Diagonalisierung von Matrizen (Operatoren)

(Nach Christian B. Lang und Norbert Pucker, Mathematische Methoden in der Phy-sik, Hochschultaschenbuch, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelbert, Berlin, 1998, Seite 418 und Seite 419.)

In diesem Abschnitt folgen wir im Wesentlichen der Argumentation von Lang und Pucker (s. Literaturhinweis). Wie wir in unseren bisherigen Betrachtungen über den Umgang mit Matrizen und Operatoren unter Berücksichtigung der Matrixdarstellung von Operatoren feststellen konnten, lassen sich die Ergebnisse für Matrizen mühe-los auf Operatoren übertragen. Deshalb gehen wir jetzt vereinfachend nur von einer Matrix A aus.

Diese Matrix A habe die spezielle Eigenschaft, dass ihre Eigenvektoren |v_ii or-thogonal aufeinander stehen und gleichzeitig auch eine zu A passende VON-Basis {|v_ii} bilden. Dies gilt stets fürhermitesche und folglich auch für symmetrische reel-le Matrizen. Selbstverständlich erfüllen diese Basisvektoren (Eigenvektoren) |v_ii die Eigenwertgleichung

A|v_ii=λ_i|v_ii. (5.35)

Wenn wir aus den orthonormierten Eigen- bzw. Basisvektoren|viieine Matrix bilden derart, dass die Basisvektoren die Spalten der Matrix darstellen, so erhalten wir die unitäre MatrixU sinngemäß durch

U := |v₁i |v₂i · · · |v_ii · · ·

, (5.36)

denn wegen der Orthonormalität der |v_ii gemäßhv_i|v_ji=δ_ij gilt

Wie man sieht, sind die Elemente der Matrix U die Entwicklungskoeffizienten (v_i)_j der Eigenvektoren |v_ii in einer anderen VON-Basis, z. B.{|a_ji}:

|v_ii=X

Wären die |a_ji selbst die Eigenvektoren zur Matrix A, hätte U die Gestalt einer Diagonalmatrix.

Jetzt multiplizieren wir U in (5.37) mit der Matrix A.¹ Entsprechend der Eigen-wertgleichung

bezüglich der Eigenvektoren (Spalten) |vii von U gilt für die Elemente der resultie-renden Matrix U^†A U, d. h. für „ Zeile k von U^† mal λ_i mal Spalte i von U“

Die Hauptdiagonalelemente der Diagonalmatrix Λ sind die Eigenwerte der Matrix A. Damit haben wir ein Verfahren zur Diagonalisierung von hermiteschen bzw. symme-trischen reellen Matrizen A (Operatoren Aˆ) gefunden:

1Die Multiplikation der MatrixU mit der Matrix A entspricht der Wirkung des Operators Aˆ auf den unitären OperatorUˆ.

1. Wir bilden die orthonormierten Eigenvektoren |v_ii zu A (zu Aˆ).

2. Diese Eigenvektoren bilden die Spalten der unitären Matrix U. Auf die Rei-henfolge der Eigenvektoren bzw. Spalten ist zu achten. Sie ist nicht beliebig, denn eine Vertauschung der Reihenfolge der Eigenvektoren |vii in U bewirkt eine entsprechende Vertauschung der Reihenfolge der Diagonalelemente λ_i inΛ. 3. Das Matrixprodukt U^†AU bewirkt dann die Diagonalisierung von A und liefert die Diagonalmatrix Λ, deren Hauptdiagonalelemente die Eigenwerte λ_i von A (von Aˆ) sind.

Beispiel:

Betrachten wir die hermitesche Matrix A=

8 −3i 3i 0

. (5.42)

Ihre Eigenwerte sind

λ₁ = 4 +√

16 + 9 = 9, (5.43)

λ₂ = 4−√

16 + 9 =−1, (5.44)

also erwartungsgemäß reell. Die (normierten) Eigenvektoren zu A sind

|v₁i_(λ1) := 1

|v₁i und |v₂i sind tatsächlich orthogonal, denn hv₁|v₂i= 1 Die Eigenvektoren sind die Spalten der unitären Matrix U, die Awie folgt diagonali-siert: Die Umkehroperation dazu ist

U Λ U^†=U U^†AU

U^†=U U^†A U U^†=1A1 =A . (5.49) Eine Änderung der Reihenfolge der Eigenvektoren|v_iiinU bewirkt eine entsprechende Änderung der Reihenfolge der Diagonalelemente λi in Λ:

|v₂i |v₁i

6 Spur einer Matrix

• Die Spur einer Matrix A ist die Summe ihrer Hauptdiagonalelemente. Für die Darstellung der Spur in der VON-Basis{|a_ii}gilt somit

Sp{A}=X

i

ha_i|A|a_ii=X

i

A_ii . (6.1)

• Die Spur einer Matrix ist unabhängig von der verwendeten VON-Basis (hier {|a_ii} und {|b_ki}) von H:

Sp{A} = X

i

hai|A|aii (6.2)

= X

i

X

k, l

ha_i|b_kihb_k|A|b_li hb_l|a_ii

| {z }

= X

i

X

k, l

z }| {

hb_l|a_iiha_i|b_kihb_k|A|b_li

= X

k, l

hb_l|

X

i

|a_iiha_i|

| {z }

=1

|b_kihb_k|A|b_li

= X

k, l

hb_l|b_ki

| {z }

δkl

hb_k|A|b_li

= X

k, l

δ_klhb_k|A|b_li Sp{A} = X

k

hb_k|A|b_ki. (6.3)

• Die zyklische Invarianz der Spur:

Zunächst zeigen wir

Sp{AB}= Sp{BA} : (6.4)

Sp{AB} = X

i

ha_i|AB|a_ii=X

i, k

ha_i|A|a_kiha_k|B|a_ii (6.5)

= X

k

X

i

ha_k|B|a_iiha_i|A|a_ki (6.6)

= X

k

ha_k|BA|a_ki= Sp{BA}. (6.7) Daraus folgt die zyklische Invarianz der Spur

Sp{A·BC} = Sp{BC·A} (6.8)

= Sp{B·CA}= Sp{CA·B} (6.9)

und für die unitäre Transformation der Spur einer Matrix A Sp

Ae = Sp

U^†AU = Sp U U^†

| {z }

=1

A = Sp{A}. (6.10)

•

Sp{AB}=X

i, j

A_ijB_ji 6= Sp{A} ·Sp{B}=X

i

A_ii·X

j

B_jj . (6.11)

• Spur des dyadischen Produkts

D=|uihv|, |uiorthogonal zu |vi ⇒ hu|vi=hv|ui= 0 : Sp{D} = X

i

hai|uihv|aii (6.12)

= X

i

hv|a_iiha_i|ui=hv| X

i

|a_iiha_i|

| {z }

=1

|ui (6.13)

Sp{D} = hv|ui= 0. (6.14)

Veranschaulichendes Beispiel:

D=



 0 1 0



 0 0 1

=





0 0 0 0 0 1 0 0 0



 ⇒ Sp{D}= 0.

7 Das quantenmechanische Messproblem

7.1 Observable, Messvorgang und Messergebnis

(Nach Wolfgang Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 5/1, Quantenmechanik – Grundlagen, 6. Aufl., Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2004, Seite 130 bis Seite 137 und Seite 180 bis Seite 183.)

Die zu messende physikalische bzw. quantenmechanische Größe bezeichnet man als Observable. Sie ist eine „quantendynamische Variable (Operator) mit direkt beob-achtbaren, reellen Messwerten.“¹ Im Folgenden werden wir die basisfreien Operatoren zur besseren Unterscheidung mit einem Dach kennzeichnen wie z. B. beim Operator Aˆ.

EineMessungimpliziert notwendigerweise die Wechselwirkung zwischen der Mess-apparatur und dem zu messenden System. Außerdem muss die MessMess-apparatur zur Messung der Observablen geeignet sein. Mathematisch gesehen entspricht der Mess-vorgang der Anwendung eines linearen hermiteschen OperatorsAˆauf einen Zustands-vektor (kurz Zustand) |Ψi des Systems. In der Quantenmechanik lassen sich diese Operatoren Aˆ als die Observablen identifizieren. Anders gesagt, die Operatoren wer-den auch als Observablen bezeichnet. Weiterhin bezeichnen wir im Folgenwer-den die Eigenwerte von Aˆ mit λ_i und die Eigenvektoren bezüglich Aˆ mit |a_ii. Letztere sol-len eine vollständige Orthonormalbasis {|aii} in dem zu Aˆ passenden Hilbert-Raum H aufspannen. Weiterhin nehmen wir vereinfachend an, |Ψi sei ein reiner System-zustand. Warum |Ψi ein reiner Zustand ist, werden wir verstehen, wenn wir im nächsten Abschnitt die gemischten Zustände kennenlernen.

Weil in der Quantenmechanik wegen der Heisenberg’schen Unschärferelation die Orte ~x und die Impulse ~p der Phasenraumpunkte ~π = (~x, ~p) nicht gleichzeitig scharf sein können, haben wir es in der Quantenmechanik mit Zustandsvektoren und Erwar-tungswerten zu tun. Zustandsvektoren sind im Allgemeinen Linearkombinationen von Eigenvektoren bezüglich einer Observablen. Bei der Messung einer Observablen an einem System, dessen Zustand durch einen Zustandsvektor beschrieben wird, resul-tiert ein (reeller) Eigenwert der Observablen. Bei der Messung hat folglich das System den zum gemessenen Eigenwert gehörenden Eigenzustand angenommen und der ur-sprüngliche Zustand des Systems ist vernichtet. Das Ergebnis der Einzelmessung ist in der Regel nicht vorhersagbar. Bestimmte Messwerte (Eigenwerte) realisieren sich bei der Messung mit einer zugehörigen bestimmten Wahrscheinlichkeit, die sich aus den Eigenfunktionen zur Observablen ergibt. Der quantenmechanische Mittelwert aus allen möglichen Messwerten unter Berücksichtigung ihrer Wahrscheinlichkeit heißt Erwartungswert.

Wir werden jetzt das mathematische Modell des quantenmechanischen Messvor-gangs am reinen Zustand |Ψi entwickeln. Der quantenmechanische Messvorgang

er-1Zitiert aus Wolfgang Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 5/1, Quantenmechanik – Grundla-gen, 6. Aufl., Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2004, Seite 137.

folgt in zwei Schritten, der Spektralzerlegung und der Zustandsreduktion von |Ψi. Spektralzerlegung des reinen Zustands |Ψi

Zu Beginn des Messvorgangs zerlegt die Messapparatur den Zustand |Ψiin alle seine Komponentenc_i|a_iiparallel zu den Eigenzuständen (Eigenvektoren)|a_iibezüglichAˆ. Die c_i = ha_i|Ψi, c_i ∈ C, sind die Entwicklungskoeffizienten von |Ψi. Mathematisch betrachtet bewirkt hierbei der Operator Aˆ diese Spektralzerlegung des Zustands |Ψi wie folgt:

A|Ψˆ i = X

i

λ_i ha_i|Ψi

| {z }

ci

|a_ii=X

i

λ_i|a_iiha_i|Ψi (7.1) A|Ψˆ i = X

i

c_i·λ_i|a_ii (7.2)

(7.1) ist eine Summe aus Vektoren, die alle parallel zu den Basisvektoren bzw. Ei-genzuständen von Aˆ verlaufen. |Ψi ist also die Linearkombination aus den Vektoren ha_i|Ψi |a_ii gemäß der Entwicklung|Ψi=P

iha_i|Ψi |a_ii. Aus dem Vergleich von linker und rechter Seite der Gleichung (7.1) entnehmen wir mit P

i|a_iiha_i|=1

Aˆ=X

i

λ_i|a_iiha_i|=















 λ₁

λ₂

0

...

λi

0

^...

















. (7.3)

Dies ist die Spektraldarstellung des linearen hermiteschen Operators Aˆoder kurz das Spektrum von Aˆ, also die Gesamtheit aller Eigenwerte λi von Aˆ dargestellt als Dia-gonalmatrix.

Zustandsreduktion

Jede Messung kann nur einen Wert ergeben. Deshalb wird der Messvorgang abge-schlossen, indem ein Zustand mit dem zugehörigen Eigenwert λ_i als Messwert aus dem Spektrum (7.2) „herausgefiltert“ wird. Mathematisch erfolgt diese Zustandsre-duktion durch den Projektionsoperator P_i =|a_iiha_i| wie folgt:

P_i|Ψi = |a_iiha_i| X

j

ha_j|Ψi

| {z }

cj

|a_ji (7.4)

= |a_iiha_i| X

j

|a_jic_j (7.5)

= X

j

|aii hai|aji

| {z }

δij

cj (7.6)

Pi|Ψi = ci|aii. (7.7)

Welcher der Zustände |a_ii bei der Zustandsreduktion herausgefiltert und welcher zu-gehörige Eigenwert λ_i dabei gemessen wird, ist nicht vorhersagbar. Allerdings lassen sich die Wahrscheinlichkeiten des Auftretens der einzelnen Zustände |aii mit den zu-gehörigen Messwerten λ_i aus den Entwicklungskoeffizienten c_i exakt berechnen. Die

Entwicklungskoeffizienten werden deshalb auch als Wahrscheinlichkeitsamplituden be-zeichnet. Jede Einzelmessung ergibt nämlich mit der bestimmten, naturgegebenen Wahrscheinlichkeit

p_i =c^∗_ic_i =|c_i|² =hΨ|a_iiha_i|Ψi (7.8) den zugehörigen Eigen- bzw. Messwert λi, sodass die Wahrscheinlichkeit, überhaupt einen Wert aus dem Eigenwertspektrum {λ_i} der Observablen Aˆ zu messen, erwar-tungsgemäß

X

i

p_i =X

i

c^∗_ic_i =X

i

|c_i|² =X

i

hΨ|a_iiha_i|Ψi= 1 (7.9) ist.Abschließend bilden wir noch den Erwartungswert der ObservablenAˆ. In der Quan-tenmechanik wird der Mittelwert über die N Messwerte einer Messreihe bezüglich einer Observablen für N → ∞ Erwartungswert genannt. Der Erwartungswert von Aˆ ist

hAiˆ = hΨ|A|Ψˆ i (7.10)

= X

i, j

hΨ|a_iiha_i|Aˆ|a_jiha_j|Ψi (7.11)

= X

i, j

c^∗_i ha_i|λ_j|a_jic_j (7.12)

= X

i, j

c^∗_i λ_jha_i|a_ji

| {z }

δij

c_j (7.13)

= X

i

c^∗_ic_i·λ_i =X

i

|c_i|²·λ_i (7.14) hAiˆ = X

i

pi·λi . (7.15)

An (7.14) erkennt man, dass das Betragsquadrat c^∗_ic_i = |c_i|² der Entwicklungskoef-fizienten c_i die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der zugehörigen Messwerte λ_i ist.Im Fallreiner Zustände|Ψiexistierenvollständige Informationen über das durch Messungen seiner Observablen zu beschreibende System. Und dennoch treten die mög-lichen Messwerteλ_i nur mit einer bestimmten,prinzipiell-quantenmechanischen, aber exakt berechenbaren Wahrscheinlichkeitauf. Dieser Sachverhalt ist Ausdruck des spezifisch-quantenmechanischen Indeterminismus.

7.2 Gemischte Zustände

(Nach Wolfgang Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 6, Statistische Physik, 5.

Aufl., Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2005, Seite 103 und Seite 104.) Im Unterschied zu reinen Zuständen existieren bei den gemischten Zuständen |Φi nur unvollständige Informationen über das durch die Messung seiner Observablen Aˆ zu beschreibende System. Unter dieser Bedingung befinde sich das System jeweils mit der Wahrscheinlichkeitw_n in einem der reinen Zustände |Ψ_ni, n= 1,2, 3, . . . . Diese

angenommenen reinen Zustände|Ψ_niseien orthonormiert, abernicht notwendigerwei-se die Eigenzustände zur Obnotwendigerwei-servablen Aˆ. Die Eigenzustände bezüglich Aˆ bilden die VON-Basis {|a_ii}.

Die Wahrscheinlichkeitenw_nsind hier, z. B. durch äußere Einflüsse bzw. Messfehler bedingt, rein klassisch-statistischer und nicht grundsätzlicher (prinzipieller) Natur.

Sie resultieren also aus der Unvollständigkeit der Information und wären prinzipiell vermeidbar – im Gegensatz zu den prinzipiell-quantenmechanischen Wahrscheinlich-keiten infolge des spezifisch-quantenmechanischen Indeterminismus.

Ein gemischter, normierter Zustand|Φiwerde also repräsentiert von der Gesamtheit der reinen Zustände|Ψ_nijeweils mit ihrer statistischen Wahrscheinlichkeitw_n, sodass für den Erwartungswert von Aˆ gilt:

hAiˆ =hΦ|A|Φiˆ = X

n

w_nhΨ_n|A|Ψˆ _ni (7.16)

= X

n

w_n X

i, j

hΨ_n|a_ii

| {z }

c^∗_in

ha_i|Aˆ|a_ji ha_j|Ψ_ni

| {z }

cjn

(7.17)

= X

n

w_n X

i, j

c^∗_inc_jnha_i|Aˆ|a_ji (7.18) mit ha_i|A|aˆ _ji=ha_i|A|aˆ _jiδ_ij =λ_jha_i|a_ji=λ_jδ_ij

⇒ ha_i|A|aˆ _ii=λ_i

= X

n

wn

X

i

|cin|²λi (7.19)

= X

i

λ_i·X

n

w_n· |c_in|² (7.20)

= X

i

λ_i·X

n

w_n·p_in

| {z }

Wi

(7.21)

hAiˆ = X

i

W_i·λ_i (7.22)

oder hAiˆ = X

i

W_i ha_i|A|aˆ _ii. (7.23)

Die Wahrscheinlichkeit

W_i =X

n

w_n·p_in, (7.24)

mit der die Messwerte λ_i des gemischten Zustands |Φi auftreten (bei Messung am gemischten Zustand), setzt sich also aus zwei verschiedenen Wahrscheinlichkeiten zu-sammen. Darin ist

p_in=|c_in|² =

ha_i|Ψ_ni

2 (7.25)

die prinzipiell-quantenmechanische Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Messwer-tes λ_i bezüglich der reinen Zustände |Ψ_ni (bei Messung am reinen Zustand) und die

w_n sind die klassisch-statistischen Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten der reinen Zustände |Ψ_ni.

Entsprechend beinhaltet der Erwartungswert hAiˆ der Observablen Aˆ in einem ge-mischten Zustand zwei verschiedene Mittelungen.

Die erste Mittelung ist die rein-quantenmechanische Mittelung:

• Sie ist prinzipieller Natur.

• Sie erfolgt direkt auf der Grundlage reiner Zustände bzw. der quantenmechani-schen Wahrscheinlichkeitsamplituden (Entwicklungskoeffizienten)

c_in∈C. ⇒

• Die daraus resultierenden Zustände können miteinander interferieren.

Die zweite Mittelung ist die klassische Mittelung:

• Sie ist praktischer Natur. Die diesbezüglichen Abweichungen vom Mittelwert wären im Prinzip durch den Ausschluss von Messfehlern vermeidbar.

• Sie „greift dagegen direkt Erwartungswerte und nicht Zustände an“², erfolgt also auf der Grundlage der klassisch-statistischen Wahrscheinlichkeiten

w_n∈R. ⇒

• Die Folge davon ist, „dass die verschiedenen reinen Zustände|Ψ_mides Gemisches nicht miteinander interferieren. Der gemischte Zustand resultiert also aus einer inkohärenten Superposition von reinen Zuständen.“²

7.3 Der statistische Operator (Dichtematrix)

(Nach Wolfgang Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 5/1, Quantenmechanik – Grundlagen, 6. Aufl., Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2004, Seite 189 bis Seite 194 und nach Wolfgang Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 6, Statisti-sche Physik, 5. Aufl., Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2005, Seite 104 bis Seite 106.)

Von besonderer Bedeutung für die Bestimmung der Erwartungswerte und für die Quantenstatistik ist der statistische Operator

ˆ

%=X

n

w_n|Ψ_nihΨ_n| , (7.26)

der auch kurz Dichtematrix genannt wird. Die Zustände|Ψ_niseien die gleichen wie im Abschnitt 7.2 , also reine, orthonormierte Zustandsvektoren gemäß hΨ_m|Ψ_ni = δ_mn, aber nicht notwendigerweise Eigenzustände zum Operator Aˆ. Wir leiten %ˆaus dem quantenmechanischen Erwartungswert der Observablen bzw. des Operators Aˆ in ei-nem gemischten Zustand |Φi her, d. h. für ein statistisches Ensemble. Der gemischte Zustand |Φi wird repräsentiert durch die reinen Zuständen |Ψni, die jeweils mit ih-rer klassisch-statistischen Wahrscheinlichkeit w_n auftreten. Die reinen Zustände |Ψ_ni können entwickelt werden nach den Eigenzuständen |a_iizum Operator Aˆ. Bezüglich

2Zitiert aus Wolfgang Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 5/1, Quantenmechanik – Grundla-gen, 6. Aufl., Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2004, Seite 191.

der reinen Zustände |Ψ_ni treten die zu den Eigenzuständen |a_ii gehörenden Mess-bzw. Eigenwerte λ_i mit der prinzipiellen, quantenmechanischen Wahrscheinlichkeit p_in =|c_in|² auf.

Bei der Bestimmung des Erwartungswerts vonAˆim gemischten Zustand ermöglicht der statistische Operator %ˆdie Zusammenfassung der quantenmechanischen mit der klassischen Mittelungsprozedur und liefert so den ErwartungswerthAiˆ aus den Eigen-wertenλ_i, die dann jeweils mit der kombinierten WahrscheinlichkeitW_i =P

nw_n·p_in auftreten:

hAiˆ = X

n

w_n

| {z }

klass. Mittel.

hΨ_n

1↓

|Aˆ

1↓

|Ψ_ni

| {z }

qm. Mittel.

(7.27)

= X

n

w_nX

i, j

hΨ_n|a_ii

| {z }

Zahl

ha_i|A|aˆ _ji

| {z }

Zahl

ha_j|Ψ_ni

| {z }

Zahl

(7.28) Zahlen sind beliebig vertauschbar ⇒

= X

n

w_n X

i, j

ha_j|Ψ_nihΨ_n|a_iiha_i|A|aˆ _ji (7.29)

= X

i, j

ha_j|X

n

w_n|Ψ_nihΨ_n|

| {z }

ˆ

%

a_iiha_i|A|aˆ _ji (7.30)

= X

i, j

haj|ˆ%|aii hai|A|aˆ ji=X

i, j

hai|A|aˆ ji haj|ˆ%|aii (7.31) hAiˆ = X

j

ha_j|ˆ%A|aˆ _ji=X

i

ha_i|Aˆ%|aˆ _ii (7.32)

hAiˆ =Sp ˆ

%Aˆ =SpAˆ%ˆ . (7.33)

Eigenschaften des statistischen Operators

1. %ˆist hermitesch, weil der Projektionsoperator |Ψ_nihΨ_n| hermitesch ist und die Wahrscheinlichkeiten w_n reell sind:

ˆ

%= ˆ%^†. (7.34)

2. Mit Aˆ=1 folgt Sp

ˆ

%Aˆ =Sp ˆ

%1 =X

n

wnhΨn|Ψni=X

n

wn = 1, (7.35) Sp

ˆ

% = 1 . (7.36)

3. %ˆbzw. der Erwartungswert von%ˆsind nicht-negativ:

hΦ|%|Φiˆ =hΦ|X

n

w_n|Ψ_nihΨ_n|Φi=X

n

w_nhΦ|Ψ_nihΨ_n|Φi (7.37)

= X

n

w_n|hΨ_n|Φi|² ≥0. (7.38)

4. %ˆ² (Operatorquadrat) in gemischten Zuständen bzw. in gemischter Gesamtheit:

ˆ

% = X

n

w_n|Ψ_nihΨ_n|, (7.39)

ˆ

%² = X

m, n

w_mw_n|Ψ_mihΨ_m|Ψ_ni

| {z }

δmn

hΨ_n| (7.40)

ˆ

%² = X

n

w²_n|Ψ_nihΨ_n| (7.41)

⇒ Sp ˆ

%² = X

n

w²_n<X

n

wn= 1 , (7.42)

0<Sp ˆ

%² <1 . (7.43)

5. %ˆ² (Operatorquadrat) in reinen Zuständen bzw. in reiner Gesamtheit:

Der reine Zustand |Ψi einer reinen Gesamtheit besitzt die klassisch-statistische Wahrscheinlichkeit w_n=w= 1, sodass

ˆ

% =|ΨihΨ|, (7.44)

ˆ

%² =|Ψi hΨ|Ψi

| {z }

= 1

hΨ|= ˆ% (7.45)

⇒ Sp ˆ

%² = X

n

w_n² =w² = 1 , (7.46) Sp

ˆ

%² = 1 . (7.47)

6. Die zeitliche Entwicklung von %ˆ mit dem Hamilton-Operator Hˆ = ˆH^†, der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung

i~d|Ψi

dt =i~|Ψ˙i= ˆH|Ψi und ihrer Adjungierten

−i~ dhΨ|

dt =−i~hΨ˙|=hΨ|Hˆ :

i~%(t) =˙ˆ i~ d dt

X

n

w_n|Ψ_nihΨ_n| (7.48)

= X

n

w_n

durch Produktregel

z }| {

i~|Ψ˙_nihΨ_n|+i~|Ψ_nihΨ˙_n|

(7.49)

= X

n

w_n

Hˆ|Ψ_nihΨ_n| − |Ψ_nihΨ_n|Hˆ

(7.50) i~%(t) = ˆ˙ˆ H%(t)ˆ −%(t) ˆˆ H (Kommutator). (7.51) (7.51) ist die Von-Neumann-Gleichung

˙ˆ

%(t) = − i

~

hH,ˆ %(t)ˆ i

− . (7.52)

Die Von-Neumann-Gleichung ist das quantenmechanische Analogon zur Liouville-Gleichung der klassischen statistischen Mechanik.

8 Randbedingungen

Bereits an dieser Stelle wollen wir einige Überlegungen zu den Randbedingungen bei der Lösung von Wellengleichungen anstellen. Wir werden im Folgenden auf sie zurückgreifen.

Vereinfachend verwenden wir dabei statt des Impulses p die Wellenzahl k = ¹

~p. Die Ersetzung von p durch k hat ihren Ursprung in der de Broglie-Gleichung

p= h

λ =~k (8.1)

und führt auf

dp=~dk ←→ dk = 1

~dp , (8.2)

1 2π

Z

dk . . . ←→ 1 2π

Z 1

~dp . . . = 1 2π~

Z

dp . . . . (8.3) Es gibt im Wesentlichen zwei Möglichkeiten zur Festlegung der Randbedingungen.

• Das betrachtete System, z. B. ein quaderförmiger Potentialtopf oder ein Festkör-per, besitze feste Grenzen im Sinne eines Anfangs und eines Endes hinsichtlich der Wellenausbreitung.

L sei die Länge, die der Wellenausbreitung zur Verfügung steht. Für stehende Wellen mit den Wellenzahlen kn und festen Enden ergeben sich dann folgende Bedingungen:

L=n·λ_n

2 , k_n = 2π

λn

⇔ λ_n= 2π kn

, (8.4)

L=n· π

k_n ⇒ k_n= π

L ·n , n= 1, 2, 3, . . . ⇒ k_n+1−k_n = π

L . (8.5)

• Das betrachtete System, z. B. auf einer Kugeloberfläche, besitze zwar eine end-liche räumend-liche Ausdehnung, sei aber hinsichtlich der Wellenausbreitung nicht begrenzt, sodass der räumliche Anfang und das räumliche Ende des „Wellenum-laufs“ ineinander übergehen.

Es wird deshalb die periodische Randbedingung für die Lösungen Ψ der Wellen-gleichungen (z. B. der Schrödinger-Gleichung) festgelegt gemäß:

Ψ(x) = Ψ(x+L) ⇒ z. B. e^ikx =e^ik(x+L) =e^i(kx+kL) . (8.6) Diese Bedingung ist nur erfüllt für

kL=n·2π =k_nL , n = 0, ±1,±2, ±3, . . . . (8.7) Im Unterschied zu (8.5) folgt daraus

L=n·2π

k_n ⇒ kn= 2π

L ·n ⇒ kn+1−kn= 2π

L . (8.8)

9 Dirac-Formalismus

(Nach Wolfgang Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 5/1, Quantenmechanik – Grundlagen, 6. Aufl., Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2004, Seite 147 bis Seite 151.)

Literaturhinweis: Cornelius C. Noack, Hilbertraum–Kompendium für Physiker zum Gebrauch neben der Vorlesung, Mathematik zur Quantentheorie, Universität Bremen, Institut für Theoretische Physik, 2003.

9.1 Übergang Hilbert-Vektor – Dirac-Vektor

Um von Anfang an Klarheit zu schaffen, werde schon an dieser Stelle folgendes fest-gestellt:

• Hilbert-Vektoren sind abzählbar, also diskret, und werden auch eigentliche Zu-standsvektoren genannt.

• Hilbert-Vektoren lassen sich darstellen durch ihre Entwicklungskoeffizienten (Ska-larprodukte) in einer abzählbaren (diskreten) VON-Basis, die den Hilbert-Raum aufspannt.

• Dirac-Vektoren sind nicht abzählbar, also kontinuierlich.

• Dirac-Vektoren sind keine Elemente des Hilbert-Raums. Sie werden entwickelt nach einer kontinuierlichen Basis und werden deshalb auch uneigentliche Zu-standsvektoren genannt.

• Dirac-Vektoren sind aufδ-Funktionen normiert.

• Die Menge der eigentlichen Zustandsvektoren (Hilbert-Vektoren) und die Menge der uneigentlichen Zustandsvektoren (Dirac-Vektoren) bilden gemeinsam den erweiterten Hilbert-Raum.

Wir werden uns in diesem Abschnitt den Übergang von den (diskreten) Hilbert-Vektoren zu den (kontinuierlichen) Dirac-Vetoren erarbeiten. Dabei gehen wir von der Entwicklung des Hilbert-Vektors |Ψinach der VON-Basis {|v_ii} aus:

|Ψi=X

i

|v_iihv_i|Ψi=X

i

c_i· |v_ii=X

i

Ψ_i· |v_ii, c_i =Ψ_i =hv_i|Ψi. (9.1) Wie wir bereits festgestellt hatten, sind die Entwicklungskoeffizienten (Skalarprodukte bzw. skalaren Vektorkomponenten) Ψi die Wahrscheinlichkeitsamplituden und deren Betragsquadrat |Ψ_i|² die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten des Hilbert-Vektors

|Ψi bezüglich der Basisvektoren |v_ii mit P

i|Ψ_i|² = 1. Wenn wir die Wahrscheinlich-keitsamplituden Ψi bzw. deren Betragsquadrate|Ψi|² über den zugehörigen Basisvek-toren z. B. in Form eines Histogramms auftragen, erhalten wir die diskrete Darstellung

Abb. 9.1 Die Betragsquadrate |Ψ_i|² der Projektionen Ψ_i = c_i des Zustandes |Ψi auf die Basisvektoren |v_ii := i ∈ N sind in Form eines Histogramms über deniaufgetragen. Ein Histogramm ist eine diskrete „Differentialdarstellung“ und repräsentiert die Verteilungsdichte. Es ist also die Darstellung der Differenzenquo-tienten ^∆N_∆xⁱ

i über den xi bzw. die Aufteilung von Nges auf die

∆x_i gemäß P

i

∆Ni

∆x_i ·∆xi =P

i∆Ni=Nges. Hierzu analog mit

|Ψi

2 =P

i|Ψ_i|² = 1 und∆i= 1 ist P

i

|Ψ_i|²

∆i ·∆i=P

i

|Ψ_i|²

1 ·1 =P

i|Ψ_i|²= 1.

ihrer Verteilungsdichte in Abhängigkeit von den Basisvektoren (s. Abb. 9.1). Anders gesagt, die diskrete Darstellung der Verteilungsdichte der Wahrscheinlichkeitsamplitu-den Ψ_i, d. h. die Aufteilung des Zustands|Ψiauf die diskrete Basis{|v_ii}bzw. {|ii}, entspricht der diskreten Darstellung der Verteilungsdichte der Wahrscheinlichkeiten

|Ψ_i|² im Histogramm.

Was passiert, wenn wir die Basis {|ii} entsprechend i = 1, 2,3, . . . immer mehr verfeinern (s. Abb. 9.2) und die Intervalle ∆i= (i+ 1)−i= 1 schließlich gegen Null gehen lassen?¹ Für den Laufindex schreiben wir dann wegen der Verfeinerung nicht mehr i sondern x und an Stelle der Basisvektoren |v_ii schreiben wir |v_x,∆xi, sodass zusammenfassend gilt

i= 1, 2, 3, . . . mit∆i= 1 ⇒ |v_ii −→ (9.2)

x∈Rmit0<∆x <1 ⇒ |v_x,∆xi . (9.3) Für die Entwicklungskoeffizienten bzw. skalaren Vektorkomponenten des Zustands-vektors |Ψi erhalten wir damit

c_i =Ψ_i =hv_i|Ψi −→ (9.4)

c_x,∆x=Ψ_x,∆x =hv_x,∆x|Ψi . (9.5) Analog zu einem Differenzenquotienten ^∆y(x)_∆x konstruieren wir uns jetzt den Differen-zenquotienten aus der skalaren Vektorkomponente (9.5), nämlich

hv_x,∆x|Ψi

√∆x . (9.6)

1Im Fall diskreter Basisvektoren gilt auch bei einer Verfeinerung stets∆i= (i+ 1)−i= 1. Gegen Null gehen können die Intervalle selbstverständlich nur im Fall kontinuierlicher „Basisvektoren“ z. B.

auf der x-Achse. Diese kontinuierlichen „Basisvektoren“ zu konstruieren ist aber gerade das Ziel unserer Überlegungen.

Hierbei ist der Zähler hv_x,∆x|Ψi eine bestimmte skalare Vektorkomponente Ψ_x,∆x von

|Ψibzw. die „Änderung von|Ψipro Basisvektor|v_x,∆xi“. Der Nenner√

∆xentspricht dem Intervall ∆x, welches ein Basisvektor auf der x-Achse einnimmt. Sinngemäß Abb. 9.2 Veranschaulichung des Übergangs von der diskreten Darstellung der Verteilungsdichte wie in Abb. 9.1 zur kontinuierli-chen Verteilungsdichte gemäß

∆xlimi→0

mit der Analogie

∆x→0lim

und den Differentialquotienten lim

∆x→0

|Ψ_xi,∆x|²

∆x =|Ψ(x_i)|². resultiert also die Änderung von|Ψipro Wurzel aus der Änderung vonx. Aus Gründen der Normierung verwenden wir hier im Nenner √

∆x und nicht ∆x, was später noch deutlich werden wird.

Aus diesem Differenzenquotienten bilden wir den Differentialquotienten für∆x ge-gen Null:

Hierbei konnten wir|Ψiaus dem Quotienten herausziehen, weil|Ψibasisfrei und unab-hängig von xist. Der Differentialquotient (9.7) ist eine Verteilungsfunktion, abhängig von x, die wir wie folgt notieren:

Ψ(x) =D

Der Strichindex steht hier für die erste Ableitung und

|v⁰_xi= lim

ist der formale Dirac-Vektor, welcher der ersten Ableitung der diskreten Basisvek-toren |vii nachx entspricht und eine kontinuierliche Basis repräsentiert. Die kontinu-ierliche Funktion Ψ(x)entspricht der ersten Ableitung der (diskreten) Entwicklungs-koeffizienten hv_i|Ψi nach x. Ψ(x) nennt man die Wahrscheinlichkeitsamplitude und

|Ψ(x)|², also das Betragsquadrat der Wahrscheinlichkeitsamplitude, die Wahrschein-lichkeitsdichte. Folglich erhält man durch Integration der Wahrscheinlichkeitsdichte

|Ψ(x)|² über den gesamten „x-Raum“ die Wahrscheinlichkeit

+∞

9.2 Entwicklungssatz, Orthonormalität, Vollständigkeit und Skalarprodukt in kontinuierlicher Basis

Der (diskrete) Entwicklungssatz

|Ψi=X

i

|viihvi|Ψi (9.11)

erhält mit hv_i|Ψi −→ hv_x,∆x|Ψi die Form

|Ψi=X

i

|v_x,∆xihv_x,∆x|Ψi (9.12) und für ∆x→0

|Ψi= lim

∆x→0

X

i

|v_x,∆xihv_x,∆x|Ψi. (9.13) Der formale Dirac-Vektor (9.9) liefert nach Äquivalenzumformung

|v_x⁰i=

∆x→0lim |v_x,∆xi

∆x→0lim

√

∆x ⇔ lim

∆x→0|v_x,∆xi= lim

∆x→0

√

∆x· |v_x⁰i =⇒ (9.14)

∆x→0lim |v_x,∆xihv_x,∆x| = lim

∆x→0

√

∆x· |v⁰_xihv_x⁰| ·√

∆x , (9.15)

∆x→0lim |v_x,∆xihv_x,∆x| = lim

∆x→0|v_x⁰ihv⁰_x| ·∆x . (9.16) Einsetzen von (9.16) in (9.13) ergibt die Riemann-Summe

|Ψi= lim

∆x→0

X

x

|v_x⁰ihv⁰_x|Ψi ·∆x , (9.17) die man als Integral, den Entwicklungssatz für den Hilbert-Vektor |Ψi bezüglich einer kontinuierlichen Basis, schreiben kann:

|Ψi= Z

|v_x⁰ihv_x⁰|Ψidx= Z

|v⁰_xiΨ(x) dx . (9.18)

Die Multiplikation von links mit dem bra-Vektor hv⁰_x0|liefert hv⁰_x0|Ψi=

Z

hv_x⁰0|v⁰_xi hv_x⁰|Ψidx (9.19) und zeigt für beliebige |Ψi

hv_x⁰0|Ψi= Z

δ(x−x⁰)hv_x⁰|Ψidx . (9.20)

Wie wir sehen, sind die formalen Dirac-Vektoren |v⁰_xi über die δ-Funktion

hv_x⁰⁰|v⁰_xi=δ(x−x⁰) =

(→ ∞ für x=x⁰ ,

0 sonst (9.21)

als Orthonormierungsbedingung (Orthonormalitätsbedingung) gemäß Z

hv_x⁰0|v_x⁰idx= Z

δ(x−x⁰) dx=

(1 wennx⁰ im Integrationsbereich liegt,

0 sonst (9.22)

auf 1 normiert. Die formalen Dirac-Vektoren leisten also nur an der Stellex=x⁰unter dem Integral den Beitrag 1, sonst, fürx6=x⁰, aber den Beitrag 0. Das bedeutet, dass die formalen Dirac-Vektoren nur unter dem Integral das Analogon zu den Hilbert-Basis-Vektoren darstellen. Dies erkennt man auch daran, dass die formalen Dirac-Vektoren selbst gemäß der Orthonormalitätsbedingung (9.21) an der Stellex=x⁰ die Norm p

hv_x⁰0|v_x⁰0i → ∞, also eine unendliche „Länge“ besitzen.

Die Herleitung der Vollständigkeitsrelation für eine kontinuierliche Basis beginnen wir mit dem Skalarprodukt eines orthonormierten Hilbert-Vektors |Ψimit sich selbst in der (diskreten) VON-Basis {|v_ii}:

hΨ|Ψi=X

i

hΨ|viihvi|Ψi= 1 ⇔ X

i

|viihvi|=1 (9.23) Diese Darstellung bzw. dieses Ergebnis ist nur dann möglich, wenn die Basis {|v_ii}

den zu |Ψi gehörenden Hilbert-Raum Hvollständig aufspannt. Deshalb ist (9.23) die

den zu |Ψi gehörenden Hilbert-Raum Hvollständig aufspannt. Deshalb ist (9.23) die

Im Dokument Grundlegendes zur Elektrodynamik und Quantenmechanik – Herleitungen und Erläuterungen (Seite 162-200)