E i n Ideal Q von A heißt P-konvex, wenn für alle f,g G P gilt:

f + g G a=> f,g G a.

L e m m a 1. Durch a H-» TT(Ü) ist eine Bijektion von der Menge der P-konvexen Ideale von A auf die Menge der (in A/p) bezüglich P konvexen Ideale von A/p gegeben. Die Inverse ist a H-+ 7 r- 1( ä ) .

Beweis. A/p sei mit der durch P induzierten totalen Anordnung versehen. D a / G P und — / G P für jedes / G p gilt, ist p in jedem P-konvexen Ideal enthalten, weshalb die beiden Zuordnungen invers zueinander sind. Ist a C A ein P-konvexes Ideal, so ist 7r(a) in A/p konvex, denn sind a G o, / G A mit 0 < 7 r ( / ) < 7r(a), so / G P und a — f G P , also / G a nach Voraussetzung. Ist umgekehrt ä C A/p ein konvexes Ideal und sind f,g G P

mit f + g e a := 7 r^{_ 1}( ä ) , so ist 0 < n(f) < n(f + (j) e ö, also auch 7r(/) G Ö. • Korollar 1.

a) Die P-konvexen Ideale bilden eine Kette, und p = supp ( P ) zsi das kleinste unter ihnen.

b) Für jedes P-konvexe Ideal a von A ist P -f a = P U a.

Beweis, a) II, §1, Bemerkung 4. — b) Seien p G P und a G a. Ist p -f a ^ P , so ist

— (p -f- a) G P , und aus —a = p — (p-\-a)£ a folgt p + a G a . • T h e o r e m 2. Sei P G S p e r A eine Ordnung von A und p = supp(7J). Dann stehen

folgende Mengen zueinander in kanonischer Bijeklion:

(1) {P} (die Menge der Spezialisierungen Q von P in Sper A);

(2) die Menge der P-konvexen Primideale q von A;

(3) die Menge der bezüglich P konvexen Primideale q von A/p.

Die Bijektion (1) —* (2) ist durch Q H-* supp (Q) gegeben, die Umkehrabbildung durch q H-> P -f q = P U q. Die Bijeklion zwischen (2) ?.mc/ (3) ist durch q H-» 7r(q) bzw.

q H-> 7 r_ 1( q ) gegeben.

Beweis. Die Bijektion zwischen (2) und (3) wurde i m Lemma gezeigt. Sei QDP eine Ordnung von A und q : = Q fl Seien f,g G P mit / + (7 G q. Wegen

— / = g — (f + g) G Q "folgt daraus / G q . Also ist q P-konvex, und es ist auch wieder Q = P U q ( C : i s t / 6 ( J - q , so ist - / £ Q, also - / 0 P , also / G P ) . Umgekehrt sei q ein P-konvexes Primideal. Dann ist Q := P + q = P U q eine Ordnung von /1 mit Träger

q; denn Q H ( - Q ) = ( P H - P ) U ( P H q) U (q D - P ) U q = q ist ein PrimideaL •.

W i r sehen erneut, daß {P} stets eine Kette bildet.

B e i s p i e l 1. Sei A: K —» L U oo eine surjektive Stelle mit Bevvertungsring P = 0^.

Identifizieren wir Sper/v" bzw. S p e r L mit denjenigen Punkten von Sper B^y welche Träger (0) bzw. reiß haben, so gilt für x G Sper K: Genau dann ist A mit x verträglich, wenn x eine Spezialisierung y mit Träger m ß hat; ist dies der Fall, so ist y die von x auf L = B/mß induzierte Anordnung i m Sinne von II, §2. Den Satz von Baer - K r u l l (II, §7) können wir daher so formulieren: Ist T die Wertegruppe von A und y G S p e r P mit supp(y) = m # , so operiert ( F / 2 r ) ^ transitiv und frei auf der (nicht-leeren) Menge der Generalisierungen von y mit Träger (0). Ist also etwa T = Z fe x und sind (0) = Po C • • • C pn = ^mB die Primideale von B^y so besitzt jedes y G S p e r P mit supp(?/) = genau 2^{n _ l} Generalisierungen mit Träger p^z (i = 0 , . . . ^yn).

D e f i n i t i o n 2. Ist B ein Bewertungsring und A ein Teilring von P , so wird das Primideal A D xx\ß von A als das Zentrum von B auf A bezeichnet. Analog nennt man für eine Stelle A: K —» L U oo und einen Teilring A von K^y auf dem A endlich ist, den Kern des Homomorphismus A|A: A —> L das Zentrum von A a u / A .

B e i s p i e l 2. Sei A: K — L U oo eine Stelle und A ein Teilring von 7v, auf dem A endlich ist und das Zentrum p hat. Induziert durch die Homomorphismen A C o\-^L hat man Abbildungen Sper L —> Sper —> Sper A ; diese Komposition sei mit A* bezeichnet. Dann folgt aus Beispiel 1: Für jedes z G S p e r P hat das Element A*(z) G S p e r A (mit Träger p) eine Generalisierung mit Träger (0) in Sper A .

Sei allgemeiner A — Aⁿ o • • • o A i : Ä" —> L U oc eine Komposition von Stellen, die auf A C K endlich ist und Zentrum p hat, und sei P1 das Zentrum von A.; o • • • o Ai auf A (i = 0 , . . . , n ) . Dann ist (0) = po C P1 C • • • C pn = p, und für jedes z G S p e r L hat

\*{z) eine Generalisierungskette mit den p{ als Trägern, d.h. es gibt yo^y.. . , ? /ⁿ G S p e r A mit S u p p ( ^i) = p^ty so daß y⁰ >- Ui >- • • • 2/n = A*(^) gilt.

Dies zeigt beispielsweise, daß für einen reell abgeschlossenen Körper R jeder Punkt a G Rⁿ in Sper R[t\,..., in) Generaiisierungsketten der Länge n hat: In II, §10 wurde nämlich eine Stelle A = An o • • • o A i : R(t\,... ytⁿ) —> R U oo über R konstruiert, für die X¹ o • • • o Ai auf R[t\^y.. . , tⁿ] das Zentrum (tⁿ — a^ny.. ., Jⁿ- J + 1 — «n-f-f >) ⁿ^ t (z — 0 , . . . , n).

D e f i n i t i o n 3. E i n Bewertungsring P heißt ree// abgeschlossen, wenn Q u o t P ein reell abgeschlossener Körper und B residuell reell ist (zur zweiten. Bedingung äquivalent ist: B ist konvex in Quot B — II, §5).

S a t z 3. Ist B ein reell abgeschlossener Bewertungsring, so ist supp: Sper P — S p e c P ein Homöomorphismus, und für alle p G S p e c P ist /c(p) reell abgeschlossen (für alle a G S p e r P ist also k(a) = Z c( S u p p a )y) .

Beweis. Sei p G Spec P . M i t P ist auch Pp in R := Quot P konvex, und folglich /c(p) = Pp/p.Pp = «(Pp) reell abgeschlossen (II, §5, Theorem 1). Daraus die Bijektivität von supp. W i r zeigen, daß supp auch offen ist. Sei / G B. Ist / < 0 (in R)y so ist Hß(f) = 0.

Andernfalls gibt es g G P mit / #², und es folgt Hß(f) = {a G Sper P : / ( a ) ^ 0}, also

supp H^B(f) = D^B(f). ' O

Sei jetzt R ein reell abgeschlossener Körper und ACR ein Teilring. M i t M^c bezeichnen wir die konvexe Hülle einer Teilmenge M CRmR; speziell sei B := A^c die konvexe Hülle von A. Sei Po '• — {a G A: a > 0} G S p e r A ; die Po-konvexen Ideale von A sind einfach die in A (bezüglich der von R induzierten Totalordnung) konvexen Ideale.

Für jedes Ideal a C A ist ac ein Ideal von P , und genau dann ist a Po-konvex, wenn a = A f l ac ist. Es ist also b M A Pl b eine Surjektion

{Ideale von B} — » {Po-konvexe Ideale von A } .

Ist p C A ein Po-konvexes Pn'mideal, so braucht pc nicht prim zu sein. Trotzdem gilt aber

L e m m a 2. Die Abbildung

S p e c P —>• {Po-konvexe Primideale von A}, q »—• A Cl q ist surjektiv.

Beweis. Ist p ein Po-konvexes Primideal von A , so ist y/p^ ein Primideal von B (II, §4,

Satz 3e), und es ist A O ^ / p = x/p = P- • K o r o l l a r 2. 7s£ C ein konvexer Oberring von A in Ry so ist A D ein P^-konvexes

Primideal von A, und die Abbildung S p e c C —» S p e c A hat als Bild genau die Po-konvexen Primideale p von A mit p C A D m ^ .

Beweis. K l a r , wegen C = Bmc ( B , §2). •

Wegen Theorem 2 und Satz 3 kann man diese Tatsachen auch anders formulieren (A sei jetzt ein beliebiger Ring):

S a t z 4. Sei tp: A —> R ein Homomorphismus in einen reell abgeschlossenen Körper, sei B die konvexe Hülle von ip(A) in R und <po: A —» B der induzierte Homomorphismus. Dann besteht das Bild von Sper(^o genau aus den Spezialisierungen von CY^ip in S p e r A . Hierbei ist Ct^ip das durch tp definierte Element in SperA. (siehe §3, Bemerkung 3).

Beweis. Für den generischen Punkt /¾ von S p e r P ist = ( S p e r ^ o ) ( A ) , woraus B i l d (Sper (po) C {a^} folgt. Sei P = [0, c o [Ä die zu Cx^lf gehörende Ordnung von A . Nach Lemma 2 und Satz 3 gibt es zu jedem P-konvexen Primideal q von A ein ß G Sper B

mit supp ((Sper <£>())(/?)) = cI- Wegen Theorem 2 folgt die Behauptung. • S a t z 5. Sei tp: A —> B ein Homomorphismus in einen reell abgeschlossenen

Bewer-tungsring B, seien ßoyßi generischer und abgeschlossener Punkt von S p e r B , und sei ai = (Sper(p)(ßi) (i = 0,1). Dann ist das Bild unter S p e r ^ genau das „InlervaWi

{a G Sper A : ÖJQ >~ et y cti}.

Beweis. Das folgt mit Korollar 2 wie bei Satz 4.

•

Seien A1 B beliebige Ringe. Ist y>: A —» B ein ganzer Homomorphismus (d.h. ist B über ip(A) ganz), so ist wohlbekannt, daß Specip eine abgeschlossene Abbildung ist. (Dies ist eine Umformulierung des sogenannten „Going-Up^w Theorems von Cohen-Seidenberg, welches aus II, §3, Theorem. 2 sofort folgt, vgl. [ B A C , ch. V , §2, no. 1] oder [Ku, p. 49].) Als Anwendung des Bisherigen zeigen wir, daß dasselbe auch für S p e r y gilt:

S a t z 6. Ist ip\ A —¥ B ein ganzer Ringhomomorphismus, so ist Spevtp eine abgeschlossene Abbildung.

Beweis. Sei ip* := Spery?. Ist Y C S p e r P abgeschlossen, so ist <p*{Y) prokonstruierbar, es reicht also, die Stabilität unter Spezialisierung zu zeigen. Sei daher ß G S p e r P und a = ip*(ß)> zu zeigen ist <p*{ß} = {cx}. Sei rß'.B —> k(ß)¹ b i - * b(ß)¹ der zu ß gehörende Auswertungshomomorphismus, sowie C die konvexe Hülle von rß(p(A) in k(ß).

Da B über A1 also auch rß(B) über r#y>(A), ganz ist, ist auch rß(B) C C Definiere ip: A —> C1 r : P —> C durch das kommutative Diagramm

A - ^ P

C—>k(ß) .

Nach Satz 4 ist r*(Sper C ) - {ß} und (Sper C ) = {o}, woraus y>*{/ff = {"af folgt. • W i r wollen die Aussage von L e m m a 2 bzw. Satz 4 noch etwas präzisieren. M a n kann Lemma 2 auch so formulieren, daß zu jedem Po-konvexen Primideal p von A ein konvexer Oberring C von A mit Zentrum p auf A existiert. Genauer:

S a t z 7. Sei R ein reell abgeschlossener Körper, A C P e i n Teilring und P = A n [ 0 , o o [ß. /5/. p C A e i n P-konvexes Primideal, so ist C := (Ap)c der kleinste und Cc, vnit c := yffi, der größte konvexe Oberring von A in R mit Zentrum p auf A.

Beweis. Sei BCR ein konvexer Oberring von A mit Zentrum p auf A . Dann ist Ap C P , also auch C = ( AP)C C P , und P = Cq für ein Primideal q von C Wegen p C m# — q muß auch pc C q und c = x / p3 C q, d.h. B C Cc sein (c ist ein Primideal in Cy vgl.

Lemma 2). • K o r o l l a r 3. Sei A ein beliebiger Ring. Zu Cx¹ ß G S p e r A mit cx y ß gibt es einen

Homomorphismus tp: A —* B in einen reell abgeschlossenen Bewerlungsring B, so daß Spev(p als Bild genau das „Intervall" { 7 G S p e r A r a >- 7 >- ß] hat.

Beweis. Sei q := supp ß sowie A' := ra(A) und q' := ra(q). Es genügt, für B die konvexe

Hülle von A^tq, in k(a) zu nehmen (und (p induziert durch r^a: A —» • K o r o l l a r 4. („Konvexität" von S p e r y ) Sei (p: A¹ —> A e i n Homomorphismus zwischen

beliebigen Ringen, und seien ß G S p e r A mi^ et y ß. Dann ist das Bild des Intervalls { 7 G S p e r A : a >- 7 >- ß} in S p e r A7 wieder ein Intervall, d.h. zu 7 ' G S p e r A7 mit {Spev (p)(a) y 7 ' >- (Sper #i&£ es ein Urbild 7 v o n 7⁷ mit a y j y ß.

Beweis. Direkte Folgerung aus Korollar 3 und Satz 5.

•

K o r o l l a r 5. Sei a G Sper A. Genau dann ist ex abgeschlossen in Sper Ai wenn k(a) über ra(A) archimedisch ist.

Beweis. W i r können o.E. supp cx = (0), also R := k(a) als reellen Abschluß von K : = Quot A voraussetzen. D a R über K archimedisch ist (I, §7, Satz 1), ist C = R für p = (OJ in Satz 7, d.h. jeder von R verschiedene konvexe Oberring B von A induziert eine echte Spezialisierung von a. Genau dann also ist {a) = {cx}, wenn es keinen solchen gibt. •

D a konvexe Bewertungsringe eines reell abgeschlossenen Körpers R und reelle Stellen R —> S U oo i m wesentlichen dasselbe sind, lassen sich die vorangegangenen Aussagen auch in der Sprache der Stellen formulieren. W i r geben ein Beispiel.

Sind R1S reell abgeschlossene Körper, ist ip: A —> R ein Homomorphismus und A: R —>

S U 00 eine Stelle, die auf (p(A) endlich ist, so ist das Element ct\^0(p eine Spezialisierung von Cx^ in Sper A , und zu jeder Spezialisierung von Cxip gibt es solch ein A. Genauer:

D e f i n i t i o n 4. E i n Homomorphismus ip: A —* R in einen reell abgeschlossenen Körper heiße straff, wenn R über Quot <p(A) archimedisch ist.

S a t z 8. Sei <p:A —> R ein Homomorphismus in einen reell abgeschlossenen Körper.

Zu jeder Spezialisierung ß von gibt es eine surjektive, auf ^p(A) endliche Stelle A =

\ß\R —>• S U 00 in einen reell abgeschlossenen Körper S, so daß Xoip straff und a\⁰⁽p = ß ist. Ist 7 eine weitere Spezialisierung von Cx^ip, so gilt: ß >- 7 <==> A7 faktorisiert durch

SU 00 A/3 / A^-*R

A7 \ T U 00

Beweis. Das ist nur eine Umformulierung der schon erzielten Ergebnisse.

•

§8. Das reelle Spektrum und der reduzierte W i t t r i n g eines Körpers

Im vorigen Abschnitt haben wir die Spezialisierungsketten — die „Speere" — im reellen Spektrum eines Rings näher untersucht. Zu diesen liegen, anschaulich gesprochen, die Fasern der Trägerabbildung supp: S p e r A —+ S p e c A transversal, da jeder Speer mit solch einer Faser höchstens einen P u n k t gemeinsam hat. Diese Fasern sind gerade die reellen Spektren der Restklassenkörper von A (§3, Korollar 4). U m den spektralen R a u m S p e r A besser zu verstehen, liegt es daher nahe, allgemein das reelle Spektrum von Körpern eingehender zu studieren. Damit soll in diesem Abschnitt begonnen werden.

Sei i m folgenden F stets ein Körper, den wir o.E. als formal reell voraussetzen. Der Kürze halber schreiben wir Xp statt Sper F. Der spektrale R a u m Xp ist Hausdorffsch, also kompakt und total unzusammenhängend, seine (Ilarrison-) Topologie stimmt mit der konstruierbaren Topologie überein, und die konstruierbaren Teilmengen von Xp sind genau die offen-abgeschlossenen Teilmengen (vgl. §3, Bemerkung 4, und §4). Sind a i , . . . , an Elemente von F*, so schreiben wir einfach HF(a\¹..., aⁿ) oder Ii(ai,..., an) für H^F{ai,...,aⁿ) = H^F(a^u ..., aⁿ).

Als topologischer R a u m ist also Xp = Sper F ziemlich uninteressant. Durch die Ele-mente des Körpers bzw. die durch sie gegebenen Vorzeichenverteilungen auf Xp steht jedoch eine stärkere Struktur zur Verfügung. U m diese nutzbar zu machen, kehren wir

zu quadratischen Formen zurück. Es hat sich gezeigt, daß die Theorie der quadratischen Formen ein äußerst wichtiges Werkzeug für reelle Algebra und Geometrie darstellt. Dabei muß man auch quadratische Formen über allgemeineren (kommutativen) Ringen studie-ren, was allerdings dem zweiten Band [HRA] vorbehalten bleiben soll. Hier werden wir nur einige elementare Gesichtspunkte i m Wechselspiel von quadratischen Formen und reellem Spektrum eines Körpers behandeln.

Es sei daran erinnert, daß jede Anordnung P von F einen Ringhomomorphismus S i g nj pA F ( F ) —• Z definiert, die Signatur bezüglich P (I, §2).

Im Dokument in die reelle Algebra (Seite 138-143)