4 Erweiterung der Analysesoftware LUNAR
5.5 Reflektorkoordinaten als Realisierung des SRS
Tab. 5.13: Geschätzte tide-free-ReflektorkoordinatenxRef = [x y z]T und1σ-Genauigkeiten im HAS mit Differenzen zu den DE430-Koordinaten ∆DE =xRef−xDE.
x[m] y[m] z [m]
A11 1591966.256±0.046 690699.856±0.031 21003.516±0.013 A14 1652689.446±0.046 -520996.921±0.031 -109730.668±0.013 A15 1554678.168±0.045 98096.090±0.029 765004.897±0.024 L1 1114292.412±0.044 -781297.959±0.025 1076058.404±0.029 L2 1339363.120±0.045 801872.418±0.028 756358.360±0.025
A11 ∆DE -0.294 0.481 -0.350
A14 ∆DE -0.058 0.604 -0.251
A15 ∆DE -0.063 0.605 -0.458
L1 ∆DE 0.199 0.551 -0.468
L2 ∆DE -0.198 0.556 -0.489
Tab. 5.14: Parameter der Helmerttransformation zur DE430-Lösung der Reflektorkoordinaten, bezogen auf die Mondoberfläche.
Parameter [m]
dx 0.053±0.043 dy 0.226±0.049 dz -0.228±0.059 rx 0.087±0.042 ry -0.139±0.068 rz -0.377±0.050 µ -0.195±0.040
weisen mit einzelnen Komponenten der Koordinaten Korrelationen bis zu 50 % auf. Der Potential-koeffizient C32 ist mit den z-Koordinaten von A11 und A14 zu 70 % korreliert, die y-Koordinaten sind mit τm rund 65 % und mit Kv/CM zu 65 % korreliert. Die Masse des Erde-Mond-Systems GME+M ist zu über 90 % mit den x-Koordinaten korreliert. Die Parameterτ21′ und τ22′ sowie βMtf zeigen Korrelationen bis zu 30 % und die Startwerte der Mantel- und Kernrotationsvektoren sind bis zu 60 % in einzelnen Koordinatenkomponenten korreliert.
Die vielfältigen Korrelationen zeigen, dass die Reflektorkoordinaten stark mit der entsprechenden Ephemeride zusammenhängen und nicht unabhängig davon interpretiert werden sollten. Um die Geometrie des Reflektornetzwerkes mit der DE430-Ephemeride zu vergleichen, wurde analog zu Kapitel5.3eine Helmerttransformation zwischen den Koordinatensätzen bestimmt. In Tabelle5.14 sind die Parameter der Transformation angegeben, wobei die Rotationen und der Maßstabsfaktor auf die Mondoberfläche durch Multiplikation mit RM umgerechnet wurden. Die Differenzen zur DE430-Lösung nach der Transformation sind in Tabelle 5.15 angegeben und zeigen wesentlich geringere Abweichungen als vor der Transformation. Sie entsprechen im Durchschnitt etwa der 1.5-fachen mittleren 3D-Standardabweichung der Reflektorkoordinaten. Somit passen beide Netze im Rahmen der Genauigkeit gut zusammen.
Neben dem HAS wird auch das ME-System verwendet, das oft bei kartografischen Anwendungen zum Einsatz kommt, zum Beispiel in Goddard [2008] und Archinal u. a. [2011a,b]. Der Ursprung beider Systeme liegt im Massenzentrum des Mondes. Die z-Achse des ME-Systems stellt die mittlere Rotationsachse dar, die x-Achse ist rechtwinklig dazu ausgerichtet und schneidet den Nullmeridi-an, der die mittlere Richtung zur Erde zeigt. Die y-Achse vervollständigt das Rechtssystem. Die Achsen von HAS und ME-System liegen nah beieinander, sind aber nicht identisch. Der Unter-schied zwischen den Systemen wird durch das Mondgravitationsfeld ab Grad 3 und durch
Dissi-5.5 Reflektorkoordinaten als Realisierung des SRS 75
Tab. 5.15: Differenzen der Reflektorkoordinaten zur DE430-Lösung nach der Helmerttransformation
∆x[m] ∆y [m] ∆z[m]
A11 −0.020 −0.014 0.042 A14 −0.029 −0.038 0.071 A15 0.019 0.014 −0.015 L1 0.016 −0.058 −0.069 L2 0.014 0.091 −0.029
Tab. 5.16: Abweichung der Achsen von xM E und ωm bezüglich des HAS als Winkel und im metrischen Maß an der Mondoberfläche.
xM E ωm
y z x y
Abweichung in [′′] −66.791 78.963 −78.689 0.262 Abweichung in [m] −562.78 665.35 −663.04 2.21
pationseffekte hervorgerufen [Williams u. a.,2013]. InWilliams u. a. [2013] wurden die konstanten Rotationswinkel zwischen dem HAS und ME-System aus der Fourieranalyse der Eulerwinkel einer Langzeitephemeride über 1070 Jahre extrahiert.
In dieser Arbeit wurde ein einfacherer Ansatz verwendet, um die Rotation zwischen den Systemen zu bestimmen. Aus einer Langzeitephemeride über 710 Jahre wurde der Rotationsvektor des Man-telsωm und der Richtungsvektor vom Selenozentrum zum GeozentrumxM E alle 0.1 Tage im HAS berechnet. Die x-, y- und z-Komponenten der anschließend normierten Vektoren wurden gemittelt.
Die Bewegung der x-Achse des ME-Systems wird durch die Bewegung der y- und z-Komponenten von xM E bezüglich der x-Achse des HAS und die Bewegung der Rotationsachse durch die Bewe-gung der x- und y-Komponente vonωm bezüglich der z-Achse des HAS beschrieben. Die Bewegung von xM E im HAS ist mit ±246 km in y- und ±208 km in z-Richtung an der Mondoberfläche we-sentlich größer als die Bewegung von ωm in der Größenordnung von rund 2 km. Die Ursache liegt in der elliptischen und zur Ekliptik geneigten Bahn des Mondes in Verbindung mit der nahezu konstanten Rotationsrate, sodass xM E je nach Stellung des Mondes etwas „vor“ oder „nach“ dem HAS-Nullmeridian beziehungsweise etwas „über“ oder „unter“ dem HAS-Äquator zur Erde zeigt.
Von der Erde aus betrachtet führt das zu einem „eiern“ des Mondes und wird als optische Librati-on bezeichnet. Um mögliche systematische Effekte auf die Mittelwerte zu reduzieren, wurden diese mehrfach, aus unterschiedlich langen Zeitspannen der Ephemeride berechnet. Die Anfangs- und Endzeiten der Ephemeridenstücke bestimmten sich aus den Zeitpunkten, in denen die Abweichung der x-Achsen des ME-Systems und HAS kleiner als 2 km an der Mondoberfläche war und somit die optische Libration nahe dem Wert 0 liegt. Eine weitere Bedingung legte die Mindestlänge des zu mittelnden Ephemeridenstückes zu 500 Jahren fest.
In Tabelle5.16 sind die Abweichungen der gemittelten ME-Achsen von den Achsen des HAS an der Mondoberfläche in Bogensekunden und im metrischen Maß angegeben. Die Differenz zwischen der z-Komponente von xM E und der x-Komponente vonωm wird vermutlich durch verbleibende Systematiken in der Mittelbildung hervorgerufen. Als Ursache sind sehr langperiodische Änderun-gen denkbar, die über das betrachtete Ephemeridenstück nicht oder nur unÄnderun-genüÄnderun-gend herausge-mittelt wurden. Bei exakter Rechtwinkligkeit der Achsen müssen die beiden Komponenten nahezu identisch sein, da es sich bei allen Winkeln um sehr kleine Größen handelt.
Aus den x- und y-Komponenten des gemittelten Rotationsvektors sowie der y-Komponente der mittleren Erdrichtung kann die Transformation vom HAS in das ME zu
xM E =Rx(−0.262′′)Ry(−78.689′′)Rz(−66.791′′)xHAS (5.10)
Tab. 5.17: Geschätzte ReflektorkoordinatenxRef = [xyz]T im ME-System mit Differenzen zu den DE430-Koordinaten ∆DE =xRef−xDE.
x[m] y [m] z [m]
A11 1591750.413 691215.291 20397.151
A14 1652816.082 −520461.593 −110361.878
A15 1554938.054 98598.537 764411.877
L1 1114955.777 −780938.463 1075632.140
L2 1339391.843 802305.118 755848.463
A11 ∆DE 2.337 −5.552 −1.269
A14 ∆DE −2.090 −5.675 −1.065
A15 ∆DE 0.714 −5.204 −1.291
L1 ∆DE −2.194 −3.554 −0.969
L2 ∆DE 3.242 −4.436 −1.287
abgeleitet werden. Die Koordinaten der Reflektoren im ME-System wurden mit Gleichung (5.10) aus den HAS-Werten berechnet und in Tabelle 5.17 mit den Differenzen zu den ME-Koordinaten der DE430-Ephemeride zusammengefasst. Die Differenzen zur DE-Ephemeride betragen für die Rotationswinkel (vom HAS in das ME-System) um die x-, y- und z-Achse 0.023′′, −0.109′′ und 0.782′′. Der Winkel von 1′′ entspricht 8.43 m an der Mondoberfläche, bei einem Radius RM = 1738 km. Die Differenz der ME-Koordinaten vergrößert sich im Vergleich zu den HAS-Koordinaten auf bis zu 5.7 m in der y-Komponente. Wie auch die HAS-Koordinaten sind die ME-Koordinaten mit der zugrundeliegenden Ephemeride verbunden und zusätzlich mit der Methode der Bestimmung der Rotationswinkel zwischen den Systemen. Die Genauigkeit der ME-Koordinaten ist daher schlechter als die der HAS-Koordinaten. Die Differenzen zur DE430-Lösung erhöhen sich beim Übergang vom HAS auf das ME-System etwa um den Faktor 10. Dieser Faktor kann als Obergrenze der Koordinatengenauigkeit bezüglich der Werte im HAS angenommen werden.
5.5.2 Änderungen in den Reflektorkoordinaten durch Wechselwirkung der Planeten und der Sonne mit dem Mondschwerefeld
Wie in Kapitel 4.2.1 beschrieben, wurde das Ephemeridenmodell für die Mondtranslation und -rotation um Terme erweitert, die die Berücksichtigung von Beschleunigungen aus der Wechselwir-kung des Mondschwerefeldes von Grad und Ordnung 3 mit der Sonne und mit dem Mondschwerefeld von Grad und Ordnung 2 mit den Planeten Merkur bis Saturn ermöglichen. Der Effekt auf die Re-siduen ist in Kapitel 4.2.1 dargestellt. Die in der Auswertung geschätzten Reflektorkoordinaten ändern sich in der Größenordnung von einigen Millimetern. Tabelle 5.18 listet den mittleren Be-trag der 3D-Koordinatenänderung aller fünf Reflektoren|∆xRef|nach dem jeweils verursachenden Planeten und der Sonne getrennt auf. Analog zur Mondephemeride in Kapitel 4.2.1hat Venus mit 6.1 mm den größten Einfluss auf die Reflektorkoordinaten. Auch wenn die Änderungen der Reflek-torkoordinaten unter der berechneten 1σ-Genauigkeit der 3D-Koordinate von etwa 5.8 cm liegen, können zukünftige Messungen zu Einzelprisma-Reflektoren oder von Lasertranspondern diesen Ge-nauigkeitsbereich erreichen. Für eine Realisierung des SRS im mm-Bereich, müssen die planetaren Effekte von Venus und Jupiter sowie der Sonne mit dem Schwerfeld bis Grad und Ordnung 3 mitmodelliert werden.