Parametrisierungsansatz für Linienabsorber

Um eine schnellere Berechnung der mittels Gleichung (6.1) definierten Zielgröße I_∆λ zu ermöglichen, betrachten wir die monochromatische Strahlung I_λ^Òµ

ϖ^Ó , welche eine plan-parallele, homogene Atmosphäre in Richtung µ, dem Kosinus des Zenit- oder Polarwinkels bzgl. der Vertikalen, und in Richtung Azimutwin-kel φ, verlässt. I_λ^Òµ

ϖ^Ó entspricht hierbei I_λ der Gleichung (6.1). ϖ ist die Einfachstreualbedo, also das Verhältnis aus Volumenstreukoeffizientβund Volu-menextinktionskoeffizientε^Ô κ^cå β. Hierbei istκ^cder Kontinuum-Absorptions-koeffizient, welcher Linienabsorber unberücksichtigt lässt.κ^c soll also innerhalb

∆λ in guter Näherung konstant sein - ebenso alle anderen optischen Parameter, also auchβ. Dies setzt ein hinreichend kleines∆λvoraus.

Einem Ansatz von Minin 1988 [90] folgend, definieren wir nun eine Funktion I^Ò µ

τˆ^Ó , welche den Anteil der Strahlung beschreibt, deren Photonen Wege im Bereich optischer Dicken zwischen ˆτ und ˆτ^å d ˆτ zurückgelegt haben bevor sie die Atmosphäre in Richtung ^Ò µ

φ^Ó verlassen. ˆτist Extinktionskoeffizientε in-tegriert entlang des geometrischen Weges. In der hier betrachteten homogenen Atmosphäre ist die geometrische Länge l all der Wege, welche einem bestimmten τˆentsprechen, gleich, da lÔ l^Ò τˆ^Ó ^Ô τˆ^à ε.

Die gesamte Strahlung, welche die Atmosphäre in Richtung ^Ò µ

φ^Ó verlässt, ist dann gegeben durch:

I_λ^Ò µ

ϖ^Ó ^Ô ^ö ^∞

I^Òµ

τˆ^Ó d ˆτ

(6.2) Nun fügen wir einen Linienabsorber zu dieser Atmosphäre hinzu, welcher durch den Absorptionskoeffizientenκ_λ ^Ô k_λρcharakterisiert ist, wobei k_λ sein Absorp-tionsquerschnitt ist undρ seine Konzentration. k_λ soll hier der einzige optische Parameter sein, der innerhalb∆λeine signifikante Wellenlängenabhängigkeit be-sitzt. Die gesamte Strahlung, die nun die Atmosphäre verlässt, ist gegeben durch:

I_λ^Òµ

ϖ^Ó ^Ô ^ö ^∞

I^Òµ

τˆ^Ó exp^Ò Ù κ_λl^Ó d ˆτß

(6.3) I_∆λ, definiert über Gleichung (6.1), kann nun folgendermaßen bestimmt werden:

I_∆λ Ô ö

∞ 0

I^Ò µ

τˆ^Ó

á ö

λj^ø ∆λ^ù 2 λj ∆λ^ù 2

exp^Ò Ù κ_λl^Ó f_λ^inst

Ûλjdλ

d ˆτß

(6.4)

6.2 Parametrisierungsansatz für Linienabsorber 117

Wie bereits gesagt, wird hier angenommen, dassβundκ^cinnerhalb∆λkonstant sind. Dies gilt somit auch fürϖund ˆτ. Wir definieren nun, wie üblich, die folgende Transmissionsfunktion:

Ñ T^Òl^Óeì _∆λ:^Ôûö

λj^ø ∆λ^ù 2 λj

∆λ^ù 2

exp^Ò ^Ù κ_λl^Ó f_λ^inst

Ûλjdλ (6.5)

Diese Funktion sei durch eine Summe - bestehend aus wenigen Termen - hinrei-chend gut approximierbar (auf die Lösung dieses Problems wird noch detailliert eingegangen werden):

Ñ T^Ò l^Óeì _∆λ ^Ý ^Ñ T^Òl^ÓeìüÞ_∆λ:Ô

i^ú 1

ωiexp^Ò Ù κil^Ó

(6.6) ωiundκiseien hierbei beliebige Parameter. Da ^Ñ T^Ò0^Óeì ^Þ_∆λÔ 1 gilt, folgt:

i^ú 1

ωi^Ô 1

(6.7) Aus den Gleichungen (6.4) und (6.6) folgt (unter der Annahme, dass

Ñ T^Ò l^Óeì ^Þ_∆λÔ Ñ T^Òl^Óeì _∆λ):

I_∆λ Ô

i^ú 1

ωi^ö

∞ 0

I^Ò µ

τˆ^Ó exp^Ò Ù κil^Ó d ˆτß

(6.8) Dieser Gleichung entspricht die Beziehung

I_∆λ Ô

i^ú 1

ωi^ö

∞ 0

I^Òµ

τˆ^Ó exp^Ò Ù γiτˆ^Ó d ˆτ

(6.9) wenn

γi^Ô

κi

κ^cå β^ß (6.10)

Das Integral in Gleichung (6.9) entspricht formal der Laplace-Transformierten der Funktion I^Ò τˆ^Ó , welche eine Funktion der Variablenγi ist. Die Laplace-Trans-formierte fL^Òs^Ó einer Funktion f^Òt^Ó bzgl. der Variablen s ist definiert als

f_L^Òs^Ó Ôþýÿ f^Òt^Ó :Ô ö

∞ 0

f^Òt^Ó exp^Ò Ù s t^Ó dt

(6.11) Hierbei seien sowohl s als auch t positive, reelle Zahlen. f^Òt^Ó sei Null für t ^Ñ 0.

In der hier verwendeten Notation lautet die Laplace-Transformation IL^Òγi^Ó ^ÔÀý τˆ

i^ÿ I^Òµ φ ϖ τˆ^ÓeÒ γi^Ó :^Ô ^ö

∞ 0

I^Òµ φ ϖ τˆ^Ó exp^Ò ^Ù γiτˆ^Ó d ˆτß

(6.12)

Durch das hochgestellte Symbol (hier ˆτ) am Laplace-Operator soll diejenige Va-riable von I gekennzeichnet werden, auf die sich das Laplace-Integral bezieht.

Weiterhin weicht die Notation dahingehend von der üblicherweise in der Lite-ratur verwendeten ab, dass das Argument der Laplace-Transformierten (hier γi) explizit in runden Klammern angegeben wird. Gleichung (6.9) kann daher auch folgendermaßen geschrieben werden:

I_∆λ Ô

i^ú 1

ωi^ý τˆ i ^ÿ I^Ò µ

τˆ^ÓeÒγi^Ó ß

(6.13) Im Anhang D wird gezeigt, dass die folgende Beziehung gilt:

ÿ I^Ò µ

u^ÓeÒg^Ó :Ô ö

∞ 0

I^Òµ

u^Ó exp^Ò Ù g u^Ó du

Ô I^Òµ

τ^Ò1å g^Ó

ϖ^à ^Ò1å g^ÓÓ

(6.14) Hierbei ist I^Òµ

u^Ó eine Lösung der nicht-stationären STG für eine plan-parallele, homogene Atmosphäre, beleuchtet durch einen Lichtblitz (δ-Beleucht-ung bzgl. der Zeit) zur Zeit uÔ 0. u ist eine dimensionslose Zeit, definiert als u^Ô t^à ¯t, wobei t die physikalische Zeit ist und ¯t^Ô 1^à ^Òcε^Ó die mittlere Zeit zwi-schen zwei Wechselwirkungen der Photonen mit der Atmosphäre angibt. Genauer gesagt entspricht ¯t der Zeit, welche die Photonen benötigen, um die freie Weglän-ge ¯l zurückzuleWeglän-gen ( ¯l^Ô 1^à ε), wenn sie sich mit konstanter Geschwindigkeit c in einem homogenen Medium mit konstantem Extinktionskoeffizientenεbewegen.

τbezieht sich hier auf den vertikal integrierten Extinktionskoeffizienten und wird als Höhenkoordinate verwendet.τ darf nicht mit ˆτverwechselt werden. Wie be-reits erwähnt, bezieht sich ˆτauf einen (beliebigen) optischen Weg, und entspricht damit der normierten Zeit u, welche aufgrund des Lichtblitzes und der homoge-nen Atmosphäre ein äquivalentes Maß für die Weglänge ist: alle Photohomoge-nen, die sich noch zur Zeit u in der Atmosphäre befinden, haben sowohl dieselbe optische Weglänge ˆτ als auch dieselbe physikalische Weglänge l zurückgelegt. Aus den Gleichungen (6.12) und (6.14) kann man folgern, dass ý

τˆ i mit ý

u identifiziert werden kann, wenn (wie bereits angedeutet) ˆτmit u identifiziert wird undγi mit g.

Die Strahlung auf der rechten Seite der Gleichung (6.14) kann auch I^Òµ

τ_i^Þ

ϖ^Þ_i^Ó geschrieben werden und ist eine Lösung der entsprechenden stationärenSTG für eine konstante (Sonnen-) Beleuchtung, aber für eine Atmosphäre mit anderen optischen Parametern, definiert über

τ^Þ_i ^Ô τ^Ò1å γi^Ó ^Ô ^Ò βå κ^cå κi^Ó l (6.15) und

ϖ^Þ_i ^Ô ϖ^à ^Ò1å γi^Ó ^Ô

β βå κ^cå κi

(6.16)

6.2 Parametrisierungsansatz für Linienabsorber 119

oder äquivalent mit Extinktionskoeffizientεi^Ô βå κ^cå κiund Absorptionskoef-fizientκ^cå κi.

Gleichung (6.13) kann nun schließlich folgendermaßen geschrieben werden I_∆λ Ô

i^ú 1

ωiI^Òµ

τ^Þ_i

ϖ^Þ_i^Ó

(6.17) Die Gleichungen (6.15)-(6.17) zeigen nun, dass die Parameter κi als effektive Absorptionskoeffizienten des Linienabsorbers interpretiert werden können oder k_i Ô κi^à ρals die entsprechenden effektiven Absorptionsquerschnitte.

Wie nunmehr gezeigt, kann Gleichung (6.17) alternativ zu Gleichung (6.1) ver-wendet werden, um die mittlere Strahlung im Spektralintervall ∆λ zu bestim-men. Der Vorteil von Gleichung (6.17) ist, dass gewöhnlich M sehr viel kleiner ist als N. Der Gebrauch von Gleichung (6.1) für die Berechnung der mittleren Strahlung wird im Folgenden als (gefaltete) line-by-line (LBL ) Berechnung der Strahlung bezeichnet. In diesem Fall bezieht sich I_λ_i auf die wirklich monochro-matisch berechnete Strahlung. Der Gebrauch von Gleichung (6.17) erfordert in erster Linie die Darstellung der mittleren Transmission nach Gleichung (6.6) und zweitens die Berechung der pseudo-monochromatischen Strahlung I^Òµ

τ^Þ_i

ϖ^Þ_i^Ó , wobei die k_idie entsprechenden Pseudo-Absorptionsquerschnitte sind. Diese Me-thode bezeichnet man als k-distribution MeMe-thode und, wenn sie auf eine inhomo-gene Atmosphäre angewendet wird, als correlated-k (c-k) Methode. Letztere wird in Kapitel 8 näher erläutert werden.

Wie man den Gleichungen (6.1) und (6.17) entnehmen kann, erfordern beide Methoden, die c-k und die LBL Methode, ein monochromatisches Strahlungs-transportmodell, wie zum Beispiel das bereits vorgestellteGOMETRAN.

Kapitel 7

Die line-by-line Methode

Die line-by-line (LBL ) Methode wird meist nur für Referenzrechnungen verwen-det, da sie genau, aber extrem rechenzeitaufwendig ist. Jedes alternative Strah-lungstransportschema muss jedoch mit diesem Standard verglichen werden.

Die line-by-line Methode ist die genaueste Methode zur Berücksichtigung von Li-nienabsorbern in Strahlungtransportmodellen, welche die Lösung der monochro-matischen Strahlungstransportgleichung berechnen. Die der Messung entsprechen-de spektral gemittelte Strahlung wird dann durch Faltung entsprechen-der monochromatischen Strahlung mit der Spektrometerfunktion bestimmt, also entsprechend Gleichung (6.1). Die LBL -Methode basiert auf der Verwendung monochromatischer Ab-sorptionsquerschnitte. Die Absorptionsquerschnitte der Linienabsorber besitzen im Allgemeinen eine starke Druck- und Temperaturabhängigkeit und sind somit eine Funktion der Höhe über der Erdoberfläche. Die Absorptionsquerschnitte wer-den üblicherweise mittels spektroskopischer Linienparameter berechnet, welche Datenbanken (z.B.HITRAN ) entnommen werden können. Hierbei muss ein Li-nienprofil angenommen werden. InGOMETRAN / SCIATRAN werden für jedes Höhenniveau, jeden Linienabsorber und jede Wellenlänge die Absorptionsquer-schnitte wie nachfolgend beschrieben berechnet und verwendet.

7.1 Berechnung monochromatischer Absorptionsquer-schnitte

Der druck- und temperaturabhängige Absorptionsquerschnitt k eines Linienabsor-bers bei Wellenzahl ¯νist gegeben durch k^Òν¯^Ó ^Ô S^Ò T^Ó è f^Òν¯^Ù ν¯

ó Ó . S^ÒT^Ó ist hierbei die (Linien-) Intensität eines Übergangs (entsprechend einer Linie) bei der Tem-peratur T , f ist die Linienformfunktion und ¯ν

ist die Wellenzahl der Linienmitte, entsprechend der Energie(differenz) des betrachteten Überganges. Im Allgemei-nen tragen mehrere Übergänge zum Absorptionsquerschnitt bei der betrachteten

Linienparameter Kommentar Einheit Position: ¯ν

Linienzentrum [cm^í ¹]

Intensität: S

= 296 K; [cm^í ¹(cm²/molec.)]

mit nat. Isotopen-vorkommen gewichtet

Energie unterer Zust.: E_l [cm^í ¹]

Luftverbreit. HWHM:γ^L

= 296 K, [cm^í ¹/atm.]

(Lorentz-Breite) p

= 1013,25 hPa Temperaturkoeff. vonγ^L

: n γ^L^Ò p

T^Ó ^Ô [-]

γ^L

ó Ò p^à p

ÓdÒT

ó à T^Ó ⁿ

Tabelle 7.1: VerwendeteHITRAN 96 Linienparameter.

Wellenzahl - oder Wellenlänge - bei. In diesem Fall müssen alle Beiträge zur aktuellen Wellenlänge addiert werden.

Die Linienintensität S^ÒT^Ó bei Temperatur T kann folgendermaßen mittels der Li-nienintensität S

:= S^ÒT

ó Ó - gültig für Referenztemperatur T

- berechnet werden (HITRAN 1996 [109]):

S^ÒT^Ó Ô S

Q^v

Q^v^ÒT^Ó Q^r

Q^r^ÒT^Ó exp

E_lc₂

1 T

ó Ù

T ^ß (7.1)

c₂ ist hierbei die sogenannte zweite Strahlungskonstante hc^à k^B, wobei h das Planck'sche Wirkungsquantum ist, c die Lichtgeschwindigkeit und k^B die Boltz-mann-Konstante. Der Term für die stimulierte Emission (

1Ù exp^Ò Ù c₂ν¯^à T^{Ó^êoà}

1Ù exp^Ò Ù c₂ν¯^à T

Ó^ê) ist vernachlässigt worden. Er ist in gu-ter Näherung gleich Eins, da für SCIAMACHY -Messungen alle Wellenzahlen ν¯ größer als 4000 cm^í ¹ sind und T der Temperatur einer Luftschicht unterhalb etwa 100 km entspricht. Der Term ^Ò Q^v

ó à Q^v^Ó ^Ò Q^r

ó à Q^r^Ó enthält die Verhältnisse der Zustandssummen für Vibration (Indexν) und Rotation (Index r) bei Referenztem-peratur T

(Index ) und aktueller Temperatur T .

Die spektroskopischen Parameter, die in dieser Arbeit verwendet worden sind, wurden derHITRAN 96 Datenbank [109] entnommen, einschließlich der nume-rischen Werte der Zustandssummen. Diese werden als Polynomkoeffizienten von HITRAN 96 zur Verfügung gestellt. Die verwendeten HITRAN Linienparameter sind in Tabelle 7.1 zusammengestellt.

Als Linienprofil wurde ein Voigt-Profil angenommen (siehe Goody und Yung 1989 [43]):

f_V^Òν¯^Ù ν¯

ó Ó Ô ö ø ∞

∞

γ^L π

m 2πkT

exp^Ò ^Ù _2kT^mu²^Ó

Ò ¯ν^Ù ¯ν

ó Ù

u¯ν c ^Ó 2

å Òγ^L^Ó ²du

(7.2) Die Berechung erfolgt nach Humlicek 1982 [60]. Hierbei ist m die Molekularmas-se des betrachteten Moleküls, für welches der Absorptionsquerschnitt berechnet

7.1 Berechnung monochromatischer Absorptionsquerschnitte 123

werden soll. Die Lorentz-Breiteγ^L ist druck- und temperaturabhängig und kann ausγ^L

(dem entsprechenden Wert für die Referenztemperatur) und dem Tempera-turkoeffizienten n überγ^L^Ô γ^L

ó Ò p^à p

ÓdÒT

ó à T^Ó ⁿberechnet werden.

Neben der Luftverbreiterung muss streng genommen auch die Selbstverbreiterung (Stöße mit identischen Molekülen) mit in die Berechung eingehen. Die entspre-chenden Koeffizienten sind aber meist nicht bekannt. Der Gesamt-Verbreiterungs-koeffizient wird oft als gewichtete Summe des Luft- und des Selbstverbreiterungs-Koeffizienten angesetzt, wobei die Gewichte den jeweiligen Volumenmischungs-verhältnissen entsprechen (γ^Ges^Ô ^Ò1Ù V MR^Gas^Ó γ^{Lu f t} å V MR^Gasγ^Gas). Da in die-ser Arbeit die Gesamtverbreiterung mit der Luftverbreiterung gleich gesetzt wird, impliziert dies, dass entweder der Selbstverbreiterungsanteil (V MR^Gasγ^Gas) klein gegen die Luftverbreiterung ist (nur realistisch für sehr kleine V MR^Gas) oder dass der Selbstverbreiterungs-Koeffizient (γ^Gas) gleich dem Luftverbreiterungs-Koef-fizienten (γ^{Lu f t}) ist.

Weiterhin hängt die exakte Linienposition meist geringfügig vom Luftdruck ab.

Die entsprechenden Druckverschiebungs-Koeffizienten sind aber ebenfalls nicht immer bekannt. Eine Druckverschiebungs-Korrektur für die Linienpositionen wur-de hier nicht durchgeführt (sie würwur-de maximal etwa 0,01 cm^í ¹betragen, entspre-chend etwa 0,005 nm in Kanal 8 vonSCIAMACHY ).

Beide Effekte - Selbstverbreiterung und Druckverschiebung - müssen gegebenen-falls bei der Auswertung realer Messdaten berücksichtigt werden, ebenso wie die genauesten zur Verfügung stehenden Linienparameter. Es kann jedoch davon aus-gegangen werden, dass diese Details der Berechnung der Absorptionsquerschnitte nur unwesentlich die generellen Resultate bzgl. Genauigkeit und Geschwindigkeit beeinflussen, welche im Rahmen dieser Arbeit beim Vergleich derLBL - mit der c-k Methode ermittelt werden.

Das Voigt-Profil f_V kann interpretiert werden als Faltung eines Lorentz-Profils (Druckverbreiterung) mit einem Doppler-Profil (Verbreiterung aufgrund des Dop-pler-Effektes). Die Halbwertsbreite (genauer die HWHM = half width at half ma-ximum) eines Lorentz-Profils in Wellenzahlen ist in etwa gegeben durch 0,1æ p^à p

cm^í ¹. p^à p

ist der auf den Bodendruck normierte aktuelle Druck entsprechend einer bestimmten Höhe über dem Erdboden. Am Boden ist die Lorentz-Breite, unabhängig von der spektralen Position, etwa 0,1 cm^í ¹. In Wellenlängeneinhei-ten (λ in Nanometern) lautet diese Abschätzung λ²è 10^í ⁸ nm. Bei 500 nm ent-spricht 0,1 cm^í ¹ genau 0,0025 nm (Lorentz-Breite in Nanometern am Boden).

Die Lorentz-Breite hängt linear vom Luftdruck ab. Sie nimmt also in etwa expo-nentiell mit der Höhe über dem Erdboden ab. Mit zunehmender Höhe wird die Doppler-Verbreiterung dominant. Die Doppler-Halbwertsbreite in Wellenzahlen ist etwa ¯νè 10^í ⁶cm^í ¹(¯ν in cm^í ¹) entsprechendλè 10^í ⁶nm (λin Nanometern).

Die Doppler-Verbreiterung ist also in guter Näherung unabhängig von der Höhe, aber dafür abhängig von der spektralen Position (siehe Tabelle 7.2). Die Höhe,

Wellenlängeλ[nm] 250 500 1.000 2.000 Wellenzahl ¯ν[cm^í ¹] 40.000 20.000 10.000 5.000

∆ν¯^à ∆λ 160 40 10 2,5

= 10⁷λ^í ²

Lorentz-Breite [nm] 0,0006 0,0025 0,01 0,04 Lorentz-Breite [cm^í ¹] 0,1 0,1 0,1 0,1 Doppler-Breite [nm] 0,00025 0,0005 0,001 0,002 Doppler-Breite [cm^í ¹] 0,04 0,02 0,01 0,005

Tabelle 7.2: Typische Lorentz- (am Erdboden) und Dopplerbreiten, wie sie sich aus den im Text angegebenen (Näherung-) Formeln ergeben.

bei der Lorentz-Verbreiterung und Doppler-Verbreiterung annähernd gleich stark sind, ist 10 km bei 250 nm, 12 km bei 500 nm und etwa 20 km bei 2000 nm.

Zur Veranschaulichung zeigt Abbildung 7.1 monochromatische H₂O Absorpti-onsquerschnitte in zwei Spektralbereichen für verschiedene Drücke und Tempe-raturen, entsprechend verschiedenen Höhenschichten.

7.1 Berechnung monochromatischer Absorptionsquerschnitte 125

720.0 720.5 721.0

10-27 10-26 10-25 10-24 10-23 10-22

Abs.[cm

2 /Mol.]

720.0 720.5 721.0

10-25 10-24 10-23 10-22

Abs.[cm

2 /Mol.]

720.0 720.5 721.0

10-24 10-23 10-22

Abs.[cm

2 /Mol.]

720.0 720.5 721.0

10-24 10-23 10-22

Abs.[cm

2 /Mol.]

720.0 720.5 721.0

Wellenlaenge [nm]

10-24 10-23 10-22

Abs.[cm

2 /Mol.]

2352.0 2352.5 2353.0

10-26 10-25 10-24 10-23 10-22 10-21

1 hPa

2352.0 2352.5 2353.0

10-25 10-24 10-23

10-22 62 hPa

2352.0 2352.5 2353.0

10-24 10-23

10-22 250 hPa

2352.0 2352.5 2353.0

10-24 10-23

10-22 500 hPa

2352.0 2352.5 2353.0

Wellenlaenge [nm]

10-23

10-22 1000 hPa

Abbildung 7.1: Monochromatische H2O-Absorptionsquerschnitte um 720 nm und 2352 nm für verschiedene Drücke und Temperaturen, entsprechend verschiedenen Höhenschichten derU.S.-Standard Atmosphäre (von unten: etwa 0 km, 5 km, 10 km, 20 km und 50 km).

Kapitel 8

Die correlated-k Methode

Zur Berechnung der spektral gemittelten Transmission wurden in den letzten Jahr-zehnten verschiedene sogenannte Bandmodelle entwickelt, die es erlauben, die mittlere Transmission als Funktion der Weglänge mit wenigen Parametern zu approximieren (siehe Goody und Yung 1989 [43] und dortige Referenzen). Die meisten Bandmodelle nutzen die Statistik der Linienpositionen, Linienintensitäten und anderer Linienparameter innerhalb des interessierenden Spektralintervalls.

Ein anderer Ansatz parameterisiert die mittlere Transmission als Summe pseudo-monochromatischer Transmissionen (also entsprechend Gleichung (6.6)). Diese sogenannte k distribution oder correlated-k (c-k) distribution Methode erlaubt es, die die Transmission beschreibenden Parameter als Absorptionsquerschnitte zu interpretieren. Dieser pseudo-monochromatische Ansatz ist besonders inter-essant, wenn die mittlere Strahlung mittels Lösungen der monochromatischen Strahlungstransportgleichung bestimmt werden soll, und Linienabsorption und Vielfachstreuung eine Rolle spielen (Isaacs et al. 1987 [62], Goody et al. 1989 [42], Goody und Yung1989 [43], Lacis und Oinas 1991 [82]). Dies wurde bereits in Abschnitt 6.1 für eine homogene Atmosphäre gezeigt.

Die c-k Methode wurde vor etwa 10 Jahren entwickelt (Goody et al. 1989 [42], Goody und Yung1989 [43], Lacis und Oinas 1991 [82], Fu und Liou 1992 [40]). In den letzten Jahren wurden eine Vielzahl von Arbeiten zu diesem Thema publiziert (Hollweg 1993 [50], Kratz 1995 [76], Mlawer et al. 1997 [91], Kratz et al. 1998 [77], Firsov et al. 1998 [36], Cusack et al. 1999 [28], Sun und Rikus 1999 [133]), in welchen untersucht wurde, wie man die Anzahl der Terme oder Quadratur-punkte M - und somit die Rechenzeit - minimieren kann, oder, wie man für eine gegebene Anwendung mit dem Problem inhomogener Atmosphären oder spektral überlappender Linienabsorber umgehen kann. Die meisten Autoren waren jedoch an der Klimaforschung bzw. Klimasimulation interessiert und konzentrierten sich daher auf Spektralintervalle, welche viel größer sind (^Ý 100 cm^í ¹, entsprechend vielen 100 oder sogar 1000 Linien) als die kleinen Intervalle, die für die hier beschriebenen Anwendungen betrachtet werden müssen (0,05-5 cm^í ¹,

entspre-chend einigen wenigen Linien). Fischer und Grassl 1991 [37] haben sich ebenfalls mit der c-k / ESFT Methode für Mehrfachstreu-Simulationen im Bereich der O2-A-Bande (755-770 nm) beschäftigt. Die Auflösung bei ihnen betrug 1 nm (ent-sprechend 17 cm^í ¹). Ihr Interesse war die Bestimmung von Wolkenparametern vom Weltraum aus, also eine Anwendung ähnlich der hier beschriebenen. In ihrer Arbeit wurde allerdings nicht über einen detaillierten Vergleich mit line-by-line Radianzen berichtet.

Die hier vorgestellte Arbeit stellt daher die erste detaillierte Untersuchung der c-k Methode mit sub-Nanometer Auflösung dar, bei der nahezu der gesamte solare Spektralbereich erfasst wird.

Im Folgenden wird die c-k Method detailliert beschrieben, einschließlich einer neuen Methode, die es gestattet, das wichtige Problem spektral beliebig korrelier-ter überlappender Linienabsorber mit gukorrelier-ter Genauigkeit zu lösen.

Aus Gründen, welche im Abschnitt 10.1 näher erläutert werden, wird im Folgen-den angenommen, dass die Spaltfunktion eine Rechteckfunktion ist, wobei sie einen konstanten Wert innerhalb des Mittelungsintervalls∆λ annimmt und Null außerhalb. Dies entspricht der Wahl von f^inst gleich 1/∆λin Gleichung (6.1). Ab Abschnitt 10.1 werden dann Mittelungsintervalle∆λ^c^í ^k gewählt, welche signifi-kant kleiner sind als die Instrumentenauflösung, also auch kleiner als das bisher verwendete∆λ. Dies ist nötig, um eine sich ändernde Instrumentenauflösung und Wellenlängenkalibration bei der Berechung der simulierten Strahlung (also der linken Seite der Gleichung (6.1)) berücksichtigen zu können.

8.1 Einfacher Fall einer homogenen Atmosphäre

In Kapitel 6 wurde bereits gezeigt, dass die mittlere Strahlung mit wenigen pseudo-monochromatischen Lösungen der Strahlungstransportgleichung bestimmt wer-den kann, wenn es gelingt, die mittlere Transmission entsprechend Gleichung (6.6) mit guter Genauigkeit durch eine gewichtete Summe von Exponentialfunk-tionen zu approximieren. Dieser Ansatz soll hier auf einer etwas anschaulicheren Ebene noch einmal aufgegriffen werden, wobei nun auch darauf eingegangen werden soll, wie die repräsentativen Absorptionsquerschnitte k_ikonkret bestimmt werden können.

Wenn nur ein einziger Linienabsorber in einem gegebenen, hinreichend kleinen, spektralen Intervall∆λStrahlung absorbiert, können alle anderen wellenlängen-abhängigen Größen, wie z.B. die Querschnitte für Streuung und Absorption der anderen Komponenten, die Phasen-Funktionen und die Bodenreflektion als effek-tiv konstant angenommen werden. ∆λ soll also klein gegenüber der spektralen Variabilität aller optischen Parameter sein, mit Ausnahme des Absorptionsquer-schnitts eines Linienabsorbers. Die Berechnung der mittleren Transmission - wie auch der mittleren Radianz - für eine homogene Atmosphäre hängt dann nicht von

8.1 Einfacher Fall einer homogenen Atmosphäre 129

der genauen Wellenlängenabhängigkeit des Absorptionsquerschnitts des Linien-absorbers ab, sondern nur noch von der Häufigkeit des Auftretens gewisser Ab-sorptionsquerschnitte. Relevant ist nur der Anteil des Wellenlängenintervalls, wel-cher von Absorptionsquerschnitten eines bestimmten Größenintervalls überdeckt wird. Dies bedeutet, dass die Wellenlängenachse beliebig transformiert werden darf. Bei der k distribution Methode wird effektiv das fein abgetastete Wellen-längengitter so transformiert, dass der Absorptionsquerschnitt nach Größe sortiert ist. Das hierzu gehörende auf das Intervall

1^ê normierte neue „Wellenlängen“-Gitter wird üblicherweise mit g bezeichnet. Der sortierte Absorptionsquerschnitt k_gist im Vergleich zu k_λeine relativ „glatte“ Funktion der „Wellenlänge“.

Die Transformation ^Ò λ

k_λ^Ó ^ë ^Òg

k_g^Ó erlaubt es nun, das Integral über die mo-nochromatische Transmission (T_λ^Ò m^Ó Ô exp^Ò Ù k_λm^Ó , Beer-Lambertsches Gesetz;

m bezeichnet hier die Absorbermenge in Molekülen pro Flächeneinheit) mittels einer Summe aus signifikant weniger Termen zu approximieren (hier M), als es das stark strukturierte k_λ gestatten würde (siehe Abbildung 8.1):¹

Ñ T_λ^Ò m^Ójì _∆λ :Ô

∆λ^ö _∆λexp^Ò Ù k_λm^Ó dλ ^Ô ^ö ¹

exp^Ò Ù k_gm^Ó dg

i^ú 1

ωiexp^Ò Ù k_im^Ó

(8.1) Eine analoge Gleichung ergibt sich für die mittlere Radianz (wie auch für die Gewichtsfunktionen):

Ñ I_λ ^ì _∆λ :Ô

∆λ^ö _∆λI_λ^Ò k_λ^Ó dλ ^Ý

i^ú 1

ωiI_i^Òk_i^Ó

(8.2) Interval dg der Gleichung (8.1) ist derjenige Anteil des Wellenlängenintervalls

∆λ, welcher von Absorptionsquerschnitten zwischen k und kå dk „überdeckt“

wird. Das heißt, es gilt dg Ô f^Òk^Ó dk, wobei f^Ò k^Ó die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion der Absorptionsquerschnitte ist (die sogenannte „k distribution“).

Die Methode der k distribution, welche auf homogene Atmosphären angewendet werden kann, geht bereits auf Ambartzumian 1936 [2] zurück, der sich mit dem Strahlungstransport in Stern-Atmosphären beschäftigte.

Die transformierte Wellenlängenachse g kann nun in M Subintervalle∆gi unter-teilt werden, in denen sich kg jeweils relativ wenig ändert (siehe Abbildung 8.1).

Für jedes dieser Subintervalle muss dann ein repräsentativer Absorptionsquer-schnitt k_i gefunden werden. Dies kann durch Mittelung geschehen oder z.B. da-durch, dass man fordert, dass die entsprechende Subintervall-Transmission, also

Ò 1^à ∆gi^Ó ∆g_i exp^Ò Ù k_gm^Ó dg, möglichst genau für eine Vielzahl von diskreten m-Werten durch eine Exponentialfunktion approximiert wird, also durch exp^Ò Ù k_im^Ó ,

1Die Spaltfunktion ist hier eine Rechteckfunktion der Breite∆λ.

entsprechend dem monochromatischen Lambert-Beer Gesetz. Der letztere Ansatz wird in dieser Arbeit verwendet.

Die Transmission des gesamten physikalischen Wellenlängenintervalls ∆λ kann dann dadurch approximiert werden, dass die Subintervall-Transmissionen - ge-wichtet mit ωi ^Ô ∆gi - addiert werden. Die mittlere Transmission kann jedoch meist deutlich besser approximiert werden, wenn alle Koeffizienten k_i simultan bei der Anpassung variiert werden können. Diese kann mittels eines geeigne-ten nicht-linearen least-squares (NLLS ) Anpassungsverfahrens realisiert werden.

Dieses Problem ist in der Literatur alsESFT -Problem (= Exponential Sum Fit-ting of Transmittance functions) bekannt (siehe Wiscombe und Evans 1977 [142]

und dortige Referenzen). Daher werden die k_i im Folgenden auch als ESFT -Koeffizienten bezeichnet.

Im Dokument Strahlungstransport und Inversions-Algorithmen zur Ableitung atmosphaerischer Spurengasinformationen aus Erdfernerkundungsmessungen in Nadirgeometrie im ultravioletten bis nahinfraroten Spektralbereich am Beispiel SCIAMACHY (Seite 130-144)