Prédimensionnement du moteur

Figure 12 M

Ω_ο M_o

Ω Md

Le potentiel magnétique est lié à la section des encoches et à la densité de courant.

On admettra

B_a= 0,7 B_o

Θ = potentiel magnétique résultant

= Kcu SencJ

J = densité de courant efficace

kcu = coefficient de remplissage du cuivre S_enc= section totale des encoches

Senc= τenc· henc

τenc = pas total des encoches henc= hauteur d’encoche = γhd

kf = coefficient du foisonnement du fer = 0,9 à 0,95 Bf = induction du fer dans les dents = 1,6 à 1,8 T

La largeur totale des encoches vaut ainsi :

Le couple vaut ainsi, en posant l = αd et en admet-tant une distribution sinusoïdale de l’induction :

Dans l’expression ci-dessus, on a admis implicite-ment que l’induction dans l’entrefer était égale à celle de l’aimant. C’est le cas pour une construction à magnétisation radiale. Pour une magnétisation tangentielle, on aura :

B = γBB_a

Au chapitre 4, § 4.3.4 du volume IX du Traité d’élec-tricité (PPR), il est montré qu’un échauffement constant conduit à une expression de la densité de

M = J B_aπ γhα Cette dernière grandeur dépendra de la fréquence

des démarrages, des aspects thermiques associés au mode d’utilisation du moteur et de l’alimentation.

L’expression du couple d’un moteur pour un régime donné dépendra des principaux paramètres suivants :

• les dimensions et plus particulièrement le dia-mètre d’alésage et la longueur d’empilage ;

• le choix des matériaux, aimants, fer et isolants.

Cette expression sera bien entendu associée au prin-cipe et à la structure du moteur. Dans les para-graphes qui suivent, l’intention n’est pas de donner un formulaire, mais d’expliciter la démarche per-mettant d’établir une corrélation entre dimensions, matériaux et performances.

Les moteurs suivants seront analysés :

• moteur synchrone à aimants permanents ;

• moteur réluctant ;

• moteur à courant continu à aimants ;

• moteur asynchrone.

5.3.2 Moteur synchrone à aimants permanents

Par la relation de Laplace, le couple peut s’exprimer comme suit :

L’induction créée par l’aimant permanent est liée à l’induction rémanente (figure 13).

M = idl Bd

courant proportionnelle à la racine de l’inverse du diamètre :

Dans ces conditions, le couple prend l'expression suivante :

M = K’

ˆ

MBad^3,5

L’analyse qui précède a pour objectif d’illustrer complètement la démarche permettant la corréla-tion entre couple, inertie et dimensions, en prenant en compte divers paramètres magnétiques, élec-triques et thermiques. Il sera procédé de même pour les autres types de moteurs, mais sans introduire tous les détails relatifs aux calculs numériques.

Seuls les paramètres principaux (diamètre d, den-sité de courant J, induction créée par les aimants) seront corrélés sans l’introduction de valeurs numé-riques pour les coefficients.

5.3.3 Moteurs réluctants

Le moteur réluctant est caractérisé par des struc-tures dentées au stator et au rotor, ou par un stator générant un champ tournant et un rotor à réluctance variable.

Le phénomène de saturation influence particulière-ment la caractéristique de couple de tels moteurs par les effets suivants :

• une distorsion des caractéristiques en fonction de l’intensité du courant ;

• les effets de frange qui ne permettent pas une extrapolation vers les petites tailles.

L’expression du couple peut s’écrire, pour une phase :

1 ∂ Λ M = — —— Θ²_b

2 ∂ α

Le potentiel magnétique peut s’écrire : Θb ~ JSb ~ J

τ

enc· henc· kcu

τenc ~ d h_enc ~ d Θb ~ Jd²

J ~ 1 / d

En admettant une variation sinusoïdale de la per-méance, il vient :

Λ = _Λ

ˆ

_{sin p α}

p = nombre de périodes rotoriques µo· τdtot· l

On admettra un entrefer proportionnel à d en pre-mière approximation.

Λ

ˆ

~ d

—— ~ p ddΛ dα

La proportionnalité au terme p doit être corrigée par la limitation liée aux effets de franges.

Finalement le couple peut s’exprimer comme suit : M ~ pd⁵J²

A nouveau, pour des raisons thermiques, la densité de courant évolue selon la relation suivante :

J ~ d^–1/2 d’où M ~ pd⁴

5.3.4 Moteur à courant continu

Pour un moteur à courant continu à aimants per-manents, les caractéristiques sont comparables à celles d’un moteur synchrone à aimants perma-nents :

A nouveau, à échauffement constant : J ~ d^–1/2

M ~ Bd^3,5

5.3.5 Moteur asynchrone

On appliquera la loi de Laplace entre les potentiels statorique (indice s) et rotorique (indice r) :

M = — d Θrl B_s 2

Bs= induction crée par le potentiel statorique

Bs= Θs/ S = λsΘs/ S B_s~ d J_sd²/ d²~J_sd

Θr~ J_rd² M ~ JsJrd⁵

Si l’échauffement est constant, on obtient : M ~ d⁴

5.4 Relation couple-inertie

Le couple et l’inertie ont été tous deux exprimés en fonction du diamètre du moteur, en faisant interve-nir l’ensemble des caractéristiques constructives.

On peut poser :

M = KMdⁿ J = K_Jd⁵

avec n = 3,5 moteur synchrone ou à courant continu n = 4 moteur réluctant ou asynchrone

En éliminant le diamètre, il est possible d’exprimer l’inertie en fonction du couple :

d = (M / K_M)^1/n

J = K_J(M / K_M)^10/7 moteur synchrone ou à courant continu à aimants permanents

J = K_J(M / K_M)^5/4 moteurs réluctants ou asynchrones

Par ailleurs, l’analyse des expressions respectives de couple de deux moteurs permet de mettre en évi-dence leurs avantages respectifs en fonction de la taille. On peut ainsi affirmer a priori qu’un moteur réluctant sera plus intéressant qu’un moteur syn-chrone à aimants permanents pour de grandes puis-sances. La puissance limite dépendra des caracté-ristiques constructives respectives, résumées par le coefficient K_M. Par ailleurs, il est important de rap-peler que deux moteurs de taille très différente ne seront jamais homothétiques l’un de l’autre.

6.1 Importance de l’échauffement

L’échauffement est le principal facteur limitatif de la puissance admissible pour un moteur. L’échauffe-ment est défini par les pertes et la structure de la machine. C’est la tenue thermique des isolants qui impose une limite maximum de température. L’étude du comportement thermique des machines élec-triques permet de définir l’évolution transitoire et d’éventuelles surcharges admissibles.

Le comportement thermique fait principalement appel à trois phénomènes :

• la conduction ;

• la convection ;

• le rayonnement.

6.2 Equations thermiques

6.2.1 Conduction

La conduction au travers d’un milieu d’épaisseur e₁ et de surface S1est régie par l’équation suivante :

∂T λS₁

P = cV —— + —— (T – Te)

∂t e₁

P = pertes du système [W]

V = volume intéressé par l’accumulation

d’énergie thermique [m³]

T = température [K]

λ = conductivité thermique [W / mK]

Te= température externe [K]

c = chaleur spécifique volumique [J / m³K]

S1= surface de conduction [m²]

e₁= distance du transfert de chaleur [m]

Cette équation est caractéristique du phénomène de conduction interne à une machine.

6.2.2 Convection et rayonnement

La convection et le rayonnement sont les phéno-mènes caractéristiques de l’évacuation thermique des pertes vers l’air ambiant. On peut définir un coef-ficient global pour ces deux phénomènes,

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