bei der gleichzeitigen Optimierung der Durchlaufzeit und der Rüstzeiten (M+S) sind die durchschnittlichen Ergebnisse beim Setzen eines engen Lieferzeitpunktes deutlich schlechter als beim Setzen ‚weicher’ Lieferzeitpunkte. Insgesamt kann somit festgestellt werden, dass die Optimierung der Lieferzeitpunkte und der Durchlaufzeit einander nicht stören, wohingegen dies bei der Optimierung der Lieferzeitpunkte und der Rüstzeiten der Fall ist. Rüstzeiten und Lieferzeitpunkte sind zueinander konkurrierende Ziele, Durchlaufzeit und Lieferzeitpunkte dagegen konform.
Betrachtet man sich die ‚Pareto’-Fronten verschiedener Rechenzeiten (Abbildung 8.7), so sieht man, dass es nicht möglich ist, die beiden Optimierungskriterien Durchlaufzeit und Rüstzeiten gleichzeitig zu minimieren. Diese beiden Kriterien sind ebenfalls zueinander konkurrierende Ziele.
An den Hilfslinien für gleiche M+S erkennt man, dass Lösungen, die M+S am besten erfüllen meist eine kleine Rüstzeit (S) aufweisen.
In Abbildung 8.8 ist eine Lösung bei gleichzeitiger Minimierung der Durchlaufzeit und der Rüst-zeit (M+S) zu sehen.
Abbildung 8.8: Abgebildet ist eine Lösung einer Optimierung der Kriterien M+S mit einer Durchlaufzeit von 2122 Minuten und einer Rüstzeit von 420 Minuten.