Erste Phase: Das Durchführen der ersten Modellierung (1-2 UEH)

Den SchülerInnen und Schülern wird folgende Textsequenz digital - später den gesamten Text auch in schriftlicher Form - vorgelegt. Im Zuge dessen wird ihnen mitgeteilt, dass es sich um ein längeres Projekt handeln wird und dass jeder von Ihnen eine protokollartige Mitschrift verfassen sollte, welche im Anschluss bewertet und zur schriftlichen Leistungsfeststellung gerechnet wird.

An einem windstillen Tag bemerkst du, wie ein Pfeil in deinen Garten geschossen wird.

Daraufhin suchst du den lokalen Bogensportverein auf, um diesen die Situation zu schildern. Siehe da, kürzlich wurde ein Bogen mit einer Serie derselben Pfeile wie im Garten entwendet. Der Verein hat den Vorfall bereits zur Anzeige

gebracht. Nun möchtest du dem Verein und der Polizei helfen und herausfinden von wo der Pfeil abgeschossen wurde und welche Flugbahn dieser folgte.

Bei genauer Betrachtung fällt auf, dass die gegebene Angabe nicht ausreicht, um das Problem korrekt zu berechnen. Dies ist aber auch nicht der Nutzen eines

modellierenden Unterrichts.

Ein großer Vorteil dieser Aufgaben besteht meiner Meinung nach darin, dass diese auf verschiedensten mathematischen Niveaus bearbeitet werden kann. Dazu kommt, dass es eine Vielzahl an unterschiedlichen Ansätzen – mit Sicherheit noch viel mehr als die in dieser Arbeit präsentierten – gibt, welche mit dem Schulstoff problemlos verwendet

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werden können. Die Präsentation dieser wird einen großen Teil der Arbeit ausmachen und in den hinteren Kapiteln abgearbeitet.

Trotzdem sollte man sich nicht auf den präsentierten Weg versteifen und jedenfalls allen Modellierungsideen der Schüler Beachtung schenken und diese gemeinsam bewerten.

Da dieses Modellieren ein sehr wichtiges Lehrziel eines solchen Projektes darstellt.

(Siehe Kapitel 3.5, Kapitel 2.1)

Klarerweise gibt es einige Faktoren, welche das Ergebnis verfälschen. Diese werden im entsprechenden Kapitel 9.1 aufgelistet und anschließend diskutiert. Ein klares Ergebnis lässt sich aber dennoch erkennen.

Außerdem kann auch einiges an Informationen aus dieser Angabe entnommen werden.

Am Anfang einer jeden Arbeitsphase sollten sich die Schüler untereinander beraten.

Dabei darf auch gerne nach den Phasen von Polya vorgegangen werden.

Ideen an bekannten Werten und unbekannten, relevanten Daten können an der Tafel anhand eines Mindmaps gesammelt werden.

Zum einen soll uns die Information über den windstillen Tag nahelegen bei

theoretischen Konzepten und Berechnungen den Einfluss des Windes auf die Flugbahn des Pfeiles zu vernachlässigen.

Das Ausgangsproblem gibt einem den messbaren Einschusswinkel, den der Pfeil mit der Horizontalen (z.B. dem Boden) einschließt und die verwendete Serie an Pfeilen bzw.

den verwendeten Bogen vor. Die zu bestimmende Größe ist die Flugbahn bzw. daraus die Entfernung des Schützen.

Mit dem Wissen des verwendeten Bogens sind Ungenauigkeiten der Flugparabel, die sich durch eine unbekannte Wurfarmlänge oder -stärke, sowie durch unterschiedliches Griffstückmaterial oder unterschiedlicher Pfeilauflagen ergeben würden, irrelevant

Da der Pfeil aus einem Verein entwendet wurde, ist davon auszugehen, dass der Schütze bereits mit diesem Kontakt hatte. In jedem Verein ist es üblich zuerst den Auszug einer Person, welche sich eine Ausrüstung ausleihen möchte, zu bestimmen.

Aus diesem wird die Pfeillänge, mit welcher ausschließlich geschossen wird, bestimmt.

Falls der Schütze eine eigene Ausrüstung besitzt ist es für ihn noch wichtiger seine Pfeillänge zu kennen.

Aus dem Bekanntsein des abgefeuerten Pfeils wissen wir auch, wie weit der bekannte Bogen beim Abschuss ausgezogen wurde.

Da es sich um einen Vereinsbogen handeln wird, kann man mit einer gewissen Sicherheit behaupten, dass zwischen dem entwendeten Bogen und den Bögen derselben Serie im Haus keinerlei Wartungsunterschiede bestehen.

Konkret kann man damit ausschließen, dass eine Veränderung der Standhöhe, Nockpunkthöhe oder der Pfeilauflage beachtet werden sollte.

Analog kann das Wissen der Eigenschaften des Pfeils, wie etwa das Pfeilgewicht, der Spinewert, die Pfeillänge, die Befiederung eine Präzisierung der Flugbahn erfolgen.

Daraufhin wird nach Ideen zu Methoden der Berechnung des in der Aufgabe gestellten Problems gefragt. Eventuell kann auch, ohne die Schüler in ihrer eigenen Kreativität zu beeinflussen, durch geschicktes Einwerfen von Gegenfragen oder Begrifflichkeiten auf den Weg in Richtung der gerade gewünschten Methode geführt werden.

Beispielsweise könnte, um auf die charakteristische parabelförmige Flugbahn zu schließen, man ein Objekt vorsichtig durchs Klassenzimmer werfen lassen.

Die Modellierung der Flugparabel des schiefen Wurfes wird wie im Kapitel 6 gegeben lehrerzentriert präsentiert, kann aber je nach Interesse und Fähigkeiten der Klasse auch schülerbezogen erarbeitet werden. So oder so sollte man bei allen Vorträgen auf eine im gewissen Maß geteilte Gesprächsführung zwischen Schüler und Lehrer achten.

Der Einfluss der Kraft, welche aufgrund des Luftwiderstandes auf das Objekt wirkt, soll vernachlässigt werden. Das Ziel ist das Aufstellen einer Funktionsgleichung für die Flugbahn des schief geworfenen Objektes.

Die Hauptaufgabe des Lehrers in dieser Sequenz dürfte das Überprüfen, ob alles verstanden wurde, sein.

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Im Anschluss daran werden die Schüler dazu aufgefordert, die gewonnenen Erkenntnisse in einem realen Experiment zu überprüfen.

Dazu werden "werfbare Objekte" verschiedener Größe, Masse,

Oberfläche(nbeschaffenheit), Form, Materialklassen, Querschnittsflächeninhalte etc. von den Schülern auf ihre Gemeinsamkeiten und Unterschiede beim Betrachten der

Flugbahn untersucht.

Je nachdem ob diese Versuche in der Klasse oder draußen (z.B. auf dem Sportplatz) stattfinden, können unterschiedliche Materialien verwendet werden. Beim

Experimentieren in der Klasse würde sich Zeitungspapier anbieten, da jede Doppelseite in etwa dieselbe Masse besitzt und man durch Formen viele der oben genannten Punkte abhandeln kann. Am Sportplatz kommen dann Objekte wie die verschiedensten

Ballarten o.ä. dazu. Auch dazu kommt der Einfluss des Windes, welcher eine Betrachtung bei konstanten Bedingungen erschwert.

Es sollten die Unterschiede in der Flugbahn so deutlich erkennbar sein, dass das

Verrichten von konstanter Arbeit "aus dem Gefühl heraus" ausreichen sollte. Der Werfer in der Gruppe könnte sich beispielsweise auf die Entfernung und der/die Beobachter auf die Konstanz der Winkel und der Anfangsgeschwindigkeit konzentrieren. Ein Wechseln der beiden Positionen innerhalb der Gruppe ist erwünscht. Gerne dürfen die Flugbahnen mit dem Smartphone gefilmt werden, um diese besser miteinander zu vergleichen. Das Ziel dieser Übung ist das Aufdecken von Schwachstellen der präsentierten

Modellierung.

Als Ergebnissicherung bietet sich eine offene Diskussion an. Dabei werden die erhaltenen Ergebnisse verglichen und teils diskutiert. Auch hierfür sollten die Schüler den Auftrag erhalten, ihre Zwischenergebnisse schriftlich zu dokumentieren.

3.3.2. Zweite Phase: Das Durchführen der zweiten Modellierung (1-2