Sorptions- und Desorptionskurve; Hysterese

Wie in Kapitel 21 dargelegt wurde, kann für ein bestimmtes Bodenvolumen mit einem bestimmten Wassergehalt 0 ein Kapillarpotential

'Pc

bestimmt werden. Wird der Betrag dieses Kapillarpotentials auf die Volumeneinheit Wasser bezogen, erhält

'Pc

die Dimen-sion eines Drucks. Da der Druck des Wassers im teilgesättigten Boden einen negativen Betrag aufweist, spricht man von einem Kapillardruck oder, wie bereits ausgeführt, von der Saugspannung S.

Es besteht somit eine Beziehung zwischen der Saugspannung S und dem Wassergehalt 0, indem in einem endlichen, natürlich gelagerten, als homogen angenommenen Boden-volumen einem gegebenen Wassergehalt eine bestimmte Saugspannung zugeordnet wird.

In Labor- wie auch in Feldversuchsanlagen kann diese Beziehung über einen weiten Bereich der Teilsättigung festgehalten werden. Die Darstellung der Beziehung S

=

f(E>) wird, je nachdem die Bestimmung in einer Entwässerungsphase (Desorption) oder Benet-zungsphase (Sorption) erfolgte, als Desorptions- bzw. Sorptionskurve bezeichnet.

Diese beiden Kurven verlaufen jedoch in der Regel nicht deckungsgleich. Dies ist der Hinweis darauf, daß die Beziehung S

=

f(E>) davon abhängig ist, ob sich 0 in einer zuneh-menden oder abnehzuneh-menden Phase befindet.

231 Die Hysterese der Beziehungs =f(0)

Die Hysterese der Funktion S

=

f(0) beschreibt das Auftreten einer Diskrepanz zwi-schen dem Funktionsverlauf bei zunehmendem bzw. abnehmendem Wassergehalt. Die Funktion als solche ist somit nicht eindeutig definiert, sondern bedarf der weiteren Abklä-rung, ob sich die Wassergehaltsveränderung in einer Sorptions-oder Desorptionsphase befindet. Die graphische Darstellung der zwei Funktionskurven erscheint als sogenannte Hysterese-Schlaufe.

Anhand der schematischen Darstellung in Abbildung 1 und einer Laborbestimmung der Hysterese an einer ungestörten Bodenprobe (Tabelle 2) soll näher auf diesen Hysterese-Effekt eingegangen werden.

Als Umhüllende sind zwei Initialkurven (s bzw. d) für die Sorptions- und die Desorp-tionsphase zwischen den Endpunkten A, C und D erkennbar. In diese eingeschlossen sind andere, sogenannte primäre und sekundäre Hysterese-Schlaufen («scanning cur-ves»). Die primären Schlaufen d' bzw. s' verlaufen jeweils in einen Endpunkt (E-B bzw.

D -C), währenddem die sekundären Schlaufen d" und s" nicht mehr von einem End-punkt ausgehen, sondern von einem beliebigen Punkt einer primären Schlaufe.

Diese theoretische Betrachtung bedeutet für einen konkreten Fall, daß z.B. bei einer gemessenen Saugspannung Si der «wahre» Wert von 0i sich innerhalb des Bereichs von 0il bis 0i₂ befinden kann. Wird für die Wassergehaltsbestimmung immer die Desorp-tionskurve angewendet, was allgemein üblich ist, wird 0i2 als der scheinbar richtige, zu Si gehörende Wassergehaltswert angenommen.

In Tabelle 2 sind die Meßwerte einer Hysterese-Bestimmung an einer ungestörten Bodenprobe «Möhlin-Wald», 100 cm Tiefe, dargestellt.

s

B

8i1

Abbildung 1 Schema der Hysterese (nach PouLOVASSILIS, 1962).

0

Tabelle 2 Laborbestimmung der Hysterese, «Möhlin-Wald», 100 cm Tiefe (Apparatur: «Soil-Moisture»-Druckapparatur)

angelegte Druckstufen p in cm WS

Kurven-10 20 30 40 60 80 bezeichnung

43,63 -- 41,13 40,43 39,88 39,38 38,48 37,93 w d

40,53 38,93 38,43 38,33 38,03 37,83

_t

_{(%v) s}

L~

39,58 39,28 38,83 38,53 38,23 38,03 w d ' ₁ 40,33 38,93 38,63 38,33 38,13 38,18

_t

_{(%v) : si'}

t_

_{39,38 38,98 38,78 38,48 38,28 37,93} w di'

40,28 38,88 38,53 38,33 38,23 38,18

_t

(%v)

si'

Abbildung 2 zeigt dazu die entsprechende Darstellung der Initialschleife (d/s), mit den zwei eingeschlossenen Primärschlaufen ( d _{1 '/} s _{1 ')} und ( d_{2 '/} s_{2 ').}

Die maximale Spanne der Wassergehaltsabweichung innerhalb der Primärschlaufen liegtdabeiweitunter 1 %v·

p cm WS

80

60

40

30

20 10

d/s d{/s,'

d2'/S2

O+---,~--__;;---,

35 40 45 w

°lov

Abbildung 2 Laborbestimmung der Hysterese; Bodenprobe «Möhlin-Wald», 100 cm Tiefe, ungestört.

Auffallend ist jedoch, im Vergleich zu den Primärschlaufen, der hohe Sättigungs-wassergehalt der Initialkurve vor Beginn der Desorption. Diese Abweichung ist nur zum kleinsten Teil auf einen Hysterese-Effekt zurückzuführen, sondern gibt den labortechnisch noch nicht genau kontrollierten Sättigungsvorgang mit unnatürlich großem Quellungsan-teil wieder.

Unter natürlichen Bedingungen würde die Initialkurve der Desorption d viel näher an einer der primären Desorptionsschlaufen d' liegen.

Da das Funktionsprinzip der Hysterese-Druckapparatur derjenigen der Desorptions-kurven-Apparatur entspricht, ist auch dort dieselbe Abweichung im unteren Saugspan-nungsbereich zu erwarten. In Abbildung 3 wird dies bestätigt.

Diese nicht den natürlichen Verhältnissen entsprechende Aufsättigung muß bei der Wassergehaltsberechnung für die Bilanzierung entsprechend berücksichtigt und korrigiert

s

(cm WS)

160 ....---,---...---.

80

60

40 30 20 10 1 0

31 35

\

\

\

\

\

\

\

~LABOR-DESORPTIONS-. KURVE

40

~ ⁺

[2L] :

scheinbare

D'77.I )Hysterese-Schlaufe lCLLd :wahrscheinlich "echte"

Abbildung 3 Hysterese und Labor-Desorptionskurve.

werden. Am meisten Erfolg verspricht dabei die Bestimmung einer Felddesorptionskurve, wie dies in dieser Arbeit in der Folge auch gemacht wurde. Beispiele zu dieser Problematik sind dargestellt inBORER (1978).

Die Ursachen der Hysterese können, etwas vereinfacht und nicht vollständig, wie folgt erklärt werden:

Durch unterschiedliche Porendurchmesser kapillarer Größenordnung im Bodengefüge entsteht ein sogenannter Flaschenhalseffekt. Dieser verursacht · bei einem Desorp-tionsvorgang eine Verzögerung des Wasserentzugs aus Poren mit großen Kapillar-durchmessern. Bei einem Sorptionsvorgang ist es umgekehrt: Poren mit kleinem Kapillardurchmesser werden später mit Wasser gefüllt, als eigentlich aufgrund des herrschenden Unterdrucks erwartet würde.

Der Eenetzungswinkel des Porenwassers gegenüber der Bodenmatrix ist für Sorption und Desorption nicht gleich, somit sind auch die bei der Entwässerung bzw. Sättigung wirksamen Potentiale, bei gleichem Wassergehalt, nicht die gleichen.

Bei der Aufsättigung wird in den noch nicht mit Wasser gefüllten Poren, die nicht mehr kontinuierlich mit der Luftphase verbunden sind, Luft eingeschlossen, die nur langsam (über Diffusion) das beanspruchte Bodenvolumen freigeben kann.

PouLOVASSILIS ( 197 4) weist darauf hin, daß die Dynamik der Entwässerung eine große Rolle spielt. Als Funktion des bei der Entwässerung angelegten Saugspannungs-betrags bleibt im entwässerten Porenvolumen «verlorenes» Wasser zurück, das nur noch durch den viel langsameren «film-flow» transportiert werden kann.

232 Bestimmung der Desorptionskurven 23 21 Labormethode

Die rnit der Labormethode bestimmten Desorptionskurven wurden aus der Arbeit von GERMANN (1976) übernommen. Die Beschreibung der Methode ist am selben Ort zu finden.

2322 Feldmethode

Angeregt durch die Beobachtung, daß die Labor-Desorptionskurve normalerweise einen zu hohen Sättigungswert erreicht und sich im sättigungsnahen Bereich im allgemei-nen nicht den natürlichen Verhältnissen entsprechend verhält, wurden in der Versuchs-fläche Feld-Desorptions- bzw. -Sorptionskurven bestimmt.

Zu diesem Zweck wurden an den Kohlefaden-Tensiometer/Neutronensonden-Meß -blöcken (KFTens/Neso-Block, Kapitel 43) simultane Saugspannungsablesungen und Wassergehaltsbestimmungen mit der Neutronensonde durchgeführt. Pro Meßblock konnte so pro Meßzyklus und Horizont je ein Wertepaar Wassergehalt w/Saugspan-nung S ermittelt werden.

Tabelle 3 Regressionsparameter der Beziehung w = f(S) in der Desorptionsphase

Tabelle 4 Regressionsparameter der Beziehung w = f(S) in der Sorptionsphase w = a · (log S)² + b · log S + c Desorptions- und Sorptionsphase kombiniert

w = a · (log S)² + b · log S + c

Tiefe cm

20 40 65 100 150 250 350

Tabelle 6 Regressionsparameter der Beziehung w = f (S), Desorptionsphase, nach Daten von GERMANN (1976)

w == a · (log S)² + b · log S + c

a b C r2 n Gültigkeitsbereich

cm WS

-1,011 -2,668 48,175 0,986 9 1,0- 690,0

-1,368 -0,810 43,612 0,969 10 1,0-2000,0

-1,524 0,020 44,656 0,946 10 1,0-2000,0

-1,340 0,669 42,468 0,955 10 1,0-2000,0

-1,098 -1,572 47,783 0,989 9 1,0-2000,0

-2;088 -0,267 48,346 0,959 10 1,0-2000,0

-1,147 -1,714 48,435 0,963 10 1,0-2000,0

Durch die kontinuierlich registrierten Saugspannungsmessungen wurde für jedes Wertepaar festgestellt, ob es sich während der Erhebung in _einer Sorptions- oder Desorp-tionsphase befunden hatte. Auf diese Weise standen für die Berechnung der Desorptions-kurven pro Horizont je rund 50 Wertepaare, für diejenigen der Sorptionskurve rund 20 Wertepaare zur Verfügung. Die beste Anpassung einer Funktion an die Meßwerte erfolgte mit einer einfachen, nichtlinearen Regression 2. Grades:

w = a · (log S)²

+

b · log S

+

c

Die entsprechenden Regressionskoeffizienten a, b und c sind wie folgt zusammen-gestellt: für die Desorption in Tabelle 3, für die Sorption in Tabelle 4 und für die Kombina-tionskurve aus Sorptions- und Desorptionswerten in Tabelle 5. In Ergänzung zu den im Feld bestimmten Sorptions- und Desorptionskurven sind auch die Laborkurven, wie sie von GERMANN (1976) ermittelt wurden, als Regressionsgleichung errechnet (Tabelle 6).

Zu beachten ist die Tatsache, daß die dabei verwendeten Wertepaare jeweils einem Mittelwert aus 5-8 Laboreinzelwerten entsprechen.

In den Abbildungen 4.1 bis 4.6 sind die Regressionen der Sorptions-, Desorptions- und Kombinationskurven für die bei der Bilanzierung benötigten Horizonte dargestellt.

Die Desorptions- und die Sorptionskurven liegen meist so nahe beieinander, daß zeichnerisch- außer dem 25-cm-Horizont- nicht mehr alle drei Kurven auseinanderge-halten werden können. Die Hysterese-Effekte sind somit bei der Abschätzung der Genauigkeit der übrigen Parameter meist zu vernachlässigen.

In einer weiteren Darstellung (Abbildung 5) soll auf die Diskrepanz zwischen den Labor- und den Feld-Desorptionskurven hingewiesen werden: Gegenübergestellt sind die Laborkurve, erstellt mit der Druckapparatur (GERMANN, 1976), und die Feld-Desorp-tionskurve «Möhlin-Wald», erstellt aus synchronen Saugspannungs- und

Wassergehalts-messungen im Feld, beide für den 20-cm-Horizont. Das im Kapitel 231 beschriebene starke Abweichen der S(0)- bzw. S(w)-Beziehung im sättigungsnahen Bereich ist hier klar ersichtlich. Die maximale Wassergehaltsdifferenz liegt für dieses Beispiel bei 7 %v.

Bezogen auf den· Betrag der Wassersättigung der im Labor bestimmten Kurve bedeutet das eine Abweichung von 1 7 %.

Aufgrund der bei Sättigung der Laborproben möglichen Strukturveränderungen durch Quellung der Probe und wohl zum Teil auch durch Schwemmung des Matrixmate-rials kann angenommen werden, daß wohl der wahre Wert auf Seite der Feldkurve liegt.

Die hier beschriebene Erkenntnis ist jedoch nicht mit der Hysterese zu verwechseln, die zu einer viel kleineren Abweichung führt.

Abbildung 4.1-4.6 Saugspannung S als Funktion des Wassergehalts w, «Möhlin-Wald», in sechs verschiedenen Meßtiefen.

s • Sorption

Abbildung 4.4 150 cm Tiefe.

s

Abbildung 4.6 350 cm Tiefe.

.A LABOR CGermann, 1976)

s ^*

^{FELD CBorer)}

CcmWS)

10°+---+---+-1..---l-,I~---'

20 30 40 50

W ^C°lov)

Abbildung 5 Vergleich der Desorptionskurven «Möhlin-Wald», 20 cm Tiefe.

24 Durchlässigkeitskoeffizient k nach Darcy

Der k-Wert als Funktion der Saugspannung S, k = f(S), stellt einen Proportionalitäts-faktor dar. Er hat die Dimension einer Geschwindigkeit. Der k-Wert stellt, ausgehend von der Definition des REV (Kapitel 211), einen Koeffizienten dar, der als Information die Durchlässigkeitseigenschaften des betrachteten REV beinhaltet. Als Randbedingung soll der betrachtete Fließquerschnitt, im Vergleich zu den kapillar wirksamen Porengän-gen, groß sein (DRAcos, 1973).

Der k-Wert nach Darcy beschreibt eine statistische Größe, die einer mittleren Filter-geschwindigkeit entspricht. Bei Gradient i = 1 kann k als spezifische Ergiebigkeit q, d. h.

als Sickermenge/Flächeneinheit, angesehen werden.

Bei abnehmendem Wassergehalt wird der hydraulisch wirksame Querschnitt redu-ziert, wobei die Entwässerung kontinuierlich von großen über mittlere zu kleinen Poren-durchmessern erfolgt. Entsprechend der Reduktion des hydraulisch wirksamen Quer-schnitts nimmt der k-Wert mit zunehmender Entwässerung stark ab.

241 Bestimmung des k-Werts

Im folgenden werden die in diesem Projekt verwendeten Bestimmungsmethoden beschrieben.

2411 Labormethode

Die in dieser Arbeit als Labor-k-Werte angesprochenen Werte wurden an ungestörten Bodenproben unter stationären Bedingungen mit der sogenannten Doppelmembran-Apparatur nach RICHARDS (1952) bestimmt (GERMANN, 1976).

2412 Feldmethode

Die hier angewendete Methode basiert auf einem Vorschlag von RICHARDS et al.

(1956) und wurde von verschiedenen Autoren modifiziert, u. a. von RE.NGER et al. (1970), HILLEL et al. (1972), EHLERS et al. (1976}und FLÜHLER et al. (1976).

Die Eerechnung basiert auf der Anwendung der Darcy-Gleichung für den Fluß in vertikaler Richtung (z-Richtung):

oE> =~ (k · oH) wobei +z +

ot oz oz

Diese Gleichung ist nur anwendbar, wenn der vertikale Fluß nicht durch ein Senken-glied, z.B. Wasserentnahme durch die Wurzeln, gestört wird.

Durch Integration der oben aufgeführten Gleichung zwischen den Grenzen zo und Zx

ergibt sich

Zo oE>

J

-·dz=k (OH) - -k (OH)

-Zx ot OZ Zo OZ Zx

Unter der Annahme einer Wasserscheide in der Tiefe z₀ im Boden findet kein Fluß mehr statt, und der Gradient an der Stelle z₀ wird

(0

H) = O und <l.ie Komponente k · (°H)

oz z₀ oz z0

(oH) zo oe in obiger Gleichung fällt weg. Daraus folgt: - k · - =

J --;-·

dz

OZ Zx Zx ut

Daraus folgend wird der k-Wert in der Tiefe Zn unterhalb der Wasserscheide geschrie-ben als

Zx 00 f -· dz

Zn Öt

kn=----(:~),

_n

Der Ausdruck k beinhaltet die Funktion k = f (S). Für die praktische Berechnung wer-den endliche Differenzen eingeführt:

1E (A_e) ·Az

i = 1 At i k(Sn) =

---(:1

n

wobei ß z dem jeweiligen gleich großen Tiefenschritt entspricht und m=(zn -2x)/ßz

Der so bestimmte k-Wert wird jeweils einer Tiefe Zn und einer Saugspannung Sn zuge-ordnet.

Bei der numerischen Lösung müssen für beide Größen repräsentative Werte ermittelt werden:

t1 t2

2 0 , i₀

=

0, TS

=

0

L

St1, zA St_2 .... , -zA---a-zA

St1,2₈ St2,2₈

1 1 Ar· Z Zs ZAB .

-A Meßpunkt -A in Tiefe ZA

B Meßpunkt B in Tiefe ZB

t₁ 1. Ablesezeitpunkt t₂ 2. Ablesezeitpunkt

Die repräsentative Meßtiefe für denk-Wert des Kompartiments zwischen A und B wird bestimmt als zAB

=

(zA + zB)/2.

Für S AB wird aus den Saugspannungen St 1, ZA' St 1, Zß' st2, ZA und _st2, Zß das Mittel aus den beiden höchsten Saugspannungswerten berechnet, begründet durch die Annah-me, daß der jeweils der höchsten Saugspannung entsprechende k-Wert die Sicker-geschwindigkeit steuert. Durch Einbeziehen des zweithöchsten Werts werden fehler-behaftete, aber nicht identifizierbare Ausreißer-Werte gedämpft.

Die Wassergehaltsveränderung ~0 A, Bist die Differenz der zum Zeitpunkt t ₁ bzw. t 2 bestimmten mittleren Wassergehalte im Kompartiment zwischen Meßpunkt A und Meß-punkt B:

Und als letzte Größe wird der Gradient

k

B mit Bezugshorizont in ZB bestimmt:

Die an den Meßpunkten A bzw. B bestimmten Meßargumente S bzw. 0 wurden an den KFTens/Neso-Blöcken ermittelt, d. h. bei gleichzeitiger Erfassung des Wassergehalts mit der Neutronensonde und der Saugspannung mit dem Kohlefadentensiometer. Durch die Lage der KFTens/Neso-Blöcke weit gegen den Rand der Versuchsfläche kann angenom-men werden, daß die Senkenwirkung des Wurzelwerks wegfällt.

Für jeden Meßzeitpunkt wurde ein Potentialprofil gerechnet und das Vorhandensein bzw. die Lage der Wasserscheide bestimmt.

Die Berechnung der k-Werte über die Tiefensickerung unterhalb der Wasserscheide kann auch auf eine aufwärts gerichtete Strömung (verursacht durch Evaporation) ange-wendet werden. Voraussetzung dazu ist, daß im betrachteten Zeitraum kein Niederschlag auf die Bodenoberfläche fällt.

Die über die_ oben beschriebene Feldmethode errechneten k/S-Wertepaare wurden mittels einer Regressionsrechnung in eine Funktion folgender Form überführt:

log k

=

a · (log S) 2 + b · log S + c

Dies ist eine einfache, nichtlineare Regression 2. Grades. In Tabelle 7 sind die in der Untersuchung verwendeten k-Werte mit den Regressionskoeffizienten aufgeführt.

Diese Funktionen stellen Kombinationskurven dar, die im Sinne einer Vereinfachung sowie einer Ausdehnung des Meßbereichs aus einzelnen horizontspezifischen Kurven zusammengefaßt wurden.

In den Abbildungen 6.1 bis 6.6 sind jeweils die Feld-k:-Werte und die entsprechenden Labor-k- Werte (GERMANN, 1976) aufgezeichnet.

Die Gegenüberstellung der Labor- bzw. Feld-k-Werte ist unter Berücksichtigung des folgenden Zuordnungsschemas vorzunehmen:

Definierter Labor-k-Wert Feld-k-Wert

Horizont aus'Horizont ... aus Horizont ...

cm cm cm

20 Wiese 40 25- 75

60 Wiese 65 50-125

100 Wald 100 50-125

150 Wald 150 125-175

250 Wald 300 275-325

350 Wald 300 325-375

Tabelle 7 Regressionsparameter der Beziehung k = f(S) (Feld-k-Werte) log k = a · (log S)² + b · log S + c

Def. a b C r2 n Gültigkeitsbereich Daten aus Horizont

-Tiefe bereich

cm cm WS cm

20 Q,0329 -0,5602 -5,5082 0,904 17 1,0-497,0 25,0- 75,0 60 -0,0934 -0,3407 -5,5482 0,839 22 1,0-381,7 50,0-125,0

100 -0,0934 -0,3407 '--5,5482 0,839 22 1,0-381,7 50,0-125,0

150 , -1,2562 3,6751 -8,6163 0,771 20 . 25,0-257 ,2 125,0-175,0 250 -4,2299 15,8038 -20,2878 0,844 17 100,7-403,7 200,0-250,0 350 -20,8512 99,7795 -124,9839 0,813 18 ,282, 7-424,4 325,0-375,0

Abbildung 6.1-6.6 Wasserleitfähigkeit k als Funktion der Saugspannung S, «Möhlin-Wald»,

k

Dieses Schema zeigt, daß Vergleiche infolge unterschiedlicher Bestimmungstiefen äußerst vorsichtig anzustellen sind.

2413 Rechnerische Methode

Aufbauend auf der Interpretation der Porengrößenverteilung eines porösen Mediums, wurden schon früh von verschiedenen Autoren Versuche unternommen, den Durchläs-sigkeitskoeffizienten k als Funktion des wasserführenden Porenanteils zu bestimmen. Ein erster Ansatz wurde von CHILDS und COLLIS-GEORGE (1950) gemacht, der von MAR-SHAL (1958) verbessert wurde:

K=E ²• n-²[r/+3r/+5r/+ .... (2n-l)rn ²]/8

K entspricht der absoluten Durchlässigkeit, mit der Dimension L2. Der Buchstaben ist gleich der Anzahl Porenklassen mit den jeweils entsprechenden Porenradien r _1, r_{2 •••} rn.

Der Ansatz von MARSHAL basiert auf dem Hagen-Poiseuille-Gesetz für die laminare Strömung in einem Rohr, aufgelöst nach der mittleren Geschwindigkeit Vm :

'Y 2 . V =-·r·1

m Sri

Im weiteren wird bei diesem Vorgehen eine Modellvorstellung zugrunde gelegt:

Bei einem Schnitt durch ein betrachtetes poröses Medium, senkrecht zur Fließrich-tung, entstehen die zwei sich gegenüberliegenden Sickerflächen F₁ bzw. F_2• Dem iso-tropen, porösen Medium werden unter Einhaltung der Porosität E, n verschiedene Poren-größen mit den Radienr_1, r_{2 ••••} rn zugeordnet, wobeir₁

>

r2

>

r3 ...

>

rn ·

Die Fläche F ₁ wird in n Teilflächen von 1/n Querschnittsfläche geteilt. Jede dieser n Teilflächen enthält nur Poren von gleichem Radius, also entweder r ₁ oder r _{2 ••••} oder r n. ,

Die Fläche F ₂ wird innerhalb der 1/n Teilfläche noch einmal gleichmäßig in n Flächen geteilt, wobei wieder jede der 1/n² Teilfläche nur Poren von gleichem Radius enthält, wie-derum unter Einhaltung der Porosität E.

Werden F 1 und F ₂ wieder zusammengefügt und die hydromechanisch wirksamen Ver-bindungen ermittelt, so beträgt der leitende Querschnitt für die 1. der n Teilflächen von F₁ (mit r_1), die mit n Teilflächen (1/n² Querschnitt) von F₂ verbunden ist:

E · rr ·

r/

E · rr ·

r/

E · rr ·

r/

E · rr ·

r/

n2

+

n2

+

n2

+ ... +

n2

Für die zweite Teilfläche in F ₁ mit Radius r₂ gilt analog unter Wegfall von Poren mit Radius r ₁ in F_{2 :}

E · TI · r/ E · rr · r/ E · rr · r/

2 __ n_2 __

+

n2

+ ... +

n2 usw.

Über alle n Teilflächen von F ₁ wird so ein statistisch auf gebauter mittlerer effektiver Fließquerschnitt bei Porosität E berechnet:

E ·TI· [(r/

+

r/

+ ... +

r/)

+

(2r/

+

r/

+ .. +

r/)

+ ... +

n · r/]

n2

oder vereinfacht: E · rr · n- 2 [r/

+

3r/

+

Sr/

+ ...

(2n- l)rn2J Das Quadrat des mittleren Radius rm dieses Fließquerschnitts wird zu rm2 = E · n- 2 [r/

+

3r/

+

Sr/

+ ....

(2n- l)rn2J und die mittlere Geschwindigkeit nach Hagen-Poiseuille:

Vm = E2 · n- 2 ·

;TJ ·

^{i · [r/}

+ ....

(2n-l)rn2 J

DanachDarcyv=vm= (K

·· r

/11) · i 1

folgt: K =

8 ·

^{E2 · n-2} [r/ + 3r/ +Sr/+ ... + (2n-l)rn²]

was der zu Beginn eingeführten Gleichung entspricht.

Diese Herleitung beruht auf der Annahme eines gesättigten Porenraums. Für diesen Fall entsprechen die gesättigten Poren auch den wasserleitenden Poren und somit auch der Porosität E.

Für den ungesättigten Bereich wird anstelle von Eder Wassergehalt 0(cm ³/cm³) ein-geführt, indem 0 als die für diesen Wassergehalt sogenannt wirksame Porosität interpre-tiert wird.

Da in der praktischen Anwendung die den Porenradien entsprechenden Kapillar-druckhöhen h leichter zu bestimmen sind (Anwendung der Desorptionskurve), wird über die Beziehung

r=-~-2·o --- r² = 2 19 · 10-² • h-² '

p·g·h

p·g und durch Einsetzen von k = - . - · K

Tl

Diese Herleitung nach MARSHAL (1958) wurde von einigen Autoren noch um einen

«matching-factor» (Anpassungsfaktor) erweitert. Zum Beispiel durch MILLINGTON und QUIRK (1959), NIELSEN et al. (1960).

Dieser «matching-factor» wird ermittelt als Quotient aus einem gemessenen und dem gleichen Sättigungszustand entsprechenden, gerechnetenk-Wert:

mf=km/kc

mf: matching-factor km: gemessener k-Wert kc: gerechneter k-Wert

Meist wird km bei Sättigung bestimmt, genauer wird er jedoch bei einem Wassergehalt 0<0 _8•

Methode

Tabelle 8 Zusammenstellung der Parametervarianten (nach GREEN und COREY, leicht abgeändert)

Ek =0k, variabel Anzahl Porenklassen bei Sättigung, konstant

Auch das n für die Porenklassenzahl wurde unterschiedlich interpretiert.

mf:ja/nein Werte für verschiedene Parametervarianten dargestellt ( entnommen aus GREEN und CoREY, 1971, leicht abgeändert).

Als Beispiel werden in Abbildung 7 für den 150-cm-Horizont «Möhlin-Wald» neben der Kurve für den Feld-k-Wert (F) und jener der Labor-k-Werte nach RICHARDS (1952) (L) bzw. nach GERMANN et al. (1978) (AF) auch noch die berechneten k-Werte der zwei Methoden MARSHAL-Original M ... und MILLINGTON-QUIRK MQ ... (ohne mt) dar-gestellt.

Für die MARSHAL-Methode wurden 124 Porenklassen in die Rechnung als Anfangs-wert bei Sättigung eingesetzt, für die MILLINGTON-QUIRK-Methode sind drei Varianten mit n = 124, n = 41 und n = 10 (jeweils konstant) dargestellt. Für M ist ~ 2, für MQ dagegen 0k¹,33 als definiertes E eingesetzt.

Erstaunlich ist die gute Übereinstimmung von M124 mit der Laborkurve L. Die MQ-Kurven beginnen alle fast genau im gleichen Punkt(ca.1,1 · 10-⁴ cm· s-¹) und fallen mit abnehmendem n der Porenklassen auch weniger steil ab.

MQ41 wäre bezüglich der Steigung am besten mit der Feldkurve zu vergleichen, zur Anpassung müßte jedoch ein mf von ca. 0,02 eingeführt werden.

Als weitere Kurve ist die Darstellung der k-Werte aus der modifizierten Ausflußme-thode (GERMANN et al., 1978) aufgeführt (AF), die sich bei S

>

50 cm WS sehr gut an die Feld-k-Wert-Kurve F anpaßt.

Unter der Annahme, daß die Feld-Kurve Fund die AF-Kurve am ehesten natürlichen Bedingungen entsprechen, könnte daraus geschlossen werden, daß für diesen Fall die berechneten Kurven nach MARSHAL wie auch nach MILLINGTON-QUIRK bezüglich der Steigung recht gute Resultate liefern, diese jedoch bezüglich der effektiven Leitfähigkeit um ein bis zwei Zehnerpotenzen zu hoch ausfallen. Daher müßte für diesen Fall ein

«matching"'factor» berechnet werden.

Mit diesen breitangelegten Ausführungen sollte auf das Problem einer befriedigenden k-Wert-Bestimmung hingewiesen werden. Dies um so mehr, als alle Flußberechnungen in direkter Abhängigkeit zu diesem schwierig zu bestimmenden Parameter stehen.

k (cm/s)

• Feld-Methode

..t. Labor-Methode

• Rechen-Methode 10-4 ~---,----,---,---,---,

7 5

1

o-s

-4--:+---1-...C:..----"~--"""'+--7 s

1

o-s

-+"'~....-+-=-'--~;---+---t----;

7 5

10-¹

---+---+--->---+---7 5

10 -B -+---.---+--.--+-...---+----r-1--~-1

0 100 200 300 400 500 S (cm WS)

Abbildung 7 Methodenvergleich der k-Wert-Bestimmung, «Möhlin-Wald», 150 cm Tiefe.

25 Flußberechnung

Die Bestimmung der Filtergeschwindigkeit y im porösen Medium Boden stützt sich auf das Gesetz nach Darcy:

y

= -

k · gr ad <l>

das heißt, der Vektor y (Filtergeschwindigkeit) ist gleich dem Produkt aus Durchlässig-keit k des porösen, wasserleitenden Bodenkörpers und der Ableitung des totalen Poten-tials <l>

=

'Pt in Fließrichtung.

Andererseits läßt sich die Konzentrationsänderung in einem wasserführenden Boden-volumen schreiben als:

ae / at

^{= div(y)}

Diese sogenannte Kontinuitätsgleichheit beschreibt die Veränderung des Wasserge-halts 0 nach der Zeittals partielle Ableitung des Vektors y in den kartesischen Koordina-tenrichtungen:

Daraus läßt sich die Kontinuitätsgleichung schreiben als:

ae av x av y avz

-=-+-+

-at ax ay az

das heißt, die aufsummierten Werte der Komponenten der Filtergeschwindigkeit _y im dreidimensionalen Raum sind gleich der Wassergehaltsänderung, abgeleitet nach der Zeit.

Nun wird auch das Darcy-Gesetz in Komponenten dargestellt:

a<I>

V

=-k·-.!..X

ax

a<I>

V =-k·

--Y

ay

a<I>

V _{_z} =-k· -

az

Dabei wird ein Minuszeichen gesetzt, da der Gradient definiert ist als die maximale Potentialzunahme pro Längeneinheit. Der Fluß jedoch verläuft vom höheren zum tiefe-ren Potential, also entgegengesetzt der positiven Potentialveränderung.

Unter Berücksichtigung dieser Komponentendarstellung kann die Kontinuitätsglei-chung, kombiniert mit dem Darcy-Gesetz, wie folgt geschrieben werden:

ae

=

~

^{(- k .}

a<I>) + ~ (-

k .

a<I>) + ~ (-

k .

a<I>)

at ax ax ay ay az . az

Im Dokument Zum Wasserhaushalt einer dominierenden Douglasie in einem Waldbestand (Seite 21-44)