Gezeitendeformation der Erde

Die Anziehungskraft der Körper im Sonnensystem, vor allem von Mond und Sonne, in Verbindung mit der Bewegung um den jeweiligen gemeinsamen Massenmittelpunkt, führen zu Gezeitenkräften

4.2 Wirkung äußerer gravitativer Kräfte auf den Mond 49 auf den Erdkörper. Durch die Elastizität der Kruste und des Mantelmaterials führen die Gezeiten-kräfte zu Deformationen der Erde im Dezimeterbereich und werden als Gezeiten der festen Erde bezeichnet, deren Modellierung in dieser Arbeit erweitert wurde. Neben den Gezeiten der festen Erde treten auch Gezeiten in den Ozeanen und der Atmosphäre auf. Die damit einhergehenden Massenverlagerungen erzeugen zusätzlich zum Gravitationspotential der Erde ein Deformationspo-tential. Dieses Potential kann durch zeitliche Änderungen der Potentialkoeffizienten beschrieben werden und führt zu zusätzlichen Wechselwirkungen zwischen Erde und Mond.

Bislang wurde der Effekt der festen Erdgezeiten durch ein stark vereinfachtes Modell berücksich-tigt. In Anlehnung an die DE102-Ephemeride des JPL wurde eine zusätzliche Beschleunigung des Erde-Mond-Vektors ¨x_EM,tide nach Newhall u. a.[1983] implementiert

¨

x_EM,tide=−3GM_MR⁵_E X_EM⁸

1 +M_m M_E

k₂





 x+δy y−δx

z





 , (4.33)

mit der Lovezahl k₂, den kartesischen Koordinaten des Mondes im erdfesten System x, y, z und dem Winkel δ, der die zeitverzögerte Reaktion der elastischen Erde auf äußere Kräfte beschreibt.

Die Lovezahlen [Love, 1944] beschreiben die Reaktion einer sphärisch-symmetrischen, elastischen, nicht-rotierenden, ozeanfreien Erde auf das gezeitenerzeugende Potential (Lovezahlen k_l) und die daraus folgenden Deformationen (Lovezahlen h_l und Shidazahlen l_l). In der Berechnung wurde nur der Einfluss der vom Mond erzeugten Gezeiten auf die Translationsbewegung des Mondes berücksichtigt. Um den Effekt von weiteren Gezeiten erzeugenden Körpern, z.B. Sonne, auf die Erde und die daraus folgende Gezeitenwechselwirkung mit dem Mond (auf Translation und Rotation) besser zu erfassen, wurde das Gezeitenmodell in dieser Arbeit erweitert.

Betrachtet wird die Erde als ein deformierbarer Körper und ein beliebiger gezeitenerzeugender punktförmiger Körperj im Außenraum. Das von j, mit den erdfesten, geozentrischen Koordinaten x_j = (Xj, θ_j, λ_j) mit X_j =|x_j|= ^qx²_j +y_j²+z²_j, hervorgerufene gezeitenerzeugende Potential V_t an der Erdoberfläche im PunktP mitx_P = (RE, θ, λ) und dem geozentrischem Winkelψ zwischen P undj kann nachLambeck [1988] beschrieben werden durch

V_t(RE, θ, λ) =

∞

X

l=0

V_l

=−GM_j Xj

∞

X

l=0

R_E Xj

!l

P_l0(cosψ)

=−GMj

X_j

∞

X

l=0

RE

X_j

!l l

X

m=0

(2−δ0m)(l−m)!

(l+m)!P_lm(cosθ)P_lm(cosθj) cosm(λ−λj). (4.34) Fürl= 0 nimmtV_t,0 den vonP unabhängigen Wert−GM_jX_j⁻¹ an und die resultierende Beschleu-nigung−∇V_t,0 = 0. Fürl= 1 ergibt sichV_t,1 =−GM_jX_j⁻³x_Px_j. Die resultierende Beschleunigung

−∇Vt,1 =GMjX_j⁻³x_j ist unabhängig von P und konstant. Die Grad-0 und Grad-1 Terme führen somit zu keiner Deformation der Erde und die Reihenentwicklung für V_t beginnt mit Grad 2

V_t(R_E, θ, λ) =−GMj

X_j

∞

X

l=2

R_E X_j

!l l

X

m=0

(2−δ_0m)(l−m)!

(l+m)!P_lm(cosθ)P_lm(cosθ_j) cosm(λ−λ_j). (4.35)

Für einen elastischen Körper erzeugt die Deformation ein zum gezeitenerzeugenden Potential pro-portionales, zusätzliches Deformationspotential V_d. An der Erdoberfläche gilt

V_d(RE) =^X

l

k_lV_t,l(RE) (4.36)

mit den gradabhängigen Potential-Lovezahlenk_l. Um die Wirkung des Deformationspotentials auf den Mond zu berechnen, muss Gleichung (4.36) für einen Punkt im Außenraum der Erde im Abstand X > R_E beschrieben werden durch [Lambeck,1988]

V_d(X) =^X

l

k_l R_E

X l+1

V_t,l(RE) . (4.37)

Einsetzen von (4.35) beschreibt das Deformationspotential über Änderungen der Potentialkoeffizi-enten ∆Clm und ∆Slm. Weiterhin wird die Abhängigkeit der Potential-Lovezahl von der Ordnung des Potentials berücksichtigt (kl → k_lm) [Petit und Luzum, 2010], da die Reaktion der Erde von der Frequenz des erzeugenden Potentials abhängt. Es folgt

V_d(X) =−GME

X

∞

X

l=2 l

X

m=0

k_lmMj

M_E RE

X

l RE

X_j

!l+1

(2−δ0m)(l−m)!

(l+m)!P_lmcosθP_lm(cosθj)

·(cosmλ_jcosmλ+ sinmλ_jsinλ)

=−GM_E X

∞

X

l=2 l

X

m=0

R_E X

l

P_lm(cosθ)(∆C_lmcosmλ+ ∆S_lmsinmλ)

(4.38)

mit den Änderungen in den Potentialkoeffizienten (∆Clm

∆S_lm )

=k_lmM_j M_E

R_E X_j

!l+1

(2−δ_0m)(l−m)!

(l+m)!P_lm(cosθ_j)

(cosmλ_j sinmλj

)

(4.39) für jeden betrachteten, gezeitenerzeugenden Körper j. Die Gesamtänderung wird aus der Summe aller Einzeländerungen berechnet

(∆C_lm,ges

∆Slm,ges

)

=^X

j

(∆C_lm

∆Slm

)

. (4.40)

Gleichung (4.39) ist identisch mit Gleichung (6.6) der IERS Conventions 2010

∆ ¯C_lm−i∆ ¯S_lm = klm

2l+ 1 X

j

GMj

GM_E RE

X_j

!l+1

P¯_lm(sin Φj)e^−imλj (4.41)

mit der geografischen Breite Φj der gezeitenerzeugenden Körper [Petit und Luzum,2010]. Die nor-mierten Potentialkoeffizienten und Legendre-Polynome können mit Gleichung (4.31) und

P¯_lm=

s(l−m)!(2l+ 1)(2−δ_0m)

(n+m)! P_lm (4.42)

in unnormierte umgerechnet werden. Mit sin Φ_j = cosθ_j und e^−imλj = cosmλ_j −isinmλ_j folgt

∆Clm−i∆Slm= (2−δ_0m)klm(l−m)!

(l+m)!

X

j

M_j M_E

R_E X_j

!l+1

P_lm(cosθ_j)(cosmλ_j−isinmλ_j) (4.43)

4.2 Wirkung äußerer gravitativer Kräfte auf den Mond 51

und

(∆Clm

∆S_lm )

= (2−δ_0m)k_lm(l−m)!

(l+m)!

X

j

M_j M_E

R_E X_j

!l+1

P_lm(cosθ_j)

(cosmλ_j sinmλj

)

, (4.44)

analog zu den kombinierten Gleichungen (4.39) und (4.40).

Die Änderungen der Schwerefeldkoeffizienten werden in dieser Arbeit nur für Grad 2 betrachtet, da dieser mit 98 % den Großteil des gesamten Gezeitenpotentials enthält [Torge,2001]. Die einzelnen Grad-2-Koeffizienten berechnen sich in Kugel- und kartesischen Koordinaten zu

∆C20= M_j M_E

R_E Xˆj

!3

k₂₀ 2

3 cos²θˆ_j−1

= M_j M_E

R_E Xˆ_j

!3

k₂₀ 2

−xˆ²_j−yˆ²_j + 2ˆz_j² Xˆ_j² ,

(4.45a)

∆C₂₁= M_j M_E

R_E Xˆ_j

!3

k₂₁sin ˆθ_jcos ˆθ_jcos ˆλ_j

= Mj

M_E RE

Xˆ_j

!3

k21xˆjzˆj

Xˆ_j² ,

(4.45b)

∆S21= M_j M_E

R_E Xˆ_j

!3

k₂₁sin ˆθ_jcos ˆθ_jsin ˆλ_j

= M_j M_E

R_E Xˆj

!3

k₂₁yˆ_jˆz_j Xˆ_j² ,

(4.45c)

∆C₂₂= M_j M_E

R_E Xˆ_j

!3

k₂₂

4 sin²θˆ_jcos 2ˆλ_j

= M_j M_E

R_E Xˆ_j

!3

k₂₂ 4

ˆ x²_j −yˆ_j²

Xˆ_j² ,

(4.45d)

∆S22= Mj

M_E RE

Xˆ_j

!3

k22

4 sin²θˆjsin 2ˆλj

= M_j M_E

R_E Xˆ_j

!3

k₂₂ 2

ˆ x_jyˆ_j

Xˆ_j² .

(4.45e)

Die Erde ist kein perfekt elastischer Körper und die Reaktion des Erdkörpers erfolgt nicht genau im Moment der auftretenden Gezeitenkräfte. Die Anelastizität des Mantel- und Lithosphärenmaterials, aufgrund von inneren Reibungen, verursacht eine Zeitverzögerung τ_lm der elastischen Reaktion.

Die Änderungen in den Potentialkoeffizienten ∆K_lm^E = ∆K_lm^E (t) zum Zeitpunkt t sind gleich der angenommenen instantanen Änderung in den Koeffizienten ∆K_lm^E (ˆt) zum Zeitpunkt ˆt=t−τ_lmmit dem zugehörigen Positionsvektor ˆx_j(ˆt) =x_j(t−τlm) des gezeitenerregenden Körpers (Abbildung 4.10).

Die Berechnung des Vektors xˆ_j kann in zwei Komponenten unterteilt werden. In der Zeit τ_lm bewegt sich der gezeitenerzeugende Körper, gleichzeitig ändert sich die geozentrische Länge des Körpers durch die rotierende Erde mit der Rotationsgeschwindigkeit ˙Ω_E. Der von Ordnung m abhängige, zeitverzögerte Vektor berechnet sich zu

ˆ

x_j =R_z(−˙Ω_Eτ_lm)xj(t−τ_lm) . (4.46)

Für den Entwicklungsgrad 2 ergeben sich drei Zeitverzögerungen,τ₂₀,τ₂₁undτ₂₂, die beispielsweise in der Berechnung der DE421-Ephemeride Verwendung finden [Williams u. a.,2008]. In der Berech-nung der DE430-Ephemeride [Williams u. a.,2013] werden dieτ_lmweiter in Orbitverzögerungenτ_lm und Rotationsverzögerungen τ_lm^′ unterteilt, mit

ˆ

x_j =R_z(−˙Ω_Eτ_lm^′ )x_j(t−τ_lm) . (4.47) Die zonalen Gezeiten sind nach Gleichung (4.45a) nicht von der Erdrotation und damit nicht von λj abhängig. Dementsprechend ist der Wert der zonalen Rotationsverzögerung τ₂₀^′ = 0. Die verbleibenden fünf Zeitverzögerungenτ₂₀,τ₂₁,τ₂₂,τ₂₁^′ undτ₂₂^′ wurden für diese Arbeit inLUNAR implementiert, die Rotationsverzögerungen können in der Parameterschätzung mitbestimmt werden (Kapitel 5.6).

In der numerischen Integration der Ephemeridenberechnung liegen zu jedem Berechnungsschritt nur die Zustandsvektoren (Beschleunigungen, Geschwindigkeiten und Positionen) zum Zeitpunktt vor. Die zeitverzögerten Positionen der gezeitenerregenden Körper ˆx_j müssen zum Zeitpunktt−τ_lm approximiert werden. Die Rotation des Positionsvektors umR_zkann zu einem beliebigen Zeitpunkt berechnet werden und ist unabhängig von der Integration der Ephemeriden. Der zeitverzögerte Positionsvektor muss jedoch parallel zur Integration bestimmt werden. Manche [2011] beschreibt verschiedene Methoden zur Abschätzung der zeitverzögerten Positionen. In dieser Arbeit wird aus dem Zustandsvektor zum Zeitpunkttüber einen quadratischen Ansatz die Position zum Zeitpunkt t−τ_lm bestimmt

x_j(t−τ_lm) =x_j(t)−x˙_j(t)τ_lm+1

2x¨_j(t)τ_lm² . (4.48) Der Zuschlag zum C20-Potentialkoeffizient in Gleichung (4.45a) enthält den kompletten Anteil der Deformation der festen Erde mit der permanenten Deformation. Diese ist bereits im statischen zero-tide Wert für C₂₀ berücksichtigt und muss aus Gleichung (4.45a) wieder subtrahiert werden.

Nach Petit und Luzum[2010] berechnet sich der Anteil der permanenten Deformation zu

∆C₂₀^perm=√

5A0H₀k₂₀=√

5(4.4228·10⁻⁸)(−0.3146)k20, (4.49) mit Änderung desC₂₀^zt zero-tide Koeffizienten

∆C₂₀^zt = ∆C₂₀−∆C₂₀^perm. (4.50)

Die neue Modellierung der festen Erdgezeiten in Form von Variationen in den Potentialkoeffizienten hat den Vorteil, dass sämtliche auftretenden Kräfte (Abschnitt 4.2.2 und 4.2.3) automatisch mit

xj(t)

xj(t−τlm) N

λj(t) λj(t−τ_lm^′ )

λ0^◦(t) λ0^◦(t−τ_lm^′ )

Erde gezeitenerzeugender Körper

Abb. 4.10: Geozentrischer Positions- und Längenunterschied des gezeitenerregenden Körpers durch die verzögerte Reaktion der Erde auf die Gezeitenkräfte mit Orbitverzögerung τlm und Rotations-verzögerung τ_lm^′ . N bezeichnet den geografischen Nordpol,λ0^◦ die Lage des Nullmeridians.

4.2 Wirkung äußerer gravitativer Kräfte auf den Mond 53 berücksichtigt werden. In Kapitel5.6wird der Effekt auf die mitgeschätzten Zeitverzögerungen und das Ergebnis der Datenanalyse untersucht.

Die folgende Herleitung von Gleichung (4.33) zeigt die bisherigen Vereinfachungen, die in dieser Arbeit ersetzt wurden. Ausgehend von Gleichung (4.38) ergibt sich das gezeitenerzeugte Deforma-tionspotential vom Grad 2 für alle Ordnungen m= 0,1,2 zu

V_d,C20(X) =−GM_ER²_E X³ ∆C20

1

2(3 cos²θ−1)

=−1

2GM_ER²_E∆C₂₀2z²−x²−y² X⁵ ,

(4.51a)

V_d,C21S²¹(X) =−GM_ER²_E

X³ 3 sinθcosθ(∆C₂₁cosλ+ ∆S₂₁sinλ)

=−3GMER²_E

∆C21

xz

X⁵ + ∆S21

yz X⁵

,

(4.51b)

V_d,C22S²²(X) =−GMER²_E

X³ 3 sin²θ∆C22(cos²λ−sin²λ) + 2∆S22sinλcosλ

=−3GMER²_E ∆C22

x²−y²

X⁵ + 2∆S22

xy X⁵

! .

(4.51c)

Durch Gradientenbildung und Einsetzen der Gleichungen (4.45) erhält man die resultierenden Ge-zeitenbeschleunigungen eines Körpers (zum Beispiel des Mondes) an der Positionx, hervorgerufen durch den gezeitenerzeugenden Körper j

¨

x_d,C20 = 3 2

GMj

X⁷ RE

Xˆ_j

!5

k20

2 (2ˆz_j²−xˆ²_j−yˆ²_j)







x(x²+y²−4z²) y(x²+y²−4z²) z(3x²+ 3y²−2z²)





 , (4.52a)

¨

x_d,C21S²¹ = 3 2

GMj

X⁷ R_E

Xˆ_j

!5

k21





2ˆxjzˆj







z(−4x²+y²+z²)

−5xyz x(x²+y²−4z²)





+ 2ˆyjzˆj







−5xyz z(x²−4y²+z²) y(x²+y²−4z²)











 , (4.52b)

¨

x_d,C22S²² = 3 2

GMj

X⁷ RE

Xˆ_j

!5

k22





 ˆ x²_j −yˆ²_j

2







x(−3x²+ 7y²+ 2z²) y(−7x²+ 3y²−2z²)

−5z(x²−y²)





+ ˆxjyˆj







y(−8x²+ 2y²+ 2z²) x(2x²−8y²+ 2z²)

−10xyz











 . (4.52c) Bei Verwendung von Gleichung (4.52) ist zu beachten, dass darin der komplette Gezeitenanteil enthalten ist. Für die Berechnung der Kräfte, und daraus resultierenden Beschleunigungen, zwischen dem Erdschwerefeld und dem Mond als Punktmasse in Kapitel 4.2.2 muss der tide-free Wert für den C₂₀-Term der Erde verwendet werden

C₂₀^tf =C₂₀^zt−∆C₂₀^perm , (4.53) um die permanente Deformation nicht doppelt zu berücksichtigen. Die Wechselwirkung mit allen anderen Körpern im Sonnensystem erfolgt weiterhin mit dem zero-tide Wert C₂₀^zt.

Durch Verwendung von Zylinderkoordinaten mitx =̺+z = (x, y,0)^T + (0,0, z)^T und analog ˆ

x_j =̺ˆ_j+ˆz_j ergibt sich

¨

x_d,C20 = 3 2

GM_jR⁵_E X⁵

k₂₀

Xˆ_j⁵ 2ˆz_j²z+ ˆ̺²_j̺+ ˆX_j²x−5(¹₂̺²̺ˆ²_j +z²ˆz_j²)x X²

!

, (4.54a)

¨

x_d,C21S21 = 3 2

GM_jR⁵_E X⁵

k₂₁

Xˆ_j⁵ 2[(̺̺ˆ_j)ˆz_j +zˆz_j̺ˆ_j]−10zˆz_j(̺̺ˆ_j)x X²

!

, (4.54b)

¨

x_d,C22S²² = 3 2

GMjR⁵_E X⁵

k22

Xˆ_j⁵ 2(̺̺ˆ_j)̺ˆ_j −̺ˆ²_j̺−5[(̺ˆ̺_j)²−¹₂̺²̺ˆ²_j]x X²

!

. (4.54c)

Bis auf den fehlenden Vorfaktor (M_E+M_M)/M_E entspricht die Summe der Gleichungen (4.54) der in der DE430-Ephemeride verwendeten Formulierung [Folkner u. a.,2014]. Der Vorfaktor tritt auf, wenn, wie in der DE430-Ephemeride, der Erde-Mond-Beschleunigungsvektor mit ¨x_EM = ¨x_M−x¨_E betrachtet wird. Vernachlässigt man die Abhängigkeit der Potential-Lovezahl und der Zeitverzöge-rung der Gezeitenreaktion von der Ordnung des gezeitenerzeugenden Potentials,k₂₀=k₂₁=k₂₂= k₂ und τ₂₀=τ₂₁=τ₂₂=τ₂₁^′ =τ₂₂^′ =τ₂ folgt

¨ x_d= 3

2

GM_jR⁵_E X⁵

k₂

Xˆ⁵ 2ˆz_j²z+ ˆX_j²x−5(z²zˆ_j²)x X²

+ 2[(̺̺ˆ_j)ˆz_j+zˆz_j̺ˆ_j]−10zˆz_j(̺̺ˆ_j)x X² + 2(̺̺ˆ_j)̺ˆ_j− 5(̺̺ˆ_j)²x

X²

! .

(4.55)

Wird nur der Mond als gezeitenerzeugender und gleichzeitig als von den Erdgezeiten gestörter Körper betrachtet, die Bewegung des Mondes während der Zeitverzögerungτ₂vernachlässigt und für kleine Werte vonτ₂die Vereinfachung̺̺ˆ_j ≈̺²gewählt, giltz=ˆz_j,|̺|=|̺ˆ_j|undX = ˆX_j =X_EM und

¨ x_d= 3

2

GM_MR⁵_E X¹⁰ k₂

−5z⁴ x

X² −10z²̺² x

X² −5̺⁴ x

X² +X²x+ 2z²z+ 2̺²z+ 2z²̺ˆ_j + 2̺²̺ˆ_j

= 3 2

GM_MR⁵_E X¹⁰ k₂

−5 x

X²(z²+̺²)²+X²x+ 2X²(z+̺ˆ_j)

= 3GM_MR⁵_E

X_EM⁸ k₂(ˆx_j−2x) .

(4.56) Der Vektor ˆx_j ist mit x über eine mathematisch positive Drehung um die Erdrotation (z-Achse) mit dem Winkelδ =τ₂ΩE verbunden. Für kleine Winkel δ gilt

ˆ x_j =







1 −δ 0 δ 1 0

0 0 1





x, (4.57)

womit sich, bis auf den Vorfaktor (1 +M_M/M_E) = (M_E +M_M)/M_E, Gleichung (4.33) aus der bislang genutzten Programmversion ergibt

¨

x_d=−3GMMR⁵_E X_EM⁸ k2





 x+δy y−δx

z





 . (4.58)

Im Dokument Lunar Laser Ranging – (Seite 50-57)