F¨ur die bisher betrachteten affinen stochastischen Differentialgleichungen sind die Glei-chungen (6.37) und (6.38) von der Form:
dXn(t) =Ln(Xtn)dt+dW(t) f¨urt >0, X0n= Φn, (6.50) dX(t) =L(Xt)dt+dW(t) f¨urt >0, X0 = Φ, (6.51) mit OperatorenLn, L∈ L(B,Rd) und B-wertigen Zufallsvariablen Φn und Φ.
Durch Kombination des Korollars3.4 f¨ur deterministische Gleichungen und des Satzes 6.1 f¨ur nicht-lineare stochastische Gleichungen erh¨alt man folgendes Resultat:
Satz 6.2
Es seien B ein vollst¨andiger Phasenraum und Ln, L ∈ L(B,Rd) Operatoren, die auf Cc(R–,Kd) mit den Maßen νn, ν ∈ Mloc(R–,Rd×d) gem¨aß (2.5) dargestellt werden.
Desweiteren gelte:
sup{|Lnψ|: n∈N}<∞ f¨ur ψ ∈CBc(R–,Rd); (6.52)
νn→v v f¨ur n→ ∞. (6.53)
Die AnfangsbedingungenΦn und Φ seien CBc(R–,Rd)-wertige Zufallsvariablen mit:
EkΦnk2B <∞ f¨urn ∈N und EkΦk2B <∞, (6.54)
n→∞lim kΦn−ΦkB = 0 P-f.s. und in L2P(Ω,R).
Dann folgt f¨ur die L¨osungen Xn(·,Φn) und X(·,Φ) der Gleichungen (6.50) und (6.51) f¨ur jedes T >0:
n→∞lim kXn(·,Φn)−X(·,Φ)kC[0,T]= 0 P-f.s. und in L2P(Ω,R).
Beweis: Die pfadweise Konvergenz folgt aus Korollar3.4.
F¨ur die Konvergenz in L2P(Ω,R) werden die Voraussetzungen des Satzes 6.1 auf dem Phasenraum CBc(R–,Rd) nachgewiesen. Der Satz von Banach-Steinhaus (Satz 2.5 in [Rud73]) gew¨ahrleistet das Erf¨ullen der Ungleichungen (6.39) und (6.40) f¨ur die Ope-ratorenLn. Wie im Beweis zu Korollar3.4 wird die Voraussetzung (3.12) des Lemmas 3.1 verifiziert. Die Aussage des Lemmas 3.1 garantiert die Konvergenz (6.43) und aus
Satz 6.1 folgt die Behauptung. 2
Endliches Ged¨achtnis 6.3 F¨ur affine stochastische Differentialgleichungen mit end-lichem Ged¨achtnis und stetigen Anfangsbedingungen impliziert die Bedingung (6.53)
die Bedingung (6.52) und ist unseres Wissens in dieser Allgemeinheit noch nicht for-muliert worden, vergleiche Satz 2.3.8 in [Put01].
In analoger Weise wie Satz 6.2 l¨asst sich auch Satz3.2 auf die stochastischen Differen-tialgleichungen (6.50) und (6.51) ¨ubertragen.
Die Resultate dieses Abschnittes, die f¨ur die deterministischen Differentialgleichungen (1.1) und (1.2) erzielt worden sind, gelten pfadweise f¨ur die affinen stochastischen Dif-ferentialgleichungen (6.50) und (6.51). Explizit wird Satz 5.1, die Approximation einer L¨osung einer Differentialgleichung durch die L¨osungen von quasi-polynomiell gewich-teten Gleichungen, f¨ur stochastische Gleichungen im folgenden Beispiel formuliert. Die Notationen des Kapitels 5 werden benutzt.
Beispiel 6.4 F¨ur einen Phasenraum B=B(R–,R) wird die Gleichung dX(t) =
Z
(−∞,0]
X(t+u)ν(du)
dt+dW(t) f¨urt >0, X0 = Φ,
(6.55)
mit einer B-wertigen Zufallsvariablen Φ und einem Maß ν ∈ Mloc(R–,R) betrachtet.
Der Operator
Lϕ :=
Z
(−∞,0]
ϕ(u)ν(du)
wird als linear und beschr¨ankt auf B vorausgesetzt. Es sei e(b)dν f¨ur ein b ∈ R ein endliches Maß und es gelte
P Z 0
−∞
|Φ(u)|e−budu <∞
= 1.
Dann existieren nach Satz 5.2.3 und Satz 5.1 mehrdimensionale Ornstein-Uhlenbeck ProzesseYn = (Y0n, . . . , YNnn)T, so dass f¨ur deren erste KomponenteXn :=Y0n und der L¨osung X =X(·,Φ) der Gleichung (6.55) gilt:
n→∞lim kXn−XkC[0,T]= 0 f¨ur T >0 P-f.s.
Die ProzesseXnsind L¨osungen der in Kapitel5behandelten affinen stochastischen Dif-ferentialgleichungen, deren Vergangenheiten durch Maße νn der Form (2.11) gewichtet werden. Die (Nn+1)-dimensionalen Ornstein-Uhlenbeck-ProzesseYnbesitzen f¨ur jedes n ∈N folgende Form:
Yn(t) =eDnt
Yn(0) + Z t
0
e−DnsE dW(s)
f¨urt >0.
Es ist E = (1,0, . . . ,0)T und durch die in (5.2.8) definierte Funktion τ ist Y(0) durch Y(0) = τ(Φ) definiert. Die Matrizen Dn sind durch die Maße νn der Form (2.11)
7.6 Parameterabh¨angige stochastische Gleichungen 137
bestimmt und besitzen deshalb gem¨aß (5.2.10) f¨urn∈N folgende Gestalt:
Dn=
Ausblick
Der Zugang des axiomatisch beschriebenen Phasenraumes erweist sich in dieser Arbeit als ein tragf¨ahiges Konzept auch zur Behandlung von stochastischen Differentialglei-chungen mit Ged¨achtnis. F¨ur nicht-lineare stochastische Differentialgleichungen sind grundlegende Resultate zur Existenz und Eindeutigkeit einer L¨osung und ¨uber die Parameterabh¨angigkeit erzielt worden. Es ist demonstriert worden, wie sich die Be-dingungen an einen Phasenraum in die g¨angige Argumentation bei der Behandlung von stochastischen Differentialgleichungen einbinden lassen. Weitere Fragen zur Stabi-lit¨atsanalyse, Approximation von L¨osungen, allgemeinere Existenzs¨atze und ¨Ahnliches lassen sich im Rahmen des abstrakten Phasenraumes untersuchen.
Affine Gleichungen mit unendlichem Ged¨achtnis besitzen spezielle Eigenschaften, wie die Existenz eines essentiellen Spektrums des assoziierten infinitesimalen Erzeugers oder eine sich nicht exponentiell verhaltende Differential-Resolvente, die bei Gleichun-gen mit endlichem Ged¨achtnis nicht auftreten k¨onnen. Trotzdem k¨onnen f¨ur L¨ osun-gen von Gleichunosun-gen mit unendlichem Ged¨achtnis viele der bekannten Eigenschaften f¨ur Gleichungen mit endlichem Ged¨achtnis in dieser Arbeit nachgewiesen werden, je-doch erfordern diese Eigenarten des unendlichen Ged¨achtnisses oftmals andere Unter-suchungsmethoden.
Weniger Aufmerksamkeit haben wir in dieser Arbeit Eigenarten von Gleichungen mit unendlichem Ged¨achtnis geschenkt, die in speziellen Situationen auftreten k¨onnen. So lassen die in Kapitel3betrachteten Lyapunov-Exponenten keine detaillierten Aussagen uber die L¨¨ osungen im (stabilen) Fall von Phasenr¨aumen B mit βB = 0 zu. Anders, etwa polynomiell gewichtete Quotienten (siehe Beispiel 3.2.9) k¨onnen in diesem Fall ein genaueres Verhalten der L¨osung angeben.
F¨ur den Nachweis einer station¨aren L¨osung in Kapitel 4 ist die Existenz des Momen-tes der Ordnung α des zugrunde liegenden Maßes f¨ur α > 12 vorausgesetzt, um durch eine ausreichende Konvergenzrate der Differential-Resolvente die Existenz des hierbei auftretenden Integrals zu gew¨ahrleisten. Bei der Definition dieses Integrals durch sto-chastische Methoden wie in [GK00] (siehe Seite58) und der Entwicklung eines zu dem Satz von Fubini ¨ahnlichen Resultates f¨ur dieses Integral kann die Existenz einer stati-on¨aren L¨osung untersucht werden, auch falls das Maß zwar endlich ist, aber nicht die
139
Momentenbedingung erf¨ullt.
Neue Aspekte ergeben sich in der Theorie von stochastischen Evolutionsgleichungen, die meistens durch die Behandlung von partiellen Differentialgleichungen motiviert ist. Aber auch affine Differentialgleichungen mit unendlichem Ged¨achtnis lassen sich zun¨achst formal als eine unendlich-dimensionale lineare stochastische Evolutionsglei-chung auf dem RaumE :=Rd× B schreiben:
dX(t) =GX(t)dt+dW(t) f¨ur t>0
X(0) =X0. (1)
Es istW ein unendlich-dimensionaler Wiener-Prozess auf dem Raum Rd× B und X0 eine Rd× B wertige Zufallsvariable. Der Operator G : E ⊆ dom(G) → E ist ein infinitesimaler Erzeuger einer stark stetigen Halbgruppe.
Jedoch stellen sich durch diesen Zugang vollkommen neue Fragen in der Theorie von Evolutionsgleichungen. Denn ¨ublicherweise werden Evolutionsgleichungen auf separa-blen Hilbertr¨aumenE betrachtet (siehe [DPZ92]), wodurch erst eine Entwicklung eines geeigneten allgemeinen stochastischen Integralbegriffes erm¨oglicht wird. Wegen der auf-tretenden, vereinfacht gesprochen, nicht endlichen Integrationsgrenze bei affinen Diffe-rentialgleichungen mit unendlichem Ged¨achtnis kann aber in (1) kein Hilbertraum E angenommen werden, ohne sich stark einzuschr¨anken. Einen allgemeinen Ansatz zur Behandlung von Evolutionsgleichungen auf separablen Banachr¨aumen wird in der Ar-beit [BN00] vorgestellt. Interessant in diesem Zusammenhang ist die Kl¨arung der Frage, welche Bedeutung den vorausgesetzten Eigenschaften von Phasenr¨aumen zukommt.
Ist eine Behandlung der Gleichung (1) realisiert, werden durch Resultate der Halb-gruppentheorie, ¨ahnlich wie f¨ur den Fall eines Hilbertraumes, Untersuchungsmethoden bereitgestellt, die Aussagen f¨ur die zugrunde liegende reellwertige Gleichung erlauben.
Insbesondere durch Ergebnisse ¨uber die St¨orung von infinitesimalen Erzeugern (siehe [EN00]) k¨onnen qualitative Eigenschaften nicht-linearer stochastischer Differentialglei-chungen studiert werden. Auch das in Beispiel 4.3.13 beobachtete Ph¨anomen einer Gleichung, in der ein station¨arer Prozess als nicht “konventionelle” L¨osung existiert, l¨asst sich durch die verschiedenen L¨osungsbegriffe f¨ur Evolutionsgleichungen einordnen und in Relation zu analogen Ph¨anomenen, etwa bei partiellen Differentialgleichungen, setzen.
In order to solve this differential equation you look at it till a solution occurs to you.
George P´olya (1887 - 1985)
Semi-normierte R¨ aume
In diesem Abschnitt werden der Stetigkeitsbegriff und andere Eigenschaften von linea-ren Operatolinea-ren in semi-normierten R¨aumen durch die jeweiligen Begriffe in topologi-schen linearen R¨aumen erkl¨art. Als eine “grobe Faustregel” ergibt sich, dass in den jeweiligen Definitionen f¨ur normierte R¨aume die Norm durch die Semi-Norm ersetzt werden kann.
Bei den folgenden Begriffen wie topologischer linearer Raum, lokal konvexer topolo-gischer Raum und andere beziehen wir uns auf die hierf¨ur eingef¨uhrten Definitionen in [Edw65]. Zu beachten ist, dass dort entgegen einer oft benutzten Konvention ein topologischer linearer Raum nicht notwendigerweise Hausdorffsch sein muss.
Es sei X ein linearer Raum ¨uber K mit einer Semi-Norm k·kX. Definiere f¨ur ε >0 die Mengen
U(ε) := {x∈X;kxkX 6ε}.
Die Mengen U(ε) sind konvex und induzieren auf X eine eindeutige Topologie derart, dass die Mengen U(ε) f¨urε >0 eine Umgebungsbasis der 0 darstellen undX ein lokal konvexer topologischer linearer Raum ist; siehe 1.10.1 in [Edw65]. Diese Topologie auf X wird die durch die Semi-Norm k·kX induzierte Topologie genannt. F¨ur y ∈ X und ε >0 sind die Mengen
B(y, ε) :={x∈X : kx−yk< ε}
offen in dieser Topologie, siehe 0.2.21 in [Edw65].
Definition A.1
F¨ur semi-normierte R¨aume (X,k·kX) und (Y,k·kY), die mit den jeweiligen durch die Semi-Normen induzierten Topologien versehen seien, definiere
L(X, Y) := {T :X →Y : T ist linear und stetig}.
Satz A.2
Es seien (X,k·kX) und (Y,k·kY) semi-normierte R¨aume, die mit den jeweiligen durch die Semi-Normen induzierten Topologien versehen seien. Es gilt:
a) T ∈ L(X, Y) ⇐⇒ sup
kxkX61
kT xkY <∞.
141
b) T ∈ L(X, Y) ⇐⇒ T :X →Y linear und beschr¨ankt.
c) F¨urT ∈ L(X, Y) definiert
kTkX→Y := sup
kxkX61
kT xkY
eine Semi-Norm aufL(X, Y)und, falls k·kY eine Norm ist, eine Norm aufL(X, Y).
d) Falls (Y,k·kY)ein Banachraum ist, so ist auch(L(X, Y),k·kX→Y)ein Banachraum.
Beweis: Siehe 1.10.10 in [Edw65]. 2
F¨ur einen semi-normierten Raum (X,k·kX) sei N := {x ∈ X : kxkX = 0} und π:X →X/N bezeichne die Quotientenabbildung. Dann definiert
p(π(x)) := kxkX f¨ur x∈X
eine Norm auf X/N nach 1.43 in [Rud73] und der Quotientenraum X/N ist ein nor-mierter, linearer Raum.
Definition A.3
F¨ur einen semi-normierten Raum (X,k·kX) definiere mit den oben eingef¨uhrten Be-zeichnungen
Xˆ :=X/k·kX :=X/N und xˆ:=π(x) f¨urx∈X;
kˆxkXˆ :=kxkX f¨urx∈X.
Satz A.4
F¨ur einen semi-normierten Raum (X,k·kX)ist ( ˆX,k·kXˆ)ein normierter Raum.
Beweis: Siehe 1.43 in [Rud73]. 2
Satz A.5
Es seien (X,k·kX) und (Y,k·kY) semi-normierte R¨aume und T ∈ L(X, Y). Die Abbil-dung
Tˆ: ˆX →Y ,ˆ Tˆxˆ:= (T x)ˆ
ist wohldefiniert und es gilt Tˆ∈ L( ˆX,Yˆ)mit kTˆkX→ˆ Yˆ =kTkX→Y. Beweis: F¨urx1, x2 ∈X mit ˆx1 = ˆx2 erh¨alt man
Tˆxˆ1−Tˆxˆ2 ˆ
Y
=
(T(x1−x2))ˆ ˆ
Y =kT(x1−x2)kY 6kTkX→Y kx1−x2kX = 0, was die Wohldefiniertheit des Operators ˆT zeigt. Die Linearit¨at von ˆT ergibt sich aus der Linearit¨at der Quotientenabbildungen nach ˆX und ˆY sowie des Operators T. Die Stetigkeit von ˆT folgt aus
Tˆxˆ ˆ
Y
= (T x)ˆ
ˆ
Y =kT xkY
f¨urx∈X. 2 Definition A.6
F¨ur einen semi-normierten Raum (X,k·kX)uber¨ K definiere den Dualraum von X:
X∗ :={x∗ :X →K linear und stetig}
kx∗kX∗ := sup{x∗(x) : x∈X mit kxkX 61}
Bemerkung A.7 a) Nach Satz A.2.d ist (X∗,k·kX∗) ein Banachraum.
b) Durch die Abbildungx∗ 7→(x∗)ˆf¨urx∗ ∈X∗kann ( ˆX)∗ mitX∗ identifiziert werden.
Es werden die Notationen ˆx∗ := (x∗)ˆund ˆX∗ := ( ˆX)∗ verwendet.
c) Sind (X,k·kX) und (Y,k·k) semi-normierte R¨aume undT ∈ L(X, Y), so kann wegen b der adjungierte Operator ˆT∗ : ˆY∗ →Xˆ∗ identifiziert werden mit dem adjungierten Operator
T∗ :Y∗ →X∗ (T∗y∗)x=y∗(T x)
durch die Quotientenabbildungen vonX nach ˆX und vonY nach ˆY gem¨aß Defini-tion A.3.
Anhang B
Matrixwertige Maße
Es seiend, i, j ∈N und I ⊆R sowieσI die Borel σ-Algebra ¨uber I.
Definition B.1
a) Eine Funktion ν:σI →K heißt ein K-wertiges (Borel) Maß, falls ν(∅) = 0 und ν σ-additiv ist.
b) Eine Funktion ν :σI →Kd×d heißt ein Kd×d-wertiges Maß, falls
ν = (νk,l)dk,l=1 und νk,l :σI →K ein K-wertiges Maß ist.
c) Eine Funktion ν heißt ein Kd×d-wertiges, lokales Maß auf I, falls
ν|σ(K) :σK →Kd×d ein Kd×d-wertiges Maß f¨ur jede kompakte MengeK ⊆I ist, wobei σK die vonK erzeugte Borel σ-Algebra bezeichnet.
d) Ein R-wertiges Maß ν:σI →R heißt positiv, falls ν(S)>0 f¨ur alle S ∈σI. Bemerkung B.2 Lokale Maße aufI werden auch Radon-Maße genannt; siehe S.36 in [Kal02].
Im Folgenden seien I ⊆Rund σI die Borel σ-Algebra ¨uber I.
Wir f¨uhren folgende Notationen ein:
M(I,K) :={ν :σI →K : ν istK-wertiges Maß};
M(I,Kd×d) :={ν :σI →Kd×d : ν ist Kd×d-wertiges Maß};
Mloc(I,Kd×d) :={ν : ν istKd×d-wertiges lokales Maß};
M+(I,R) :={ν :σI →R : ν istR-wertiges, positives Maß}.
143
Definition B.3
F¨ur ein Maß ν ∈M(I,Kd×d)ist die totale Variation auf D∈σI gegeben durch
|ν|(D) := sup ( ∞
X
k=1
|ν(Dk)|:
∞
[
k=1
Dk =D )
,
wobei das Supremum ¨uber allen disjunkten Zerlegungen {Dk}k∈N von D mit Dk ∈σI f¨urk ∈N gebildet wird.
Satz B.4
F¨ur ein Maß ν ∈M(I,Kd×d)ist die Mengenfunktion D7→ |ν|(D) f¨urD∈σI ein Maß in M+(I,R).
Beweis: Siehe Satz 3.5.3 in [GLS90]. 2
F¨urν ∈M(I,Kd×d) definiert
kνkT V :=|ν|(I) eine Norm auf M(I,Kd×d).
Die ¨ublichen Resultate f¨ur skalare Maße ν ∈ M(I,R) ¨ubertragen sich durch kompo-nentenweise Betrachtungen auf den matrixwertigen Fall von ν ∈ M(I,Kd×d), siehe Abschnitt 3.2, 3.4, 3.5 und 3.6 in [GLS90]. Eine Ausnahme bildet die Berechnung der totalen Variation, siehe Beispiel 3.5.5 in [GLS90].
F¨ur ein Maß ν ∈Mloc(I,Kd×d) sei f :I →Kd×i eine Funktion mit Z
I
|f(u)| |ν|(du)<∞ Dann ist das Integral
Z
I
ν(du)f(u)∈Ki
wohldefiniert, falls ν(du)f(u) als Matrizenprodukt verstanden wird. Analoges gilt f¨ur f :I →Ki×d und R
f(u)ν(du). F¨urp>1 definiere
Lpν(I,Kd×i) := {f :I →Kd×i : Z
I
|f(u)|p |ν|(du)<∞}, kfkLp
ν :=
Z
I
|f(u)|p |ν|(du) 1/p
.
Falls ν das Lebesgue-Maß auf I ist, so wird auf die Angabe des Maßes verzichtet:
145
Lp(I,Kd×i) :={f :I →Kd×i : Z
I
|f(u)|p du <∞}, kfkLp :=
Z
I
|f(u)|p du 1/p
.
F¨ur eine Funktionf ∈L1ν(I,Kd×i) und ν ∈M(I,Kd×d) definiert µ(A) :=
Z
A
ν(du)f(u) mit A∈σI (B.1)
ein Maßµ∈M(I,Kd×i). Als Notation wird µ=dν f benutzt.
Satz B.5
F¨urν ∈M(I,Kd×d) und f ∈L1ν(I,Kd×i)gilt:
Z
I
ν(ds)f(s) 6
Z
I
|f(s)| |ν|(ds).
Beweis: Siehe Satz 3.5.6 in [GLS90]. 2
Essentielles Spektrum
In diesem Abschnitt werden die wichtigsten Begriffe und Resultate im Zusammenhang mit dem essentiellen Spektrum eines linearen Operators gegeben, wie sie in [HMN91]
zitiert werden und wo weitere Literaturhinweise zu finden sind.
Definition C.1
Es sei F : dom(F) ⊆ X → X ein dicht definierter, abgeschlossener linearer Operator auf einem komplexen Banachraum X.
a) ρ(F) :={λ ∈C:λId−F : dom(F)→X ist bijektiv} heißt Resolventenmenge.
b) σ(F) :=C\ρ(F) heißt Spektrum.
c) σP(F) :={λ∈σ(F) : λId−F ist nicht injektiv} heißt Punktspektrum.
d) σe(F) :=
(
λ ∈σ(F) :
Bild(λId−F) ist nicht abgeschlossen oder λ ist H¨aufungspunkt vonσ(F) oder ∪l>1Kern
(λId−F)l
ist unendlich dimensional )
heißt essentielles Spektrum.
In Analogie zu dem Spektralradius
rσ(F) := sup{|λ|:λ∈σ(F)} (C.1) definiert man den essentiellen Spektralradius des Operators F:
re(F) := sup{|λ|:λ ∈σe(F)}. (C.2) Definition C.2
Es sei X ein Banachraum.
a) F¨ur eine beschr¨ankte Menge A⊆X heißt
α(A) := inf{c >0 :A hat endliche ¨Uberdeckung eines Durchmessers< c}
Kuratowski-Maß der Nicht-Kompaktheit von A.
146
147
b) F¨ur einen beschr¨ankten Operator T ∈ L(X, X) heißt
α(T) := inf{s>0 :α(T(A))6sα(A)f¨ur alle beschr¨ankten Mengen A⊆X}
Kuratowski-Maß der Nicht-Kompaktheit von T.
Einige Eigenschaften des Kuratowski-Maßes werden wie auf Seite 125 in [HMN91]
wiedergegeben. Es seien T1, T2 ∈ L(X, X):
06α(T1)6kT1kX→X; (C.3)
α(T1) = 0 ⇐⇒ T1 ist ein kompakter Operator; (C.4)
α(T1+T2)6α(T1) +α(T2); (C.5)
α(T1T2)6α(T1)α(T2). (C.6)
F¨ur einen Operator T ∈ L(X, X) ergibt sich der essentielle Spektralradius zu re(T) = lim
n→∞(α(Tn))1/n, wie auf Seite 125 in [HMN91] festgehalten ist.
Die Bedeutung des essentiellen Spektrums liegt im folgenden Korollar zu einem Resul-tat von Browder in [Bro61].
Korollar C.3
Es sei F : dom(F) ⊆ X → X ein dicht definierter abgeschlossener linearer Operator auf einem komplexen BanachraumX und λ∈σ(F)\σe(F). Dann gilt:
a) λ ∈σP(F);
b) es existiert l∈N, so dass Mλ(F) := [
j>1
Kern
(λId−F)j
=Kern
(λId−F)l und Rλ(F) :=Bild (λId−F)l
⊆X abgeschlossen;
c) Mλ(F)⊆dom(F) und F Mλ(F)⊆Mλ(F) und σ(F|Mλ(F)) = {λ};
d) F(Rλ(F)∩dom(F))⊆Rλ(F) und σ(F|Rλ(F)∩dom(F)) = σ(F)\ {λ};
e) X =Mλ(F)⊕Rλ(F).
Beweis: Siehe Korollar A.2.2 in [HMN91]. 2
Notationen
Definitionen, die in der Arbeit vorkommen, werden mit der Seitenzahl angegeben.
Mengen und R¨aume
k, i∈N
R (−∞,∞) R– (−∞,0]
R+ [0,∞)
C Menge der komplexen Zahlen
K R oder C
Ca {z∈C : Rez > a} f¨ur a∈R Ca {z∈C : Rez>a} f¨ur a∈R
N {1,2, . . .}
Rk k-dimensionale Vektoren mit reellen Eintr¨agen mit euklidischer Norm|·|
Ck k-dimensionale Vektoren mit komplexen Eintr¨agen mit euklidischer Norm|·|
Ck∗ k-dimensionale Zeilenvektoren mit komplexen Eintr¨agen mit euklidischer Norm|·|
Rk×i (k×i)-dimensionale Matrizen mit reellen Eintr¨agen mit euklidischer Norm|·|
Ck×i (k×i)-dimensionale Matrizen mit komplexen Eintr¨agen mit euklidischer Norm|·|
Mk(R) (k×k)-dimensionale Matrizen mit Eintr¨agen aus einem RingR 73 F[λ] Ring der Polynome ¨uber dem K¨orperFin einer Unbestimmten 77
149
Operatoren
X,Y lineare R¨aume mit Semi-Normenk·kX undk·kY
L(X, Y) {T :X →Y linear und stetig} mit kTkX→Y := sup
kxkX61
kT xkY 140
σ(F) Spektrum vonF 146
σP(F) Punktspektrum vonF 146
σe(F) essentielles Spektrum vonF 146
Id identische Abbildung aufX Id, I (d-dimensionale) Einheitsmatrix CT transponierte Matrix einer MatrixC
Spezielle Bezeichnungen
B Phasenraum 16
T(t), T(t)ˆ L¨osungsoperatoren der homogenen Gleichung (2.1.1) 22
Aˆ infinitesimaler Erzeuger von{T(t)}ˆ t>0 22
βB, β Parameter eines Phasenraumes B 23
r Differential-Resolvente 34
∆L charakteristische Matrix vonL∈ L(B,Kd) 26
∆ν charakteristische Matrix vonν ∈Mloc(R–,Kd×d) 37
=,D →D Gleichheit, Konvergenz in Verteilung
N(0, C) zentrierte Normal-Verteilung mit Kovarianzmatrix C∈Rn×n σI Borel-σ-Algebra ¨uberI⊆R
Andere Symbole
δa Dirac-Maß ina∈R
o(f) g=o(f) ⇐⇒
g(t)(f(t))−1
→0 f¨urt→ ∞ O(f) g=O(f) ⇐⇒ ∃C >0 mit
g(t)(f(t))−1
6C f¨ur allet>0
f∨g max{f, g}
f∧g min{f, g}
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Name: Markus Riedle Geburtsdatum: 29.04.1971 Geburtsort: Konstanz Staatsangeh¨origkeit: deutsch Familienstand: ledig
04.1993 – 09.1996 Studium an der Philipps-Universit¨at Marburg, Mathematik mit Nebenfach Informatik
09.1996 – 04.1997 Studium am Queen Mary and Westfield College, London, Mathematikstudium als “associate student”
05.1997 – 02.2000 Philipps-Universit¨at Marburg, Fortf¨uhrung des Studiums, Abschluss: Diplom-Mathematiker
Diplomarbeit zum Thema: “Zur Sch¨atzung von Varianzen in der Changepoint–Analyse”
04.2000 – heute Promotionsstipendiat des Berliner Graduiertenkollegs
“Stochastische Prozesse und probabilistische Analysis”
Markus Riedle 20. Dezember 2002
156
Selbst¨ andigkeitserkl¨ arung
Hiermit erkl¨are ich, die vorliegende Arbeit selbst¨andig ohne fremde Hilfe verfaßt und nur die angegebene Literatur und Hilfsmittel verwendet zu haben.
Markus Riedle 20. Dezember 2002
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