Parameteranalyse für ungekoppelte Modelle
3.4 Validitätskriterien
Bei der Erstellung eines EFEM-Modells dürfen die EFEM-Basiselemente be-stimmte räumliche Ausmaÿe nicht unterschreiten und Detailkonstruktionen müssen gekonnt vereinfacht werden. Zur Quantizierung dieses Modellierungs-prozesses wurden einige Validitätskriterien aus der SEA-Theorie übernommen und an die EFEM angepasst [10, 16, 28, 35].
Es existieren zwei Typen von Kriterien in der SEA-Theorie. Das eine Krite-rium verwendet den Modal-Overlap-Faktor MOF =ηn(ω)ω, mit der Dämp-fung η, der Kreisfrequenz ω = 2πf und der gemittelten Modendichte n(ω) in [Moden/Hz] bis zur Frequenzf. Das andere Kriterium basiert auf der An-zahl der ModenNim entsprechenden Frequenzband. Für diese beiden Gröÿen ergeben sich aus der Literatur bestimmte Schranken, die angepasst auf die Strukturen der EFEM-Basiselemente (Balken, Platten) zu Prüfkriterien ge-mäÿ Tabelle 3.2 führen. Hierfür wird eine dimensionslose Gröÿe lfestgelegt, welche die räumlichen Ausmaÿe und die Wellenzahl für jedes Basiselement in Beziehung setzt
l=L
λ=minimale charakteristische Länge
maximale Wellenlänge . (3.25)
56
Tabelle 3.2: Validitätskriterien für die EFEM-Modellerstellung MOF > 1 Anzahl-Moden Balken - (Long- & Torsionswellen) l >2η1 l > √31
2−1 ∼= 3.85 Balken - (Biegewellen) l >η1 l > √61
2−1 ∼= 8.16 Platten - (Long- & Scherwellen) l >
2πη1 l > 5
π(√34−1)∼= 1.65 Platten - (Biegewellen) l >
1
πη l > 5
π(√32−1)∼= 2.47 Diese Kriterien dienen als Hilfsmittel für das EFEM-Preprocessing. Zusätzlich dient die Äquivalenz der eingeleiteten und dissipierten Leistung
πin=ηωe (3.26)
als eine Plausibilitätsüberprüfung der Berechnungsergebnisse. Die aus der SEA abgeleiteten Kriterien sind als zusätzliche Aussagen zu interpretieren, deren Validität nicht für alle Anwendungsfälle gesichert ist. Sie bieten jedoch hilfrei-che Richtwerte und sind somit aus Gründen der Vollständigkeit angegeben.
Kapitel 4
Transmissionskoezienten
Bei der Energie-Finite-Elemente-Methode wird die zu berechnende Geometrie in Subsysteme bzw. EFEM-Basiselemente (Balken, Platten und Kavitäten) zerlegt. Die Interaktionen zwischen diesen Subsystemen sind über Jointele-mente realisiert. Mittels der JointeleJointele-mente und speziellen Transmissionskoe-zienten ist der Energieuss gemäÿ den Ausführungen in Kapitel 2 modelliert.
Die Transmissionskoezienten sind abhängig von den zu koppelnden EFEM-Basiselementen sowie von deren geometrischen Eigenschaften. Die folgenden Unterkapitel beschreiben die theoretischen Grundlagen und eine Analyse der Transmissionskoezienten für die verschiedenen Kopplungstypen, wobei sich diese Arbeit auf zwei Varianten beschränkt: die Plattenkopplungen und die Platten-Kavität- bzw. Fluid-Struktur-Kopplung.
4.1 Plattenkopplungen
Die Kopplungstheorie für Platten beinhaltet zwei für die EFEM bedeutende Kopplungstypen: Eine reine Platten-Platten-Kopplung (P-P) und eine weite-re Plattenkopplung ergänzt durch einen an der Kopplungslinie versteifenden Balken, welche als Platten-Balken-Platten-Kopplung (P-B-P) bezeichnet wird.
Jeweils ein Beispiel für die beiden Kopplungskategorien sind in Abbildung 4.1 dargestellt.
57
N∈N≥2
Pref l/trans
Pinc
˜
τinc,ref l/trans=Pref l/trans
Pinc .
j
a= (ux, uy, uz, θj)
60
Die Koordinatentransformation zwischen lokalem und globalem Koordinaten-system der Plattejwird mittels der Rotationsmatrix
Rj=
durchgeführt.Über den lokalen Kräfte-Momenten-Vektor Fjlokal= (Tj, Nj, . . . Sj, Mj)Tund den lokalen Verschiebungsvektorbj= (uj, vj, wj, θj)T ergibt sich mittelsRjdie Transformation in das globale Koordinatensystem
FjGobal=Rj·FjLokal (4.10)
bLokalj =RTj ·aGlobal. (4.11)
Aus der Summe der Kräfte-Momenten-VektorenFjan der Kopplungslinie der N-Platten und durch eine zusätzliche Anregung der m-ten Platte eines belie-bigen Wellentyps entsteht das Gesamtsystem
(N Mit dieser Gleichung können die Verschiebungen an der Kopplungslinie be-rechnet werden und damit ebenfalls die Amplituden jedes Wellentyps in den beteiligten Platten.
Berechnung der Matrix K
Zur Berechnung der Transmissionskoezienten werden äquivalent zum EFE-Ansatz ebene Wellen betrachtet.Eine auf die Kopplungslinie einfallende Welle hat die Form exp(−ikx+iμy+iωt).Aufgrund der Konstruktion der Kopp-lungslinie auf der Koordinatenachse gilt durch die identische Wellenzahl kin X-Richtung für alle einfallenden und ausfallenden Wellen jeder Platte die Ab-hängigkeitexp(−ikx+iωt).Weiterhin gilt es die Y-Abhängigkeitexp(μy)für
61 die einzelnen Wellentypen zu spezizieren. Für die Biegewelle folgt aus der WellenzahlkB,j die mathematische Beschreibung der Wellenfunktion
uz,j= (2 n=1
αBn,je−ikxj+μBn,jyj. (4.15) Aus Gleichung (4.15) folgt direkt das lineare Gleichungssystem für die Ver-schiebunguedz,jund die Rotationθedj auf der Kopplungslinie mityj= 0
uedz,j Das lineare Gleichungssystem der Kräfte und Momente auf der Kopplungslinie ist eine Kombination der Gleichungen (4.6) - (4.8) und (4.16)
Sj Die Berechnung der In-Plane-Verschiebungen an der Kopplungslinie ist analog zur Berechnung der Biegewelle. Für die Wellenzahl in Y-Richtung gelten für die Scher- und Longitudinalwelle die Wellenzahlen
μ2L,j=k2−kL,j2 mit k2L,j=ρjω2(1−νj)2 Die lokalen Verschiebungen auf der jeweiligen Platte sind durch
Ver-schiebungen auf der Kopplungslinie
62
und die lokalen Kräfte
Zur Lösung des Gleichungssystems (4.12) ist die anregende Kraft fmauf der Plattemfür jeden Wellentyp zu bestimmen. Für diese Platte ergibt sicheine KraftFm→Fm−FmLoadund eine Verschiebungbm→bm−bLoadm , welche für die Longitudinal-, Scher- und Biegewelle mittels
Fm=Kmbm−fm und fm=KmbLoadm −FmLoad (4.25) deniert sind [25]. Die GröÿenFmLoadundbLoadm der einfallenden ebenen Welle mit Amplitudeαund Einfallswinkelφsind wellentyp-spezisch. Dies führt bei Biegewellen mitμ=ikBsin(φ)undk=kBcos(φ)zu
63 Berechnung der wellentyp-spezischen Leistung
Ausgehend von den Amplitudenαeinfallender, reektierter und transmittier-ter Wellen sowie dem Einfallswinkelφder anregenden Welle sind die wellentyp-spezischen Leistungen in der j-ten Platte mittels
PBj=ρjω3α2Bjhj zu berechnen. Die Transmissionkoezienten ˜τinc,ref l/trans(φ) = Pref l/trans(φ)
Pinc(φ)
sind winkelabhängige Parameter. Da für die praktische Anwendung ein Dif-fusfeld angenommen wird, ist zusätzlich über alle Einfallswinkelφ∈[0◦,180◦] arithmetisch zu mitteln
τinc,ref l/trans= 180◦ Mittels dieser diusen Transmissionskoezienten sind die Interaktionen der Subsysteme in der EFEM festgelegt. Die lassen sich zu einer Transmissionsma-trixτ zusammenfassen, welche für jedes Subsystempaar(i, j)die individuellen Kopplungsbeziehungen beschreibt. Die Spezizierung des Wellentyps der jewei-ligen Platte ist mittelsBfür Biege-,Sfür Scher- undLfür Longitudinalwellen angegeben
In dem vorherigen Abschnitt ist die Theorie der Transmissionskoezienten für eine Linienkopplung mit unterschiedlichen Platten beschrieben, welche in diesem Unterabschnitt in der EFEM auf ein Testbeispiel Anwendung ndet.
Anwendungsbeispiele der Theorie der Transmissionskoezienten unabhängig
L= 666 h= 1
F = 1 f = 2000
τ∈[0,1]9×9
? 6t
[0◦,90◦]
◦
0 30 60 90 0
0,2 0,4 0,6 0,8 1
◦
˜ τ
˜ τ
˜ τ
˜ τ
˜ τ
˜ τ
˜ τ
˜ τ
˜ τ
eges,t = 2ekin,t
F EMt,Δx
F EMt,ΔxBE
666 1332 1998
40 50 60 70
[1e−12/2]
Δ Δ
F EMt,ΔxBE
2,5
67 Um diese Erweiterung in das Gleichungssystem (4.12) zu integrieren, wird das Kräfte-Momenten-Gleichgewicht an der Kopplungslinie um die Kräfte und Mo-mente des Balkens ergänzt. Dies führt zu
(N Balkens (Euler-Bernoulli-Balken) enthält. Der Verschiebungsvektor wird um die Verdrillungen in Y- und Z-Richtung erweitertaglobal→˜aglobal= (u, v, w, . . .
wobeiyj, zj∈Rdie Dierenz des Kopplungspunktes vom geometrischen Schwer-punkt des Balkenquerschnittes bezeichnet. Die Berechnung dieser Transmissi-onskoezienten erfolgt bis auf die Berücksichtigung der zusätzlichen Terme durch den Balken analog zu Abschnitt 4.1.1.
EFEM-Berechnung einer L-Struktur mit versteifendem Balken Eine L-Struktur bestehend aus zwei quadratischen Stahlplatten mit einer Kan-tenlänge von jeweils L = 1 m und einer Dicke von h = 4 mm mit einem versteifenden Balken aufder Kopplungslinie dient als Testmodell. Aufden Plattenrändern sind die translatorischen Freiheitsgrade xiert. Abbildung 4.7 zeigt schematisch die L-Struktur mit und ohne versteifendem Balken an der Verbindungslinie der beiden Platten sowie den Anregungspunkt.
? 6t
? 6t
˜ τ·,·
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0
0,2 0,4 0,6 0,8 1
◦
˜ τ
˜ τ
˜ τ
˜ τ
˜ τ
˜ τ
69
Einfallswinkel [◦]
Transmissionskoezient
Abbildung 4.9: Transmissionskoezienten der P-B-P-Kopplung Die Transmissionskoezienten sind für die Einfallswinkel[0◦,90◦]dargestellt.
Hierbei zeigt sich eine ansteigende Energietransmission bei zunehmendem Ein-fallswinkel bis Nahe90◦. Es treten hohe Reektionen˜τB1,B1auf, die zunehmend in Transmissionenτ˜B1,B2übergehen. Die Flanken sind bei einer L-Struktur oh-ne versteifendem Balken (Abbildung 4.8) schwächer ausgeprägt als bei eioh-ner L-Struktur mit versteifendem Balken (Abbildung 4.9). Dies bedeutet, dass durch einen zusätzlichen Balken weniger Energie transmittiert wird, was ebenfalls durch die diusen Transmissionskoezienten in Tabelle 4.1 zu erkennen ist.
Deutlich ist, dass durch die Biegewellen der Hauptteil der Energie transmit-tiert oder reektransmit-tiert wird. Von85◦bis90◦erhöhen sich die Transmissionen in die In-Plane-Wellen˜τB1,L2undτ˜B1,S2, da sich die Biegewellen bei einem nahe-zu senkrechten Einfallswinkel besser in Longitudinal- und Scherwellen umwan-deln.
Der direkte Einuss der beiden Matrizen aus Transmissionskoezienten τP P
und τP BP auf die EFEM-Berechnung ist nur mittels einer Einheitsanregung erkennbar. Die Eingangsleistung πin enthält das Schwingungsverhalten der Struktur und somit wäre der Einuss der Transmissionskoezienten durch unterschiedliche Eingangsleistungen verfälscht.
Unter Verwendung der diusen Transmissionskoezienten ergibt sich eine Ener-gieverteilung auf der gesamten L-Struktur. Als Vergleichsmethode für die
Ve-τP P τP BP
τB1,L1 3·10−4 3·10−4 τB1,S1 3·10−4 3·10−4 τB1,B1 75·10−2 96·10−2 τB1,L2 16·10−4 16·10−4 τB1,S2 26·10−4 25·10−4 τB1,B2 24·10−2 4·10−2
eges= 2ekin
10−7 2
F EMt,ΔxBE
0 100 200 35
40 45 50 55 60
Δ
F EMt,ΔxBE
EF EMP BP 2
72