Teilfolgen

bn+ n

2

b²n+. . .+ n

n

bⁿn.

Vernachl¨assigen wir alle Summanden bis auf den ersten und dritten, so folgt f¨urn≥2 n >1 +

n 2

b²_n= 1 +n(n−1) 2 b²_n,

so dassb²n<_n² ist. Da andererseitsbn≥0 ist, erhalten wir die Absch¨atzung 0≤bn<

√2

√n f¨urn≥2.

Wegen lim_n→∞√^√2n = 0 liefert das Einschließungskriterium, dass auch lim_n→∞bn= 0 ist, d.h. (12.4) gilt.

12.5 Bestimmte Divergenz Eine Folgeanheisst

• bestimmt divergentgegen +∞, wenn zu es jedemC∈ReinNgibt mitan≥Cf¨ur allen≥N

• bestimmt divergentgegen−∞, wenn zu es jedemC∈ReinN gibt mitan≤Cf¨ur allen≥N

Die bestimmt divergenten Folgen sind also insbesondere divergent und nach unter bzw.

oben beschr¨ankt. Aus dem Archimedisches Prinzip folgt sofort

• Die Folgean=nadivergiert bestimmt gegen +∞, fallsa >0

• Die Folgean=nadivergiert bestimmt gegen−∞, fallsa <0

Mit∞wollen wir nicht rechnen. Aber wir haben folgende n¨utzliche Beziehung

• Sind diean >0, so istan genau dann eine Nullfolge, wenn die Folge_a¹

n bestimmt (gegen +∞) divergiert.

Der Beweis ergibt sich sofort daraus, dassan≤ε⇔a¹n≥¹ε.

12 Folgen und Konvergenz: Konvergenzkriterien

12.6 Potenzen

F¨ur eine reelle Zahlaist rekursiv definiert

a⁰= 1, aⁿ⁺¹=aⁿ·a

10 12 FOLGEN UND KONVERGENZ: KONVERGENZKRITERIEN

Durch Induktion beweist man leicht

a^n+m=aⁿa^m, a^nm= (aⁿ)^m, (ab)ⁿ=aⁿ·bⁿ 0< a < b⇒aⁿ< bⁿ, n < m⇒

aⁿ< a^m falls 1< a aⁿ> a^m falls 0< a <1

und mit etwas mehr M¨uhe findet man den “Binomischen Satz” f¨ur (a+b)ⁿ. Uns langt einstweilen die folgende

Benoulli-Ungleichung (1 +b)ⁿ≥1 +nb f¨urb≥ −1 Diese folgt durch Induktion

(1 +b)ⁿ⁺¹= (1 +b)ⁿ(1 +b)≥(1 +nb)(1 +b) = 1 +nb+b+nb²≥1 + (n+ 1)b Satz 12.1 (1) Falls0≤a <1, so istaⁿmonotone Nullfolge

(2) Falls−1< a <0, so istaⁿ alternierende Nullfolge (3) Fallsa= 1, soaⁿ= 1konstant (mit Limes1) (4) Fallsa >1, so divergiertaⁿ bestimmt gegen+∞, (5) Fallsa=−1, so istaⁿ divergent, aber beschr¨ankt

(6) Fallsa <−1, so istaⁿ divergent und weder nach oben noch nach unten beschr¨ankt Beweis. Wir zeigen zuerst (4): Wir habena= 1 +bmitb >0, alsoaⁿ≥1 +nbnach Ber-noulli und somitan→+∞. (1) und (2) folgen sofort, indem wir die Kehrwerte betrachten.

Der Rest ist einfach.

12.7 Teilfolgen

Satz 12.2 Bolzano-Weierstrass.Jede beschr¨ankte Folge reeller Zahlen hat mindestens eine konvergente Teilfolge.

Dabei heisst Teilfolge, dass einfach Folgenglieder ausgelassen werden, aber immer noch unendlich viele ¨ubrigbleiben.

Beweis. Seia≤an≤bf¨ur allen. Wir bauen uns nach und nach eine Teilfolgeck. Diese f¨angt mitc0 =a0 an. Dann halbieren wir [a, b] fortlaufend. Bei jeder Halbierung muss mindenstens eine der H¨alften noch unendlich viele Glieder der Folge enthalten. Wir w¨ahlen imk-ten Schritt eine solche H¨alfte und f¨ugen zu den in den vorangegangenen Schritten ausgew¨ahltenc0, . . . , ck−1alsckdas n¨achste Glied der Folgeanaus dieser H¨alfte hinzu (das k¨onnen wir nat¨urlich nicht wirklich tun, aber das Axion der bedingten Auswahl tut es f¨ur uns). Damit bekommen wir eine Teilfolge der Folgean, die von einer Intervallschachtelung eingeschlossen wird, also konvergiert.

12.7 Teilfolgen 11 12 12 FOLGEN UND KONVERGENZ: KONVERGENZKRITERIEN 12.8 Monotone Konvergenz

Korollar 12.3 Jede nach oben durchbbeschr¨ankte monoton wachsende Folge(an)n∈Nist konvergent mit Limesaundb≥a≥an f¨ur allen. Jede nach unten durchbbeschr¨ankte monoton fallende Folge(an)n∈Nist konvergent mit Limesaundb≤a≤an f¨ur allen.

Aber ¨uber den Limes weiß man dann nicht viel mehr. Beweis. Wir betrachten nur den ersten Fall. Die Folge (an)n∈Nist beschr¨ankt, also hat sie nach Bolzano-Weierstrass eine konvergente Teilfolge (ank)k∈Nmit Limesa. Dann ist aber (an−a)n∈Neine Nullfolge: zu ε >0 gibt esK(ε) mit

|ank−a|< ε f¨ur allek≥K(ε) W¨ahle nunN(ε) =nK(ε). Dann

a−ε≤aK(ε)≤an≤a+ε f¨ur allen≥N(ε).

W¨are a < an0 f¨ur einn0, so |an−a| =an−a > ε = ¹₂(an0−a) f¨ur alle n ≥n0 im Widerspruch zur Konvergenz..

Beispiel 8.Die Folge (_n¹2)_n∈N ist monoton fallend und nach unten durch 0 beschr¨ankt.

Also konvergiert sie.

Beispiel 9. Wir wollen zeigen, dass die Folge (an)_n∈N mitan = (1 +_n¹)ⁿ konvergiert.

Diese Folgew¨achst monoton: F¨urn≥2 ist n¨amlich an

an−1

= n+ 1

n n

n−1 n

n−1

= n²−1

n² n

n n−1=

1− 1

n² n

n n−1. Aus der Bernoullischen Ungleichung folgt

1− 1

n² n

≥1− n n² = 1−1

n. Damit erhalten wir

an

an−1 ≥

1−1 n

n n−1= 1, alsoan≥a_n−1 f¨ur allen≥2.

Die Folge (an) ist aber auch nach oben beschr¨ankt: Aus dem binomischen Satz folgt zun¨achst

an=

1 +1 n

n

= Xn

k=0

n k

1 n^k= 1 +

Xn

k=1

n k

1 n^k. F¨urk≥1 sch¨atzen wir ab:

n k

1

n^k= n!

k!(n−k)!

1 n^k= 1

k!

n(n−1). . .(n−k+ 1) n·n . . . n ≤ 1

k! ≤ 1 2^k−1. Hieraus und mit der Summenformel f¨ur die geometrische Reihe folgt:

an = 1 + Xn

k=1

n k

1 n^k ≤1 +

Xn

k=1

1 2^k−1 = 1 +

n−1

X

k=0

1 2^k

= 1 +1−(1/2)ⁿ

1−(1/2) <1 + 1 1−(1/2)= 3.

12.9 Cauchyfolgen. 13 Nach dem Monotoniekriterium existiert der Grenzwert limn→∞(1 +¹_n)ⁿ. Dieser Grenzwert heißtEulersche Zahle. Die Zahleist irrational mit

e= 2.71 82 81 82 84 5. . .

Beispiel 10.Seian =Pn k=0

1

k!. Die Folge (an)_n≥0 ist offenbar monoton wachsend, und sie ist auch nach oben beschr¨ankt:

an= Xn

k=0

1 k!= 1 +

Xn

k=1

1 k!≤1 +

Xn

k=1

1 2^k−1= 3 (vgl. Beispiel 9). Also konvergiert (an), und man kann zeigen, dass

nlim→∞an= lim

n→∞

Xn

k=0

1 k!=e.

12.9 Cauchyfolgen.

Wir wollen noch ein weiteres Konvergenzkriterium angeben, welches sich nicht nur auf monotone Folgen anwenden l¨aßt, und welches außerordentlich wichtig f¨ur die Begr¨undung der Analysis ist. Dazu definieren wir:

Definition 12.4 Eine Folge(an)_n≥1reeller Zahlen heißtCauchyfolgeoder Fundamental-folge, wenn man zu jedemε >0einN(ε)∈Nso finden kann, dass

|an−am|< ε f¨ur allem, n≥N(ε).

Die Folgenglieder m¨ussen sich also in einem bestimmten Sinn immer n¨aher kommen.

Satz 12.5 (Cauchy-Kriterium) Eine Folge reeller Zahlen konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchyfolge ist.

Die Tatsache, dass dieses Kriterium gilt, bezeichnet man alsVollst¨andigkeitvonR.

Beweis. Es ist leicht zu sehen, dass jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist. Die umgekehrte Behauptung zeigt man in drei Schritten:

1. SchrittCauchyfolgen sind beschr¨ankt. Das ist ebenfalls leicht zu sehen: W¨ahleε= 42.

Dann gibt es einN(42) so, dass|an−am| ≤42 f¨ur allen, m≥N(42), also|an−a42| ≤42 f¨ur allen≥N(42) und somit

|an| ≤cf¨ur allenwobeic= max{|aN(42)+ 42,|a1|, . . . ,|aN(42)−1|}

2. SchrittNach Bolzano-Weierstraß besitzt eine beschr¨ankte Folge (an)_n∈Nreeller Zahlen eine konvergente Teilfolgeank→a

3. Schrittan→a: Seiε >0 gegeben. Wegen der Cauchy-Eigenschaft gibt esN mit

|an−am|< ε

42 f¨ur allen, m≥N

14 12 FOLGEN UND KONVERGENZ: VEKTORFOLGEN

Aus der Teilfolgeneigenschaft und der Konvergenz der Teilfolge erh¨alt man einkmit nk≥N und|ank−a|< ε

42 Es folgt mit der Dreiecksungleichung

|an−a| ≤ |an−ank|+|ank−a|< ε 42+ ε

42≤ε f¨ur allen≥N

Beispiel 11.F¨urn≥1 seian=Pn

k=1(−1)^{k−1 1}_k. Wir zeigen, dass (an)_n≥1eine Cauchy-folge ist. F¨urm≥n+ 2 ist

|am−an| =

Xm

k=n+1

(−1)^k−11 k

=

(−1)ⁿ 1 n+ 1+

Xm

k=n+2

(−1)^k−11 k

=

1 n+ 1−

Xm

k=n+2

(−1)^k−n1 k

. (12.1)

Weiter ist Xm

k=n+2

(−1)^k−n1 k=

1 n+ 2− 1

n+ 3

+ 1

n+ 4− 1 n+ 5

+· · ·>0 sowie

Xm

k=n+2

(−1)^k−n1 k= 1

n+ 2− 1

n+ 3− 1 n+ 4

− 1

n+ 5− 1 n+ 6

− · · ·< 1 n+ 2. Hieraus und aus (12.1) folgt|am−an| ≤n+1¹ , und dies gilt sogar f¨ur allem≥n. Ist nun ε >0 beliebig vorgegeben, so w¨ahlen wirNso, dass _N+1¹ < ε. F¨ur allem, n≥Nist dann

|an−am| ≤ 1 n+ 1≤ 1

N+ 1< ε.

Nach dem Cauchy-Kriterium ist die Folge (an)n≥1konvergent. Man kann zeigen, dass der Grenzwert dieser Folge gleich ln 2 ist.

12 Folgen und Konvergenz: Vektorfolgen

12.10 Vektorfolgen und komplexe Zahlenfolgen

Statt Zahlenfolgen k¨onnen wir genauso Folgen~vn(n∈N) von Vektoren~vnin einem end-lichdimensionaleneuklidischen VektorraumV bzw. den SpezialfallV =Cbetrachten.

Die Folge heißtkonvergentgegenw~ undw~ Limesder Folge, falls gilt

• Zu jedemε >0 inR

– gibt es einN=N(ε)∈Nso,dass

15

∗ f¨ur allen≥N(ε) gilt

k~vn−w~k< ε.

Der Vektorw~ (falls er existiert) ist eindeutig bestimmt und man schreibt

~ w= lim

n→∞~nn, ~vn→w~ f¨urn→ ∞

Die Eindeutigkeit sieht man so: G¨alte~vn→~umit~u6=w, so~ ε=¹₃kw~−~uk>0. Dann gibt esNw undNuso, dassk~vn−w~k< εf¨ur allen≥Nwundk~vn−~uk< εf¨ur allen≥Nu. Setzen= max{Nw, Nu}. Dann folgt mit der Dreiecksungleichung der Widerspruch

kw~−~uk=kw~−~vn+~vn−~u} ≤ kw~−w~nk+|v~n−~uk ≤2

3ε <kw~−~uk Satz 12.1 Seien Vektoren~v1, . . . , ~vminV, die Zahlenfolgen(x1n)n∈N, . . . ,(xmn)n∈Nund die Vektorfolge(~xn)_n∈Nmit~xn=x1n~v1+. . .+xmn~vmgegeben. Hat manlim_n→∞xim=yi

f¨uri= 1, . . . , m, so giltlimn→∞~xn=~y. Bilden die~v1, . . . , ~vmein Orthonormalsystem, so gilt auch die Umkehrung. Insbesondere folgt aus der Konvergenz von(~xn)n∈Ndie Konver-genz der(xin)_n∈N.

Korollar 12.2 Jede beschr¨ankte Folge hat eine konvergente Teilfolge und jede Cauchy-folge konvergiert.

Beweis des Satzes. Zum ersten Teil: Seiε >0 gegeben. Setze εi= ε

mk~vik und w¨ahleNiso, dass

|xin−yn| ≤εi f¨ur allen≥Ni

Dann mit der Dreiecksungleichung f¨urn≥N= max{N1, . . . , Nm} k~xn−~yk=k

Xm

i=1

(xin−yi)~vik ≤ Xm

i=1

k(xin−yi)~vik= Xm

i=1

|xin−yi| · k~vik ≤ε In der umgekehrten Richtung sei angenommen, dass es f¨ur eini0einε >0 gibt so, dass es zu jedemNeinn≥Ngibt mit|xi0n−yi0|> εund somit auch

k~xn−~yk= vu ut

Xm

i=1

(xin−yi)² ≥ |xi0n−yi0|> ε

ein Widerspruch zur Konvergenz.

13 Funktionen und Stetigkeit: Grundlegendes

Wir betrachten nur Funktionen mit reellem Definitionsbereich. Auch die Funktionswerte sind zun¨achst nur reelle Zahlen. Sp¨ater lassen wir auch Vektoren bzw. komplexe Zahlen als Funktionswerte zu.

16 13 FUNKTIONEN UND STETIGKEIT: GRUNDLEGENDES

13.1 Funktionen

Eine reelleFunktionmitDefinitionsbereichD=D(f) ist durch ihrenGraphengegeben, eine TeilmengeGvonR²so, dass gilt

• Wohldefiniertheit:∀x∈D∀y, y^′∈R. x

y

∈Gund x

y^′

∈G⇒y=y^′

• Uberalldefiniertheit:¨ ∀x∈D∃y∈R.

x y

∈G Man schreibt dann

f:D→R, f(x) =y ⇔ x

y

∈G

DerBildbereich, kurz dasBildvonf istB(f) ={f(x)|x∈D}.f:D→Rist

• nach oben beschr¨anktfalls es einCgibt mitf(x)≤Cf¨ur allex∈D

• nach unten beschr¨anktfalls es einCgibt mitf(x)≥Cf¨ur allex∈D

• beschr¨anktfalls es einCgibt mit|f(x)| ≤Cf¨ur allex∈D IstD^′⊆D, so kann manf aufD^′einschr¨ankenund erh¨alt

g:D^′→R mit g(x) =f(x) f¨ur allex∈D^′

- aber man wird oft f¨urf undgdieselbe Bezeichnung benutzen und den Definitionsbe-reich im Kontext angeben. Hat man aufD^′′⊇D eine Funktionh:D^′′→R, dief als Einschr¨ankung aufDhat, so istheineFortsetzungvonf aufD^′′. IstD6=D^′′, so isth nicht eindeutig bestimmt; andererseits wird man in der Regel keinhfinden, dass zu der gleichen Funktionenklasse wief geh¨ort.

13.2 Stetige Gr¨ossen

In der Physik und in Folge auch in den anderen Naturwissenschaften und in der Technik betrachtet man “skalare Gr¨ossen” wie Masse, L¨ange, Druck, Temperatur, Intelligenz, Zeit, Lautst¨arke, Erdbebenst¨arke von denen man meist annimmt, dass sie in bestimmten Gren-zen “stetig variieren”. Legt man eine Skalierung fest, so werden die Werte dieser Gr¨ossen durch reelle Zahlen ausgedr¨uckt. “Stetige Variation” bedeutet, das man sich vorstellt, die Schwankung eine Gr¨osse um einen jeweils festen Wert klein und immer noch kleiner hal-ten zu k¨onnen und auch den ¨Ubergang zwischen zwei deutlich unterschiedlichen Werten durch eine Aufeinanderfolge endlich vieler winziger Schritte bewerkstelligen zu k¨onnen.

Eine radikale Sicht ist die, dass eine Gr¨osse nicht anderes ist als die phantasievoll benann-te Funktionf(x) =xauf einem Intervall z.B. [a, b] von reellen Zahlen - d.h.xvariiert zwischen den Grenzenaundb:a≤x≤b.

Was auch immer eine Gr¨osse ist, wichtig ist der Begriff der Ann¨aherung der Gr¨ossex an den festen Wertc, mit Verlaub schreiben wirx→c. Was auch immer das bedeutet, wir haben dann

∆x→0 genau dann, wenn x=c+ ∆x →c

13.3 Fehlerabsch¨atzung 17 d.h. wir erfinden eine neue Gr¨osse ∆xf¨ur Differenzen der Werte der Gr¨ossex. Richtiger w¨are es, auch noch die Stellec zu notieren, d.h. z.B. ∆(x, c) zu schreiben. Pr¨azisere M¨oglichkeiten zu sagen, dass wir uns f¨urxin der “N¨ahe” voncinteressieren sind

• |x−c| ≤δ f¨ur “kleines”δ

• betrachte Folgenxnmit limn→∞xn=c

Der Begriff der Stetigkeit einer Operation oder Funktion soll das Prinzip “kleine Ursache, kleine Wirkung” fassen. Ist die Gr¨osseyeine Funktiony=f(x) der Gr¨ossex, so findet man das so geschrieben

∆y→0 f¨ur ∆x→0 oder etwas genauer

y=f(x)→f(c) f¨ur x→c 13.3 Fehlerabsch¨atzung

Bei naturwissenschaftlichen Messungen sind die Messwerte der Gr¨ossenximeist mit ge-wissen Fehlern ∆xibehaftet, die man nach Kenntnis des Messverfahren als durchδi be-schr¨ankt annimmt:|∆xi| ≤δi. Bei der Auswertung setzt man diese Werte in Formeln ein, um abgeleitete Gr¨ossen, z.B.y, zu berechnen, d.h. man wendet gewisse Operationen und Funktionen auf die Messwertecian und erh¨alt

d=f(c1, . . . cn)

Aufgrund der Fehler in den Messwerten, muss man mit einem Fehler ∆y rechnen und versuchen, f¨ur diesen eine obere SchrankeSzu garantieren. Dies gelingt, fallsfstetig ist - und man die Stetigkeit effektiv nachgewiesen hat. Dazu ein Beispiel

y= (cosx1)·sin(x2+x3) Wir setzen

z1= cosx1, z2= sin(x2+x3), y=z1·z2, d1= cosc1, d2= sin(c2+c3) und haben, wie wir sp¨ater zeigen werden, die Absch¨atzungen

|∆z1| ≤ |∆x1| ≤δ1, |∆z2| ≤ |∆(x2+x3)| ≤ |∆x2|+|∆x3| ≤δ2+δ3

|∆y| ≤ |∆z1||d2|+|∆z2||d1|+|∆z1∆z2|

≤δ1|d2|+ (δ2+δ3)||d1|+δ1(δ2+δ3) =defS(c1, c2, c3)

Hier k¨onnen wir auch noch die|di|absch¨atzen durch|di| ≤1 und erhalten eine von den ciunabh¨angige Schranke

S=δ1+δ2+δ3+δ1δ2+δ1δ3≥ |∆y|

Umgekehrt sagt uns das, wie klein wir dieδimachem m¨ussen (d.h. wieweit wir unsere Messgenauigkeit verbessern m¨ussen) um eine vorgegebene Schrankeεf¨ur den Fehler ∆y einzuhalten.

18 13 FUNKTIONEN UND STETIGKEIT: GRUNDLEGENDES

13.4 Stetigkeit an einer Stelle

Wir sagen:fist an der Stellecstetigund definieren das auf die folgenden beiden ¨aquiva-lenten Weisen

(1) F¨ur alle Folgenxn mit limn→∞xn=cgilt

nlim→∞f(xn) =f(c) (2) F¨ur alleε >0 gibt es einδ >0 so, dass

– f¨ur allexmit|x−c| ≤δgilt: |f(x)−f(c)| ≤ε

In der Tat, gelte (1). Wir nehmen an dass (2) nicht gilt. Dann gibt es einε >0 und zu jedemδ=¹_neinxnmit|xn−c| ≤δaber|f(xn)−f(c)|> ε. Es folgt, dass lim_n→∞xn=c aberf(xn) sicher nicht gegenf(c) konvergiert. Widerspruch. Also gilt (2). Umgekehrt sei (2) angenommen undxn →c. Istε >0 gegeben, so gibt es nach (2) ein δ so, dass

|f(x)−f(c)|< εf¨ur allexmit|x−c|< δ. Daxn→c, gibt es einn0so, dass|xn−c|< δ f¨ur allen≥n0, also auch|f(xn)−f(c)|< ε.Die Bedingung (2) kann man mit mehr Pathos auch so lesen

(2’) F¨ur jedes noch so kleineε >0 kann man ein (hinreichend kleines)δ >0 so finden, dass|∆x| ≤δ(an der Stellec) schon garantiert dass,|∆y| ≤εan der Stellef(c) Korollar 13.1 Ist die Folge an ∈ D mithilfe der aufD definierten Funktiony=f(x) rekursiv definiert, d.h.an+1=f(an), existierta= limn→∞an∈Dund istfan der Stelle astetig, so istaeinFixpunktvonf, d.h.f(a) =a.

13.5 Stetigkeit und stetige Fortsetzung

IstfaufDdefiniert und an jeder Stellec∈Dstetig, so nennt manfeine (aufD)stetige Funktion. IstD^′⊇Dundg:D^′→Reine Fortsetzung vonfund stetig aufD^′, so nennt mangeinestetige Fortsetzungvonf. Insbesondere ist dann auchfstetig.

c∈Rheißt einH¨aufungspunktvonD, wenn es beliebig nahe beicnoch voncverschiedene Punkte vonDgibt, d.h. alternativ

• Zu jedenε >0 gibt esc6=d∈Dmit|c−d|< ε

• Es gibtdn∈Dmitdn6=cunddn→c.

IstD^′′⊇Dund bestehtD^′′\Dnur aus H¨aufungspunkten vonD, so istDdichtinD^′′ -z.B. istQdicht inR.

Korollar 13.2 IstD dicht inD^′′, so hatf:D→Rh¨ochstens eine stetige Fortsetzung h:D^′′→R.

Beweis. Zu jedem c ∈ D^′′gibt es dn →c mitdn ∈ D. Mit der Stetigkeit vonhfolgt h(c) = limn→∞h(dn) = limn→∞f(dn) - der eindeutig bestimmte Limes.

Beispiel 1:Die Betragsfunktion

Das ist die Funktionf:R→R,x7→ |x|mit dem folgenden Graphen:

19

-6

f

Sie ist auf ganzRstetig, wie man leicht mit der Dreiecksungleichung erh¨alt. Ausxn→x0

folgt n¨amlich wegen

|xn| − |x0|

≤ |xn−x0| →0, dass auch|xn| → |x0|.

Beispiel 2:Die Signumfunktion Das die Funktion

sgn :R→R, x7→







1 fallsx >0 0 fallsx= 0

−1 fallsx <0 .

-6

−1 0 1

) (

Schr¨ankt man aufR\{0}ein, so erh¨alt man eine stetige Funktion. Diese erlaubt aber keine stetige Fortsetzungh:R→R- f¨ur die m¨usste gelten: 1 = limn→∞sgn¹_n= limn→∞h(¹_n) = h(0) = lim_n→∞h(−¹n) = lim_n→∞sgn−¹n=−1.

14 Funktionen und Stetigkeit: Beispiele

14.8 Stetigkeit der arithmetischen Operationen

Satz 14.1 Addition und Multiplikation reeller Zahlen sind stetig (wobei man beide Ar-gumente simultan und unabh¨angig voneinander variieren darf. Die Inversion ist stetig, soweit sie ausf¨uhrbar ist, d.h. f¨urx6= 0.

Die Absch¨atzungen f¨ur + und·sind klar. F¨ur die Inversion folgt sie aus ^c₂²≤ |c(c+ ∆x)|. Es folgt Satz 12.4.

z=x+y

|∆z| ≤ |∆x|+|∆y| z=xy

|∆z| ≤ |c∆x|+|d∆y|+|∆x∆y|

y=1 x

|∆y| ≤ 2

|c|²|∆x| f¨ur|∆x| ≤|c| 2

20 14 FUNKTIONEN UND STETIGKEIT: BEISPIELE

14.9 Substitution

Hat man zwei Funktioneny=f(x) undz=g(y), so kann man z.B.f ingsubstituieren und erh¨alt dieVerkettungg◦f(liesgnachf) mit

(g◦f)x=g(f(x))

Satz 14.2 Istf an der Stellecundg an der Stelled=f(c)stetig, so istg◦f an der Stellecstetig.

Beweis. Seiε >0 gegeben. Dagan der Stelledstetig ist, gibt esγ >0 so, dass

|g(y)−g(d)| ≤ε f¨ur alleymit|y−d| ≤γ Daf an der Stellecstetig ist, gibt esδ >0 mit

|f(x)−f(c)| ≤γ f¨ur allexmit|x−c| ≤δ Nund=f(c), also gilt f¨ur allexmit|x−c| ≤δ

|g(f(x))−g(f(c))|=|g(y)−g(d)| ≤ε mity=f(x) also|y−d| ≤γ 14.10 Rationale Komposition

Sindf, g:X →RFunktionen, so erh¨alt man ihreSummef+g, ihrProduktf gund – fallsg(x)6= 0 f¨ur allex∈X – ihrenQuotientenf /gdurch

(f+g)(x) =f(x) +g(x), (f g)(x) =f(x)g(x), (f /g)(x) =f(x)/g(x). Korollar 14.3 Sindf, g:X→Rinx0stetig, so sind auchf+g,f gund – fallsg(x)6= 0 f¨urx∈X– auchf /ginx0 stetig.

Beispiel 3:Polynome

Sein∈N₀,a0, . . . , an∈Rundan6= 0. Die Funktionf:R→R, f(x) =anxⁿ+an−1xⁿ⁻¹+. . .+a1x+a0=

Xn

i=0

aixⁱ

heißtPolynom n. Grades, und dieaiheißen seineKoeffizienten. Polynome sind auf ganz Rstetig.

Lemma 14.4 Istf(x) =anxⁿ+. . .+a1x+a0ein Polynom vom Gradnundx0∈R, so gibt es ein Polynomg(x) =bn−1xⁿ⁻¹+. . .+b1x+b0vom Gradn−1und einc∈Rmit f(x) = (x−x0)g(x) +c f¨ur allex∈R. (14.1) Aus (14.1) folgtc = f(x0). Um (14.1) zu zeigen, vergleichen wir die Koeffizienten der Polynome auf der linken bzw. rechten Seite von (14.1):

beixⁿ: an = b_n−1

beixⁿ⁻¹: an−1 = bn−2−x0bn−1

...

beix¹: a1 = b0−x0b1

beix⁰: a0 = c−x0b0.

14.10 Rationale Komposition 21

Ein bequemes Berechnungsverfahren bietet dasHornerschema:

an a_n−1 a_n−2 . . . a1 a0

Beweis. Wir beweisen durch Induktion ¨ubern: Hatf(x) =Pn

i=0aixⁱn+ 1 verschiedene

Istx0 Nullstelle vonf, so kannf faktorisiert werden:f(x) = (x−x0)g(x). Mehrfache Anwendung dieser ¨Uberlegung zeigt: ein Polynom vom Gradnhat h¨ochstensnNullstellen.

Ist alsox0eine Nullstelle vonf, so gibt es ein Polynomg1so, dassf(x) = (x−x0)g1(x).

Istx0auch Nullstelle vong1, so gibt es ein Polynomg2so, dassf(x) = (x−x0)²g2(x). Wir fahren so fort und finden eine Zahlℓ∈Nmitf(x) = (x−x0)^ℓgℓ(x), abergℓ(x0)6= 0. Dann heißtℓdieOrdnung der Nullstellex0vonf. Analog heißtx0einePolstelleℓ. Ordnung der rationalen Funktionf=g/h, wenng(x0)6= 0 und wennx0 Nullstelleℓ. Ordnung vonh ist.

Beispiel 4:Rationale Funktionen

Eine rationale Funktion ist der Quotient f(x)/g(x) zweier Polynome f, g. Sie ist auf {x∈R: g(x)6= 0}erkl¨art und nach Satz 14.3 und Beispiel 3 auf dieser Menge stetig.

22 14 FUNKTIONEN UND STETIGKEIT: BEISPIELE

14.11 Sinus und Co

Wir k¨onnen die Stetigkeit der Funktionen Sinus und Cosinus zeigen, wenn wir akzeptieren, dass die L¨ange des Bogens mindestens die L¨ange der Sekante ist. In beiden F¨allen haben wir

Wir erkl¨aren dieTangensfunktiontan und dieCotangensfunktioncot durch tan : R\(^π₂+πZ)→R, x7→cos^sinxx

14.11 Sinus und Co 23

|∆y| ≤ |∆x|

24 13 FUNKTIONEN UND STETIGKEIT: EIGENSCHAFTEN

Beide Funktionen sind periodisch mit der Periodeπ:

tan(x+π) = tanx , cot(x+π) = cotx , und beide Funktionen sind ungerade:

tan(−x) =−tanx , cot(−x) =−cotx . F¨ur alle zul¨assigenx, ygelten die Additionstheoreme

tan(x+y) = tanx+ tany 1−tanxtany cot(x+y) = cotxcoty−1 cotx+ coty . Schließlich sind nach Satz 14.3 beide Funktionen tan und cot stetig.

13 Funktionen und Stetigkeit: Eigenschaften

13.6 Zwischenwerte

Nach eine alten Dogma macht die Natur keine Spr¨unge und haben alle Funktionen, die Naturvorg¨ange beschreiben sollen, zumindestens stetig zu sein. Wenn Sie z.B. eine Reak-tion beobachten, so nimmt die Zahl der Molek¨ule, f¨ur die ReakReak-tion erfolgt ist, mit der Zeit stetig zu: 0 Molek¨ule zur Zeit 0, 100 zur Zeit 1, ein Tausendstel Molek¨ul zur Zeit ₁₀¹ usw. wer’s glaubt wird seelig. Aber: Stetigkeit ist eine n¨utzliche und oft auch sinnvolle Fiktion. Man kann sie auch so deuten: kein m¨oglicher Wert ist unm¨oglich. In der Tat Satz 13.1 Zwischenwertsatz. Istf stetig auf dem Intervall[a, b] ={x∈R|a≤x≤b} und liegtdzwischenf(a)undf(b), so gibt es einc∈[a, b]mitf(c) =d.

Beweis. Es gibt eine Intervallschachtelung an, bn so, dass d f¨ur alle n zwischen f(an) und f(bn) liegt. Dazu a0 = a, b0 = b und (mit dem Prinzip der bedingten Auswahl) an+1, bn+1∈ {an,(an+bn)/2, bn}so, dassdzwischenf(an+1) undf(bn+1) liegt. F¨ur die durch die Intervallschachtelung definierte reeelle Zahlcgiltc= limn→∞an= limn→∞bn, also mit der Stetigkeit vonf auch

f(c) = lim

n→∞f(an) = lim

n→∞f(bn)

Mit dem Einschließungskriterium (f¨urdn =dzwischenf(an) undf(bn)) folgtf(c) =d.

13.7 Extremwerte

Satz 13.2 Eine auf einem Intervall[a, b]stetige Funktion ist beschr¨ankt und nimmt ihr Maximum bzw. Minimum je mindestens einmal an.

13.8 Monotonie 25 Beweis. Angenommen,f ist nicht nach oben beschr¨ankt. Dann gibt es zu jedemneinxn

in [a, b] mitf(xn)≥n. Nach Bolzano-Weierstrass k¨onnen wir zu einer Teilfolgepk mit f(pk)≥k¨ubergehen, die gegen einp∈[a, b] konvergiert. Dannf(p) = limk→∞f(pk)≥m f¨ur allem, Widerspruch. Ebenso sieht man, dassfnach unten beschr¨ankt ist.

Wir haben alsoc0, d0mitc0≤f(x)≤d0f¨ur allex∈[a, b]. Wir halbieren nun das Intervall [c0, d0] fortlaufend so, dass es zu [cn, dn] einxn∈[a, b] gibt mitcn≤f(xn) undf(x)≤dn

f¨ur allex∈[a, b] - genau eine der beiden H¨alften tut’s jeweils. Die Intervallschachtelung liefert uns die obere SchrankeM = limn→∞dnvonf undM=f(x), wobeixder Limes einer konvergenten Teilfolge derxnist..

Beispiel: Sei

Q(x1, x2) =ax²1+bx²2+cx1x2, f(x) =Q(cosx,sinx)x∈[0,2π]

Dann nimmtfmit Garantie Maximum und Minimum an, sogar je genau zweimal, wenn’s nicht konstant ist. Man betrachtet hier eine “quadratische Form” auf dem Einheitskreis;

die Vektoren, an denen die Extremwerte angenommen werden, heissen “Eigenvektoren”.

Diese werden Sie im zweiten Semester kennenlernen, oder in der Physik z.B. als Haupt-tr¨agheitsachsen. Das Sch¨one ist: unser simples Prinzip erlaubt die Existenz m¨uhelos nach-zuweisen und dann kann man sich Methoden zur Berechnung ausdenken. Aber mit Rech-nen allein ist nichts zu machen.

13.8 Monotonie

Eine Funktiony=f(x) heisstmonoton (auf dem betrachteten DefinitiosbereichD) falls f(x)≤f(u) f¨ur allex≤u monoton wachsend

f(x)≥f(u) f¨ur allex≤u monoton fallend undstreng monoton falls

f(x)< f(u) f¨ur allex < u streng monoton wachsend f(x)> f(u) f¨ur allex < u streng monoton fallend

Beispiel: f¨ur n = 1,3,5, . . . ist f(x) = xⁿ ist streng monoton wachsend auf R, f¨ur n= 2,4, . . .streng monoton fallend f¨urx≤0 und wachsend f¨urx≥0.

Satz 13.3 Istf auf[a, b]monoton und nimmtfjeden Wert zwischenf(a)undf(b)an, so istf auf[a, b]stetig.

Beweis. Seifz.B. monoton wachsend. Seif(a)< d=f(c)< f(b) angenommen undε >0 gegeben. Nach Voraussetzung gibt es einc1∈[a, b] mitf(c1) = max{a, d−ε}< dund wegen der Monotonie giltc1< c. Ebenso gibt esc2> cmitf(c2) = min{b, d+ε}. W¨ahle nunδ= min{c−c1, c2−c}. Istf(c) =f(a) oderf(c) =f(b), so hat man nur eine Seite zu betrachten, auf der anderen Seite wirds trivial (die Stetigkeitsbedingung|f(x)−f(c)| ≤ε bezieht sich nur aufx, f¨ur dief(x) auch definiert ist.

26 13 FUNKTIONEN UND STETIGKEIT: EIGENSCHAFTEN

13.8 Monotonie 27 28 13 FUNKTIONEN UND STETIGKEIT: EIGENSCHAFTEN 13.9 Umkehr

Die Funktioneny=f(x) undx=g(y) sind gegenseitigUmkehrfunktionen, wenn gilt y=f(x) genau dann, wenn x=g(y)

f¨ur allexim Definitionsbereich vonfbzw.yim Definitionsbereich vong. Man kann auch so sagen

• Istf(x) definiert, so istg(f(x)) =x

• Istg(y) definiert, so istf(g(y)) =y Also

f:D(f)→B(f) und g:D(g) =B(f)→B(g) =D(f)

Hat f eine Umkehrfunktion g, so ist diese eindeutig betsimmt und man schreibt auf g=f⁻¹.

Satz 13.4 Eine auf einem Intervall definierte stetige Funktion hat genau dann eine Um-kehrfunktion, wenn sie streng monoton ist. Die Umkehrfunktion ist dann ebenfalls auf einem Intervall definiert, stetig und im gleichen Sinne streng monoton.

Beweis. Sei f stetig auf einem Intervall und a < b in diesem. Sei g Umkehrfunktion von f. W¨are f(a) = f(b), so a= g(f(a)) = g(f(b)) = b. Also sei z.B. f(a) < f(b).

Wir behaupten, dass dannf(a)< f(x)< f(b) f¨ur allexmita < x < b. Andernfalls w¨are z.B. f(x) ≤ f(a), aber dann auch, wie gerade gesehen, f(x) < f(a). Nach dem Zwischenwertsatz gibt es aber dann einymitx≤y≤bmitf(y) =f(a), Widerspruch wie eben.

Sei umgekehrtf auf einem Intervall [a, b] stetig und streng monoton, z.B. wachsend.

Dannf(a)≤f(x)≤f(b) f¨ur allex∈[a, b] und nach dem Zwischenwertsatz tritt jedes y∈[f(a), f(b)] als Werty=f(x) auf, wegen der strengen Monotonie aber genau einmal.

Also haben wir mitg(y) =x ⇔ y=f(x) eine wohldefinierte Funktion auf [f(a), f(b)], die f umkehrt. Diese ist ebenfalls streng monoton, hier wachsend: isty=g(x)< y=g(x1), so kann nichtx1≤xsein.Beispiel

n= 1,3,5. . .: y=xⁿ, x=√ⁿy f¨urx, y∈R n= 2,4,6. . .: y=xⁿ, x= +√ⁿy f¨urx, y≥0 n= 2,4,6. . .: y=xⁿ, x=−√ⁿy f¨urx≤0, y≥0

Hier ist es wichtig, dassfauf einemIntervallstreng monoton w¨achst. Das zeigt folgendes Beispiel. SeiX= [−2,−1)∪[1,2] und

13.10 Arcus 29

Die Funktionfist streng monoton wachsend, stetig, und sie bildetX auf [−1,1] ab. Die Umkehrfunktionf⁻¹ist

f(y)⁻¹=

Diese ist an der Stelle 0 unstetig.

13.10 Arcus

Wir schauen uns noch das Problem der Umkehrfunktion der trigonometrischen Funk-tionen an. Wegen der Periodizit¨at ist keine der FunkFunk-tionen sin,cos,tan,cot auf ihrem gesamten Definitionsbereich injektiv, und es besitzt keine dieser Funktionen auf dem ge-samten Definitionsbereich einer Umkehrfunktion. Man sucht sich daher f¨ur diese

Wir schauen uns noch das Problem der Umkehrfunktion der trigonometrischen Funk-tionen an. Wegen der Periodizit¨at ist keine der FunkFunk-tionen sin,cos,tan,cot auf ihrem gesamten Definitionsbereich injektiv, und es besitzt keine dieser Funktionen auf dem ge-samten Definitionsbereich einer Umkehrfunktion. Man sucht sich daher f¨ur diese

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