Bierdeckel

Problem 2:

Gegeben sind zwei zueinander kongruente drate (Bierdeckel). Der Eckpunkt des einen Qua-drates ist am Mittelpunkt des anderen QuaQua-drates befestigt. Untersuche die Größe der Fläche, welche von beiden Quadraten überdeckt wird.¹⁷

Abbildung 11:Skizze zu Problem 2

Lösung 2:

Die Größe der gesuchten Fläche beträgt ex-akt ein Viertel der Gesamtfläche des ursprüng-lichen Quadrates, unabhängig davon, wie das zweite Quadrat um den Mittelpunkt gedreht ist. Um diese Aussage zu begründen, kann die Drehsymmetrie der überlappenden Fläche aus-genutzt werden. Eine Drehung dieser um jeweils 90 Grad um den Mittelpunkt M liefert drei wei-tere, zur ursprünglichen Teilfläche kongruente Flächenstücke, welche das Quadrat vollständig überdecken.

MM

Abbildung 12:Skizze zu Lösung 2

Didaktische Reflexion

Dieses Problem kann in einer konkreten Umsetzung im Unterricht auf verschiedene Ar-ten genutzt werden. Einerseits können inhaltliche Aspekte wie beispielsweise die Fläche geradlinig begrenzter Körper¹⁸ sowie Kongruenz und die zugehörigen Kongruenzabbil-dungen abgedeckt werden. Andererseits beinhaltet diese Aufgabe vielfältige Anknüp-fungspunkte zu Problemlöseprozessen und den dafür notwendigen Heurismen. Dazu zählen das Symmetrieprinzip, das Rückführen auf Spezialfälle und das Zerlegungs- und Ergänzungsprinzip inklusive dem Einführen von Hilfslinien. Durch entsprechende Auf-gabenstellungen kann der fokussierte Aspekt ebenfalls beeinflusst werden. Während

„Untersuche die Größe der Fläche [...].“ als sehr offene Aufgabenstellung eine Explora-tion der ProblemsituaExplora-tion und das Aufstellen von Hypothesen fördern kann, wird durch die Aufgabenstellungen „Zeige, dass die grün markierte Fläche genau ein Viertel der Fläche des Quadrats ist.“ bzw. „Begründe, dass die grün markierte Fläche bei einer Dre-hung des zweiten Quadrates stets gleich bleibt.“ ein Prozess der (operativen) Beweisfin-dung zu einer gegebenen Hypothese verstärkt betont. Alle Zugänge zu diesem Problem

17vgl. Schoenfeld (1985, S. 77) bzw. Rott (2014, S. 264).

18Einen ersten Ansatz zur Lösung des Problems könnte der Versuch einer Berechnung dieser Fläche gegebenenfalls durch Zerlegung in Teilflächen darstellen.

können mithilfe einer dynamischen Geometriesoftware unterstützt werden. Diese er-möglicht es einerseits (in niedrigen Jahrgangsstufen), die Fläche des grün markierten Bereichs berechnen zu lassen, um experimentell eine geeignete Hypothese aufzustel-len, andererseits kann das zweite Quadrat einfacher gedreht werden, wodurch sich die jeweilige Form der grünen Fläche verfolgen lässt. Durch letzteren Aspekt kann die Er-kenntnis vereinfacht werden, dass es ausreicht, einen Teil der Drehung des zweiten Quadrats zu betrachten. Dies vereinfacht wiederum die Lösungsidee, welche selbst die Drehsymmetrie der Figur ausnutzt. Die Grenzfälle, zwischen denen eine Drehung des zweiten Quadrats ausreicht, sind zudem Spezialfälle, in welchen die Berechnung der grün markierten Fläche mit einfachen Mitteln (Formel für Dreiecks- und Rechtecksflä-che) möglich ist (vgl. Abbildung 13).¹⁹

M

A_grun¨ =l·b= ^a₂·^a₂ =

=¹₄a²= ¹₄A_Quadrat

M _α

·

a x

M

A_grun¨ = ¹₂·G·h=

= ¹₂·a·^a₂= ¹₄a²= ¹₄A_Quadrat Abbildung 13:Grenzfälle zu Problem 2 (Bierdeckel), inklusive der Berechnung der Fläche in

diesen Spezialfällen (links und rechts); geeignete Hilfslinie und Notationen zur Berechnung vonx(Mitte)

Genauso kann die Aufgabe in höheren Jahrgangsstufen verwendet werden, in denen die Fläche algebraisch mithilfe von Sinus und Cosinus berechnet werden kann, beispiels-weise zum Einüben von Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken. Auch hier sind die vorigen Überlegungen zur Drehsymmetrie der Figur und der damit verbundenen Ein-grenzung des zu betrachtenden Drehbereichs, inklusive der Berechnung der Grenzfälle, hilfreich. Zuletzt können an das gegebene Problem weitere Aufgaben angeschlossen werden. Ein Beispiel hierfür ist die Fragestellung „Wie verhält sich die Größe der grün markierten Fläche bei einer Variation der Größe des zweiten Quadrates?“. Während die Antwort für ein größeres zweites Quadrat sehr einfach ausfällt (analoge Ergbnisse zur bisherigen Aufgabenstellung), ergeben sich für einen kleineren Bierdeckel teilweise nicht-triviale Berechnungen. Daran lässt sich die Frage anschließen, welche Kantenlän-ge das zweite Quadrat mindestens benötigt, um unabhängig von der Drehung um den MittelpunktMdie maximal mögliche Fläche (d.h. ein Viertel der Fläche des ersten Qua-drates) zu bedecken. Diese Fragestellung lässt sich einerseits experimentell (mithilfe

19Werden geeignete Hilfslinien und Notationen mit einer geeigneten Kongruenzbetrachtung kombiniert, kann die Fläche des grün markierten Bereichs auch ohne trigonometrische Funktionen algebraisch berechnet werden (vgl. Abbildung 14, Mitte)

einer DGS) lösen, wobei die minimal nötige Kantenlänge als maximal auftretende Ver-bindungslinie vonM zum Rand des Quadrats im rechten Grenzfall in Abbildung 13 mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden kann. Alternativ kann die gesuchte Größe mithilfe des Winkelsα (vgl. Abbildung 13, Mitte) berechnet werden:

Fürα∈[0,^π₄]istcos(α)streng monoton fallend und nimmt sein Minimum fürα= ^π₄ an.

Damit gilt auf dem gegebenen Intervall:

cos(α) = 0,5a

x ⇒ x= 0,5a

cos(α) ⇒ x_max= 0,5a cos(^π₄) = a

√2

Insgesamt bietet das Problem damit die Möglichkeiten, verschiedene Heurismen anzu-sprechen, den Prozess der Beweisfindung von einer experimentellen Exploration und dem daraus resultierenden Aufstellen einer Hypothese hin zur Findung eines operati-ven Beweises und gegebenenfalls bis zu einer Überführung in einen formalen Beweis abzubilden sowie in verschiedenen Jahrgangsstufen unter unterschiedlichen Gesichts-punkten (Kongruenz, Trigonometrie, Extremwertaufgaben) Verwendung zu finden. Zu-dem sind variable Lösungswege durch Zerlegen und Ergänzen der Figur, Rückführung auf die Spezialfälle oder algebraische Berechnungen möglich, die alle zum entsprechen-den Ziel führen, jedoch geeignet begründet werentsprechen-den müssen (vgl. Abbildung 14). Dies ermöglicht den Lernenden eigene Ideen und Lösungswege zu verfolgen, diese zu reflek-tieren und gegebenenfalls mit anderen Lösungswegen zu vergleichen.

M

M M

Abbildung 14:Alternative Lösungen zu Problem 2: Rückführung auf die Grenzfälle durch Zer-legen und Ergänzen (links, rechts), Zerlegung in zwei kongruente Dreiecke und ein Rechteck zur algebraischen Berechnung der Fläche (Mitte)