Bezeichnungen - 12 Folgen und Konvergenz: Grundlegendes

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T1(x,0) T3(x,0)

f(x) = sinx 1

−1

−π ^π π

−^π2 2 x

Beispiel 7Seif(x) = ln(x+ 1), x0=a= 0 sowiex=b∈(−1,∞). Dann istf^′(x) = _1+x¹ undf^(k)(x) = (−1)^k−¹(k−1)!(1 +x)⁻^kf¨urk≥2 und daher

f(0) = 0, f^(k)(0)

k! =(−1)^k⁻¹

k f¨urk≥1.

Einsetzen in die Taylorsche Formel liefert ln(1 +x) =x−x²

2 +x³ 3 −x⁴

4 +· · ·+ (−1)ⁿ⁻¹xⁿ

n + (−1)ⁿ 1 (1 +ξ)ⁿ⁺¹

xⁿ⁺¹ n+ 1 mit einemξ∈(0, x). F¨urx= 1 istξ∈(0,1) und folglich

|Rn(1,0)|=

(−1)ⁿ 1 (1 +ξ)ⁿ⁺¹

xⁿ⁺¹ n+ 1

< 1

n+ 1. WegenRn(1,0)→0 ist klar: Die ReiheP_∞

k=1(−1)^k^{−1 1}_k= 1−¹2+¹₃−¹4+· · · konvergiert gegen ln 2.

Beispiel 8F¨urf(x) =e^xistf^(k)(0) = 1 f¨ur jedesk∈N0 und somit e^x= 1 + x

1!+x²

2!+· · ·+xⁿ n! + e^ξ

(n+ 1)!xⁿ⁺¹

mit einemξ∈(0, x). Dasn-te Taylorpolynom ist also gerade dien-te Partialsumme der Reihe, mit der exp oft definiert wird. Wir kommen auf diesen Zusammenhang sp¨ater zur¨uck.

14.23 Bezeichnungen

F¨ur Funktioneny=f(t)∈Rmitt∈Rundp∈D(f) benutzen wir

• ∆y= ∆f= (∆f)(p,∆t) =f(p+ ∆t)−f(p)DifferenzoderAnderung¨ vonfan der Stellepbei ¨Anderung ∆t

(∆f)(p) :R→Rist eine Abbildung: (∆f)(p)(∆t) = ∆f(p,∆t)

• ^∂y∂t =^∂f_∂t(p) =f^′(p)Ableitung, Differentialquotientvonf an der Stellep f^′(p)∈Rist eine Zahl

54 14 DIFFERENTIATION: H ¨OHERE ABLEITUNGEN

• dy= df= (df)(p,dt) =f^′(p)·dtDifferentialvonf an Stellepbei ¨Anderung dt (df)(p) :R→Rist eine homogen-lineare Abbildung: (df)(p)(dt) = (df)(p, t)

∆t wird meist als sehr klein, dt auch als infinitesimal gedacht, beide 6= 0. Dann ist, Differenzierbarkeit vorausgesetzt

(∆y)(p,∆t)≈(dy)(p,∆t) genauer: (∆y)(p,∆t)−(dy)(p,∆t)

∆t →0 f¨ur ∆t→0

(∆y)(p,dt)−(dy)(p,dt)

dt infinitesimal f¨ur infinitesimale dt 14.24 Satz von Lagrange-McLaurin-Taylor

Satz 14.5 Seiδ=b−a >0undf: [a, b]→R. Dann sind ¨aquivalent (i) f(a+t) =Pn

k=0akt^k+R(t)f¨ur allet∈[0, δ]mitR^(k)(0) = 0f¨ur0≤k≤n undR(t)auf[0, δ]n-mal stetig differenzierbar und auf]0, δ[n+1-mal differenzierbar (ii) ak=_k!¹f^(k)(a)f¨ur0≤k≤nundy=f(x)auf[a, b]n-mal stetig differenzierbar

und auf]a, b[n+ 1-mal differenzierbar.

Die FunktionR(t)in (i) ist eindeutig bestimmt durch die Bedingung

R^(k)(0) = 0f¨ur0≤k≤nundf⁽ⁿ⁺¹⁾(a+t) =R⁽ⁿ⁺¹⁾(t)f¨ur allet∈]0, δ[

Weiterhin gilt

zu jedemt∈[0, δ]gibt esξ(t)∈[0, t]mit R(t) =f⁽ⁿ⁺¹⁾(a+ξ(t)) (n+ 1)! tⁿ⁺¹ Gilt|f⁽ⁿ⁺¹⁾(a+ξ)| ≤M f¨ur alleξ∈[0, t]so folgt |R(t)| ≤ M

(n+ 1)!|t|ⁿ⁺¹ Entsprechendes gilt f¨urbundt∈[−δ,0].

Beweis. Beweis von (i)⇔(ii) durch Induktion ¨ubern. Beachte dass

∂f(a+t)

∂t (t0) =∂f(x)

∂x (a+t0)

und dass Polynome beliebig oft differenzierbar sind. Damit folgen aus den Differenzier-barkeitsannahmen f¨urf(x) die f¨urR(t) und umgekehrt.

Der Falln = 1 ist gerade die Charakterisierung der Ableitung. Sei n > 1 und (i) angenommen. Ableiten vom (i) nachtergibt

f^′(a+t) = Xn

k=1

kakt^k⁻¹+R^′(t), R^′^(k)(0) =R^(k+1)(0) = 0 f¨ur 0≤k≤n−1

14.21 Anwendungen auf die Untersuchung von Funktionsgraphen 55 Also nach Induktionsannahme

kak= 1

(k−1)!f^′^(k⁻¹⁾(a) = 1

(k−1)!f^(k)(a), ak= 1 (k)!f^(k)(a) Gilt (ii) so setzeR(t) =f(a+t)−Pn

k=0akt^k. Dann gilt f¨ur diem-te Ableitung,m≤n+1:

f^(m)(a+t) =m!am+ Xn

k=m+1

((k−m+ 1)· · ·k)akt^k−m+R^(k)(t)

R^(m)(0) =f^(m)(a+ 0)−m!am= 0 f¨urm≤n Mitm=k+ 1 folgt

f⁽ⁿ⁺¹⁾(a+t) =R⁽ⁿ⁺¹⁾(t) f¨ur allet∈]0, δ[

Die Eindeutigkeit vonR(t) ergibt sich nun durchn+ 1-malige Anwendung des Eindeutig-keitssatzes. Man kann, wie Lagrange,R(t) als Integral darstellen und dannξ nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung w¨ahlen, um das Restglied wie oben zu erhalten. Das werden wir bei Gelegenheit tun.

14.21 Anwendungen auf die Untersuchung von Funktionsgraphen

Wir sehen uns nun genauer an, wie sich f¨ur gen¨ugend oft differenzierbare Funktionen ihr Monotonie- und Kr¨ummungsverhalten sowie lokale Extrema mit Hilfe der Differential-rechnung effektiv untersuchen lassen. Wir wissen bereits:

• fhat inx0ein lokales Extremum ⇒ f^′(x0) = 0 (Satz 14.5)

• fmonoton wachsend (fallend) ⇔ f^′≥0 (f^′≤0) (Abschn.14.7)

• fkonvex (konkav) ⇔ f^′′≥0 (f^′′≤0). (Satz 4.17)

F¨ur lokale Extrema haben wir bisher nur eine notwendige Bedingung angegeben. Wir erg¨anzen diese durch hinreichende Bedingungen. Anschaulich klar ist die folgende Bedin-gung.

Satz 14.6 Seif differenzierbar auf(a, b),x0 ∈(a, b),f^′(x0) = 0, undf^′ wechsle inx0

das Vorzeichen. Dann besitztf ein lokales Maximum inx0, wenn das Vorzeichen von+ nach− wechselt f¨ur gr¨oßer werdendesx, und ein lokales Minimum bei Wechsel von− nach+.

Satz 14.7 Sein ≥2,f auf(a, b)n-mal stetig differenzierbar, undx0 ∈(a, b). Weiter seif^(k)(x0) = 0 f¨urk = 1,2, . . . , n−1 undf⁽ⁿ⁾(x0) 6= 0. Istn gerade, so besitzt f in x0 einen lokalen Extremwert, und zwar ein lokales Minimum, fallsf⁽ⁿ⁾(x0)>0und ein lokales Maximum f¨urf⁽ⁿ⁾(x0)<0. Istnungerade, so liegt inx0 kein Extremwert vor.

56 14 DIFFERENTIATION: H ¨OHERE ABLEITUNGEN

Wir wollen uns dies f¨urn= 2 klarmachen, d.h. wir zeigen unter den Voraussetzungen des Satzes

f^′(x0) = 0, f^′′(x0)>0 ⇒ fhat lokales Minimum inx0, f^′(x0) = 0, f^′′(x0)<0 ⇒ fhat lokales Maximum inx0. Seix∈(a, b). Der Satz von Taylor liefert uns die Existenz einesξ∈(x0, x) mit

f(x)−f(x0) =f^′(x0)

1! (x−x0) +f^′′(ξ)

2! (x−x0)²=f^′′(ξ)

2! (x−x0)².

Sei beispielsweisef^′′(x0)>0. Wegen der Stetigkeit vonf^′′gibt es dann eine Umgebung U⊆(a, b) vonx0, auf derf^′′positiv ist. F¨urx∈U ist auchξ∈U, und wir erhalten

f(x)−f(x0) =f^′′(ξ)

2! (x−x0)²>0 f¨ur allex∈U\{x0}.

Also besitztf inx0 ein (sogar echtes) lokales Minimum. Den Fallf^′′(x0)<0 behandelt man analog.

Ein Punktx0 ∈ (a, b) heißtWendepunkt vonf : (a, b) →R, wenn es eine Umgebung (x0−ε, x0+ε)⊆(a, b) vonx0 gibt, so dassf auf (x0−ε, x0) konvex (bzw. konkav) und auf (x0, x0+ε) konkav (bzw. konvex) ist.

Satz 14.8 (a) Seif in(a, b)zweimal stetig differenzierbar undx0∈(a, b)ein Wende-punkt vonf. Dann istf^′′(x0) = 0.

(b) Sei n ≥ 3, f auf (a, b) n-mal stetig differenzierbar und x0 ∈ (a, b). Weiter sei f^(k)(x0) = 0f¨urk = 2, . . . , n−1 und f⁽ⁿ⁾(x0)6= 0. Dann istx0 ein Wendepunkt f¨urf, fallsnungerade ist, und kein Wendepunkt, fallsngerade ist.

Die Begr¨undung folgt wieder mit dem Satz von Taylor.

Beispiel 9Wir betrachten die Funktionf: [−1,1]→R,x7→x². F¨ur diese istf^′(x) = 2x undf^′′(x) = 2 f¨ur allex∈(−1,1). Nach Satz 14.7 hatfinx0= 0 ein lokales Minimum, und nach Satz 14.8 hatf keine Wendepunkte. Man beachte, dass wir in (−1,1) keine lokalen Maxima gefunden haben. Da die Funktionf aber stetig ist, muss sie auf [−1,1]

globale Maxima und Minima besitzen. Wie wir gesehen haben, kann das globale Maximum nur in den Endpunkten±1 des Intervalles angenommen werden. Wegenf(1) =f(−1) = 1 ist klar: Die Funktionf nimmt in ±1 ihr globales Maximum an und in 0 ihr globales Minimum.

14.22 Anwendung auf die Bestimmung von Grenzwerten

Die folgende Regel von de l’Hospital hilft bei der Bestimmung von Grenzwerten von Br¨uchen der Gestalt “0/0”.

Satz 14.9 Die Funktionen f und g seien auf (a, b) n-mal stetig differenzierbar, in x0 ∈(a, b)gelte f(x0) =f^′(x0) =. . .=f⁽ⁿ⁻¹⁾(x0) = 0sowieg(x0) =g^′(x0) =. . .= g⁽ⁿ⁻¹⁾(x0) = 0undg⁽ⁿ⁾(x0)6= 0. Dann existiert der Grenzwert limx→x0

f(x)

g(x), und dieser Grenzwert ist gleich^f_g(n)⁽ⁿ⁾^(x(x0⁰⁾).

14.25 Bernoulli-l’Hospital 57 BeweisDer Satz von Taylor liefert

f(x)

Beispiel 11Die Regel von l’Hospital gilt auch, wenn unbestimmte Ausdr¨ucke der Gestalt

“∞/∞” vorliegen (vgl. Barner/Flohr, S. 276 – 277). So ist z.B. gebracht und darauf l’Hospital angewandt. ¨Ahnlich lassen sich zahlreiche weitere Grenz-werte, die auf unbestimmte Ausdr¨ucke wie “∞ − ∞” oder “1^∞” f¨uhren, berechnen.

14.25 Bernoulli-l’Hospital

falls der zweite Limes existiert. Das gilt auch f¨ur uneigentliche Limites. Entsprechendes gilt f¨urb > x→bbzw.x→cmitf, gdifferenzierbar auf]a, c[∪]c, b[.

Beweis im Falle eigentlicher Limites und differenzierbarerf, g: [a, b]→Rmitg^′(a)6= 0.

Wegen der Stetigkeit vonf, ggiltf(a) =g(a) = 0. Also Allgemein: Siehe Heuser, Analysis I,§50. Beispiel

x→lim+∞

Es sind wenigstens zwei Probleme, die zur Herausbildung der Integralrechnung gef¨uhrt haben.

Fl¨achenberechnungenGegeben ist eine Funktionf: [a, b]→[0,∞).Gesucht ist der Inhalt der von den Geradenx=a, x=b, y= 0 und vom Graphen der Funktionf berandeten Fl¨ache. Genau genommen m¨ussen wir dazu vorab die Frage kl¨aren, was wir unter dem Inhalt einer kompliziert geformten Fl¨ache verstehen wollen. Es geht uns also nicht nur um eine Berechnungsvorschrift f¨ur Fl¨acheninhalte, sondern auch um deren Definition.

Umkehrung des DifferenzierensKann man aus der Ableitung einer Funktion die Funktion selbst rekonstruieren? Gibt es f¨ur jede Funktionf eine FunktionF mitF^′=f? Wenn ja, wie viele solcher Funktionen gibt es?

Zur Beantwortung dieser und anderer Fragen wurden verschiedene Integralbegriffe ent-wickelt, von denen wir einen der einfachsten - das Riemann-Integral - nun kennen lernen wollen. Eine nahe liegende Idee zur Berechnung des Inhalts eines komplizierten Gebietes (etwa des oben skizzierten) ist es, das Gebiet durch andere Gebiete

”anzun¨ahern“, deren Fl¨achenberechnung einfacher ist, etwa durch Gebiete, die aus endlich vielen Rechtecken zusammengesetzt sind. Wir hoffen, dass wir dem wahren Fl¨acheninhalt n¨aherkommen, wenn wir die Approximation ”verfeinern“, indem wir z.B. die Rechtecke schmaler ma-chen. Diese vagen Vorstellungen wollen wir nun pr¨azisieren. Dabei wollen wir auch die historische Entwicklung des Integralbegriffs und die aktuelle Sichtweise in den Ingenieur-wissenschaften ber¨ucksichtigen.

15.1 Grundlegendes zur Integration

Wir betrachten nur beschr¨ankte Funktionenf : [a, b]→R, alsom≤f(x)≤M f¨ur alle x∈[a, b].

15.1.1 Zerlegungen und Treppenfunktionen

EneZerlegungZdes Intervalls [a, b] wird gegeben durcha=z0< z1< . . . < zn−1< zn=b (mit beliebigemn). Dazu geh¨oren dieLinienelemente(∆x)k=zk+1−zk. DieMaschenweite vonZ ist min{(∆x)k|k < n}. (Man darf auchzk=zk+1zulassen, aber das bringt nichts Neues und so passt’s besser zur ¨ublichen Vorstellung.)

15.1 Grundlegendes zur Integration 59 EineTreppenfunktionf: [a, b]→Rzur ZerlegungZist konstant auf jedem der offenen Intervalle ]zk, zk+1[. Das Integral einer Treppenfunktionf ist definiert als

Z b a

f(x)dx=

n−1

k=0

f(ξk)(∆x)k mitξk∈]zk, zk+1[

Lemma 15.1 Das Integral einer Treppenfunktion h¨angt nicht von der gew¨ahlten Zerle-gung ab.

Beweis: Istzh≤w≤zh+1f¨ur einh, so ergibt Einf¨ugen vonweine Zerlegung f¨urf und es ergibt sich dasselbe Integral, weil f¨urξ∈]zh, w[ undξ^′∈]w, zh+1[ gilt

f(ξh) =f(ξ) =f(ξ^′) alsof(ξh)(zh+1−zh) =f(ξ)(w−zh) +f(ξ^′)(zh+1−w).

Ist allgemeinerZ^′mita=z0^′ < z1^′. . . < z^′m=beine weitere Zerlegung f¨ur die Treppen-funktionf, so betrachte man diegemeinsame VerfeinerungZ^′′, die man dadurch erh¨alt, dass man die Menge{z0, . . . , zn, z^′₀, . . . , z_m^′ }nach der Gr¨oße der Elemente anordnet. Durch Einzelschritte wie eben kommt man vonZwie vonZ^′zuZ^′′, also folgt die Gleichheit der das Integral definierenden Summen.

15.1.2 Riemannsches Integral

Satz 15.2 Seif: [a, b]→Reine beschr¨ankte Funktion. F¨urc∈Rsind ¨aquivalent (i) Es gibt Treppenfunktionenf_n, fn: [a, b]→Rmitf_n≤f≤fn f¨ur allen(o.B.d.A.

f_n

−1≤f_n≤f_n≤f_n−1) undlim_n→∞Rb

af_n(x)dx=c= lim_n→∞Rb af_n(x)dx (ii) F¨ur alleε >0gibt esδ >0so, dass f¨ur alle ZerlegungenZ von[a, b]mit

Maschen-weite≤δund alleξk∈]zk, zk+1[ gilt:|c−Pb

k=0f(ξk)(∆x)k| ≤ε

(iii) F¨ur alleε >0gibt es eine ZerlegungZvon[a, b]so, dass f¨ur alleξk∈]zk, zk+1[ gilt:

|c−Pb

k=0f(ξk)(∆x)k| ≤ε

Es gibt h¨ochstens einc, das (iii) erf¨ullt und es gilt m(b−a) ≤ c ≤ M(b−a) falls m≤f(x)≤M f¨ur allex∈[a, b].

Gilt (i), so heißtf : [a, b] → R (Riemann)integrierbar undc = Rb

af(x)dx das Inte-gralvonf auf dem Intervall [a, b]. (ii) und (iii) geben Anlass, f¨ur eine Zerlegung Z und Zwischenvektorξ= (ξk) mitξk∈]zk, zk+1[ dieRiemann-Summezu definieren als

R(Z, ξ, f) = Xn

k=0

f(ξk)(∆x)k

Beschr¨anktesf: [a, b]→Rist integrierbar genau dann, wenn es Treppenfunktionen f_n≤f≤fngibt mitRb

afn(x)dx−Rb

af_n(x)dx→0 f¨urn→ ∞.

60 15 INTEGRATION

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0

0 1 1 1

00 00 00 11 11 11

000 000 000 111 111 111 0 0

0 0 0 1 1 1 1 1

00 00 00 00 11 11 11 11

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 00 00 00 00 00 11 11 11 11 11

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1

a b

Beweis. (iii) folgt trival aus (ii). Um (iii)⇒(i) zu zeigen, seiε=¹_nundZdie zugeh¨orige Zerlegung. seiη=ε/(b−a). Dafauf ]zk, zk+1[ nach oben und unten beschr¨ankt ist, gibt es (dank Archimedes)ξk, ξ_k∈]zk, zk+1[ so, dass

f(ξ_k)−η≤f(x)≤f(ξk) +η f¨ur allex∈]xk, xk+1[.

Definiere Treppenfunktionen

fn(x) =f(ξk) +η f¨urzk< x < zk+1

f_n(x) =f(ξ_k)−η f¨urzk< x < zk+1

undf_n(zk) =f_n(zk) =f(zk). Dann folgtf_n≤f≤f_nund

n−1

k=0

f(ξk)(∆x)k− Z b

fn(x)dx≤ε also mit Voraussetzung (iii)

|c− Z b

f_n(x)dx| ≤2ε.

Es folgt

c= lim

n→∞

Zb a

f_n(x)dx und entsprechendc= lim_n→∞Rb

af_n(x)dx. Insbesondere istcdurchfeindeutig bestimmt.

Indem man f_n durch max{f_n, f_n

−1} und fn durch min{fn, fn−1} ersetzt, kann man f_n−₁≤f_n≤fn≤fn−1erreichen.

Sei nun (i) angenommen. Wegen der Beschr¨anktheit von f gibt esm, M mitm ≤ f(x)≤M f¨ur allex∈[a, b]. Wir d¨urfen also auchm≤f_n(x)≤fn(x)≤M annehmen (indem wir zu max{m, f_n(x)}und min{M, fn(x)}ubergehen). Sei¨ ε >0 gegeben. Nach Voraussetzung gibt es einn0so, dass

Z b a

fn0(x)dx− Zb

f_n

0(x)dx ≤ε 3.

15.1 Grundlegendes zur Integration 61 SeiN gr¨oßer als die Anzahl der Teilpunkte in den gew¨ahlten Zerlegungen zuf_n

0 bzw.

fn0. W¨ahleδ >0 mit

δ(M−m)N≤ε 3

Seien nun eine ZerlegungZ von Maschenweite≤δundξk∈]zk, zk+1[ gegeben. Definiere die Treppenfunktiongdurch

g(x) =

f(ξk) f¨urzk< x < zk+1

f(zk) f¨urx=zk

Dann gilt

Z b a

f_n

0(x)dx−ε 3≤

Z b a

g(x)dx≤ Z b

fn0(x)dx+ε 3. Ist n¨amlich ein Linienelement ]zk, zk+1[ vonZganz in einem vonf_n

0enthalten, so gilt auf diesemf_n

0(x)≤f(x). Andererseits gibt es h¨ochstensN Linienelemente vonZ, die nicht ganz in einem Linienlement vonf_n

0 enthalten sind und f¨ur jedes solche gilt

|g(ξk)(∆x)k−f_n

0(ξk)(∆x)k| ≤δ(M−m).

Entsprechendes gilt f¨urfn0. Es folgt, wie in (ii) behauptet,

|c− Z b

g(x)dx| ≤ε.

Hat man Treppenfunktionen wie im Kasten, so hat man Treppenfunktionen g_n(x) = max{f_k(x)|k≤n} ≤f(x)≤gn(x) = min{fn(x)|k≤n} und somit Intervallschachtelung

[ Z b

g_n(x)dx, Zn

gn(x)dx]

und diese bestimmtc=Rb

af(x)dx.

Beispiel 1Sei 0≤a < b. Auf dem Intervall [a, b] betrachten wir die Funktionf :x7→x². Wir w¨ahlen eine gleichm¨aßige ZerlegungZ: z0< z1<, . . . , < zn mit

zk=a+k∆x f¨urk= 0,1, . . . , n,∆x:=b−a n alsozk−zk−1= ∆x. Daf auf [a, b] monoton w¨achst, ist

mk= min{f(x)|xk≤x≤xk+1}=f(zk) =x²_k Mk= max{f(x)|xk≤x≤xk+1}=f(zk+1) =zk+1² , und wir definieren

f_n(x) =mkf¨urzk≤x < zk+1, fn(x) =Mkf¨urzk< x≤zk+1

62 15 INTEGRATION

Also Z b

f_n(x)dx= (∆x)

n−1

k=0

z_k² und Zb

f_n(x)dx= (∆x) Xn

k=1

z²_k. Also ist

Z b a

fn(x)dx− Zb

f_n(x)dx= (∆x)(zn²−z0²) = (∆x)(b²−a²) =(b−a)(b²−a²)

n .

und somitfauf [a, b] integrierbar.

Beispiel 2F¨ur die durch

f(x) =

(1 fallsxrational 0 fallsxirrational

definierteDirichlet-Funktionauf [a, b] ist jede Obersumme gleichb−aund jede Unter-summe gleich 0. Also istf nicht Riemann-integrierbar.

Wie in Beispiel 1 beweist man

Satz 15.3 Jede monotone Funktionf: [a, b]→Rist integrierbar.

15.1.3 Eigenschaften des Riemannintegrals

Satz 15.4 Seienf, g: [a, b]→RRiemann-integrierbar.

(a) F¨ur jedesc∈Ristcf Riemann-integrierbar, und es gilt Z b

(cf)(x)dx= Z b

cf(x)dx=c Zb

f(x)dx . (b) Die Summef+gist Riemann-integrierbar, und es gilt

Zb a

(f+g)(x)dx= Zb

f(x) +g(x) dx=

Z b a

f(x)dx+ Z b

g(x)dx . (c) Das Produktf g ist Riemann-integrierbar.

Die Aussagen (a) und (b) kann man am einfachsten so einsehen: IstZeine Zerlegung und ξein entsprechender Zwischenvektor, so gilt

R(Z, ξ, cf+g) =cR(Z, ξ, f) +R(Z, ξ, g). Der Beweis von (c) ist etwas schwieriger.

Satz 15.5 Seienf, g: [a, b]→RRiemann-integrierbar.

(a) Istf(x)≤g(x)f¨ur allex∈[a, b], so ist Z b

f(x)dx≤ Zb

g(x)dx .

15.1 Grundlegendes zur Integration 63 (b) Die Funktion|f|: [a, b]→R,x7→ |f(x)|, ist Riemann-integrierbar, und

Z b a

f(x)dx ≤

Z b

a |f(x)|dx .

Die Aussage in (b) heißt auch dieDreiecksungleichung f¨ur Integrale. Beachten Sie die Analogie zu den bekannten Ungleichungen

|a1+a2| ≤ |a1|+|a2| und

i=1

≤

i=1

|ai|. Zum BeweisAussage (a) ist klar, denn f¨ur jede Riemannsumme gilt

R(Z, ξ, f)≤R(Z, ξ, g).

Schwieriger ist der Beweis, dass|f|Riemann-integrierbar ist, falls f diese Eigenschaft besitzt. Wenn man aber davon ausgeht, dass|f|Riemann-integrierbar ist, wird der Beweis von (b) einfach: Aus−|f| ≤f≤ |f|folgt n¨amlich mit Teil (a)

− Z b

a |f(x)|dx≤ Zb

f(x)dx≤ Z b

a |f(x)|dx , und das ist die Behauptung.

Zur Integration ¨uber Teilintervalle gibt folgender Satz Auskunft.

Satz 15.6 (a) Istf: [a, b]→RRiemann-integrierbar unda≤c < d≤b, so istf auch auf[c, d]Riemann-integrierbar.

(b) Seif: [a, b]→Runda < c < b. Istf auf[a, c]und auf[c, b]Riemann-integrierbar, so istf auch auf[a, b]Riemann-integrierbar, und es gilt

Z b a

f(x)dx= Zc

f(x)dx+ Zb

f(x)dx .

Beweis. (b) ist klar mit (i) aus Satz 15.2. Bei (a) k¨onnen wir o.B.d.A. annehmen, dass f≥0 (nach Addition vonm≤f) undd=b. Seienf_nundfnf¨urfgem¨aß (i) in Satz 15.2 gegeben. Seiengundhdie Einschr¨ankungen vonfauf [a, c] bzw. [c, b] und entsprechend g_nusw. Dann

n→∞lim( Z c

g_n+ Z b

hn) = Zb

f= lim

n→∞( Z c

gn+ Z b

hn) also

nlim→∞[(

Z c a

g_n− Z c

g_n) + ( Z b

hn− Zb

h_n)] = 0 also wegen der Nichtnegativit¨at der Summanden

nlim→∞( Zc

g_n− Zc

g_n) = 0 = lim

n→∞( Z b

hn− Zb

h_n) Bisher haben wir das IntegralRb

af(x)dxf¨ura < bdefiniert. Mitunter sind die folgenden Vereinbarungenn¨utzlich:

64 15 INTEGRATION

(a)

Z a a

f(x)dx:= 0. (b) Istf: [a, b]→Rintegrierbar auf [a, b] (mita < b), so sei

Z a b

f(x)dx:=− Z b

f(x)dx . Mit diesen Vereinbarungen gilt:

Istf: [a, b]→RRiemann-integrierbar, so ist f¨ur beliebige Punkteα, β, γ∈[a, b]

Z β α

f(x)dx+ Z γ

f(x)dx= Z γ

f(x)dx .

und die FunktionF(u) =Ru

c f(x)dxist auf [a, b] stetig - sogarLipshitz-stetign¨amlich

|F(u+ ∆u)−F(u)| ≤ |∆u|(M−m) fallsm≤f(x)≤M 15.2 Integration stetiger Funktionen

Bei der Definition der Stetigkeit vonf :D →R] wird zu jedemp∈D undε >0 ein δ(p, ε)>0 verlangt so, dass|f(x)−f(p)| ≤εfalls|x−p| ≤δ(p, ε). Diese Definition ist

‘lokal’. Das Beispiel der Funktionf(x) =¹_x auf ]0,1], zeigt, dass i.A.δnicht unabh¨angig von p gew¨ahlt werden kann. Es soll gezeigt werde, dass dies aber der Fall ist, wenn D = [a, b] ein abgeschlossenes Intervall ist. Das ist eine wesentliche Voraussetzung, um die Rolle von Integralen in Natur- und Technikwissenschaften diskutieren zu k¨onnen.

Lemma 15.7 Istc∈[a, b]und sind f¨urf : [a, b]→V die Einschr¨ankungenf|[a, c]und f|[c, b]stetig, so ist auchf: [a, b]→V stetig.

Beweis. F¨ur p 6= c geh¨ort jede Folge xn → p ab einer Stelle zu [a, c] oder [c, b], also limn→∞f(xn) =f(p). An der Stellechat man nach Voraussetzung rechts- wie linksseitigen Limesf(c). Die Behauptung folgt nun mit Kor.13.18.

15.2.1 Kompaktheit

Gegeben eine Abbildungδ:R→R_≥₀, seiUxdas offene Intervall ]x−δ(x), x+δ(x)[ (d.h.

leer, fallsδ(x) = 0). Eine TeilmengeDvonRheissekompaktf¨urδ, wenn es entweder ein c∈Dgibt, so dassc6∈Uxf¨ur allex∈Roder es endlich vielex1, . . . , xn∈Rgibt so, dass

D⊆Ux1∪. . .∪Uxn

Dabei o.B.d.A.δ(xi)>0.

Satz 15.8 Ein abgeschlossenes Intervall[a, b]ist kompakt bzgl. jeder Funktionδ.

15.2 Integration stetiger Funktionen 65 Beweis: Sind [a, c] und [c, b] kompakt bzgl.δ, so offensichtlich auch [a, b]. Sei nun ange-nommen, dass [a, b] nicht kompakt bzgl.δ. Durch fortlaufende Halbierung bekommen wir eine Intervallschachtelung von Intervallen [an, bn]⊆[a, b], die bzgl.δ nicht kompakt sind.

Seicdie dadurch bestimmte reelle Zahl undx∈[a, b] mitc∈Ux(g¨abe es kein solchesx, w¨are [a, b] trivialerweise kompakt f¨urδ). Seiε= min{c−(x−δ(x), x+δ(x)−c}. Dann gibt es einnmit

x−δ(x)≤c−ε < an≤c≤bn< c+ε≤x+δ(x) also [an, bn] kompakt bzgl.δ, ein Widerspruch zur Annahme.

15.2.2 Gleichm¨aßige Stetigkeit

Eine Funktionf : D→Rheisst gleichm¨aßig stetigaufD, wenn es zu jedem ε >0 ein δ >0 so gibt, dass

f¨ur allex, x^′∈D: |x−x^′| ≤δ ⇒ |f(x)−f(x^′)| ≤ε Satz 15.9 Istf: [a, b]→Rstetig, so auch gleichm¨aßig stetig.

Beweis. Seiε >0 gegeben. Nach Voraussetzung gibt es zu jedemp∈[a, b] einδ(p)>0 so, dass|f(p)−f(x)| ≤^ε2 f¨ur allex∈[a, b] mit|x−p| ≤δ(p). Setzeδ(x) = 0 f¨urx6∈[a, b].

Wegen der Kompaktheit kann man [a, b] durch endlich viele (nichtleere)Uxuberdecken.¨ Wenn keine L¨ucke bleiben soll, m¨ussen sich diese hinreichend ¨uberlappen, d.h. es gibt x1< . . . < xn∈[a, b] mitxi+δ(xi)> xi+1−δ(xi+1). Setze

δ=1

2min{xi+δ(xi)−(xi+1−δ(xi+1))|i= 1, . . . n−1}. Ist nun|x−x^′| ≤δ, sox, x^′∈]xi−δ(xi), xi+δ(xi)[ f¨ur eini= 1, . . . , n, also

Satz 15.10 Jede stetige Funktionf: [a, b]→Rist integrierbar und es gilt

(i) Zu jedemε >0gibt esδ >0so, dass f¨ur allea≤c≤d≤bmitd−c≤δ und alle ξ∈[c, d]gilt

| Z d

f(x)dx−f(ξ)(d−c)| ≤ε(d−c) (ii) Mittelwertsatz: Es gibtξ∈[a, b]mitRb

af(x)dx=f(ξ)(b−a).

Beweis. Wegen der gleichm¨aßigen Stetigkeit vonf kann man zu jedenε > 0 einδ >0 w¨ahlen so, dass|f(x)−f(p)| ≤ ^ε2 falls|x−p| ≤δ. Seiε = ¹_n. W¨ahle eine Zerlegung a=z0< z1< . . . < zm=bso, dasszk+1−zk≤δf¨ur allek und beliebigeξk∈[zk, zk+1].

Definiere Treppenfunktionen durch

f_n(x) =f(ξk) +₂^ε f¨urzk< x < zk+1

f_n(x) =f(ξk)−^ε2 f¨urzk< x < zk+1

66 15 INTEGRATION

undfn(zk) =f_n(zk) =f(zk). Dann folgtf_n≤f≤fnund Z b

f_ndx− Z b

f_ndx≤ε(b−a) =b−a n . Also limn→∞

afndx= limn→∞

af_ndx, d.h.fist integrierbar. Sei schließlich 0< d−c≤ δ undξ∈[c, d]. Die Einschr¨ankunggvonf auf [c, d] ist integrierbar. Definiere auf [c, d]

die Treppenfunktionen

g(x) =f(ξ) +^ε₂ f¨urc < x < d g(x) =f(ξ)−^ε2 f¨urc < x < d undg(x) =g(x) =g(x) f¨urx=c, d. Danng≤g≤gund

f(ξ)(d−c)−ε(d−c)

2 =

Z d c

gdx≤ Z d

g(x)dx≤ Z d

gdx=f(ξ)(d−c) +ε(d−c) 2 und es folgt die Behauptung (i). (ii) ergibt sich sofort mit dem Zwischenwertsatz aus der Stetigkeit vonf(x)(b−a) und (b−a) minf≤Rb

af(x)dx≤(b−a) maxf.. Wir vermerken noch eine n¨utzliche Verallgemeinerung von Satz 15.10 (ii).

Satz 15.11 Verallgemeinerter Mittelwertsatz Seien f, g : [a, b] → R Riemann-integrierbar undg≥0auf[a, b]. Dann gibt es einη∈[m, M]so, dass

Z b a

f(x)g(x)dx=η Zb

g(x)dx . Istfstetig, so gibt es einξ∈[a, b]mitf(ξ) =η.

15.2.4 Summationstheorem

Theorem 15.12 SeiW(a, b)∈ Rf¨ura≤b im offenen IntervallI ⊆R definiert und gelte dieAdditivit¨at

W(a, b) =W(a, c) +W(c, b) fallsczwischenaundb Seif:I→RaufI stetig und gelte

(∗) F¨ur alleε >0gibt es einδ >0so, dass f¨ur alle ∆xmit|∆x| ≤δund allep∈I gilt:

– Es gibtξ∈[p, p+ ∆x]mit|W(p, p+ ∆x)−f(ξ)∆x| ≤ε|∆x| Dann gilt f¨ur allea≤binI:W(a, b) =Rb

af(x)dx.

Bei der urspr¨unglichen Auffassung von Integralen istRb

af(x)dxdie reelle Zahl, die von der SummePb

af(x)dxmit infinitesimalen dxnur infinitesimalen Abstand hat. Die Vor-aussetzung (∗) des Theorems besagt dann, dassα=W(p, p+ dx)−f(ξ)dxinfinitesimal von zweiter Ordung ist, d.h. dass _dx^α infinitesimal ist. In dieser Form war das Theorem die Grundlage f¨ur die Einf¨uhrung physikalischer Gr¨oßen als Integrale. In den Natur- und Technikwissenschaften wird das heute so formuliert:

15.2 Integration stetiger Funktionen 67 Von der SummeW =P

kf(ξk)(∆x)k mit den Linienelementen(∆x)k geht man mit(∆x)k→0zum IntegralW=R

f(x)dx¨uber(unter Bezugnahme auf den Fall st¨uckweise konstanter Funktionen).

Ist die Stetigkeit vonf(x) gegeben, so handelt es sich demnach um eineAnwendung des Theorems. In der g¨angigen mathematischen Literatur, wird bestenfalls bei der Definiti-on einer Gr¨oße durch ein Integral eine MotivatiDefiniti-on im Sinne des Theorems gegeben. Die infinitesimale Form findet man in Lehrb¨uchern zur Nonstandard-Analysis. Das Theorem verallgemeinert sich in offensichtlicher Weise auf Bereichsintegrale und mit mehr Anstren-gung auf Kurven- und Fl¨achenintegrale - das Problem ist die Zuordnung von geradlinigen Strecken- bzw. Fl¨achenelementen zu gekr¨ummten Kurven- bzw. Fl¨achenst¨ucken.

Beweis. Seia≥bundε >0 gegeben. W¨ahleδ gem¨aß (∗) und nach dem vorangehenden Satz so, dass

| Z p+∆x

f(x)dx−f(ξ)|∆x| ≤ε∆x| f¨ur allep∈[a, b],|∆| ≤δund passendesξ∈[p, p+ ∆x].

W¨ahle ein Zerlegunga=z0< z1. . . < zn=bvon Maschenweite≤δundξk∈[zk, zk+1] so, dass|W(zk, zk+1)−f(ξk)(zk+1−zk)| ≤ε(zk+1−zk). Dann folgt

|W(zk, zk+1)− Z zk+1

f(x)dx| ≤

≤ |W(zk, zk+1)−f(ξk)(zk+1−zk)|+|f(ξk)(zk+1−zk)− Z zk+1

f(x)dx| ≤2ε(zk+1−zk) also mit der Additivi¨at und Dreiecksungleichung

|W(a, b)− Z b

f(x)dx| ≤

n−1

k=0

|W(zk, zk+1)− Zzk+1

f(x)dx| ≤2ε(b−a) Dies gilt f¨ur alleε >0, also nach ArchimedesW(a, b) =Rb

af(x)dx.

15.2.5 Integration vektorwertiger Funktionen

Die vektorwertige Funktion~y = ~y(t) ∈ V sei auf dem Zeitintervall I ⊆ R definiert.

Weiterhin sei f¨ur allea≤binI ~w(a, b) definiert so, dass gilt

• w(a, b) =~ w(a, c) +~ w(c, b)~ f¨ur allea≤c≤b(Additivit¨at)

(∗) F¨ur alleε >0 gibt es einδ >0 so, dass f¨ur alle ∆tmit|∆t| ≤δund allep∈Igilt:

– Es gibtξ∈[p, p+ ∆t] mitkw(p, p~ + ∆t)−~y(ξ)∆tk ≤ε|∆t| Dann heissew~ eineIntegrationf¨ur~y.

Satz 15.13 IstI beschr¨ankt und abgeschlossen und ~y(t)stetig so gibt es eine eindeutig bestimmte Integrationw~zu~y. Bzgl. einer Orthonormalbasis~e1, . . . , ~emvonV istw~gegeben durch

~ w(a, b) =

Zb a

~y(t)dt:= ( Xm

k=1

Z b a

yk(t)dt)~ek, wobei~y(t) = Xm

k=1

yk(t)~ek

68 15 INTEGRATION

Beweis. Definiere

wk(a, b) = Z b

yk(y)dt, ~w(a, b) =X

wk(a, b)~ek

Dann folgt die Additivi¨at aus der Additivi¨at des Riemann-Intergrals. Da dieyk(t) aufI stetig sind, gibt nach Satz 15.10 (i) es zu jedemε >0 einδ >0 so, dass f¨ur alle ∆tmit

|∆t| ≤δund allep∈I undξ∈[p, p+ ∆t]

|wk(p, p+ ∆t)−yk(ξ)∆t| ≤ ε m|∆t| Mit der Dreicksungleichung folgt

kw(p, p~ + ∆t)−~y(ξ)∆tk ≤ε|∆t|

Alsow~ ein Integral f¨ur~y. Ist umgekehrtw~ein Integral f¨ur~yundw(a, b) =~ P

kwk(a, b)~ek, so folgt die Additivit¨at derwkaus der Eindeutigkeit der Vektorzelegung und man schließt von (∗) auf|wk(p, p+ ∆t)−yk(ξ)∆t| ≤ ε|∆t|. Also wk(a, b) = Rb

ayk(t)dt nach dem Summationstheorem.

Beispiel:Tr¨agheitskompass. Sei~x(t) der Ort der MasseMzur Zeitt. Die Geschwindigkeit zur Zeittist die erste Ableitung

~v(t) =∂~x

∂t(t) Durch Integration erh¨alt man

w(a, b) =~x(b)−~x(a) = Z b

~v(t)dt

d.h. man kann~x(b) bestimmen, wenn man~v(t) und den Anfangswert~x(a) kennt

~x(b) =~x(a) + Zb

~v(t)dt

Die Beschleunigung~a(t) ist die Ableitung der Geschwindigkeit. Aus dieser und der An-fangsgeschwindigkeit~v(a) erh¨alt man entsprechend die Geschwindigkeit

~v(t) =~v(a) + Zt

~a(t)dt

Also kann man~x(b) aus~x(a),~v(a) und der Funktion~a(t) bestimmen. Das war das Prinzip der Tr¨agheitsnavigation.

Beispiel.Komplexwertige Funktionen. Istf:D→Cstetig so gilt Z

f(t)dt= Z

f1(t)dt+j Z

f2(t)dt +C, C∈C mitf(t) =f1(t) +jf2(t), fk(t)∈R

15.3 Einige Integrationstechniken 69 15.2.6 Hauptsatz

Satz 15.14 Istf : [a, b] →R stetig undc ∈ [a, b], so ist die FunktionF(τ) auf[a, b]

differenzierbar, wobei F(τ) =

Z τ c

f(t)dt und ∂F

∂t(τ) =f(τ) τ∈[a, b]

Beweis.

∆F(τ,∆τ) =F(τ+ ∆τ)−F(τ) = Zτ+∆τ

f(t)dt

Nach Satz 15.10 (i) gibt es also zu jedemε >0 einδ >0 so, dass f¨ur alle|∆τ| ≤δgilt

|F(τ+δτ)−F(τ)−f(τ)∆τ| ≤ε|∆τ| und es folgt

|F(τ+ ∆τ)−F(τ)

∆τ −f(τ)| ≤ε

Korollar 15.15 Istf: [a, b]→Rstetig,c∈[a, b]undG: [a, b]→Reine differenzierbare Funktion mit ^∂G_∂t(τ) =f(τ)f¨ur alleτ∈[a, b], so gibt es eine KonstanteCmit

G(τ) = Zτ

f(t)dt+C f¨ur alleτ∈[a, b]

Insbesondere

C=G(c), Zτ

f(t)dt=G(τ)−G(c) G(c) = 0 ⇔ G(τ) =

Z τ c

f(t)dt f¨ur alleτ∈[a, b]

Beweis: Eindeutigkeitssatz..

Diese S¨atze stellen einen Zusammenhang zwischen den Begriffen”Ableitung“ und” In-tegral“ her, erm¨oglichen es, eine differenzierbare Funktion bis auf eine Konstante aus ihrer Ableitung zu rekonstruieren, und sie bieten eine bequeme M¨oglichkeit zur Berechnung vie-ler Riemann-Integrale.

15.3 Einige Integrationstechniken

Die Haupts¨atze der Differential- und Integralrechnung reduzieren die Berechnung eines Riemann-Integrals ¨uber eine Funktionfauf die Bestimmung einer Stammfunktion vonf. Wir lernen nun einige Aussagen kennen, die diese Aufgabe erleichtern. Allerdings bleibt die Bestimmung einer Stammfunktion (im Gegensatz zur”umgekehrten“ Aufgabe, der Bestimmung einer Ableitung) ein schwieriges Problem. Im Gegensatz zu den Regeln der Differentiation, die uns die Differentiation beliebig komplizierter Funktionen erm¨oglichen, f¨uhren die Integrationsregeln, die wir uns nun ansehen werden, nicht immer zum Ziel.

Mehr noch: bereits f¨ur so einfache Funktionen wiex7→1/lnxundx7→e⁻^x², die nach Satz 15.13 eine Stammfunktion auf (1,∞) bzw. aufRbesitzen, ist esnichtm¨oglich, diese Stammfunktion mit Hilfe endlicher Ausdr¨ucke von”elementaren“ Funktionen (wie Potenz-, Exponential- und Winkelfunktionen sowie deren Umkehrfunktionen) zu beschreiben.

70 15 INTEGRATION

Wir gewinnen nun Regeln f¨ur die Bestimmung von Stammfunktionen durch”Umkehrung“

der uns bekannten Differentiationsregeln.

15.3.1 Stammfunktionen

Definition 15.16 SindF, f : [a, b]→RFunktionen, und istF differenzierbar auf[a, b]

mitF^′(x) =f(x)f¨ur allex∈[a, b], so heißtF eineStammfunktionvonf.

Satz 15.17 (a) IstF : [a, b]→RStammfunktion vonf: [a, b]→RundC∈R, so ist auchF+Ceine Stammfunktion vonf.

(b) Je zwei Stammfunktionen vonf : [a, b]→Runterscheiden sich nur um eine Kon-stante.

BeweisAussage (a) ist klar. F¨ur den Beweis von Aussage (b) seienF1, F2Stammfunktionen einer Funktionf auf [a, b], d.h. es istF1^′=F2^′ =f. Dann ist (F1−F2)^′=F1^′−F2^′= 0, und dem Eindeutigkeitssatz ist die FunktionF1−F2konstant.

Eine Stammfunktion F von f wird oft alsunbestimmtes Integral vonf bezeichnet (im Gegensatz zum”bestimmten“ IntegralRb

af(x)dx), und man schreibtF=R

f(x)dx.Dies ist nicht sehr konsequent. MitF ist ja z.B. auchF+ 1 Stammfunktion und demzufol-ge auchF + 1 = R

f(x)dx. Wir wollenR

f(x)dxals Bezeichnung f¨ur die Menge alle Stammfunktionenbetrachten. Anstelle der etwas schwerf¨alligen Schreibweise

f(x)dx={F+C:C∈R} schreibt man meist (jedoch auch nicht sehr exakt)R

f(x)dx=F(x) +C.

Aus den uns bekannten Ableitungen spezieller Funktionen erhalten wir die folgenden unbestimmten Integrale (die man zusammen mit einigen anderen oft als

”Grundintegrale“

bezeichnet).

x^αdx= x^α+1

α+ 1+C auf







R falls α= 0,1,2, . . . R\{0} falls α=−2,−3,−4, . . . (0,∞) falls α∈R\{−1}, Z

x⁻¹dx= ln|x|+C auf R\{0}, Z

e^xdx=e^x+C auf R, Z

sinx dx=−cosx+C, Z

cosx dx= sinx+C auf R, Z

sinhx dx= coshx+C, Z

coshx dx= sinhx+C auf R, Z 1

1 +x²dx= arctanx+C aufR,

15.3 Einige Integrationstechniken 71 Z 1

√1−x²dx= arcsinx+C auf (−1,1).

Dabei

sinhx=1

2(e^x−e^−x), coshx=1

2(e^x+e^−x)

Anmerkung 1Das Korollar das Hauptsatzes gilt auch in der folgenden allgemeineren Form:

Istf: [a, b]→RRiemann-integrierbar, und besitztfauf[a, b]eine StammfunktionF, so giltRb

af(tdt) =F(b)−F(a).

Allerdings gibt es Riemann-integrierbare Funktionen, die keine Stammfunktion besitzen, wie die Funktion

f: [−1,1]→R, x7→

−1 f¨urx∈[−1,0) 1 f¨urx∈[0,1]

zeigt. Diese ist Riemann-integrierbar, da sie auf [−1,1] mit Ausnahme des Punktesx= 0 stetig ist. Es gibt jedoch keine auf [−1,1] differenzierbare FunktionF mitF^′=f. F¨ur x∈[−1,0) m¨usste n¨amlichF(x) =−x+cmit einemc∈Rsein, und f¨urx∈(0,1] m¨usste F(x) =x+dmitd∈Rsein. Die FunktionFist nur f¨urc=dstetig inx= 0. Dann stimmt F(x) mit|x|+c¨uberein. Die Betragsfunktion ist aber inx= 0 nicht differenzierbar.

Anmerkung 2 Eine Funktion, die eine Stammfunktion besitzt, muss nicht Riemann-integrierbar sein. Beispielsweise ist die Funktion

F: [−1,1]→R, x7→

(x²cos_x¹2 f¨urx6= 0

0 f¨urx= 0

differenzierbar auf [−1,1], ihre Ableitung F^′ ist aber unbeschr¨ankt und damit nicht

Im Dokument 12 Folgen und Konvergenz: Grundlegendes (Seite 27-0)