Die schwach ∗ -Repr¨ asentation

Mit dem schwach^∗-Integral des vorigen Abschnittes l¨asst sich eine Darstellung der L¨osung von Gleichung (1.1) im Bidualraum B^∗∗ des Phasenraumes B angeben. Die Rolle des Banachraumes X ¨ubernimmt dabei der Dualraum B^∗. Es wird eine “inte-grierte” Version der Gleichheit in Satz 2.2 ben¨otigt:

Lemma 2.8

Beweis: Das Integral ist wohldefiniert, da Satz 2.1 die L¨osungy(·,ψ) der adjungiertene Gleichung (2.6) auf dem Intervall [0, t] als eine Funktion von beschr¨ankter Variation ausweist und Satz 2.2 f¨ur 0 6 s < t die Gleichheit [T^∗(t−s)ψ]^e(0−) = y(s −t,ψ)e gew¨ahrleistet.

Sei zun¨achst h eine stetig differenzierbare Funktion auf [0, t]. Mit der Darstellung der L¨osung y(·,ψ) der adjungierten Gleichung (2.6) gem¨e aß Satz 2.1 folgt aus Satz2.2 und (2.7) f¨urψ ∈ B^∗ und t>0:

=− Z t

0

[T^∗(t−s)ψ]^e(0−)dh(s).

F¨ur eine beliebige Funktionh∈C([0, t],C^d) existiert eine Folge stetig differenzierbarer Funktionen {h_n}_n∈N ⊆ C([0, t],C^d) mit kh−h_nk_C[0,t] → 0 f¨ur n → ∞. Es folgt f¨ur

Aus der Stetigkeit von K(t) f¨urt >0 nach Lemma 1.2 folgt die Behauptung. 2 Im Folgenden wird ˆB stets auf kanonische Art mit einem Unterraum des Bidualraumes B^∗∗ identifiziert.

Definition 2.9

Es sei B=B(R–,K^d) ein Phasenraum. Definiere

γ :B^∗ →C^d∗, γ(ψ) := (γ¹(ψ), . . . , γ^d(ψ)), (2.9) mit γⁱ :B^∗ →C, γⁱ(ψ) :=−ψeⁱ(0−) f¨uri= 1, . . . , d,

wobei ψeⁱ die i-te Komponente vonψebezeichnet.

Nach Definition gilt γ(ψ) = −ψ(0−) f¨e ur ψ ∈ B^∗. Aus Ungleichung (2.8) folgt f¨ur Seite 118 in [HMN91]. F¨ur einen beliebigen Operator T auf B^∗∗ definiere T γ :=

(T γ¹, . . . , T γ^d).

Es kann jetzt eine Formel der Variation der Konstanten im Bidualraum B^∗∗ f¨ur die L¨osungxder Gleichung (1.1) formuliert werden. Diese Darstellung wird Ausgangspunkt f¨ur Absch¨atzungen von kx_tk_B f¨ur t→ ∞ der L¨osung x der Gleichung (1.1) sein.

6.2 Darstellung im Bidualraum 99

Satz 2.10

Es seix(·) =x(·, ϕ, h)die L¨osung der Gleichung (1.1). Dann istT^∗∗(t−·)γⁱ : [0, t]→ B^∗∗

schwach^∗-integrierbar bez¨uglich stetiger Funktionen f¨uri= 1, . . . , d, und es gilt ˆ

Zun¨achst wird die schwach^∗-Integrierbarkeit von fⁱ nachgewiesen. Aus der Definition von γⁱ und Satz 2.2 folgt f¨urψ ∈ B^∗ und s∈[0, t]:

hψ, fⁱ(s)i=hψ, T^∗∗(t−s)γⁱi

=hT^∗(t−s)ψ, γⁱi

=−([T^∗(t−s)ψ]^e)ⁱ(0−)

=−yⁱ(s−t,ψ),e (2.10)

wobeiyⁱ(·,ψ) diee i-te Komponente der L¨osung y(·,ψ) der adjungierten Gleichung (2.6)e und ([T^∗(·)ψ]^e)ⁱ die i-te Komponente von [T^∗(·)ψ]^e bezeichnen. Aus Satz2.1 folgt die beschr¨ankte Variation der Funktion hψ, fⁱ(·)i auf [0, t] f¨urψ ∈ B^∗.

Durch Anwendung der Gleichheit (2.10) implizieren Satz2.1und die Absch¨atzung (2.8) f¨urψ ∈ B^∗:

Wegen der Darstellung ˆx_t= ˆT(t)ϕ+ ˆK(t)h nach (1.5) folgt die Behauptung. 2 Es bezeichne wie gewohnt {T(t)}ˆ _t>0 und ˆA die L¨osungshalbgruppe und deren infinite-simalen Erzeuger der homogenen Gleichung (2.1.1), die zu Gleichung (1.1) korrespon-diert. Bez¨uglich Λ⊆σ_P( ˆA)∩Cβ wird der Phasenraum ˆBin ˆB= ˆP_Λ⊕Qˆ_Λ gem¨aß Satz 2.4.12 zerlegt, wobei β = β_B in Definition 2.4.2 eingef¨uhrt ist. Um eine Absch¨atzung von kx_tk_B zu erhalten, wird das Segmentx_t in der Darstellung des Satzes 2.10 auf die zu ˆP_Λ und ˆQ_Λ entsprechenden R¨aume im Bidualraum projiziert. Diese Projektionen von x_t lassen sich schließlich in der Norm k·k_Bˆ absch¨atzen. F¨ur dieses Vorgehen in den n¨achsten Abschnitten werden einige Notationen eingef¨uhrt.

Eine Basis von ˆP_Λ wird angegeben durch{Φˆ₁, . . . ,Φˆ_k}mit ˆΦ_i ∈Bˆ f¨uri= 1, . . . , k. Der Annihilator von ˆQ_Λ ist definiert als

( ˆQ_Λ)^⊥:={ψ ∈ B^∗ : hψ,ϕiˆ = 0 f¨ur jedes ˆϕ∈Qˆ_Λ}.

Hierbei ist nach Bemerkung A.7 der Dualraum ˆB^∗ mit B^∗ identifiziert worden. Nach Lemma 5.3.6 in [HMN91] existiert eine Basis{Ψ₁, . . . ,Ψ_k} von ( ˆQ_Λ)^⊥ mit Ψ_i ∈ B^∗ f¨ur i = 1, . . . , k, so dass hΨ_i,Φˆ_ji = δ_ij f¨ur i, j = 1, . . . , k gilt. Die Projektionen bez¨uglich der direkten Summe ˆB= ˆP_Λ⊕Qˆ_Λ seien gegeben durch

π_P : ˆB →B,ˆ π_P( ˆϕ) : = ˆϕ^P f¨ur ˆϕ= ˆϕ^P + ˆϕ^Q, ϕˆ^P ∈Pˆ_Λ, ϕˆ^Q ∈Qˆ_Λ, (2.11) π_Q : ˆB →B,ˆ π_Q( ˆϕ) : = ˆϕ^Q f¨ur ˆϕ= ˆϕ^P + ˆϕ^Q, ϕˆ^P ∈Pˆ_Λ, ϕˆ^Q ∈Qˆ_Λ. (2.12) Die Projektionenπ_P undπ_Q sind nach Satz 5.16 in [Rud73] beschr¨ankte lineare Opera-toren. Aufgrund der Invarianz der Operatoren ˆT(t) auf den R¨aumen ˆP_Λ und ˆQ_Λ nach Satz 2.4.12 folgt f¨ur t>0

π_P^∗T^∗(t) =T^∗(t)π_P^∗ und π_P^∗∗T^∗∗(t) = T^∗∗(t)π_P^∗∗, (2.13) sowie analog f¨ur die Projektion πQ auf ˆQΛ.

Die Basen von ˆP_Λ und ( ˆQ_Λ)^⊥ werden abk¨urzend als Zeilen- und Spaltenvektoren auf-gefasst:

Φˆ_Λ:= ( ˆΦ₁, . . . ,Φˆ_k) f¨ur Φ_i ∈Bˆ f¨ur i= 1, . . . , k, Ψ_Λ:= (Ψ₁, . . . ,Ψ_k)^T f¨ur Ψ_i ∈ B^∗ f¨ur i= 1, . . . , k,

Operatoren wirken komponentenweise auf diese Vektoren. F¨ur ˆϕ ∈ Bˆ und ϕ^∗∗ ∈ B^∗∗

seien

hΨ_Λ,ϕiˆ :=







hΨ₁,ϕiˆ ... hΨ_k,ϕiˆ





∈C^k×1 und hΨ_Λ, ϕ^∗∗i:=







hΨ₁, ϕ^∗∗i ... hΨ_k, ϕ^∗∗i





∈C^k×1.

6.2 Darstellung im Bidualraum 101 Nach Lemma 5.3.6 in [HMN91] ist die Projektion π_P auf ˆP_Λ gegeben durch

π_P ϕˆ= Des Weiteren existiert nach Satz 2.4.12 eine Matrix G_Λ ∈ C^k×k, die der Gleichung AˆΦˆ_Λ =Φˆ_ΛG_Λ gen¨ugt.

Endliches Ged¨achtnis 2.11 Die Gleichung (2.14) gibt in abstrakter Weise f¨ur ˆϕ^P ∈ Pˆ_Λ die Koeffizienten hΨ_Λ,ϕˆ^Pi bez¨uglich der Basis Φˆ_Λ an. F¨ur eine Gleichung mit endlichem Ged¨achtnis kann in Lemma 7.5.2 in [HVL93] eine explizite Darstellung des dualen Paares hΨ_Λ,ϕiˆ angegeben werden; siehe auch Beispiel 1.1.

Satz 2.12

wobeiγ den in (2.9)eingef¨uhrten Vektor mit Komponenten in B^∗∗ bezeichnet und die Projektionenπ_P^∗∗ und π_Q^∗∗ komponentenweise auf γ wirken.

Beweis: Auf ˆB ⊆ B^∗∗ giltπ_P =π^∗∗_P . Wegen der Kommutativit¨at des schwach^∗-Integrals nach Lemma2.7 und der Kommutativit¨at in (2.13) ergibt die Anwendung der Projek-tion π_P auf die Darstellung in Satz 2.10 f¨ur t>0:

Analog wird die Darstellung der Projektion auf ˆQ_Λ nachgewiesen. 2 F¨ur Gleichungen mit endlichem Ged¨achtnis gibt Satz 2 in [MSW86] analoge Projektio-nen zu jeProjektio-nen in Satz2.12 an. Die Projektionen k¨onnen jedoch in der dort betrachteten Situation direkt auf dem zugrunde liegenden Funktionenraum der Anfangsbedingungen angegeben werden, da die Fundamentall¨osung als ein Element dieses Raumes verstan-den werverstan-den kann. Bei verstan-den hier axiomatisch beschriebenen Phasenr¨aumen ist dieses nicht mehr m¨oglich.

Das folgende Korollar gibt eine einfache Darstellung der auf den endlich-dimensionalen Raum ˆP_Λ ⊆Bˆ projizierten L¨osung π_Pxˆ_t an.

Korollar 2.13

Es seiBˆ = ˆP_Λ⊕Qˆ_Λ eine Zerlegung bez¨uglich Λ⊆σ_P( ˆA)∩Cβ. Dann ist die Projektion auf Pˆ_Λ der L¨osung x(·) = x(·, ϕ, h) der Gleichung (1.1)f¨urt >0gegeben durch:

π_Pxˆ_t=Φˆ_Λe^GΛthΨ_Λ,ϕi −ˆ Z t

0

Φˆ_Λe^GΛ(t−s)Ψe_Λ(0−)dh(s).

Beweis: Die Darstellung (2.14) der Projektion π_P nutzend, impliziert Satz 2.4.12.c f¨ur t >0

Tˆ(t)(π_P ϕ) = ˆˆ T(t)(Φˆ_ΛhΨ_Λ,ϕi) =ˆ Φˆ_Λe^GΛthΨ_Λ,ϕi.ˆ

Unter Ausnutzung der Gleichheit ˆT(t) = T(t)^∗∗auf ˆB ⊆ B^∗∗erh¨alt man analog f¨ur den Integranden des schwach^∗-Integrals in der Darstellung des Satzes2.12 f¨urt >0:

T^∗∗(t)(π_P^∗∗γ) = T^∗∗(t)(Φˆ_ΛhΨ_Λ, γi)

= ˆT(t)(Φˆ_ΛhΨ_Λ, γi)

=−Φˆ_Λe^tGΛΨe_Λ(0−).

Die Darstellung von π_Pxˆ_t f¨ur t>0 in Satz 2.12 beendet den Beweis. 2

Bemerkung 2.14 Aus Korollar2.13folgt f¨ur die L¨osung x=x(·, ϕ, h) der Gleichung (1.1) und t>0:

(π_Pxˆ_t)(u) =Φˆ_Λ(u)

e^GΛthΨ_Λ,ϕi −ˆ Z t

0

e^GΛ(t−s)Ψe_Λ(0−)dh(s)

, u60,

=:Φˆ_Λ(u)U_Λ(t), u60. (2.16)

Ist der Raum ˆP_Λ k-dimensional, so nimmt die FunktionU_Λ(t) = hΨ_Λ, x_ti Werte inC^k an. Die Funktion U_Λ(·) wird als Koordinatenfunktion bezeichnet.

6.3 Absch¨atzungen auf P_Λ und Q_Λ 103

3 Absch¨ atzungen auf P

_Λ

und Q

_Λ

Mit den nach Satz2.10eingef¨uhrten Notationen wird eine Zerlegung ˆB= ˆP_Λ⊕Qˆ_Λ des Phasenraumes B bez¨uglich einer Menge Λ ⊆ {λ ∈ σ_P( ˆA) : Re λ > c} mit c > β_B betrachtet. F¨ur die Funktionh∈C(R+,C^d) wird das asymptotische Wachstumh(t) = O(e^κt) f¨ur t → ∞ und κ < c angenommen. Unter diesen Voraussetzungen ist gem¨aß Definition4.2.3.b das folgende Integral f¨urt>0 wohl definiert:

Y_Λ(t) : = Z ∞

t

e^GΛ(t−s)Ψe_Λ(0−)dh(s)∈C^k×1, (3.17) daσ(G_Λ) = Λ nach Satz 2.4.12 gilt.

Satz 3.1

F¨ur c > βB sei Λ = {λ ∈ σ( ˆA) : Re λ > c} gegeben durch Λ = Λ1 ∪ · · · ∪Λp mit Λi ={λ ∈σP( ˆA) :Reλ =vi} und v1 >· · ·> vp. Bez¨uglich Λi bezeichne Ψi die Basen von ( ˆQ_Λi)^⊥ bei Zerlegungen Bˆ = ˆP_Λi ⊕Qˆ_Λi f¨ur i = 1, . . . , p gem¨aß Satz 2.4.12 sowie Y_Λi die in (3.17) definierten Funktionen. Dann gilt f¨ur die L¨osung x = x(·, ϕ, h) der Gleichung (1.1) zu einem ϕ ∈ B und einer St¨orfunktion h ∈ C(R+,C^d) mit h(t) = O(e^κt),t → ∞, f¨ur einκ < v_p:

a) falls hΨ_i,ϕiˆ =Y_Λi(0) f¨ur i = 1, . . . , l−1 mit l ∈ {1, . . . , p} und hΨ_l,ϕi 6=ˆ Y_Λl(0), dann folgt

t→∞lim

logkπ_Pxˆ_tkBˆ

t =v_l; b) falls hΨ_i,ϕiˆ =Y_Λi(0) f¨uri= 1, . . . , p:

lim sup

t→∞

logkπ_Pxˆ_tk_Bˆ

t 6κ.

Dabei bezeichne πP die Projektion (2.11) auf PˆΛ bei Zerlegung des Phasenraumes Bˆ = ˆP_Λ⊕Qˆ_Λ bez¨uglich Λ = Λ₁∪ · · · ∪Λ_p.

Beweis: Ersetzt man in Lemma 7 und Satz 8 in [MS90] die explizite Bilinearform durch die duale Paarung h·,·i:B^∗× B →C, so lassen sich die Beweise ¨ubertragen. 2 Satz3.1 gibt das Verhalten von kπPxtkBˆ der L¨osungx=x(·, ϕ, h) der Gleichung (1.1) f¨ur t → ∞ an, wobei π_P die Projektion gem¨aß (2.11) auf ˆP_Λ bei einer Zerlegung Bˆ = ˆP_Λ⊕Qˆ_Λ des Phasenraumes B angibt. Zur Bestimmung des Grenzwertes (1.2) verbleibt, eine Absch¨atzung f¨ur kπQxtkBˆ zu erhalten, wobei πQ die korrespondierende Projektion (2.12) bezeichnet. Dies gelingt mittels der L¨osung y(·, b) der adjungierten Gleichung (2.6) zu den Anfangsbedingungen b ∈ BV_loc(R–,C^d∗). Zun¨achst wird eine

Absch¨atzung der Variation der Funktion y(·, b) f¨ur die Anfangsbedingungen b einer adjungierten Gleichung (2.6) f¨ur jedes ψ ∈ B^∗ und t > 0 der folgenden Absch¨atzung gen¨ugt: A.c an den Phasenraum B bezeichnet.

Beweis: Auftretende Konstanten, die nur von ε abh¨angen, werden in diesem Beweis mit c_i, i ∈ N, bezeichnet. Der Operator L ∈ L(B,C^d) in der Gleichung (1.1) werde

Wegen der Absch¨atzung (2.8) folgt f¨urt >0 TV Es verbleibt, die totale Variation der Funktion I in (3.18) abzusch¨atzen. Satz 2.4.13 impliziert f¨ur jedes ˆϕ∈Bˆ und t>0

6.3 Absch¨atzungen auf P_Λ und Q_Λ 105

Die verwendete Norm-Isometrie eines linearen stetigen Operators und dessen adjungier-ten Operators ist in Satz 4.10 in [Rud73] festgehaladjungier-ten. Da δ > 0 in der Absch¨atzung (3.20) beliebig ist, impliziert die Stetigkeit vonM f¨urt >0:

y(−t,[π^∗_Qψ]^e)

6c₄M(0)kψk_B∗e^(c0+ε)t. (3.21) Aus den Absch¨atzungen der Variation vonF_ν nach (2.8) und aus (3.21) folgt f¨urt>0:

TV [I,[−t,0]]6 Die erste Ungleichung wird erzielt durch einen ¨Ubergang zu den Partitionen des In-tervalls [−t,0] und eine Anwendung des Satzes der monotonen Konvergenz. Mit den Absch¨atzungen (3.19) und (3.22) folgt aus der Ungleichung (3.18) die Behauptung. 2

Satz 3.3

Es sei Bˆ = ˆP_Λ⊕Qˆ_Λ eine Zerlegung bez¨uglich Λ = {λ ∈ σ_P( ˆA) : Re λ > c} f¨ur ein c > βB. Dann existiert f¨ur jedes ε > 0 und ϕˆ ∈ Bˆ eine Konstante k = k(ε,ϕ), soˆ dass die Projektion (2.12) auf Qˆ_Λ der L¨osung x = x(·, ϕ, h) von Gleichung (1.1) der folgenden Absch¨atzung f¨urt >0gen¨ugt

kπQxˆtk_Bˆ 6k A.c an den Phasenraum B bezeichnet.

Beweis: Aus der Darstellung in Satz2.12 folgt f¨ur t>0:

kπ_Qxˆ_tk_Bˆ 6 F¨ur den ersten Summanden in (3.23) gilt aufgrund des Satzes 2.4.13 f¨ur t>0:

mit einer Konstantenc1 =c1(ε)>0. Nutzt man zun¨achst die “adjungierte” Darstellung der Norm k·k_Bˆ nach Satz 4.3 in [Rud73] aus und setzt die Definition des Vektors γ in (2.9) ein, l¨asst sich schließlich durch Satz 2.2 und Lemma 3.2 f¨ur t > 0 folgende

Absch¨atzung gewinnen:

Endliches Ged¨achtnis 3.4 In Beispiel4.2.7wird eine affine Differentialgleichung mit endlichem Ged¨achtnis auf dem Raum B = (C[−α,0]× L¹_g)(R–,R^d) mit g = 0 be-trachtet. Nach Beispiel 2.2.6 kann f¨ur diesen Phasenraum B die Funktion M als eine Konstante gew¨ahlt werden. F¨ur die St¨orfunktion h∈C(R+,R^d) gelte sup{|h(s)|: s ∈ [0, t]} =O(e^(κ+ε)t) f¨ur t → ∞ f¨ur ein κ> 0 und jedes ε >0. Dann folgt aus Satz 3.3 f¨ur die L¨osungx der affinen Gleichung (4.2.7) mit endlichem Ged¨achtnis f¨urt>0:

lim sup

t→∞

1

t kπ_Qx_tk_C[−α,0] 6κ∨c⁰. Dies entspricht der Aussage des Lemmas 11 in [MS90].

4 Die Lyapunov-Exponenten

Mit den Absch¨atzungen auf den beiden Unterr¨aumen ˆP_Λ und ˆQ_Λ des vergangenen Abschnittes l¨asst sich das Verhalten der L¨osung der Gleichung (1.1) bestimmen. Wir fassen das Ergebnis in einem allgemein formulierten Resultat zusammen, w¨ahrend in dem nachfolgenden Abschnitt, in dem die analoge stochastische Differentialgleichung betrachtet wird, die Parameter einer typischen Situation entsprechend gew¨ahlt werden.

Satz 4.1

F¨ur c > βB sei Λ = {λ ∈ σ( ˆA) : Re λ > c} gegeben durch Λ = Λ₁ ∪ · · · ∪Λ_p mit Λ_i ={λ ∈σ_P( ˆA) :Reλ =v_i} und v₁ >· · ·> v_p. Bez¨uglich Λ_i bezeichne Ψ_i die Basen

6.4 Die Lyapunov-Exponenten 107

von ( ˆQ_Λi)^⊥ bei Zerlegungen Bˆ = ˆP_Λi ⊕Qˆ_Λi f¨ur i = 1, . . . , p gem¨aß Satz 2.4.12 sowie Y_Λi die in (3.17)definierten Funktionen. F¨ur jedes ε >0und f¨urt → ∞gelte

khk_C[0,t] =O(e^(κ+ε)t) f¨ur ein κ < v_p, M(t) +

Z t 0

M(t−u)e^(c0+ε)udu=O(e^{(θ−κ+ε)t}) f¨ur ein θ < v_p,

mit c⁰ := sup{λ ∈ σ_P( ˆA) ∩ CβB : Re λ < c} ∨βB. Dann folgt f¨ur die L¨osung x=x(·, ϕ, h) der Gleichung (1.1) zu einem ϕ∈ B,

a) falls hΨ_i,ϕiˆ =Y_Λi(0) f¨uri= 1, . . . , l−1, l ∈ {1, . . . , p}, undhΨ_l,ϕi 6=ˆ Y_Λl(0):

t→∞lim

logkˆx_tkBˆ

t =v_l; b) falls hΨ_i,ϕiˆ =Y_Λi(0) f¨uri= 1, . . . , p:

lim sup

t→∞

logkˆxtkBˆ

t 6κ∨c⁰ ∨θ.

Beweis: F¨ur die Zerlegung ˆB= ˆP_Λ⊕Qˆ_Λ gem¨aß Satz2.4.12 bez¨uglich Λ = Λ₁∪ · · · ∪Λ_p bezeichne πP und πQ die Projektionen in (2.11) und (2.12). Satz 3.3 impliziert f¨ur beliebigesε >0

lim sup

t→∞

1

t logkπ_Qxˆ_tk_Bˆ 6(c⁰∨θ) + 2ε. (4.24) Nach Satz3.1 gilt unter den Voraussetzungen von a:

t→∞lim 1

t logkˆx_tkBˆ = lim

t→∞

1

t logkπ_Pxˆ_t+π_Qxˆ_tk_Bˆ

= lim

t→∞

1

t log (kπ_Pxˆ_tkBˆ(1 +o(1)))

=v_l.

Unter den Voraussetzungen in b folgt mit Satz3.1 lim sup

t→∞

1

t logkπ_Pxˆ_tk_Bˆ 6κ,

woraus in Verbindung mit (4.24) die Behauptung b folgt. 2

5 Stochastische Differentialgleichungen

Falls der Phasenraum die Bedingungen B und C erf¨ullt, ¨ubertr¨agt sich das Ergebnis des Satzes 4.1 pfadweise auf die L¨osung X der affinen stochastischen Differentialgleichung (4.2.8). Wegen Bemerkung 2.4.15 kann ohne Weiteres von einem reellen Phasenraum ausgegangen werden.

F¨ur eine typische Situation geben wir die Anwendung des Satzes 4.1 auf die stochasti-sche Gleichung an, halten jedoch zun¨achst folgende Bemerkung fest:

Bemerkung 5.1 F¨ur eine Zerlegung ˆB = ˆP_Λ⊕Qˆ_Λ gem¨aß Satz 2.4.12 bez¨uglich Λ ⊆ σ_P( ˆA)∩CβB bezeichnen π_P und π_Q die Projektionen nach (2.11) und (2.12). Dann ist die Projektion auf ˆP_Λ der L¨osung X = X(·,Φ) von (4.2.8) nach Korollar 2.13 P-f.s.

f¨ur t > 0 gegeben durch π_PX_t = Φˆ_ΛU_Λ(t), wobei der Koordinatenprozess U_Λ ein Ornstein-Uhlenbeck-Prozess der folgenden Form f¨ur t>0 ist:

UΛ(t) =e^GΛthΨΛ,Φi − Z t

0

e^GΛ(t−s)ΨeΛ(0−)dW(s).

Satz 5.2

Es sei B ein Phasenraum, der die Bedingungen B und C erf¨ullt, mitβB <0 und einer beschr¨ankten Funktion M. Die Menge σ_P( ˆA)∩C0 sei gegeben durchΛ₁∪ · · · ∪Λ_p mit Λ_i ={λ∈ σ_P( ˆA) : Reλ=v_i} und v₁ >· · ·> v_p. Bez¨uglich Λ_i bezeichne Ψ_i die Basis von ( ˆQ_Λi)^⊥ bei Zerlegung Bˆ = ˆP_Λi ⊕Qˆ_Λi sowie Y_Λi die in (3.17) definierte Funktion.

Es folgt f¨ur die L¨osung X =X(·,Φ) der Gleichung (4.2.8) zu einem Φ ∈ B f¨ur P-f.a.

ω ∈Ω:

a) fallshΨi,Φ(ω)iˆ =YΛi(0)(ω)f¨uri= 1, . . . , l−1undl ∈ {1, . . . , p}sowiehΨl,Φ(ω)i 6=ˆ Y_Λl(0)(ω), dann folgt

t→∞lim log

Xˆ_t(ω) _Bˆ t =v_l; b) falls hΨ_i,Φ(ω)iˆ =Y_Λi(0)(ω) f¨uri= 1, . . . , p, dann folgt:

lim sup

t→∞

log

Xˆt(ω) _Bˆ

t 60.

c) die Bedingung in aist mit Wahrscheinlichkeit eins f¨url = 1 erf¨ullt:

P

hΨ₁,Φi 6=ˆ Y_Λ1(0)

= 1.

6.5 Stochastische Differentialgleichungen 109

Beweis: Die Aussagen a und b folgen aus Satz4.1.

Es istY_Λ1(0) eine absolutstetig verteilte Zufallsvariable, da sie normalverteilt ist. We-gen der Unabh¨angkeit von hΨ₁,Φiˆ und Y_Λ1(0) folgt die Behauptung c. 2

Bemerkung 5.3 F¨ur Phasenr¨aume B von gleichm¨aßig verblassendem Ged¨achtnis ist βB <0 nach Bemerkung2.5.2. Die FunktionM kann nach Proposition 7.1.5 in [HMN91]

konstant gew¨ahlt werden. Es sind gerade die Bedingungen des Satzes 5.2 erf¨ullt.

Zum Abschluss dieses Kapitels soll eine weitere Anwendung des hier vorgestellten Zugangs mittels des schwach^∗-Integrals angedeutet werden. F¨ur eine Zerlegung ˆB = Pˆ_Λ⊕Qˆ_Λ bez¨uglich Λ⊆ σ_P( ˆA)∩CβB wird in Bemerkung 5.1 die Projektion π_PX_t der L¨osung X einer beliebigen Gleichung (4.2.8) mit unendlichem Ged¨achtnis f¨ur t > 0 durch einen Ornstein-Uhlenbeck-Prozess charakterisiert.

Im Fall eines endlichen Ged¨achtnisses der L¨ange α >0 wird in Satz 3 in [MSW86] ge-zeigt, dass die komplement¨are Projektionπ_QX_tin der zugrunde gelegten Normk·k_B[0,α]

im quadratischen Mittel f¨urt → ∞gegen einen station¨aren Gauß-Prozess konvergiert.

Hierbei gehen Methoden ein, die speziell von dem Raum B([−α,0],R^d) (beziehungs-weise C([−α,0],R^d) der zugelassenen Anfangsbedingungen ausgehen. Es bietet sich an, die Darstellung der L¨osung einer affinen Gleichung mit unendlichem Ged¨achtnis im Bidualraum zu nutzen, um im Fall eines unendlichen Ged¨achtnisses f¨ur axiomatisch beschriebene Phasenr¨aume ein analoges Resultat zu erzielen.

Parameterabh¨ angige Gleichungen

In Satz 3.2 wird ein Resultat erzielt, das die Konvergenz der L¨osungen von parameterabh¨angigen affinen deterministischen Differentialgleichungen gew¨ahrleistet. Die Anwendung dieses Resultates erfordert eine Modifikati-on, die wir in Korollar 3.4 pr¨asentieren, um Fragen wie die Approximation der L¨osung einer affinen Gleichung durch einfach zu bestimmende Funktio-nen und den ¨Ubergang von einem unendlichen Ged¨achtnis auf ein endliches Ged¨achtnis zu behandeln. Da eine große Klasse von affinen Gleichungen auf Integraloperatoren basiert, wird f¨ur diese Gleichungen ein entsprechendes Ergebnis in Satz 4.3 gewonnen, um ebenfalls die Frage der Approximation zu behandeln.

Durch Methoden der stochastischen Analysis wird in Satz 6.1 ein Resul-tat erzielt, das die Konvergenz im quadratischen Mittel der L¨osungen pa-rameterabh¨angiger nicht-linearer stochastischer Differentialgleichungen mit Ged¨achtnis gew¨ahrleistet, wie sie in Abschnitt 4.1 behandelt werden. In Verbindung mit den zuvor betrachteten parameterabh¨angigen determini-stischen Differentialgleichungen ergibt sich ein Ergebnis, das die Konver-genz der L¨osungen von parameterabh¨angigen affinen stochastischen Diffe-rentialgleichungen mit Ged¨achtnis sowohl im quadratischen Mittel als auch pfadweise impliziert.

1 Einleitung

In zahlreichen Anwendungen wird die Vergangenheit von Differentialgleichungen mit unendlichem Ged¨achtnis durch Quasi-Polynome gewichtet, wie sie in Kapitel 5 behan-delt werden, ohne dass das Modell explizit eine Gewichtung durch Quasi-Polynome nahelegt. Diese “Universalrolle” der Quasi-Polynome wird unter Anderem in diesem Kapitel begr¨undet, indem wir die L¨osung einer linearen Differentialgleichung mit be-liebig gewichteter Vergangenheit als Grenzwert der L¨osungen von Gleichungen mit quasi-polynomiell gewichteter Vergangenheit nachweisen.

7.2 Konvergenz der Differential-Resolvente 111

Allgemeiner werden parameterabh¨angige Gleichungen betrachtet und nach hinreichen-den Bedingungen gefragt, die eine geeignete Konvergenz der L¨osungen implizieren. Es bezeichnenxⁿ(·, ϕⁿ, h) und x(·, ϕ, h) die L¨osungen der folgenden Gleichungen:

xⁿ(t) =ϕⁿ(0) + Z t

0

L_n(xⁿ_s)ds+h(t), t >0, xⁿ₀ =ϕⁿ ∈ B, (1.1) x(t) =ϕ(0) +

Z t 0

L(x_s)ds+h(t), t>0, x₀ =ϕ∈ B, (1.2) mit Anfangsbedingungenϕⁿ, ϕ aus einem Phasenraum B =B(R–,K^d). Die Funktion h : R+ → K^d ist eine stetige Funktion mit h(0) = 0 und die Operatoren L_n, L sind aus L(B,K^d).

F¨ur die L¨osungen xⁿ(·, ϕⁿ, h) und x(·, ϕ, h) der Gleichungen (1.1) und (1.2) wird in diesem Kapitel dielokal gleichm¨aßige Konvergenz

n→∞lim sup

t∈[0,T]

|xⁿ(t, ϕⁿ, h)−x(t, ϕ, h)|= 0 f¨ur jedes T >0 (1.3) betrachtet. Die lokal gleichm¨aßige Konvergenz definiert f¨ur Anwendungen, insbesonde-re f¨ur die numerische Approximation einer L¨osung durch einfache Funktionen, einen anschaulichen Abstandsbegriff.

Eine andere Form der Konvergenz, die wir hier nicht untersuchen, aber als Ausblick formulieren wollen, ist die lokal gleichm¨aßige Konvergenz der Vergangenheiten:

n→∞lim sup

t∈[0,T]

kxⁿ_t(·, ϕⁿ, h)−x_t(·, ϕ, h)k_B = 0 f¨ur jedes T >0. (1.4) Resultate vom Typ eines Trotter-Kato-Satzes (Satz 3.4.8 in [EN00]) erlauben einen halbgruppentheoretischen Zugang bei Behandlung dieser Konvergenz. Wegen der Be-dingung A.b an einen Phasenraum gelten die folgenden Implikationen:

(1.4) ⇒ (1.3) ⇒ lim

n→∞|xⁿ(t, ϕⁿ, h)−x(t, ϕ, h)|= 0 f¨ur jedes t >0.

Grundlegend f¨ur jede Konvergenz ist aufgrund der Formel der Variation der Konstanten f¨ur L¨osungen der Gleichungen (1.1) und (1.2) nach Satz 4.2.5 die Konvergenz der Differential-Resolventen.

2 Konvergenz der Differential-Resolvente

F¨ur OperatorenLn,L∈ L(B,K^d) existieren nach Satz2.3.1lokal endliche Maßeν, νn ∈ M_loc(R–,K^d×d), so dass gilt:

Lnψ = Z

νn(du)ψ(u) f¨ur alle ψ ∈Cc(R–,K^d), Lψ =

Z

ν(du)ψ(u) f¨ur alleψ ∈C_c(R–,K^d).

(2.5)

Schwache oder vage Konvergenz der Maßeν_ngegenνin der Darstellung (2.5) wird sich im sp¨ateren Verlauf als hinreichend f¨ur die Konvergenz der Differential-Resolventen der Maße ν_n erweisen. Die vage und schwache Konvergenz der Maße ist gerade die schwach^∗-Konvergenz der Funktionalanalysis auf den dualen Paaren (C_b(R–), M(R–)) und (C_c(R–), M_loc(R–)). Wir behalten jedoch den maßtheoretischen Terminus bei und definieren wie in [Bau92] oder [Kal02] bei ¨Ubertragung auf den matrixwertigen Fall:

Definition 2.1

a) Eine Folge {ν_n}n∈N ⊆ M_loc(R–,K^d×d) heißt vag konvergent gegen ein Maß ν ∈ M_loc(R–,K^d×d), wenn gilt

n→∞lim Z

dν_nf = Z

dν f f¨ur jedes f∈C_c(R–,K^d).

Als Notation wirdν_n→^v ν f¨ur n→ ∞ benutzt.

b) Eine Folge {ν_n}n∈N ⊆M(R–,K^d×d) heißt schwach konvergent gegen ein Maß ν ∈ M(R–,K^d×d), wenn gilt

n→∞lim Z

dν_nf = Z

dν f f¨ur jedes f ∈C_b(R–,K^d).

Als Notation wirdν_n→^w ν f¨ur n→ ∞ benutzt.

Bemerkung 2.2 Schwache oder vage Konvergenzen von matrixwertigen Maßen las-sen sich zur¨uckf¨uhren auf die jeweilige Konvergenz der einzelnen Komponenten. F¨ur ein komplexwertiges Maß sind die Konvergenzen auf die Konvergenzen des Real- und Imagin¨arteil des Maßes zur¨uckzuf¨uhren.

Endliches Ged¨achtnis 2.3 Im Falle eines endlichen Ged¨achtnisses ist in Lemma 2.3.5 in [Put01] die lokal gleichm¨aßige Konvergenz der Fundamentall¨osung gezeigt, falls die Maße νn und ν, die in diesem Fall kompakte Tr¨ager besitzen, schwach gegen-einander konvergieren.

Ersetzt man die in Lemma 2.3.5 in [Put01] geforderte schwache Konvergenz der end-lichen Maße durch die Forderung nach vager Konvergenz der lokal endend-lichen Maße νn

gegenν, l¨asst sich analog die Konvergenz der Differential-Resolventen zeigen. Durch die in Kapitel 3 vorgestellte Theorie der Volterra-Gleichungen kann man diese Vorausset-zung abschw¨achen und den Nachweis der Aussage erheblich vereinfachen. Wir f¨uhren in Analogie zu Verteilungsfunktionen f¨ur lokal endliche Maße ν, ν_n ∈ M_loc(R–,K^d×d) die folgenden Funktionen mit Werten in K^d×d ein:

G_n(s) :=G_νn(s) :=

Z

(−s,0]

ν_n(du) f¨urs >0, G(s) :=G_ν(s) :=

Z

(−s,0]

ν(du) f¨urs >0.

(2.6)

7.2 Konvergenz der Differential-Resolvente 113

F¨ur ein beliebiges Maß ν ∈M_loc(R–,K^d×d) ist die FunktionG_ν linksstetig mit rechts-seitigen Limiten und besitzt h¨ochstens abz¨ahlbar viele Unstetigkeitsstellen. Nach dem folgenden Satz impliziert eine geeignete Konvergenz der FunktionenG_n und G die lo-kal gleichm¨aßige Konvergenz der Differential-Resolventen. Das Resultat ist in [GLS90]

erw¨ahnt, der fehlende Beweis ist hier erg¨anzt. Dass die geforderte Konvergenz der FunktionenG_n eine schw¨achere Bedingung als die der vagen Konvergenz der Maßeν_n darstellt, wird in Beispiel2.6 demonstriert.

Unter derlokalen Konvergenz von Funktionenf_n eines Funktionenraumes F(R+,K^k), k∈N, wird stets die Konvergenz der eingeschr¨ankten Funktionen f_n|_[0,T] in der Norm von F([0, T],K^k) f¨ur jedes T >0 bezeichnet. Auf die Notation der Einschr¨ankung der Funktionen wird verzichtet.

Satz 2.4

Es gelte f¨ur die mit Maßen ν, νn∈Mloc(R–,K^d×d) in (2.6)definierten Funktionen

n→∞lim kG_n−Gk_L1[0,T]= 0 f¨ur jedes T >0. (2.7) Dann folgt f¨ur die Differential-Resolventenrn und r der Maße νn und ν:

a) lim

n→∞kr_n−rk_C[0,T]= 0 f¨ur T >0;

b) lim

n→∞kr˙_n−rk˙ _L1[0,T]= 0 f¨ur T >0.

Beweis: a) Es existieren nach Satz 2.3.1 in [GLS90] eindeutig bestimmte Funktionenq_n : R+ →K^d×d, die den Gleichungenq_n(t)−Rt

0 q_n(t−s)G_n(s)ds=−G_n(t) f¨ur (Lebesgue) fast alle t > 0 gen¨ugen. Durch Differentiation des Integraltermes zum einen nach der Formel f¨ur parameterabh¨angige Integrale und zum anderen nach der Formel f¨ur Faltungsintegrale (siehe Beweis zu Satz 3.3.1 in [GLS90]) ergeben sich die Differential-Resolventenr_n und r f¨urt >0 als:

rn(t) = Id− Z t

0

qn(s)ds und r(t) = Id− Z t

0

q(s)ds, wobeiqdie eindeutige Funktion ist, die der Gleichungq(t)−Rt

0 q(t−s)G(s)ds=−G(t) f¨ur (Lebesgue) fast alle t > 0 gen¨ugt. Da die Funktionen q_n und q nach Satz 2.3.1 in [GLS90] in der Topologie des Raumes L¹_loc(R+,K^d×d) stetig von den Funktionen Gn

und Gabh¨angen, folgt die Behauptung.

b) Ergibt sich aus dem Beweis der Aussage a. 2

Die lokale Konvergenz der Funktionen G_νn in L¹(R+,K^d×d) gem¨aß (2.7) wird im Fol-genden in bestehende Konvergenzbegriffe eingeordnet.

Satz 2.5

Konvergiert eine Folge von Maßen {ν_n}n∈N ⊆ M_loc(R–,K^d×d) f¨ur n → ∞ vag gegen ein Maßν ∈M_loc(R–,K^d×d), dann folgt:

n→∞lim kG_νn−G_νk_L1[0,T]= 0 f¨ur jedes T >0.

Beweis: Ohne Einschr¨ankung gelte ν_n→^v 0 f¨urn → ∞. Aus der vagen Konvergenz der Maße ν_n folgt die vage Konvergenz des Produktmaßes ν_n⊗ν_n →^v 0 f¨urn → ∞. Man erh¨alt mittels des Satzes von Fubini f¨ur T >0:

Z T 0

(G_νn(s))²ds= Z T

0

Z Z

[−T,0]²

1^(−s,0](u₁)1^(−s,0](u₂) (ν_n⊗ν_n)(du₁, du₂)

ds

= Z Z

[−T,0]²

(T + min{u₁, u₂}) (ν_n⊗ν_n)(du₁, du₂)

→0 f¨urn → ∞, da die Funktion

(u1, u2)7→(T + min{u1, u2})1[−T,0]²(u1, u2) f¨uru1, u2 60,

stetig ist und einen kompakten Tr¨ager in R–×R– besitzt. 2 Beispiel 2.6 Dass die umgekehrte Implikation in Satz 2.5 nicht gilt, zeigt die Wahl der Folge

νn(du) :=√

n δ0(du)−√

n δ−1/n(du) f¨urn ∈N. Die Folge von Maßen {ν_n}n∈N konvergiert nicht vag, jedoch gilt f¨urT >1

kG_νnk_L1[0,T] =√ n

Z 1/n 0

du= 1

√n →0 f¨urn → ∞.

Bemerkung 2.7 F¨ur ein positives, skalares Maß ν ∈ M_loc(R–,R+) ist die Funktion G_ν monoton wachsend. In diesem Fall l¨asst sich in Analogie zu Wahrscheinlichkeits-maßen und Verteilungsfunktionen ein ¨ahnliches Resultat wie der Satz von Alexandroff (Satz 4.25 in [Kal02]) gewinnen. Als Konsequenz erh¨alt man die ¨Aquivalenz der vagen Konvergenz von positiven Maßen ν_n und der lokalen Konvergenz der Funktionen G_νn in L¹(R+,R).

Eine Motivation dieses Kapitels ist die Approximation von L¨osungen einer Differen-tialgleichung mit Ged¨achtnis durch L¨osungen von Gleichungen mit quasi-polynomiell gewichteter Vergangenheit. Grundlage ist die Eigenschaft von Maßen mit einem Quasi-Polynom gem¨aß Definition 5.1.1 als Dichte, bez¨uglich der vagen Topologie dicht im Raum M_loc(R–,R+) zu liegen. F¨ur x₁, . . . , x_k ∈ R– und α₁, . . . , α_k ∈ K, k ∈N, wird das Maß

µ(du) :=

k

X

i=1

α_iδ_xi(du) (2.8)

definiert, das als diskretes Maß in Mloc(R–,K) bezeichnet wird. Das folgende Resul-tat ist in verschiedenen Formen bekannt und hier einheitlich f¨ur matrixwertige lokal endliche Maße formuliert.

7.3 Konvergenz f¨ur allgemeine Operatoren 115

Satz 2.8

a) F¨ur jedes Punktmaßδ_x mit x <0gilt f¨urn → ∞:

1R–(u)α n!

n+ 1

−x n+1

(−u)ⁿexp

n+ 1

−x u

du−→^w δ_x. (2.9) F¨ur das Punktmaß δ₀ gilt f¨urn → ∞:

1_R–(u)nα exp (nu) du−→^w δ₀. (2.10) b) F¨ur jedes Maßν ∈M_loc(R–,K^d×d)existieren Maßeν_n∈M_loc(R–,K^d×d)f¨urn ∈N

mit

ν_n = (ν_n^lk)^d_l,k=1 und ν_n^lk(du) :=1R–(u)

mn

X

i=1

a_i,n

n_i,n!(−u)^ni,ne^γi,nudu, (2.11) γi,n:=γ_i,n^lk ∈R, αi,n :=α^lk_i,n ∈K, ni,n∈N f¨uri= 1, . . . , mn, so dass ν_n →^v ν f¨urn → ∞.

Ist das Maßν endlich, so sind die Maßeν_n endlich und konvergieren schwach gegen ν.

Beweis: a) L¨asst sich mittels charakteristischen Funktion nachweisen.

b) Sei zun¨achstd= 1 undν ∈M_loc(R–,R+) ein positives, reellwertiges Maß. Nach Satz 30.4 in [Bau92] liegt die Menge der diskreten Maße dicht in M_loc(R–,R+) bez¨uglich der vagen Topologie. Da der Raum M_loc(R–,R+) nach Satz 31.5 in [Bau92] bez¨uglich der vagen Topologie metrisierbar ist, existiert eine Folge{µ_n}von diskreten Maßen der Form (2.8), die vag gegen das Maß ν konvergieren. Falls das Maß ν endlich ist, findet die Konvergenz der diskreten Maßeµ_n nach den S¨atzen 30.5 und 30.8 in [Bau92] sogar schwach statt. Aus der Aussage a folgt die vage beziehungsweise schwache Konvergenz

b) Sei zun¨achstd= 1 undν ∈M_loc(R–,R+) ein positives, reellwertiges Maß. Nach Satz 30.4 in [Bau92] liegt die Menge der diskreten Maße dicht in M_loc(R–,R+) bez¨uglich der vagen Topologie. Da der Raum M_loc(R–,R+) nach Satz 31.5 in [Bau92] bez¨uglich der vagen Topologie metrisierbar ist, existiert eine Folge{µ_n}von diskreten Maßen der Form (2.8), die vag gegen das Maß ν konvergieren. Falls das Maß ν endlich ist, findet die Konvergenz der diskreten Maßeµ_n nach den S¨atzen 30.5 und 30.8 in [Bau92] sogar schwach statt. Aus der Aussage a folgt die vage beziehungsweise schwache Konvergenz

Im Dokument Stochastische Differentialgleichungen mit unendlichem Gedächtnis (Seite 102-137)