Das reelle Spektram
Bemerkung 1. Die semialgebraischen Teilmengen von V(R) sind also genau diejenigen Teilmengen, welche sich durch endlich viele (Gleichungen und) Ungleichungen beschreiben
lassen, also die endlichen Vereinigungen von Mengen der Form
{x G V(R): f(x) = 0, gi(x) > 0 , . . ..,gr(x) > 0}
(r > 0, /,</],• •. ,</r e A ) (vgl. §4). Für A = R[t] etwa, wo also V(R) = R ist, handelt es sich genau um die Vereinigungen von endlich vielen (eventuell degenerierten) Intervallen.
Entscheidend ist nun, daß beim Ubergang von einer konstruierbaren Teilmenge Y von S p e r A zur semialgebraischen Teilmenge Y fl V(R) von V(R) keine Information verloren geht, daß m a n also Y auch, wieder zurückgewinnt! Der G r u n d ist wieder der Satz von A r t i n - L a n g :
T h e o r e m 1. Für jede konstruierbare Teilmenge Y von S p e r A ist YH V(R) dicht in Y bezüglich der konstruierbaren Topologie (und erst recht bezüglicJi der Harrison-Topologie).
Beweis. Es genügt zu zeigen, daß für Y ^ 0 auch Y Fl V(R) ^ 0 ist. O . E . sei Y = ZAU) n HA(gil.. .l9r) (fig% G A ) . Sei B := A/Af und W(R) := VB(R) = Eomn(B1R)
(die reellen Punkte der Varietät von B). Zu zeigen ist W(R) D Hß(g\y..., g^) ^ 0 (gi := Bild von gi in B). Nach Voraussetzung ist i / ß (</T,..., <fr) zZ1 0, die Behauptung
folgt also aus der Dichtheit von W(R) in Sper B (§3, Theorem 7). • Korollar 1. Für x G S p e r A ist {x} genau dann konstruierbar, wenn x G V(R) ist. •
Korollar 2. Durch Y Y D V(R) ist ein Isomorphismus JC(SpevA) —» S(V"(jß)) der Booleschen Verbände definiert. Allgemeiner ist für jede konstruierbare Teilmenge Z von S p e r A und für M := ZDV(R) die AbbildungY v-» YnV(R) ein Verbandsisomorphismus
von JC(Z) auf S(AT). • Definition 2. Die z u F ^ F f l V(R) inverse Abbildung S ( V ( # ) ) -> /C(SperA) wird
mit ~ (tilde) bezeichnet. Für eine semi algebraische Teilmenge M von V(R) ist also M die (eindeutig bestimmte) konstruierbare Teilmenge von Sper A mit M = MD V(R), und zwar ist M der Abschluß von M in Sper A unter der konstruierbaren Topologie.
Dabei ist folgende Tatsache sehr wichtig, die wir jedoch erst i m zweiten Band [HRA]
beweisen werden:
T h e o r e m . Seien M1N semialgebraische Teilmengen von V(R) mit N C M. Ist N in M offen, so auch N in M (die Umkehrung gilt trivialerweise). Es gilt also auch 6 ( M ) = M H Z C ( S p e r A ) und S(M) = M n Z C ( S p e r A ) .
Eine äquivalente Formulierung ist
T h e o r e m ' (Endlichkeitssatz). Seien U1M C V(R) semialgebraisch mit U C M, und sei U offen in M. Dann ist U Vereinigung von endlich vielen Mengen der Form {x E M:
J1(X) > O1. . .,fr(x) > 0} (r € I N , Zl l. . . , fr E A).
Beispiel 1. Sei A = R[t], also V(R) — R. Eine explizite Beschreibung von Sper A findet sich in §3; wir verwenden die natürliche totale Ordnung < auf Sper R[i\. Die Abbildung
~: 6(V(R)) -+ JC(Sper Ä[t]) hat auf den Intervallen M C R folgende Gestalt:
[a,6],
[a,6[ = [ a , 6 _ ] , ]a,6[ = [a+,6_]
(die Intervalle M beziehen sich, natürlich auf Sper jR[t] und die Ordnung < dort). M a n beachte, daß stets noch andere, nicht konstruierbare Teilmengen Y ^ M von SperR.[t) mit M = V(R) n F existieren (z.B. ist Y := [a_,6+] eine solche Menge für M = [a,6], welche sogar ebenfalls abgeschlossen ist). Eine Bijektion erhält man also nur, wenn man sich auf konstruierbare Teilräume von S p e r A beschränkt.
Für das Weitere werden einige Begriffe gebraucht. Sei X eine Menge und L ein Teilverband von 2X (d.h. es ist {0,^} C L, und L ist unter endlichen Durchschnitten und Vereinigungen abgeschlossen).
für M = [a,6] ist M für M = M t ist M für M = ]a,6[ ist M für M = 1 —co, a\ ist M
D e f i n i t i o n 3. Sei L ein Teilverband von 2X.
a) E i n Filter in L ist eine nicht-leere Teilmenge F von L mit 0 ^ E , für die gelten:
(1) A,B € F An B e F;
(2) Ae F1 B e L1 AQ B ^ B e F.
b) E i n Filter F heißt Primfilter von L , wenn für alle A1B £ L gilt:
A U ^ G J F => AeF oder 5 G F.
c) Die maximalen Filter von L heißen Ultrafilter.
d) Die Mengen der Filter, Primfilter, Ultrafilter auf L bezeichnen wir mit Filt(Zz), P r i m ( L ) , U l t r a ( L ) .
B e m e r k u n g e n .
2. Ist E eine Teilmenge von L mit
P U e E
7 A 7^0
für alle endlichen C E , so ist E in einem Filter von L enthalten. Der kleinste solche ist{BeL: es gibt eine endliche Teilmenge Ef C E mit |^| A C E } .
E i n Filter F ist also genau dann ultra, wenn für alle BeL-F' ein A G F1 mit A f l E = 0 existiert. Jeder Ultrafdter ist ein Primfdter.
3. Ist L ein Boolescher Teilverband von 2X (d.h. ist mit AeL auch I - A G L ) , so sind P r i m - und Ultrafilter in L dasselbe. Es sind dies genau die Filter F mit A G F oder X - A G E , für alle AeL.
Die folgende Bezeichnung wurde ad hoc gewählt:
D e f i n i t i o n 4. E i n Teilverband L von 2X heiße kontrollierbar, wenn, für alle Teilmengen E von L und alle BeL mit p| A C E eine endliche Teilmenge E' von E mit f] A C E
existiert. M i t a^e a^e'
pro-L : = | y C X : es gibt E C L mit f] A ]
bezeichnen wir den Verband der pro-L-Mengen in X".
B e i s p i e l 2. Ist X ein spektraler R a u m , etwa X = S p e r A , so sind / C ( X ) , / C ( X ) , £ ( X ) kontrollierbare Teilverbände von 2X\ zudem ist JC(X) Boolesch. W i r werden gleich sehen, daß die Filter dieser Verbände eine andere Möglichkeit der Beschreibung von X bieten.
L e m m a . Sei X eine Menge und L ein kontrollierbarer Teilverband von 2X . Dann ist die Abbildung
F i l t ( L ) -> (pro-L) ~ { 0 } , E ^ Q A ,
AeF
eine inklusionsumkehrende Bijektion. Die Umkehrabbildung ist Y ^ Fy := { E G L : F C E } .
Beweis. K l a r ist, daß Fy ein Filter in L ist für 0 =fi Y C X. Ist F G F i l t ( L ) und Y = C\AeF ^> s o 's^ — z u zeigen, wobei „ D " trivial ist. Die umgekehrte Inklusion
folgt aus der Kontrollierbarkeit von L . • Hieraus folgt unmittelbar
K o r o l l a r 3. 5ez L ein kontrollierbarer Teilverband von 2X. Unter obiger Dijektion F i l t ( L ) —• (pro-L) — {0} entsprechen
a) die Primfilter von L den pro-L-Mengen 0 ^ Y C X mff:
A , £ G L , Y C AUB => y C A oder Y C B :
b) die Ultrafilter von L den minimalen nicht-leeren pro-L-Mengen. • Sei jetzt X ein spektraler Raum. Bevor wir zur angekündigten Beschreibung von X
durch Filter auf Verbänden konstruierbarer Teilmengen kommen, noch eine D e f i n i t i o n 5. Ist X ein spektraler R a u m , so setzen wir
Xm a x :={xeX:ye{x$=>y = x}, Xmhl := {x 6 X:x ejy} V = *} •
Es handelt sich also um die bezüglich der Spezialisierungsrelation maximalen bzw.
minimalen Punkte. M a n beachte, daß Xm a x genau die Teilmenge der abgeschlossenen Punkte von X ist, und daß Xm i n = ( X * )m a x und Xm a x - ( X * )r a i n gelten (A'* = zu X inverser spektraler R a u m , §4).
S a t z 2. Sei X ein spektraler Raum.
a) Es besteht eine kanonische inklusionsumkehrende Bijektion F i l t K ( X ) {Y C X: Y ist abgeschlossen und Y ^ 0} , nämlich F (-> f]AeFA. Die Inverse ist Y ^ Fy = {A G £ ( X ) : Y C A } . b) L s besteht eine kanonische Bijektion
X -> P r i m y C ( X ) , x h-* L1 2. = {A G £ ( X ) : z G A} . c) Dze Abbildung aus b) induziert eine Bijeklion
Xm a x -> UltraZC(Ar), s •-> .
Beweis, a) folgt aus dem L e m m a wegen pro-£(A') = { Y C X : Yabgeschlossen}. Aus Korollar 3 folgt, daß unter der Bijektion a) P r i m ZC(X') den abgeschlossenen irreduzi-blen Teilmengen Y ^ 0 von X entspricht; indem wir Y mit seinem generischen Punkt
identifizieren, erhalten wir b) und c). •
Durch Interpretation von JC(X) als ZC(X*) und von JC(X) als JC(Xcon) gewinnt man weitere derartige Aussagen:
S a t z 3. Sei X ein spektraler Raum. Dann besieht eine Bijektion X -> FnmJC(X)1 x h-> Fx = {A G JC(X): x G A} ,
•welche eine Bijektion Xmm —•> U l t r a Z C ( X ) induziert. •
S a t z 4. Sei X ein spektraler Raum. Es besteht eine Bijektion
F i l t Z C ( X ) ^ { F C X : Y ist prokonstruierbar und Y ^ 0} ,
nämlich F H/ i e F ^ diverser Y Fy = {A G Z C ( Aa) : Y C A } . Diese induziert eine Bijektion ' X -> P r i m Z C ( X ) = U l t r a Z C ( X ) , x F x = { A G Z C ( X ) : x G A } . •
Vor allem der letzte Satz wird häufig in der geometrischen Situation benutzt:
K o r o l l a r 4. Sei R reell abgeschlossen, A eine affine R-Algebra und V(R) die Menge der reellen Punkte der Varietät V = Va von A.
a) (Ultrafiltersatz, L . Bröcker 1981) Es besteht eine Bijektion S p e r A - » U l t r a S ( V ( E ) )v x t-> FX = {M: x G M}
mit Inverser F t—> HM G F M.
b) Es besteht eine Bijektion von Filt (3 (V(R)) auf die Menge der nicht-leeren
prokon-struierbaren Teilmengen von Sper A; nämlich F i—> C\M€F^- ^
Sei weiterhin A eine affine Algebra über einem reell abgeschlossenen Körper R und V = VA die zugehörige Varietät. W i r geben i m folgenden einige Beispiele, die die Entsprechung zwischen reellem Spektrum und Ultrafiltern illustrieren sollen. Für x G S p e r A sei stets Fx = {M G 6 ( V ( R ) ) : x G M} der zugehörige Ultrafilter. Unter Identifikation von S p e r A mit U l t r a 6 (V(R)) ist also M = { F : Af G F } , für semialgebraisches Af C V(R).
B e i s p i e l 3. Sei A = /?.(/.], also V(R) = E (siehe §3, Beispiel 2). Die Korrespondenz SperA —> U l t r a o ( E ) sieht wie folgt aus:
für x G Sper A besteht Ex aus allen M mit
i = c G E c G M
2: = c- (c G E ) ]c — e, c[ C M für ein £ > O x = c+ (c G R) ]c,c + e[ C Affür eine > O X = — CO ] —co,a[ C Af für e i n a G R x = -fco ]a, co[ C Af für ein a G R
x = £ (freier Schnitt) 3 a , 6 m i t a < £ < bund ]a, 6[ C Af
Beispiel 4. Betrachten wir die Elemente von S p e r A als Ultrafilter auf S ( F ( P ) ) , so lassen sich die zugehörigen Ordnungen von A leicht angeben. Für x G Sper/1 und / G A
§ l l t f(x) > 0 es gibt M G Fx mit / | M > 0 ,
f(x) > 0 <=> es gibt M G Fx mit / | Af > 0 , usw.
Der Träger p = supp (x) von x läßt sich so beschreiben: Die zu p gehörende Untervarietät W := V^/p von F ist die kleinste abgeschlossene Untervarietät von V mit VF(P) G Fx: also VF(P) = p|VVr, W1(R)1 Durchschnitt über alle abgeschlossenen Untervarietäten W' von. V mit W1(R) G Fr c.