2. Ähnlichkeit und Streckenberechnungen
2.2. Streckenverhältnisse
Aufgabe 5
Wo steckt der Fehler? Korrigiere anschließend.
a)
Stelle mindestens zwei Verhältnisgleichungen auf.
a) 2 7
8 x b) 2 x 15 a c) 3 a 5 (b 1)
Aufgabe 71
Eine Aufgabe aus dem chinesischen Rechenbuch „Jiuzhang suanshu“ (100 v. Chr.):
a) Fertige eine maßstabsgerechte Zeichnung und bestimme so die Länge der gesuchten Strecke x.
b) In der Zeichnung kannst du verschiedene Streckfiguren erkennen. In welcher steckt das Verhältnis 120 x 100
100 x
?
c) Berechne die Länge der Strecke x mithilfe der Gleichung und vergleiche mit deinem Ergebnis oben.
Aufgabe 82
Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, misst man drei Streckenlängen: AB = 18 m; AD = 12 m; CD = 8 m.
Bestimme die Flussbreite!
1NW9,3-504-85505-2; Schroedel
2MN9,3-14-123939-8; Westermann
Aufgabe 91
Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, misst man drei Streckenlängen: AB = 45 m; AC = 10 m; CE = 50 m.
Bestimme die Flussbreite!
Aufgabe 101
Die Maße sind in cm angegeben. Berechne die Länge der Strecke x, ohne den Rechner zu verwenden.
Überprüfe anschließend mit dem Rechner.
Aufgabe 112
Ist hier alles richtig gemacht worden?
Überprüfe in der Figur die Verhältnisgleichungen.
A
24 36B
2,5 65 3
C
2,5 25 4
D
64 89E
2,5 35 6
Aufgabe 123
Tim steht unter einer freistehenden, hohen Tanne, deren Schatten 12,50 m lang ist. Tim weiß, er ist 1,55 m groß. Ferner hat er ausgemessen, dass bei diesem Sonnenstand sein Schatten 2,50 m lang ist.
Wie hoch ist die Tanne?
1EDM 9, 3-507-87209-7; Schroedel
2NW 9, 3-504-85505-2; Schroedel
3EDM 9, 3-507-87209-7; Schroedel
Klasse 2.2. Streckenverhältnisse Blatt: 2.2.4 Datum:
Aufgabe 131
Schon im Altertum hat man die Höhe von Pyramiden durch Messen der Schattenlänge eines Stabes bestimmt.
a) Erläutere das Messverfahren anhand der Zeichnung.
b) Berechne die Pyramidenhöhe h, wenn folgende Längen bekannt sind:
Länge der Grundseite der Pyramide a = 230 m;
Entfernung des Stabes von der Pyramide d = 125 m;
Höhe des Stabes h* = 3 m;
Länge des Schattens des Stabes s = 5 m.
c) Welche Probleme können sich bei einer Messung zur Mittagszeit ergeben.
Aufgabe 141
Stelle jeweils eine geeignete Verhältnisgleichung auf und bestimme die gesuchte Streckenlänge x.
a) b)
c)
1 NW 9,3-504-85505-2; Schroedel
Aufgabe 151
In der Nische einer Dachschräge soll ein Regal angebracht werden. Die einzelnen Regalbretter bekommen jeweils einen Abstand von 30 cm.
Lassen sich die vier Regalbretter aus den zwei noch vorhandenen Brettern zuschneiden?
Aufgabe 162
Jules Verne schreibt in seinem Roman „Die geheimnisvolle Insel“, wie eine Gruppe von Männern, die auf eine einsame Insel verschlagen wurde, die Höhe einer senkrechten Granitwand bestimmt.
Fertige eine Skizze an und berechne die Höhe der Granitwand.
Aufgabe 17
Von welcher Stelle der Einfahrt aus kann man 50 m der gegenüber liegenden Straßenseite überblicken?
Kann man von allen Stellen auf der Linie x eine gleiche Länge der gegenüberliegenden Straße überblicken?
1NW 9, 3-504-85505-2; Schroedel
2EDM 9, 3-507-87209-7; Schroedel
Klasse 2.2. Streckenverhältnisse Blatt: 2.2.6 Datum:
Aufgabe 181
Zwischen zwei Antennenmasten werden zur Sicherung zwischen Spitze und Fußpunkt Drähte gespannt.
In welcher Höhe treffen sich die Drähte, wenn die Masten 30 m auseinander stehen?
Gilt das Ergebnis auch für andere Abmessungen?
Aufgabe 191
Das linke Bild zeigt ein Quadrat mit der Kantenlänge 8. Der Flächeninhalt beträgt also 64 Flächeneinheiten.
Das rechte Bild zeigt ein Rechteck mit den Kantenlänge 5 und 13. Der Flächeninhalt beträgt also 65 Flächeneinheiten.
Wie kann das sein?
Aufgabe 202
Format Maße in mm Beispiel DIN A3 297 x 420 Poster
DIN A4 210 x 297 Druckerpapier DIN A5 148 x 210 Karteikarte Papierformate sind genormt. In der Tabelle sind die Maße
einiger der üblichen Papierformate angegeben.
a) Zeige, dass diese DIN-Formate die gleichen
Strecken-verhältnisse haben. DIN A6 105 x 148 Postkarte
b) Zwei benachbarte DIN-Formate gehen durch „Halbieren“ oder
„Verdoppeln“ auseinander hervor.
Zeige, dass das exakte Verhältnis der längeren Seite eines DIN-Rechtecks zur kürzeren Seite gerade 2 : 1 ist.
c) Vervollständige die Tabelle oben durch Berechnung der Formatmaße von DIN A1 bis DIN A 10.
d) In der Bildsequenz rechts ist eine Methode zur Konstruktion von DIN-Formaten dargestellt.
Beschreibe die Konstruktion und begründe den Streckfaktor.
1MN 9, 3-14-123939-8; Westermann
2 NW9,3-504-85505-2; Schroedel
Aufgabe 21
Gegeben ist das nebenstehende Trapez mit AB = 5 cm; AE = 3 cm und EC= 1 cm.
a) Berechne die Länge von CD .
b) Es gibt mehrere Trapeze, die die gegebenen Bedingungen erfüllen.
Zeichne zwei solcher Trapeze.
c) Konstruiere ein solches Trapez mit CABRI. (siehe Bild 1 bis 4) (Hinweis: E auf Kreis um A mit r = 3, AE als Halbgerade...)
d) Ziehe an E und beobachte D.
A B
D C E
Bild 1 Bild 2
Bild 3 Bild 4
Aufgabe 22
Kann man von einem Kleinbild-Negativ 24 x 36 maßstabsgerecht Abzüge in den folgenden Bildformaten machen lassen?
9 x 13
10 x 15
13 x 18
Aufgabe 231
Ist der Preis für das größere Poster gegenüber dem kleineren Poster durch den erhöhten Materialverbrauch gerechtfertigt?
Poster 20 cm x 30 cm: 2,95 € Poster 40 cm x 60 cm: 8,95 €
1EDM 9, 3-507-87209-7; Schroedel
Klasse 2.2. Messungen im Gelände Blatt: 2.3.1 Datum:
Aufgabe 1
Befestige ein Tafellineal in Augenhöhe waagerecht an der Tafel oder Wand. Strecke den rechten Arm waagerecht aus und zeige mit dem Daumen bei geschlossener Hand nach oben. Visiere über den Daumen das Tafellineal an und schließe dabei ein Auge.
Bestimme die Größe des verdeckten Stücks! Führe dazu eine systematische Untersuchung durch und erläutere deine Lösungen anhand einer geeigneten Figur.
Hilfsmittel: ein Schüler, ein Tafellineal und ein Maßband
Aufgabe 2
Bestimme die Länge eines Baumes oder eines Laternen-mastes mithilfe eines Stabs und eines Maßbands.
Dokumentiere deine Vorgehensweise.
Aufgabe 31
Bestimme die Höhe deines Schulgebäudes.
Nutze dazu eine Methode, mit der du dich in der Langzeitaufgabe beschäftigt hast (z. B. Försterdreieck, Jakobsstab).
Dokumentiere deine Vorgehensweise.
Aufgabe 42
Durch Anpeilen und Messen lässt sich die Entfernung eines Hauses aus dem Klassenraum heraus bestimmen. Den Schülerinnen und Schülern der anderen CAliMERO-Klassen sind zwei verschiedene Peilmöglichkeiten eingefallen
Erläutere die unterschiedlichen Ideen.
Führe entsprechende Messungen durch und bestimme die Entfernung des Hauses.
1EDM9, 3-507-87209-7; Schroedel
2NW 9, 3-504-85505-2; Schroedel
Aufgabe 51
Unser eigener Daumen kann auch helfen, unbekannte Längen zu bestimmen.
Führe entsprechende Messungen durch und bestimme die Entfernung des Fahrzeugs.
Aufgabe 62
Um Entfernungen in der Landschaft zu bestimmen, nutzt man die Daumensprungmethode. Kläre zunächst, was man darunter versteht.
Ein Wanderer sieht ein altes Schloss. Er weiß, es ist 65 m breit. Der Daumen springt gerade von einer zur anderen Seite.
Wie weit ist er vom Schloss entfernt, wenn die Armlänge 64 cm und der Pupillenabstand 6 cm beträgt?
Führe entsprechende eigene Messungen durch und bestimme die Entfernung des Gebäudes.
1NW 9, 3-504-85505-2; Schroedel
2EDM 9, 3-507-87209-7; Schroedel
Klasse 3.1 Trigonometrische Beziehungen Blatt: 3.1.1 Datum:
Aufgabe 1
Mögliche Interpretation richtig falsch 12 Grad Steigung
nur 12 von 100 schaffen es 100 m waagerecht 12 m hoch 100% entsprechen 90°; also 10,8°
auf 100 m Straße 12 m Anstieg
Der neue VW Touareg
„Ein starker Geländewagen, eine elegante Limousine, ein dynamischer Sportwagen, alles das vereint in sich der neue Touareg mit einem kraftvollen 10 Zylindertriebwerk.
Ob Dünenüberquerung oder Gebirgsbezwingung: Mit seiner Steigfähigkeit von 100 Prozent kommt der Touareg mühelos hoch hinaus. Natürlich meistert er auch Kuppen, Kanten, Hindernisse und Böschungen problemlos ...“
(Quelle: www.auto-duenki.ch)
Ist die Angabe „100%“ im Text realistisch oder hat der Schreiber übertrieben?
Wie groß ist der Steigungswinkel der 100%-Rampe?
Aufgabe 3
a) Lasse dir von deinem Lehrer die Datei „tangens.v2a“ auf deinen Rechner kopieren und öffne sie mit „Cabri“.
Um die folgenden Aufgaben bearbeiten zu können, musst du folgendes wissen:
Den Winkel α veränderst du, indem du am Punkt R ziehst.
Das Dreieck veränderst du, indem du am Punkt P ziehst.
ACHTUNG: Die horizontale Lage der Seite a darf nicht verändert werden. Ziehe den Punkt P daher nur nach links oder rechts.
b) Setze den Winkel auf 30° und fülle die folgende Tabelle 1 für sechs verschiedene Werte von a aus.
Fülle für zwei weitere Winkelwerte die Tabellen 2 und 3 aus. Was fällt auf?
Tabelle 1 ( = 30°) Tabelle 2 ( = ) Tabelle 3 ( = )
a bei festem Winkel gleich groß bleibt.
Aufgabe 4
g/a
Öffne die Datei „tangens.v2a“ mit „Cabri“.
Verändere den Winkel α und lies für mindestens zehn verschiedene Werte von jeweils den Wert für g/a (also für tan(α)) ab. Notiere beide Werte in einer Tabelle.
Übertrage die Wertepaare in den „Data/Matrix-Editor“.
Untersuche, ob eine proportionale Zuordnung vorliegt.
Aufgabe 5
„An der Universität Göttingen gibt es viele Barrieren, die so nicht sein müssen. Einige davon wurden erst in der jüngsten Vergangenheit geschaffen. Für den Zugang zur Bücherei der juristischen Fakultät wurde eine Rampe zur Überbrückung von drei Stufen geschaffen. Dies wurde konsequent am Benutzer vorbeigeplant. Die Rampe weist eine Steigung von 60 % auf. Zulässig ist nach DIN 18024 nur ein Anstieg von 6 %. Unserer Meinung nach ist von einer Benutzung dieser Rampe unbedingt abzuraten, da man sich aufgrund der extrem erhöhten (eigentlich zwangsläufigen) Kippgefahr in Verletzungsgefahr bzw.
Lebensgefahr begibt. Außerdem ist die Tür am Ende der Rampe abgeschlossen. Wir fordern eine flache Rampe am Haupteingang der Bibliothek. Unseres Erachtens ist dies mit zumutbarem Aufwand leicht umsetzbar.“ (nach www.stud.uni-goettingen.de/~ibs/index2.html)
Ist die Angabe „60%“ im Text realistisch oder haben die Schreiber übertrieben?
Wie hoch ist der Steigungswinkel der 60%-Rampe?
Aufgabe 6
Auf einer Straße findet man das nebenstehende Verkehrszeichen.
Ermittle den Höhenunterschied, wenn man 1 m, 50 m, 750 m, 1000 m…
horizontal überwunden hat.
Welche Wegstreckenlängen ist man dann jeweils gefahren?
Wie groß ist der Steigungswinkel des Hanges?
Aufgabe 7
Manchmal findet man auch Verkehrszeichen für Steigung oder Gefälle mit einer zusätzlichen Angabe der Wegstrecke.
Untersuche, welchen Höhenunterschied man nach der angegebenen - gefahrenen - Strecke von 300 überwunden hat.
Welcher Steigungswinkel gehört zu diesem Hang?
Klasse 3.1 Trigonometrische Beziehungen Blatt: 3.1.3 Datum:
Aufgabe 8
In der Aufgabe 1 auf Blatt 2.2.1 haben wir gesehen, dass in ähnlichen Dreiecken nicht nur das Verhältnis der Katheten zum Streckfaktor k führt, sondern auch das Verhältnis der anderen Seiten.
Dies wollen wir nun genauer mit dem TC untersuchen:
Für diese Aufgabe wird die Datei „sinus1.v2a“
benötigt, die in „Cabri“ zu öffnen ist.
a)
Untersuche für verschiedene Werte von , wie sich der Quotient aus Gegenkathete und Hypotenuse verhält, wenn man die Größe des Dreiecks verändert.
Begründe deine Beobachtung.Stelle eine Vermutung auf, wie es sich beim Quotienten aus Ankathete und Hypotenuse verhalten wird. Bestätige sie mithilfe der Konstruktion und begründe sie.
b) Überprüfe analog zu Aufgabe 4, ob zwischen und g
aeine proportionale Zuordnung vorliegt.
Aufgabe 1
Bestimme die fehlenden Maße und Winkel.
Aufgabe 21
Der Weg der Zahnradbahn bei Mürren in der Schweiz hat eine Steigung von 28°. Auf der Karte ist eine Länge von 2540 m eingetragen. Die Bahn startet in einer Höhe von 1650 m.
In welcher Höhe liegt die Bergstation?
Aufgabe 32
a) Ein Gleitflieger gleitet ohne Aufwind in einem Gleitwinkel von ca.
8° zu Tal. Welche Flugweite erreicht er, wenn er aus einer Höhe von 85 m startet?
b) Aus welcher Höhe müsste er starten, wenn er mit einem Gleitwinkel von 7° die gleiche Flugweite erreichen will?
c) Welche Gleitstrecke hat er in beiden Fällen zurückgelegt?
Aufgabe 4
Der Einfallswinkel der Sonnenstrahlen zur Mittagszeit schwankt im Laufe des Jahres auf unserem Breitenkreis von 74,5° im Sommer bis zu 27,5° im Winter.
Berechne deine Schattenlänge zu den verschiedenen Jahreszeiten.
1MN 9, 3-14-123940-1; Westermann
2 NW9,3-504-85505-2; Schroedel
Klasse 3.2 Vermischte Übungen Blatt: 3.2.2 Datum:
Aufgabe 5
Im abgebildeten Dreieck sei h = 6 cm und g = 2 cm.
Berechne die Größe des Winkels .
Aufgabe 61
a) Eine Schrotleiter (schiefe Ebene) soll für eine Laderampe von 1,60 m Höhe hergestellt werden. Der Steigungswinkel soll höchstens 35° groß sein.
Wie lang muss die Schrotleiter sein?
b) Vergleicht eure Lösungswege: Wie wurde der TC eingesetzt?
Aufgabe 7
Von der Erde aus erscheinen Sonne und Mond gleich groß. Da man ihre Entfernung nicht kennt, kann man daraus nicht auf ihre wahre Größe schließen. Die Deutung der Sonnenfinsternis gibt allerdings einen Hinweis darauf, dass der Mond näher an der Erde und deshalb kleiner sein muss.
Der griechische Astronom ARISTARCH hatte ca.
300 v. Chr. die geniale Idee, wie man wenigstens das Verhältnis der Abstände beider Himmelskörper zur Erde bestimmen kann. Bei Halbmond maß er = 87°.
a) Berechne daraus das Abstandsverhältnis c/a.
b) Moderne Messungen von ergeben 89,85°. Wie ändert sich damit der Vergrößerungsfaktor Mond-Sonne?
1EDM 9, 3-507-87123-8, Schroedel
Aufgabe 8
Simon versteht nicht, was der Rechner da macht. Erkläre du es ihm mithilfe eines rechtwinkligen Dreiecks
Wie kann man den Sinus eines Winkels auch mit dem Kosinus berechnen? Drücke diese Beziehung in Form einer Gleichung aus.
Aufgabe 91
Berechne jeweils die unbekannte Streckenlänge:
Aufgabe 102
a) Beide Abbildungen zeigen Rollstuhlrampen. Schätze geeignete Längen so genau wie möglich und berechne den Steigungswinkel der Rampen.
b) „Rollstuhlgängige Anlagen“, die Rollstuhlfahrer mit eigener Kraft bewältigen können, dürfen höchstens 5° bis 7° Steigung haben. Wie lang muss ein rollstuhlgängiger Aufgang zu einer 5 m hohen Fußgängerbrücke über eine Schnellstraße sein? Wie kann man das platzsparend realisieren?
1NW 9, 3-507-85460-0; Schroedel
2 MN 9, 103-14-123940-1; Westermann
Klasse 3.2 Vermischte Übungen Blatt: 3.2.4 Datum:
Aufgabe 111
Eine 2,50 m lange Stehleiter wird mit einem Öffnungswinkel von = 50°
aufgestellt.
Wie hoch reicht die Leiter? Wie weit stehen die Fußpunkte der Leiter auseinander?
Aufgabe 122
Berechne jeweils die unbekannte Größe:
Aufgabe 13
a) Betrachte die Ergebnisse. Was fällt auf? Was für Werte ergeben sich, wenn man statt des Sinus den Kosinus oder den Tangens nimmt?
b) Stelle die Ergebnisse übersichtlich in einer Tabelle dar. Erkläre die Symmetrien anhand eines rechtwinkligen Dreiecks.
c) Beweise die Ergebnisse aus a) und b). Gehe dabei arbeitsteilig vor.
Hinweise:
a) zu sin(30°): Zeichne in ein gleichseitiges Dreieck eine Winkelhalbierende ein.
b) zu sin(45°): Du benötigst ein rechtwinkliges Dreieck, das auch gleichseitig ist.
c) zu sin(60°): Zeichne in ein gleichseitiges Dreieck eine Höhe ein.
1EDM 9, 3-507-87123-8; Schroedel
2 NW 9, 3-507-85460-0; Schroedel
Aufgabe 14
Wie groß ist der Winkel , den die Raumdiagonale des Quaders mit der Kantenlänge 5 cm mit der Flächendiagonale einschließt?
Wie ändert sich , wenn die Seitenlänge des Würfels verändert wird?
Aufgabe 151
Wie groß ist der Winkel , den die Raumdiagonale des Quaders mit der Flächendiagonale einschließt?
Vögel sind unterschiedlich gute Gleitflieger. Ihre Gleitflugfähigkeit wird durch die so genannte Gleitzahl bewertet. Diese ist das Verhältnis aus Höhenverlust und horizontal gemessener Flug-strecke definiert.
a) Berechne für die Vogelarten jeweils den Gleitwinkel.
b) Welche Flugweite erreichen die Vögel beim Start ihres
Gleitfluges aus 80 m Höhe? Spatz 1 : 6
Aufgabe 172
Es gilt, die Entfernung des Gipfels F von den beiden anderen zugänglichen Gipfeln D und E zu bestimmen. Von den zwei Berggipfeln D und E weiß man, dass sie 36 km voneinander entfernt sind, und auch die Sehwinkel, unter denen F von den benachbarten Gipfeln angepeilt werden kann, sind bekannt.
Siehe Abbildung.
a) Jeder von euch könnte die gesuchten Entfernungen zeichnerisch ermitteln, indem man das Dreieck im Maßstab 1:1.000.000 erstellt: Begründet kurz, warum alle von euch gezeichneten Dreiecke identische Maße aufweisen würden.
b) Eine rechnerische Lösung ist präziser als eine zeichnerische. Finde eine solche für die Streckenlänge DF, indem du zunächst die Länge der Höhe von D auf die Seite EF berechnest.
1 NW 9, 3-507-85505-2; Schroedel
2 EDM 9, 3-507-87209-7, Schroedel
Klasse 3.2 Vermischte Übungen Blatt: 3.2.6 Datum:
Aufgabe 181
Vom Punkt D eines Bergwerks sind zwei Stollen in den Berg getrieben worden. Von E nach F soll nun ein Verbindungsstollen getrieben werden. Wie lang ist dieser? Welche Winkel bildet er mit den bestehenden Stollen?
Aufgabe 192
Ein Tunnel für eine Eisenbahnlinie soll durch einen Berg hindurchgeführt werden. Von einem Punkt S am Berghang aus kann man beide geplanten Tunneleingänge A und B anvisieren. Ein Baubüro misst die Entfernungen AS= 736 m, BS= 535 m und den Winkel BSA = 53,4°.
Skizziere die Situation und berechne die Tunnellänge.
Aufgabe 201
Die Höhe des Fernsehturms soll bestimmt werden. Dazu wird eine 50 m lange Standlinie AB, die auf den Turm zuläuft, abgesteckt. Außerdem werden die Höhenwinkel = 56,4° und = 42,1°gemessen.
Wie hoch ist der Fernsehturm?
Aufgabe 213
Die Krabbenkutter Albert und Berta befinden sich um 15.00 Uhr in den Positionen A und B und steuern bei dichtem Nebel mit jeweils konstanter Geschwindigkeit (Albert 24 Seemeilen/Stunde, Berta 26 sm/h) die einge-zeichneten Kurse.
Sind sie auf Kollisionskurs?
Aufgabe 221
a) Ein Schiff fährt genau auf ostwärts gerichtetem Kurs. Ein Leuchtturm wird zunächst unter einem Winkel von 41° zur Ostrichtung gesehen.
Nachdem es 8 Seemeilen zurückgelegt hat, muss man zum Leuchtturm zurück sehen; nun beträgt der Winkel zur Westrichtung 57°.
Berechne, welche Entfernung das Schiff vom Leuchtturm hat.
b) Ein anderes Schiff sieht den Leuchtturm zunächst unter einem Winkel von 47° zur Ostrichtung. Nach 5 Seemeilen ist der Leuchtturm immer noch vorne, der Winkel zur Ostrichtung beträgt jedoch schon 72°.
Welche Entfernung hat dieses Schiff jetzt vom Leuchtturm?
1EDM 9, 3-507-87209-7, Schroedel
2 MN 9, 3-14-123940-1; Westermann
3 NW 9, 3-507-85505-2; Schroedel
Definition:
Zwei Vielecke F und G heißen ähnlich zueinander, wenn gilt:
Entsprechende Winkel sind gleich groß.
Alle Seiten des Vielecks G sind k-mal so lang wie die entsprechenden Seiten des Vielecks F.Der Faktor k heißt Ähnlichkeitsfaktor oder Streckfaktor.
A D
B C
A´
B´
C´
D´
bb b´
´
´B
A = k · AB
´
´C
B = k · BC etc.
β´ = β
Zentrische Streckung mit Zentrum Z und Streckfaktor k
Eigenschaften der zentrischen Streckung
1. Entsprechende Winkel in Ausgangs- und Bildfigur sind gleich. α = α´
2. Ausgangsstrecke und Bildstrecke sind parallel zueinander.
3. Der Streckfaktor gibt die Veränderung der Streckenlänge an: A´B´ = k · AB
Längenvergrößerung bei
Streckfaktor k Flächenvergrößerung bei
Streckfaktor k Volumenvergrößerung bei Streckfaktor k
Wenn zwei Dreiecke in der Größe von zwei Winkeln übereinstimmen, dann sind sie ähnlich.
Streckenverhältnisse:
Entsprechende Streckenverhältnisse auf zwei Geraden durch einen Punkt Z sind gleich.
Das Verhältnis zwischen Bild- und Ausgangsstrecke ist gleich den Streckenverhältnissen auf den Geraden durch Z.
Definitionen
In jedem rechtwinkligen Dreieck mit Winkel heißt der Quotient
α
In jedem rechtwinkligen Dreieck mit Winkel heißt der Quotient
α
Gegenkathe der Sinus von , kurz sin (.
In jedem rechtwinkligen Dreieck mit Winkel heißt der Quotient
α von Hypotenuse
α von
Ankathete der Kosinus von , kurz cos (.
Hinweise zu rechnerspezifischen und rechnerfreien Fertigkeiten Rechnerfreie Fertigkeiten
Obwohl die Einheit "Ähnlichkeit" mit Verwendung des TC als Werkzeug unterrichtet wird, sollst du bestimmte Fertigkeiten auch rechnerfrei erwerben und beherrschen. Diese Fertigkeiten wirst du in der Klassenarbeit oder in Kurztests nachweisen müssen.
Du sollst:
1. eine zentrische Streckung auf dem Papier mithilfe des Geodreiecks und des Zirkels zu gegebenem Streckfaktor und Zentrum ausführen.
2. einfache Verhältnisgleichungen der Gestalt a c
b d lösen.
3. ähnliche Figuren in anderen Figuren finden und nachweisen.
4. die Auswirkungen von zentrischen Streckungen auf Flächen- und Rauminhalte begründen.
CAS - Fertigkeiten
Im Umgang mit dem TC sollst du am Ende der Einheit über folgende Fertigkeiten verfügen:
1. mithilfe des Befehls „Streckung“ eine gegebene Figur zentrisch strecken.
2. Messdaten aus dem Geometriemenü in eine „Data-Matrix“ einlesen und auswerten (optional).
3. Verhältnisgleichungen mithilfe des „SOLVE-Befehls“ lösen.
4. Sin-, Cos- und Tan-Werte gegebener Winkelgrößen berechnen.
5. Winkelgrößen zu gegebenen Sin-, Cos- und Tan-Werten berechnen.
Schätze deine Kenntnisse ein und mache ein Kreuz in der entsprechenden Spalte.
eine zentrische Streckung zu gegebenem
Streckfaktor und Streckzentrum ausführen.
Zeichne das Dreieck ABC und strecke es mit dem Zentrum Z(1|2) und dem Faktor k = 1,5. A(1|0); B(5|2); C(3|6).
zu gegebener Urbild- und Bildfigur das Streckzentrum und den Streckfaktor bestimmen.
Das Bild des Dreiecks A(4|1); B(6|3); C(3|3) ist das Dreieck A´(10|1); B´(16|7); C´(7|7).
Bestimme Z und den Streckfaktor k.
entscheiden, ob zwei Vielecke ähnlich sind.
Siehe Aufgabe 1
aufgrund des Ähnlichkeitssatzes entscheiden, ob zwei Dreiecke ähnlich sind.
Siehe Aufgabe 2!
die Ähnlichkeit von Dreiecken zur Berechnung von Seitenlängen von Dreiecken anwenden.
Siehe Aufgabe 3!
den Einfluss einer Streckung auf den Flächen-/Rauminhalt einer Figur/eines Körpers bestimmen.
1. Ein quaderförmiges Paket hat ein Volumen von 12 Litern und eine Oberfläche von 1600 cm². Berechne Oberfläche und Volumen, wenn alle Kantenlängen halbiert werden.
2. Mit welchem Faktor müssen die Kantenlängen multipliziert werden, wenn man das Volumen [die Oberfläche]
verdoppeln möchte?
unbekannte Strecken in ähnlichen Figuren berechnen:
Siehe Aufgabe 4!
Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse bei vorgegebenem Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck zuordnen.
Siehe Aufgabe 5!
mithilfe von tan, sin und cos rechtwinklige Dreiecke berechnen.
Siehe Aufgabe 5!
Winkelgrößen und Seitenlängen in beliebigen Dreiecken durch Ergänzen oder Zerlegen in rechtwinklige Dreiecke mithilfe des tan, sin und cos berechnen.
Siehe Aufgabe 6!
Aufgaben zur Selbsteinschätzung Aufgabe 1
Entscheide, welche Vierecke ähnlich zueinander sind.
Aufgabe 2
Entscheide, welche Dreiecke ähnlich zueinander sind.
A
B
C
Aufgabe 3
Berechne die Längen der fehlenden Seiten.
Aufgabe 4
Bestimme die fehlenden Längen.
.
Benenne die Gegenkathete und die Ankathete zu α und die Hypotenuse. Berechne die fehlenden Seiten auf zwei verschiedenen Wegen.
Aufgabe 6
Berechne die fehlenden Seitenlängen.
30 ° 90 °