Partikuläre Lösung der inhomogenen Wellengleichung

d³k 1

(2π)²Φet ~k

| {z }

·eⁱ[^~^k·~^r⁻^ω(k)t] , (10.26)

=⇒ Φ_hom(~r, t) = Re Z

d³k

z }| { h

a₁ ~k

+i a₂ ~ki

·eⁱ[^~^k·~^r⁻^ω(k)t]. (10.27) Analog dazu lauten die homogenen Lösungen der Wellengleichung für die Komponen-ten Aj des Vektorpotentials A(~~ r, t)

Ajhom(~r, t) = Re Z

d³k h

aj1 ~k

+i aj2 ~ki

·eⁱ[^~^k·~^r⁻^ω(k)t] (10.28) mit den reellen Amplitudenfunktionen a_j1 ~k

und a_j2 ~k .

10.2 Partikuläre Lösung der inhomogenen Wellengleichung

(Wir stützen uns in diesem Abschnitt auf die sehr übersichtliche Herleitung der re-tardierten Potentiale im „Fließbach“.)

Wir werden eine partikuläre Lösung der inhomogenen Wellengleichung 4Φ(~r, t)− 1

c²

∂²

∂t² Φ(~r, t) =− 1

ε₀ %(~r, t) (10.29) zeigen und dann analog dazu die partikulären Lösungen der inhomogenen Wellenglei-chungen bezüglich A~ angeben:

Die Fourier-Transformationen allein der Zeitabhängigkeit vonΦ(~r, t)und%(~r, t)sind:

Φ(~r, t) = 1 (2π)²

Z d³k

dωΦ(~k, ω)e ·eⁱ⁽^~^k·~^r⁻^ωt) ⇒

Φ(~r, t) = 1

√2π

∞

−∞

dω Φe_ω(~r)·e⁻^iωt , (10.30)

%(~r, t) = 1 (2π)²

Z d³k

dω%(~k, ω)˜ ·eⁱ⁽^~^k·~^r⁻^ωt) ⇒

%(~r, t) = 1

√2π

∞

−∞

dω %˜_ω(~r)·e⁻^iωt . (10.31)

Einsetzen von (10.30) und (10.31) in die Wellengleichung (10.29) ergibt Der Vergleich der beiden Seiten der Gleichung zeigt

Jetzt benutzen wir (5.186) und setzen k =ω/c:

4+k²e^±ik|~^r−~^r⁰^| Wenn wir ~r in (10.33) mit einem Strichindex versehen, dann (10.33) und (10.34) kreuzweise multiplizieren und anschließend nach ~r⁰ integrieren, erhalten wir

Diese Gleichung stellt die zeitliche Beziehung her zwischen der Ladungsdichte an den Orten ~r⁰ und dem aus dieser Ladungsdichte resultierenden Potential Φ am Ort ~r. Allerdings sind hier sowohl die Ladungsdichte als auch das Potential noch von der Kreisfrequenz ω und nicht von der Zeit abhängig. Deshalb setzen wir (10.37) in die Zeit-Fourier-Transformation (10.30) ein:

Φ(~r, t) = 1 Jetzt nehmen wir

t ∓ |~r−~r⁰|

c =t⁰ (10.40)

an, sodass gemäß (10.31)

√1

Unter Berücksichtigung von (10.41) wird aus (10.39) schließlich Φ(~r, t) = Φ_part(~r, t) = 1

4πε₀ Z

d³r⁰ %(~r⁰, t⁰)

|~r−~r⁰| . (10.42) Darin verbergen sich zwei partikuläre Lösungen:

für

t⁰ =t− |~r−~r⁰|

c =t−δt (10.43)

das retardierte Potential

Φret(~r, t) = 1 4πε₀

d³r⁰ % ~r⁰, t− |~r−~r⁰|/c

|~r−~r⁰| (10.44) und für

t⁰ =t+ |~r−~r⁰|

c =t+δt (10.45)

das avancierte Potential

Φ_av(~r, t) = 1 4πε₀

d³r⁰ % ~r⁰, t+|~r−~r⁰|/c

|~r−~r⁰| . (10.46) Die entsprechenden partikulären Lösungen für das Vektorpotential A~ sind

A~_part(~r, t) = µ₀ 4π

d³r⁰ ~j ~r⁰, t∓ |~r−~r⁰|/c

|~r−~r⁰| . (10.47) Interpretation:

„ Wenn sich die Ladungsverteilung zu einem bestimmten Zeitpunkt t⁰ ändert, dann pflanzt sich die dadurch verursachte Änderung des elektromagnetischen Felds mit der Lichtgeschwindigkeit c fort. In der Entfernung |~r −~r⁰| ändert sich das Feld daher erst zur späteren Zeit t = t⁰ + δt. Wegen dieser verspäteten Änderung heißt die Potentiallösung . . . retardiert . . . . Das andere Vorzeichen führt zur avancierten Lösung. . . .

Zur Diskussion der physikalischen Bedeutung der retardierten und avancierten Lö-sung betrachten wir die Dipolantenne eines UKW-Senders. Die Abstrahlung der An-tenne (bei ~r⁰) kommt nach der Zeit δt = |~r − ~r⁰|/c beim Radiohörer (mit einer Empfangsantenne bei~r) an. Die abgestrahlte Welle wird gerade durch das retardier-te Poretardier-tential der oszillierenden Ladungsverretardier-teilung der Sendeanretardier-tenne beschrieben. Die avancierte Lösung ist dagegen aus Kausalitätsgründen auszuschließen; denn in der avancierten Lösung würde die Ursache (Aussenden der Radiowelle) vor der Wirkung (Empfang beim Radiohörer) liegen.

In der Empfangsantenne des UKW-Hörers wird (durch die vom Sender ausgesandte Welle) eine oszillierende Ladungsverteilung induziert. Bezogen auf diese oszillierende Ladungsverteilung sind die zu empfangenden UKW-Wellen avancierte Wellen: Einer eventuellen Modulation der Welle beim Sender entspricht ja eine Modulation der Ladungsverteilung zu einer umδtspäteren Zeit; die Änderung der Ladungsverteilung

erfolgt also nach der Änderung des zugehörigen Felds. In diesem Fall erfüllt gerade die avancierte Lösung die Kausalitätsforderung.

Im Prinzip sind alle oszillierenden Ladungsverteilungen formal als Quellterme in den Maxwellgleichungen zu berücksichtigen. Für die Quellen (Sender) sind dann die retardierten, für die Senken (Empfänger) die avancierten Potenziale anzusetzen. “²

2Zitiert aus Torsten Fließbach, Elektrodynamik, Lehrbuch zur Theoretischen Physik II, 4. Aufl., Elsevier, München, 2009, Seite 161.

11 Die Lorentz-Transformation von E ~ - und B ~ -Feld

(Nach dem Vorlesungsskript von Wolfgang Dreybrodt, Walter Ebeling und Volker Kastens, Spezielle Relativitätstheorie, Grundkurs Physik, Universität Bremen, Fach-bereich 1, 1989.)

In diesem Kapitel werden die physikalischen Größen und Gleichungen im SI-Einheiten-System verwendet und nicht, wie es in der theoretischen Physik üblich ist, im Gauß-Einheiten-System. Weiterhin gilt stets die Tatsache, dass die elektrische Ladungqeine Erhaltungsgröße und folglich eine relativistische Invariante mit q = q⁰ ist. Beobach-ter in S und in S’ messen dieselbe Ladungsmenge eines bestimmten Objektes. Diese Tatsache lässt sich nicht herleiten, sie beruht allein auf experimenteller Erfahrung.

In diesem Kapitel wird gezeigt, wie sichE~- undB~-Feld unter Lorentz-Transformation, also beim Wechsel des Bezugssystems verhalten. Da E~- undB~-Feld von Ort und Zeit abhängen, können wir die Ortskoordinaten und die Zeit in den Maxwell-Gleichungen transformieren. Dazu verwenden wir die homogenen Maxwell-Gleichungen (1) und (2): Funktio-nen, weil sie verschiedene Argumente besitzen. Vektoriell sind ~a und ~a^∗ aber gleich, d. h.~aund~a^∗ besitzen trotz verschiedener Argumente inS die gleichen Komponenten.

Wir können von jeder Komponente von~a^∗(x⁰, y⁰, z⁰, t⁰)unter Anwendung der Ketten-regel die partiellen Ableitungen nach den ungestrichenen Koordinaten bilden und erhalten z. B. für die Komponente a^∗_y partiell abgeleitet nachx

∂a^∗_y

Für die partielle Ableitung des gesamten Vektors ~a^∗ z. B. nach x kann man damit schreiben

In gleicher Weise erhält man die partiellen Ableitungen ∂~a

∂y , ∂~a

∂z , ∂~a

∂t. Wir verwenden die Lorentz-Transformation

x⁰ =γ(x−vt), y⁰ =y , z⁰ =z , t⁰ =γ(t− v c²x) und erhalten das Array Amit den Elementen Aij:

∂x⁰

Dieses Array entspricht der Lorentz-Transformation in Matrixschreibweise. Allerdings haben wir hier als Zeitkoordinate t verwendet und nicht ct. Mit (11.3), (11.4) und (11.5) können wir die partiellen Ableitungen von E(x, y, z, t)~ durch die gestrichenen Koordinaten ausdrücken:

Damit haben wir zur Darstellung der partiellen Ableitungen vonE(x, y, z, t)~ und ana-log auch für B(x, y, z, t)~ in gestrichenen Koordinaten folgende Differentialoperatoren gefunden:

Anwendung der Differentialoperatoren auf die Maxwell-Gleichung (1):

∂B_x Anwendung der Differentialoperatoren auf die Komponenten der

Maxwell-Gleichung (2):

∂E_z

Umstellen der gesternten Gleichung von (11.7) nach γ∂B_x^∗

∂x⁰ ergibt

Die rechte Seite von (11.11) setzen wir in (11.8) ein und erhalten

∂E_z^∗

⇔ ∂ (11.12) ist diex-Komponente der Maxwell-Gleichung (2) im SystemS ausgedrückt in den Koordinaten von S’. Da aber die Maxwell-Gleichung (2) wegen des Relativitäts-prinzips auch in S’ gilt und ihrex⁰-Komponente dort die Form

∂

∂y⁰E_z⁰ − ∂

∂z⁰E_y⁰ =− ∂

∂t⁰B_x⁰ (11.13)

hat, findet man durch Vergleich von (11.12) mit (11.13) und unter Berücksichtigung von E~^∗ =E~ und B~^∗ =B~

Jetzt formen wir die gesterntey-Komponente (11.9) der Maxwell-Gleichung (2) um:

∂E_x^∗

Der Vergleich von (11.14) mit der y⁰-Komponente

∂

∂z⁰E_x⁰ − ∂

∂x⁰E_z⁰ =− ∂

∂t⁰B_y⁰ der Maxwell-Gleichung (2) in S’ liefert

E_x⁰ = E_x^∗ =E_x ,

Schließlich formen wir noch die gesterntez-Komponente (11.10) der Maxwell-Gleichung (2) um:

Der Vergleich von (11.15) mit der z⁰-Komponente

∂

∂z⁰E_x⁰ − ∂

∂x⁰E_z⁰ =− ∂

∂t⁰B_y⁰ der Maxwell-Gleichung (2) in S’ liefert

B_z⁰ = γ

Wir stellen fest:

Die Transformationsgleichungen für die drei Komponenten des E~-Feldes und für die drei Komponenten des B~-Feldes unter der Bedingung, dass sich S’ mit der Geschwin-digkeit v gegenüber S längs der x-Achse bewegt, sind

E_x⁰ = E_x B_x⁰ = B_x

E_y⁰ = γ

E_y−v B_z

B_y⁰ = γ

B_y + v c² E_z E_z⁰ = γ

E_z+v B_y

B_z⁰ = γ

B_z− v c² E_y

Wie man sieht, werden für einen mit S’ bewegten Beobachter E~-Feld und B~-Feld ineinander transformiert. Elektrisches und magnetisches Feld sind deshalb untrennbar miteinander verbunden und können zum elektromagnetischen Feld vereinigt werden.

Diese Herleitung basiert auf der Lorentz-Transformation der Koordinaten, von denen E~-Feld undB~-Feld abhängen. Bei einem Systemwechsel des Beobachters hätten wir die inverse Lorentz-Transformation verwenden müssen, was im Ergebnis zu einer Umkehr der Strichindizierung und des Vorzeichens vonv, also zur relativistischen Vertauschung in den Transformationsgleichungen geführt hätte.

12 Das elektromagnetische Feld einer geradlinig und gleichförmig bewegten Punktladung

Entsprechende Animationen findet man im Internet z. B. unter den Suchbegriffen „Feld einer bewegten Punktladung“ oder „Bewegte-Ladung-Applet“.

Gemäß Abbildung 12.1 befinde sich eine Punktladungqstets im Koordinatenursprung von S’ und bewege sich mit der Geschwindigkeit v geradlinig und gleichförmig längs der x-Achse von S. Zum Zeitpunkt t = t⁰ = 0 sollen S und S’ aufeinanderliegen. In ihrem Ruhesystem S’ erzeugt die Punktladung kein Magnetfeld sondern allein das zeitlich konstante kugelsymmetrische elektrische Feld

E~⁰ = 1 4πε₀

r⁰²~e⁰_r0 = 1 4πε₀

q r⁰²

~ r⁰

r⁰ = 1 4πε₀

r⁰³ x⁰~e⁰_x0+y⁰~e⁰_y0 +z⁰~e⁰_z0

(12.1)

mit r⁰ = |~r⁰| = p

x⁰²+y⁰²+z⁰² . Da das E~⁰-Feld zu jedem Zeitpunkt die gleiche Gestalt hat, muss auch seine Transformierte, das sich in S mitv bewegende Feld stets die gleiche Gestalt haben. In S’ gilt also

E~⁰ =E~ ⁰(x⁰, y⁰, z⁰) = E_x⁰, E_y⁰, E_z⁰

, B~⁰ = 0.

Um die Feldkomponenten im Laborsystem S zu erhalten, benötigen wir die inversen Transformationsgleichungen für die Komponenten vonE~ ⁰ unter Berücksichtigung von B~⁰ = 0 :

E_x = E_x⁰ , B_x = B_x⁰ ,

Ey =γ

E_y⁰ +vB_z⁰

= γ E_y⁰ , By =γ

B⁰_y− v c²E_z⁰

= −γ v c² E_z⁰ , E_z =γ

E_z⁰ −vB_y⁰

= γ E_z⁰ , B_z =γ

B_z⁰ + v c²E_y⁰

= γ v c² E_y⁰ . Jetzt müssen wir dieE~⁰-Feld-Komponenten durch die Koordinaten von S ausdrücken.

Dafür können wir wegen der Zeitunabhängigkeit der Feldgestalt zur Vereinfachung die Lorentz-Transformation für den Zeitpunkt t= 0 verwenden:

x⁰ =γ(x−vt) = γ x , y⁰ =y , z⁰ =z . (12.2)

Anmerkung:

Die Transformation der Zeit t⁰ = γ t−_c^v2x

=−γ_c^v2x benötigen wir nicht, weil E~⁰ nicht von t⁰ abhängt und somit nur die Ortsvektoren~r⁰= (x⁰, y⁰, z⁰)bzw. deren Länge transformiert werden. Da die Länge eines Ortsvektors~r⁰ im LaborsystemS der zueinem Zeitpunkt inS gemessene räumliche Abstand zwischen Anfang und Ende dieses Vektors ist, darf man vereinfachend den Zeitpunktt= 0 wählen. Die Transformation erfolgt dann entsprechend der Messungen 2 bzw. 3 inTabelle 4.1. Etwas einfacher ausgedrückt:

Dass in S’ bei t = 0 die Zeit t⁰ =−γ_c^v2x von x abhängt und nur fürx=x⁰ = 0 und damit nur im Koordinatenursprung gleich Null ist, spielt hier keine Rolle. Von Bedeutung ist allein, wie ein Ortsvektor ausS’ im LaborsystemS erscheint und welche Länge er dort hat. Der räumliche Anfang und das räumliche Ende dieses Vektors existieren in S stets gleichzeitig, so dass ihr räumlicher Abstand, die Länge des Ortsvektors, zueinem Zeitpunkt bestimmt werden kann. Die Komponente des Ortsvektors parallel und antiparallel zu~v, in unserem Fall diex⁰-Komponente, ist dann um den Faktor

1−^v_c²2 verkürzt bzw. lorentzkontrahiert.

Mit (12.2) schreiben wir zunächst r⁰² in den Koordinaten von S: r⁰² =x⁰²+y⁰²+z⁰² =γ²x²+y²+z² =γ²

x²+ 1

γ² y²+z²

=γ²d²

mit d =

x²+ 1

γ² y² +z² ¹₂

. Weiterhin setzen wir

4πε₀ =k .

Aus (12.1) resultieren jetzt die Komponenten von E~ ⁰ ausgedrückt in den Koordinaten von S:

E_x⁰ = q 4πε₀

x⁰

r⁰³ =k γx γ³d³ , E_y⁰ = q

4πε₀ y⁰

r⁰³ =k y

γ³d³ , (12.3)

E_z⁰ = q 4πε₀

z⁰

r⁰³ =k z γ³d³ .

Mit (12.3) gehen wir in die inversen Transformationsgleichungen für das Feld der be-wegten Punktladung q und erhalten die Feldkomponenten inS:

E_x = E_x⁰ = k γx

γ³d³ = k x γ²d³ E_y = γ·E_y⁰ = γ ·k y

γ³d³ = k y γ²d³ E_z = γ·E_z⁰ = γ ·k z

γ³d³ = k z γ²d³

B_x = B_x⁰ = 0 = 0 = 0

B_y = −γ v

c² ·E_z⁰ = −γ v

c² ·k z

γ³d³ = −v c² k z

γ²d³ = −v c²E_z Bz = γ v

c² ·E_y⁰ = γ v

c² ·k y

γ³d³ = v c² k y

γ²d³ = v c² Ey

Wir fassen die Komponenten B_x, B_y und B_z unter Berücksichtigung von ~v = v_x~e_x zum B~-Feld zusammen:

B~ =

Das E~-Feld im Laborsystem S ist E~ =

Jetzt nutzen wir die Rotationssymmetrie des E~-Feldes um die z-Achse aus, um d² zu parameterisieren. Zunächst formen wir d² etwas um:

d² = x² + Man kann sich leicht veranschaulichen, dass p

y²+z²/r der Sinus des Winkels ϑ zwischen~r und~v bzw. der x-Achse ist und folglich

y²+z²

r² = sin²ϑ , ϑ =^(~r, ~v). Damit erhalten wir

d² =r²

Schließlich setzen wir (12.6) in (12.5) ein und erhalten das E~-Feld in S gleichsam als Momentaufnahme zum Zeitpunkt t =t⁰ = 0:

E~ = q ~r

E~ = q 4πε₀

~ r r³

1− v²

c² 1− v² c² sin²ϑ

−³₂

. (12.7)

Abb. 12.1 links: Das elektrische Feld der Punktladungqin ihrem RuhesystemS’. Es giltx⁰ =γx und y⁰ =y beiγ = 2. rechts: Das elektrische Feld der relativ zu S mit der Geschwindigkeit v bewegten Punktladungq zum Zeitpunktt= 0. Es giltEx=E_x⁰ undEy =γE_y⁰.

Untersuchen wir die Abhängigkeit des E~-Feldes von der Geschwindigkeit~v und dem Winkel ϑ. Zur besseren Veranschaulichung der Komponenten verwenden wir dafür auch (12.5). Beginnen wir mit einigen speziellen Fällen:

• v = 0 , ϑ beliebig ⇒ E~ = q ~r

4πε₀ r³ = q ~r⁰

4πε₀r⁰³ =E~⁰.

Das E~-Feld ist kugelsymmetrisch und gleich dem E~⁰-Feld. Es ist B~ =~0.

• 0< v < c , ϑ = 0 ⇒ x6= 0, y =z = 0 :

E_x = kx γ²

x³ = k

(γx)² = k

x⁰² =E_x⁰ , E_y =E_z = 0. (12.8) Wegenγx=x⁰undγ >1hat dieE_x-Komponente inS schon beix < x⁰die Feld-stärke E_x⁰ erreicht. Die x-Komponente des E~-Feldes in S fällt bei wachsendem Abstand von der Punktladung schneller ab als diex⁰-Komponente desE~ ⁰-Feldes inS’. DasE~-Feld ist inx-Richtung gegenüber dem kugelsymmetrischenE~⁰-Feld gestaucht.

• 0< v < c , ϑ = π

2 ⇒ x= 0, z. B. y6= 0, z= 0 :

E_x = kx γ²

y² γ²

⁻³₂

= kx γ²

γ³

y³ =γ k

y³x= 0 beix= 0, (12.9) E_y = ky

γ² y²

γ² −³₂

= ky γ²

γ³ y³ =γ k

y² =γ k

y⁰² =γE_y⁰ , (12.10) E_z = kz

γ² y²

γ² ⁻³₂

= kz γ²

γ³

y³ =γ k

y³z = 0 beiz = 0. (12.11)

DieE_x- und dieE_z-Komponente verschwinden. DieE_y-Komponente inS ist um den Faktor γ größer als dieE_y⁰-Komponente in S’. Wegen der Rotationssymme-trie desE~-Feldes um diex-Achse gilt in der (y, z)-Ebene:

E =q

E_y²+E_z² =γq

E_y⁰²+E_z⁰².

Das E~-Feld ist also in der (y, z)-Ebene gegenüber dem kugelsymmetrischen E~⁰-Feld gedehnt.

• v →c⇒γ → ∞, ϑ = 0 ⇒ x6= 0, y =z = 0 : Aus (12.8) resultiert fürv →c

γ→∞lim Ex = lim

γ→∞

kx γ²

x³ = lim

γ→∞

(γx)² = 0, Ey =Ez = 0.

Für v → c geht die E_x-Komponente, also die E~-Feld-Komponente längs der Bahn der Punktladung inS gegen Null.

• v →c⇒γ → ∞, ϑ = π

2 ⇒ x= 0, z. B. y6= 0, z = 0 : Aus (12.9), (12.10) und (12.11) resultiert fürv →c

γ→∞lim E_y = lim

γ→∞

ky γ²

y² γ²

−³₂

= lim

γ→∞γ k

y² =∞, E_x=E_z = 0.

Wegen der Rotationssymmetrie des E~-Feldes um die x-Achse gilt in der (y, z)-Ebene, also senkrecht zur Bahn der Punktladung für v →c

E = q

E_y²+E_z² =γ q

E_y⁰²+E_z⁰² → ∞. Wie sieht das E-Feld einer bewegten Punktladung in~ S aus ?

1. Beiv = 0, also wenn die Punktladung ruht, ist das E~-Feld kugelsymmetrisch.

2. Für den Abstand r von der Punktladung gilt:

Parallel und antiparallel zur Geschwindigkeit ~v entsprechend ϑ = 0 und ϑ =π hat die E~-Feld-Stärke ihr Minimum. Sie nimmt dann stetig zu bis sie senkrecht zu ~v entsprechend ϑ = ^π₂ und ϑ = ³₂^π ihr Maximum erreicht. Das E~-Feld erscheint längs der Bahn der Punktladung gestaucht und senkrecht dazu gedehnt bzw. vergrößert.

3. Je größer die Geschwindigkeitv, desto stärker ist dieser Effekt.

4. Ausgehend von der Punktladung nimmt die Feldstärke |E|~ entsprechend _r^~^r³ =

r²~e_r radial mit _r¹² ab. Die E~-Feld-Linien haben somit einen radialen Verlauf.

5. Das B~-Feld hat keine x-Komponente und steht wegen B~ = _c¹2(~v × E)~ stets senkrecht auf ~v bzw. senkrecht zur x-Achse und auch senkrecht auf den radialen E~-Feld-Linien. Folglich bilden die B~-Feld-Linien konzentrische Kreise um diex -Achse, wobei auch|B~|entsprechend |E|~ mit _r¹2 abnimmt.

6. Für v → c gehen die E_x-Komponente gegen Null und die E_y- und die E_z -Komponente gegen Unendlich.

13 Kovariante Darstellung der Elektrodynamik

Darstellung und Herleitungen in Anlehnung an Helmut Günther, Spezielle Relativitätstheorie – Ein neuer Einstieg in Einsteins Welt, 1. Aufl., Teubner-Verlag, Wiesbaden, 2007, Seite 154 bis Seite 200.

Die kovariante Darstellung der Elektrodynamik erfolgt im Rahmen der SRT.

Kovariant bedeutet in diesem Zusammenhang, dass Tensorgleichungen wie z. B.

V^α =A^α_βW^β unter Transformationen, d. h. beim Wechsel des Koordinatensystems, forminvariant sind. Symmetrien wie z. B. die Isotropie des Raumes und das Relati-vitätsprinzip sind wesentliche Bedingungen für diese Forminvarianz:

- DieIsotropie des Raumesführt zur Forminvarianz bei Drehungen, d. h., Ten-sorgleichungen sind kovariant unter orthogonalen Transformationen.

- Das Relativitätsprinzip führt zur Forminvarianz beim Wechsel des Inertial-systems, d. h., Lorentz-Tensorgleichungen sind kovariant unter Lorentz-Trans-formation.

Tensoren in Tensorgleichungen, die beispielsweise physikalische Gesetze formu-lieren, besitzen zwar in verschiedenen Inertialsystemen (Bezugssystemen) ver-schiedene Komponenten, ihre Form ändert sich jedoch nicht bei einem Wechsel des Bezugssystems.

- DieMaxwell-Gleichungengelten ohne Korrektur in jedem Inertialsystem und sind demzufolge per se kovariant. Sie bilden die Grundlage der Elektrodynamik.

Vierervektoren sind Tensoren 1. Stufe, die sich wie Tensoren in „Matrixschreibwei-se“ (Spalten- und Zeilenvektoren) oder in „Indexschreibwei„Matrixschreibwei-se“ darstellen lassen. Im Grunde genommen bräuchte man zur Beherrschung der SRT den Tensorkalkül nicht, denn die SRT „lebt“ im Minkowski-Raum, einem 4-dimensionalen pseudoeuklidischen Raum, dargestellt durch das pseudoorthogonale Raumzeit-Koordinatensystem. Doch lassen sich durch den Tensorkalkül viele Sachverhalte der SRT und insbesondere der Elektrodynamik viel kompakter und übersichtlicher darstellen.

Im Folgenden verwenden wir für den Vierervektorkalkül die Notation von H. Günther, d. h., dass wir mit nur wenigen notwendigen Ausnahmen für die Matrixdarstellung von Tensoren ebenfalls die Schreibweise für ihre Komponenten-darstellung verwenden. Wir schreiben also beispielsweise für die MatrixKomponenten-darstellung des Tensors Fik nicht wie üblich Fik

sondern Fik. Abweichend verwenden wir den Lorentz-Faktor in der Form

γ_u = 1 q

1− ^u_c2²

und γ_v = 1 q

1− ^v_c²2

. (13.1)

• Die Raumzeit-Punkte (Ereignisse) einer Weltlinie werden durch die Vierervektoren kontravariant : xⁱ(t) :=

x⁰, x¹(t)x²(t)x³(t)

ct, x(t), y(t), z(t) , kovariant : x_i(t) :=

x₀, x₁(t)x₂(t)x₃(t)

ct, −x(t),−y(t),−z(t) in Parameter-Darstellung beschrieben. Der Parameter ist hier die Zeit t.

• Die Vierervektoren der Geschwindigkeit sind kontravariant : uⁱ := dxⁱ

dτ = γ_u dxⁱ

dt = γ_uc, γ_uu_x, γ_ux_y, γ_uu_z , kovariant : u_i := dx_i

dτ = γ_u dx_i

dt = γ_uc, −γ_uu_x, −γ_ux_y, −γ_uu_z . Die Vierergeschwindigkeit ist zeitartig.

• Das Differential der Eigenzeitτ ist dτ := ds

c = 1 c

√

c²dt²−u²dt² = r

1− u²

c² dt = 1 γ_u dt mit der momentanen Geschwindigkeit ~u = ux, uy, uz

⇒ ~u² = |~u|² = u² eines Teilchens, eines Körpers oder einer Punktmasse und mit dem Weltlinienelementds.

• Die Eigenzeit

τE =

τE

dτ =

1− u²(t) c² dt

ist eine Invariante und somit lorentz-invariant, also in allen Inertialsystemen gleich.

• Das Skalarprodukt von Vierervektoren wie beispielsweise ds² := η_ikdxⁱdx^k = dx_kdx^k istlorentz-invariant.

• Wichtig!

Die Norm |uⁱ| der Vierergeschwindigkeit ist in allen Bezugssystemen und für alle Geschwindigkeiten~u dieselbe Invariante, nämlich

|uⁱ|² = η_ikuⁱu^k = uⁱu_i = u⁰2

− u¹2

− u²2

− u³2

= c² 1−^u_c2²

− u_x2

1− ^u_c2²

− u_y2

1− ^u_c2²

− u_z2

1−^u_c2²

= c²−u² c²−u²

c²

= c² ⇒

|uⁱ| = c .

• Dieelektrische Ladungqist eine Erhaltungsgröße und somitlorentz-invariant.

• Die Ruheladungsdichte %₀ ist die Dichte der elektrischen Ladung in ihrem Ru-hesystem.

%₀ = ∆q

∆V₀ bzw. kurz %₀ = q

V₀ . (13.2)

Die Ruheladungsdichte ist folglich unabhängig vom Bezugssystem, also lorentz-invariant

• Die bewegte Ladungsdichte % ist die Dichte der elektrischen Ladung in dem System, in welchem sich die Ladung z. B. mit der Geschwindigkeit~u bewegt.

%= q V = q

V₀V₀ 1

V =%₀V₀γ_u

V₀ =%₀·γ_u ⇒ % > %₀ . (13.3) Wegen der Lorentz-Kontraktion des bewegten Volumens V in Bewegungsrichtung wurde V = _γ¹

u ·V₀ verwendet.

• j_k ist der kovariante Vierervektor der Stromdichte, kurz die kovariante Vierer-stromdichte, die man mit dem kontravarianten Vierervektor der Geschwindigkeit u_k in Analogie zur klassischen Stromdichte~j =%·~u wie folgt erhält:

j_k=%₀u_k =%₀ dx_k

dτ = %₀γ_u d

dt(ct, −x,−y, −z)

= %₀γ_u·(c, −u_x, −u_y, −u_z), (13.4) j_k =%·(c, −u_x, −u_y, −u_z) . (13.5) Die kontravariante Viererstromdichte ist folglich

j^k=%·(c, ux, uy, uz) . (13.6)

• Ausgehend vomPotentialansatz

B~ = rotA~ =

und mit dem Ansatz für dasViererpotential A~ = (A_x, A_y, A_z) ⇒

konstruieren wir den elektromagnetischen Feldstärketensor, kurz

Unter Berücksichtigung des Potentialansatzes (13.7) und (13.8) und mit (13.10) lässt sich zunächst der kovariante Feldstärketensor durch Ausrechnen seiner 16 Komponenten entwickeln. Dabei erhalten wir beispielsweise die Komponenten

F₀₁= ∂ So resultieren schließlich derkovariante FeldstärketensorF_ik und durch Herauf-ziehen der Indizes von F_ik gemäß der

Matrizenmultiplikation η^ir

· F_rs

· η^sk

= F^ik

auch derkontravariante Feldstärketensor F^ik jeweils in Matrixdarstellung:

F_ik =

• Von besonderem Interesse ist das Verhalten des Feldstärketensors unter Lorentz-Transformation, weil man dabei das Transformationsverhalten der Komponenten desE~- undB~-Feldes ablesen kann. Betrachten wir beispielsweise die Transformation vonF_ik inS nachF_i⁰_k⁰ im InertialsystemS⁰, wobei sichS⁰ mit der Geschwindigkeit

Hierbei wird die inverse Lorentz-Transformationsmatrix ∂xⁱ/∂xⁱ⁰ :=L⁻¹ = (L⁻¹)^T benutzt,¹ sodass die Transformation von F_ik in Matrixschreibweise gemäß

1Warum hier die inverse Lorentz-TransformationL⁻¹ benutzt wird, erkennen wir an der folgenden Analogie:

F_i⁰_k⁰ = (L⁻¹)^TF_ikL⁻¹ erfolgt: Daraus resultiert der gestrichene (zweifach) kontravariante Feldstärketensor wie folgt:

• Klassisch erhält man dieLorentz-Kraft F~ aus der Kraftdichtef~wie folgt:

f~ = % ~E+ ~j ×B~ =%(E~ +~u×B)~ (13.20)

R···dV

−−−→ F~ = q ~E+q~u×B~ =q(E~ +~u×B)~ . (13.21)

• MitF^ik erhalten wir fⁱ, denVierervektor zur Lorentz-Kraftdichte, wie folgt:

fⁱ = F^ikj_k=%₀F^iku_k =%₀

• Fⁱ ist derViererkraftvektoroder Minkowski’sche Kraftvektor und in diesem Fall der zur Lorentz-Kraft gehörende Vierervektor. Wir erhalten hier deshalbFⁱ durch Integration von fⁱ über das Volumen der betrachteten Ruheladungsdichte gemäß

%₀ −−−−→

= 0. Die Komponenten des Vierer-Kraftvektors sind also

• Fⁱ sei der Viererkraftvektor in S und F~ = F_x, F_y, F_z

der zugehörige dreidimen-sionale Kraftvektor.

Wir untersuchen jetzt das Verhalten von Fⁱ und von F~ unter Lorentz-Transforma-tion, also beim Übergang von S nach S⁰, an einem einfachen Beispiel (vgl. Helmut Günther, Spezielle Relativitätstheorie – Ein neuer Einstieg in Einsteins Welt, 1. Aufl.

2007, Seite 161) :

Eine Ladungq bewege sich in S unter Einwirkung der Lorentz-Kraft F~ = (F, 0, 0) mit der Geschwindigkeit ~u = (u, 0, 0), also längs der x-Achse. Der zugehörige Viererkraftvektor ist folglich

Fⁱ = F⁰, F¹, F², F³

=γ_u

c uF , γ_uF , 0, 0

. (13.29)

Mit Hilfe der Lorentz-Transformation L:=Lⁱ_i⁰ berechnen wir den zugehörigen Vie-rerkraftvektor Fⁱ⁰ im Inertialsystem S⁰, das sich mit der Geschwindigkeit v längs der x-Achse von S bewegen soll:

Fⁱ⁰ = Durch Anwendung des Einstein’schen Additionstheorems

u⁰ = u−v

2Verifizierung von _γ ¹

u·γv = _γ¹

lassen sich in (13.31)v eliminieren und u durch u⁰ ersetzen. Es resultiert F⁰⁰ = γ_uγ_v

c F (u−v) = γ_u⁰·F ·u⁰ 1− ^{u v}_c2

1− ^{u v}_c2

·c = γ_u⁰

c u⁰F , (13.34)

F¹⁰ = γ_uγ_vF

1− u v c²

=γ_uγ_vF γ_u⁰

γ_uγ_v =γ_u⁰F , (13.35) sodass

Fⁱ⁰ = F⁰⁰, F¹⁰, F²⁰, F³⁰

=γ_u⁰

c u⁰F , γ_u⁰F , 0, 0

. (13.36)

Wir stellen fest:

Obwohl sich die Komponenten des Viererkraftvektors durch die Lorentz-Transfor-mation geändert haben, besitzt der Viererkraftvektor Fⁱ⁰ in S⁰ gemäß dem Relativitätsprinzipdie gleiche Form wie der Viererkraftvektor Fⁱ in S.

Der zugehörige dreidimensionale KraftvektorF~⁰ = (F,0, 0)inS⁰ ist der gleiche wie inS gemäß

F~⁰ = (F,0, 0) =F ,~

sodass in S⁰ die gleiche Kraft |F~⁰| = |F~| gemessen wird wie in S. Im mitbe-wegten Inertialsystem bzw. momentanen Ruhesystem zu einem Teilchen oder einer Punktladung wirkt der gewöhnliche Kraftvektor F~, wobei Fⁱ der zugehörige Viererkraftvektor ist.

Der von einem Sensor, im Fall der Kraft beispielsweise von einer Federwaage, fest-gestellte Messwert muss – völlig analog zur Eigenzeit – von jedem Bezugssystem aus beobachtet gleich aussehen. F~ ist hier also eine „Eigenkraft“. Eigengrößen beziehen sich stets auf ihr Ruhesystem und sind deshalb lorentz-invariant.

• Mit dem Viererkalkül lässt sich auf einfache Weise die Symmetrie des Induktions-effektes zeigen:

Im SystemSerzeuge ein dort ruhender Magnet das FeldB~ = (B_x, B_y, B_z). Ein elek-trisches Feld existiere inS nicht, sodassE~ = (0, 0, 0).S⁰ sei das Ruhesystem eines elektrischen Leiters, der sich mit der Geschwindigkeit~u= (u_x, u_y, u_z) = (−u, 0, 0), d. h. antiparallel zurx-Achse, bewegt. In diesem Fall gilt folglich

β = ^−u_c ⇔ −β= ^u_c , (13.37)

γ−u = 1 q

1−^(−u)_c2²

= 1

q 1− ^u_c2²

=γ_u . (13.38)

Weil der Leiter in S⁰ ruht, ist bezüglich S⁰ seine Geschwindigkeit ~u⁰ = (0, 0, 0), sodass

γ_u⁰ = 1 q

1− _c⁰2

= 1 . (13.39)

Der kontravariante Vierervektor der Geschwindigkeit des Leiters ist

bezüglich S : uⁱ =γ_u(c, u_x, u_y, u_z) = γ_u(c, −u, 0,0), (13.40) bezüglich S⁰ : uⁱ⁰ =γu⁰(c, u⁰_x, u⁰_y, u⁰_z) = (c, 0, 0, 0), (13.41)

denn Der kovariante Vierervektor der Geschwindigkeit des Leiters ist

bezüglich S : u_i =γ_u(c, −u_x, −u_y, −u_z) = γ_u(c, u, 0, 0), (13.43)

Durch Vergleich der Feldstärketensoren (13.15) und (13.17) erhält man sofort die Felder, die ein mit dem Leiter mitbewegter Beobacher inS⁰ misst:

E~⁰ =

Ausgehend von (13.23) und (13.26) sowie mit ux = −u ist der Viererkraftvektor inS mit derLorentz-Kraft

F~ =q(E~ +~u×B) =~

Den Viererkraftvektor inS⁰ erhalten wir durch Lorentz-Transformation gemäß

Andererseits ist der Viererkraftvektor inS⁰ unter Verwendung von (13.18)

Fⁱ⁰ = q Fⁱ⁰^k⁰u_k⁰ =q

Ersetzen wir die Komponenten vonE~⁰ durch (13.46), resultiert wie erwartet wieder Fⁱ⁰ =

Ein Beobachter in S stellt eine Kraft fest, die infolge des Magnetfeldes B~ auf die Ladungq des mit der Geschwindigkeit~u= (−u, 0, 0)bewegten elektrischen Leiters wirkt. Es ist dies die Lorentz-Kraft

F~ =q ~u×B .~

„ Wie wir . . . gezeigt haben, kann mit der Lorentz-Kraft der in der Leiterschleife in-duzierte Strom erklärt werden. Wir haben hier also durchLorentz-Transformation des elektromagnetischen Tensors F_ik, also auf algebraischem Weg, gezeigt, daß die Strom erzeugende Kraft auf die Elektronen auch in dem Fall der Bewegung des Leiters im SystemS relativ zu dem dort ruhenden Magneten durch dasjenige elek-trische Feld entsteht, das der relativ zur Leiterschleife ruhende Beobachter feststellt.

Dadurch ist die Symmetrie in der Erklärung des experimentell von vornherein sym-metrischen Induktionseffektes hergestellt. “³

3Zitiert aus Helmut Günther, Spezielle Relativitätstheorie – Ein neuer Einstieg in Einsteins Welt, 1. Aufl., Teubner Verlag, Wiesbaden, 2007, Seite 191.

• Die kovariante Formulierung der Maxwell-Gleichungen im Vakuum aus dem Viererpotential :

Ausgehend vom Viererpotentialansatz (13.9), also vom Viererpotential Aⁱ, ist die kovariante Form der Maxwell-Gleichungen

Aⁱ =µ₀jⁱ mit Lorenz-Eichung ∂

∂xⁱ Aⁱ = 0 . (13.58) Diese kompakte Form der Maxwell-Gleichungen für das Vakuum ist äquivalent zu den Gleichungen (9.54) und (9.55). Hierbei haben wir den D’Alembert-Operator, manchmal auch Quabla-Operator oder Wellenoperator genannt, benutzt:

Im Dokument Grundlegendes zur Elektrodynamik und Quantenmechanik – Herleitungen und Erläuterungen (Seite 108-145)