Siebtelung eines Dreiecks

Problem 6:

Gegeben ist ein beliebiges Dreieck, dessen Seiten wie in Abbildung 25 gedrittelt und die entstande-nen Punkte mit den gegenüberliegenden Eckpunk-ten des Dreiecks verbunden werden. Zeige, dass die Fläche des markierten Dreiecks genau einem Siebtel der Fläche des ursprünglichen Dreiecks ent-spricht.²⁷

Abbildung 25:Skizze zu Problem 6

Lösung 6:

Im ersten Schritt der Lösung wird begründet, dass die Strecken[AD]und[DF]die gleiche Län-ge besitzen:

Durch Anwenden des Satzes von Menelaos auf die Dreiecke AA⁰CundBA⁰A und Ausnutzen der Längenverhältnisse der Grundseiten des Drei-ecks ABCergeben sich folgende Verhältnisse:

1 = AD Diese können genutzt werden, um die Länge der Ecktransversale [AA⁰] auf zwei Arten zu berech-nen und daraus die oben behauptete Gleichheit der Streckenlängen zu folgern:

Abbildung 26:Skizzen zu Lösung 6:

Einführen geeigneter Notationen

Diese Längengleichheit gilt genauso für die Strecken [CF] und [EF], sowie [BE] und [DE]. Im nächsten Schritt werden die Mittelpunkte der DreiecksseitenM_ifüri∈ {1,2,3}

konstruiert und die Strecken [DM₃], [EM₁] und[FM₂] eingezeichnet. Diese sind zu den jeweiligen Ecktransversalen, beispielsweise [DM₃] zu [CC⁰], als Folge der Umkehrung

27Spezialfall des Satzes von Routh (vgl. Baptist (1992, S. 62 f.))

des Strahlensatzes parallel, da beispielsweise sowohl[AD]und[DF], als auch[AM₃]und [CM₃]die gleiche Länge besitzen. Diese Erkenntnisse sind notwendig, um die in Abbil-dung 27 dargestellten Schritte eines operativen Beweises zu begründen. So lässt sich durch Anwenden der Sätze zu Scheitel- und Wechselwinkeln zeigen, dass nach der Dre-hung der Teildreiecke um die MittelpunkteM_iParallelogramme über den Dreiecksseiten entstehen, die jeweils in zwei zum grün markierten Dreieck DEF kongruente Dreiecke zerlegt werden können. Da die durchgeführte Operation flächenerhaltend ist, entspricht die ursprüngliche Fläche des Dreiecks ABC derer der letzten Figur, welche aus 7 kon-gruenten Dreiecken besteht. Insgesamt besitzt das grün markierte Dreieck also ¹₇ der Gesamtfläche des Dreiecks ABC.

Abbildung 27:Beweis ohne Worte zu Problem 6: Operativer Beweis durch Zerlegen und Er-gänzen²⁸

Didaktische Reflexion

Problem 6 bietet verschiedene inhaltliche Anknüpfungspunkte, vor allem werden The-men wie beispielsweise Kongruenz und Strahlensatz aufgegriffen. Für einen lückenlosen Beweis ist in diesem Zusammenhang auch der Satz von Menelaos nötig, welcher selbst eine Folgerung des Strahlensatzes ist. Diese Ansatzpunkte können genutzt werden, um das Problem thematisch in den Unterricht zu integrieren.

Für eine Umsetzung zur Förderung von Problemlösefähigkeiten eignet sich das Pro-blem, wie in Abschnitt 4.2.5 bereits erwähnt, besonders, um den Heurismus Zerlegen und Ergänzen zu thematisieren. Dabei kann das Problem als Erweiterung von Problem 5 genutzt werden, um den Heurismus zu vertiefen, oder unabhängig davon, um diesen neu einzuführen. Eine Verbindung der Probleme 5 und 6 ermöglicht außerdem, durch einen Vergleich der verwendeten Strategien in einer Rückschau, den Begriff der Analo-gie und das damit verbundene Analogieprinzipzu thematisieren. Dies kann vereinfacht werden, indem geeignete Hilfestellungen für die Lösung zur Siebtelung des Dreiecks explizit darauf hinweisen, entsprechende Aspekte der Lösungsidee aus Problem 5 (Zer-legen und Ergänzen) zu übertragen.

Eine entsprechende Umsetzung unabhängig von Problem 5 ist ebenfalls mit den Maß-nahmen aus Abschnitt 4.1.2 denkbar. Geeignete Puzzlestücke thematisieren in diesem Fall die Einführung von Hilfslinien für eine Zerlegung und geeignete Kongruenzopera-tionen. Auch ist die Vorgabe des BoWs wie in Abbildung 27 denkbar, um den Fokus verstärkt auf die metakognitiven Prozesse zu legen und den verwendeten Heurismus

28vgl. Nelsen (2016, S. 23) (Siebtelung eines Dreiecks nach William Johnson und Joe Kennedy)

zu fokussieren. Eine weitere Möglichkeit, den dargestellten BoW zu nutzen, liegt darin, die Vor- und Nachteile der Beweise ohne Worte zu thematisieren. Dabei kann mehr oder weniger angeleitet untersucht werden, wie tragfähig der vorgegebene Beweis in Abbil-dung 27 ist. Einerseits wird die zentrale Beweisidee ideal veranschaulicht, andererseits besteht die Gefahr, Teilaspekte der Begründung aus der Anschauung als gegeben voraus-zusetzen. Besonders der Aspekt der Parallelität der neu eingezeichneten Hilfslinien zu den gegebenen Ecktransversalen ist entscheidend, um einen formal-deduktiven Beweis zu entwickeln. Für diesen Aspekt ist der Satz von Menelaos ein geeignetes Hilfsmit-tel, welcher die Aussage in Kombination mit dem Strahlensatz begründet. Gleichzeitig sind dabei im Prozess der Beweisfindung die Heurismen des Rückwärtsarbeitens und erneut des Zerlegens und Ergänzens nötig, um den vorgegebenen Zielzustand des BoW zu begründen und ausgehend davon zu überlegen, wie dies erreicht werden kann. Ist dieser Satz bekannt, bietet Problem 6 Möglichkeiten, dessen Anwendungen zu thema-tisieren. Ist ausschließlich der Strahlensatz bekannt, kann der Satz des Menelaos als (zu beweisendes) Zwischenziel vorgegeben werden oder im Rahmen der Suche nach einer Beweisidee ein Zwischenziel entwickelt werden, welches dann den Beweis ei-ner Hilfsaussage bedarf (beispielsweise „Um zu Begründen, dass in Schritt 2 des BoWs Parallelogramme entstehen, müsste ich zeigen, dass die Strecken [AD] und [DF] die gleiche Länge besitzen.“).

Derartige Hürden im Beweisprozess können genutzt werden, um zu illustrieren, wie der deduktive Aufbau der fachwissenschaftlichen Mathematik zustande kommt. Ein gege-benes Beweisbedürfnis ist nicht vollständig mit den zur Verfügung stehenden Mitteln lösbar, weshalb es nötig ist, vorher gewisse Hilfsaussagen zu beweisen.

Insgesamt bietet dieses Problem Möglichkeiten, sowohl inhaltlich an Themen des Lehr-plans anzuknüpfen, als auch die Kompetenzen Problemlösen und Argumentieren in Form der HeurismenZerlegen und ErgänzenundAnalogieprinzipsowie in Form von Tei-laspekten, welche beim Beweisen beachtet werden müssen (formale Strengeund Lücken-losigkeit), zu fördern. Als Spezialfall des Satzes von Routh bietet das Problem ebenfalls Möglichkeiten, gegebenenfalls für eine Förderung leistungsstärkerer Schüler nochmals erweitert zu werden. Auch können weitere Hypothesen bereits während der Explorati-on aufgestellt oder nach dem Beweisen der eigentlichen Aussage als Zusatz vorgegeben werden, die ebenfalls eine Vertiefung der Inhalte oder eine Förderung leistungsstarker Lernender ermöglichen. Ein Beispiel hierfür ist folgende Aussage, welche die Notatio-nen aus Abbildung 26 benutzt:

„Die Fläche des grün markierten Dreiecks DEF entspricht der Summe der DreiecksflächenADB⁰,C⁰BE undFA⁰C. Die Flächen der DreieckeADB⁰,C⁰BE undFA⁰Csind dabei jeweils gleich groß.“

Ein Beweis der ersten Teilaussage ist dabei ohne die Berechnungen aus Lösung 6 mög-lich, indem die Flächen der TeildreieckeABB⁰,C⁰BCundAA⁰Cund deren Schnittmengen geeignet zur Fläche vonABCin Beziehung gesetzt werden. Die zweite Teilaussage kann beispielsweise durch die berechneten Verhältnisse in Lösung 6 und ein Übertragen die-ser auf gewisse Höhen in den jeweiligen Teildreiecken (z.B. ABB⁰ und C⁰BE) mithilfe des Strahlensatzes begründet werden.²⁹

29Auf einen ausführlichen Beweis wird an dieser Stelle verzichtet.

4.2.7 Pizza-Theorem