2.3. Das Bildaufnahmesystem
2.3.3. Modellierung
dann kann es aus mit Schrittweiten
:
TWVX
:ML
(2.7) abgetasteten Punkten exakt rekonstruiert werden.
Bisher wurde noch keine Einschr¨ankung bezgl. der Gr¨oße des Gitters, d.h. der Gr¨oße des ab-getasteten Bildes, gemacht. Diese Begrenzung wird nun durch eine allgemeine Fensterfunktion
d.h. das Spektrums des abgetasteten Bildes wird im Fourierraum mit der Fouriertransformier-ten der Fensterfunktion gefaltet. Die Abtastung f¨uhrt zu einer Begrenzung der Wellenzahl. Die Begrenzung der Bildgr¨oße hingegen bestimmt die Aufl¨osung der Wellenzahl.
Quantisierung Nach der Digitalisierung haben die Pixel immer noch kontinuierliche Grau-werte, die durch die Quantisierung auf eine begrenzte Zahl diskreter Grauwerte abgebildet werden: Die Quantisierung f¨uhrt zu Fehlern, die im folgenden diskutiert werden sollen. Haben alle Quan-tisierungsstufen gleiche Abst¨ande: und sind sie alle gleich wahrscheinlich, so ergibt sich die Varianz aufgrund der Quantisierung durch [34]
Die Quantisierungsstufen sind i.a. durch Nichtlinearit¨aten der Analog-Digital-Wandler nicht exakt ¨aquidistant.
Als Beispiel f¨ur Messungen mit Subpixelgenauigkeit wird die Bestimmung der Position einer Kante in einem eindimensionalen Bild diskutiert. In Abb. 2.7 (a) wird die Kante ohne vorhe-rige Gl¨attung abgetastet ( -Abtastung). Die Position der Kante kann nicht genauer bestimmt werden als die Breite eines Pixels. Ist die Kante hingegen gegl¨attet (Abb. 2.7 (b), (c)), so ist eine genauere Bestimmung ihrer Position m¨oglich. Erstaunlicherweise erlaubt daher ein un-scharfes Bild zun¨achst eine genauere Positionsbestimmung als ein un-scharfes Bild [33]. Nimmt die Unsch¨arfe weiter zu, so nimmt die Genauigkeit der Positionsbestimmung jedoch wieder ab.
Es gibt daher ein Optimum der Genauigkeit, mit der Positionen in einem Bild gemessen werden k¨onnen. Ein typischer, im Experiment erreichbarer Wert liegt bei 0.1 bis 0.01 Pixel [53].
2.3.3. Modellierung
2.3. Das Bildaufnahmesystem
(a)
(b)
(c)
Abbildung 2.7.: Illustratives Beispiel f¨ur die subpixelgenaue Bestimmung der Position einer Kante [33]. (a) -Abtastung ohne vorherige Gl¨attung; (b) Standard-Abtastung;
(c) Gauss-Abtastung.
Kameramodell Grundlage f¨ur die Entwicklung eines photogrammetrischen oder stereo-skopischen Meßverfahrens ist die Modellierung und Kalibrierung der Geometrie des optischen Aufbaus und der Bildaufnahme. In diesem Abschnitt wird ein Kameramodell beschrieben, das die optische Abbildung durch eine Lochkamera in idealisierter Form beschreibt. Das reale Sys-tem unterscheidet sich hiervon durch Fehler durch optische Verzeichnungen und elektronische St¨orungen. Diese Fehler werden in dem Modell ber¨ucksichtigt.
Ein Kameramodell beschreibt formal die Abbildung
1 $
73
$
3
(2.11)
eines dreidimensionalen Objektpunktes ! < ! auf die zweidimensionalen Bild-schirmspeicherkoordinaten ! < B .
Die Koordinatentransformation vom dreidimensionalen Objekt- bzw. Weltkoordinatensystem
! <
!
auf das ebenfalls dreidimensionale Kamerakoordinatensystem !
<
!
wird
be-schrieben durch
<
< <
! (2.12)
wobei die orthogonale Rotationsmatrix
(2.13)
2.3. Das Bildaufnahmesystem
Abbildung 2.8.: (a) und Kamera-Koordinaten-System. (b) Drehwinkel im Welt-Koordinaten-System.
durch die Drehwinkel ! und parametrisiert ist. Die Transformation von dem dreidimen-sionalen Kamerakoordinatensystem ! < ! auf die idealen, d.h. unverzerrten Bildkoordinaten
F ! < F
wird durch die Zentralprojektion
F
und den Komponenten des Prinzipalpunktes und
<
beschrieben. Die Gln. (2.15) werden in der Photogrammetrie als Kollinearit¨atsgleichungen bezeichnet.
Die Gln. (2.15) beschreiben eine ideale Abbildung. Linsenfehler und Fehljustierung optischer Komponenten f¨uhren jedoch zu Abbildungsfehlern. Durch eine Modellierung dieser Verzeich-nungen ist eine numerische Korrektur im Rahmen der Kalibrierung m¨oglich. Wir beschr¨anken uns hier auf die radialen und tangentialen Verzeichungen. Die radialen Verzeichnungen werden beschrieben durch den Ansatz
2.3. Das Bildaufnahmesystem (a)
(b)
Abbildung 2.9.: Schematische Darstellung eines tangentialen Linsenfehlers. (a) Ideale Anord-nung der optischen Komponenten auf der optischen Achse. (b) Nichtzentrierte Anordnung.
wobei die radialen Verzeichnungskoeffizienten bezeichnen und
F
<
F gilt. Tangentiale Verzeichnungen entstehen, wenn die Symmetrieachsen der optischen Komponenten von der op-tischen Achse abweichen (Abb. 2.9). Diese Verzeichnungen k¨onnen beschrieben werden durch
mit den Koeffizienten und der tangentialen Verzeichnung. Die verzeichneten Koordinaten
! <
C werden durch die Bildwandlerkarte (Framegrabber) auf die Bildspeicherkoordinaten
! < abgebildet, wobei N und P den Abstand der Sensorelemente in -Richtung (Zeile) bzw.< -Richtung (Spalte) bezeichnen. In der Gl. (2.19) k¨onnen Abbildungsfehler durch Synchronisa-tionsprobleme mit Hilfe einer affinen zweiparametrigen Abbildung ber¨ucksichtigt werden.
Die Gln. (2.12)–(2.19) sind ein 13 parametriges Kameramodell mit dem Parametervektor
! <
! ! !E!
! ! ! ! ! ! ! ! (2.20) welcher die jeweils drei Parameter der ¨außeren und inneren Orientierung, sowie die f¨unf Para-meter der Linsenverzeichung und zwei ParaPara-meter der elektronischen Korrektur (
,
) zusam-menfaßt. Diese Parameter k¨onnen durch eine nichtlineare Regression f¨ur einen Satz bekannter Paßpunkte eines Kalibrierobjektes bestimmt werden. Daher ist die Genauigkeit der Bestimmung von Paß- oder Kalibrierpunkten f¨ur die Genauigkeit des Meßverfahrens von besonderer Bedeu-tung.
2.3. Das Bildaufnahmesystem
Abbildung 2.10.: Geometrie der Phasengrenze.
Phasengrenzen Es wird nun der Einfluß einer ebenen Grenzfl¨ache mit der konstanten Schichtdicke auf die Abbildung eines Objektpunktes betrachtet. Die Lage der Grenzfl¨ache sei im 3D Koordinatensystem ! < ! definiert durch den Aufpunkt und den Normalenein-heitsvektor (Abb. 2.10). O.B.d.A. wird der Aufpunkt durch den Schnittpunkt der Grenzfl¨ache mit der optischen Achse, d.h. der -Achse, bestimmt. F¨ur die Brechungsindizes, gilt das Bre-chungsgesetz
, , , ?
(2.21) Aus der Geometrie in Abb. 2.10 folgt dann
woraus die Verschiebung des Objektpunktes auf
bestimmt werden kann.
Kalibrierung des Kameramodells Die Kalibrierung des Kameramodell ist eine notwen-dige Voraussetzung f¨ur die Verwendung des bildgebenden Verfahrens zu Meßzwecken. Um das beschriebene Kameramodell zu kalibrieren, muß ein Kalibrierobjekt mit genau vermessenen Kalibrier- oder Paßpunkten aufgezeichnet werden. Die erreichbare Genauigkeit einer Messung wird durch die Genauigkeit bestimmt, mit der die Kalibrierpunkte bekannt sind. Die Praxis zeigt, daß diese Genauigkeit etwa eine Gr¨oßenordnung besser sein sollte als die beabsichtigte Meß-genauigkeit. Daher ist bei der Anfertigung und Vermessung der Kalibrierobjekte große Sorg-falt notwendig. Die Kalibrierobjekte k¨onnen zwei- oder dreidimensional sein. In dieser Arbeit wurden gute Ergebnisse mit ebenen Kalibrierobjekten erzielt, die durch photographische Ver-kleinerung einer Vorlage auf ein Diapositiv abgebildet werden. Die Lage der Kalibrierpunkte
2.3. Das Bildaufnahmesystem
Abbildung 2.11.: (a) Ausschnitt einer Aufnahme eines ebenen Kalibrierobjektes, in der die Um-gebung eines Kalibrierpunktes markiert ist. (b) Geometrie der Modellfunk-tion. Die freien Parameter Gl. (2.24) werden mit Hilfe einer nichtlinearen Re-gression ermittelt. Aus Gl. (2.26) werden dann die Koordinaten ! < des Schnittpunktes bestimmt.
muß dann unter einem Meßmikroskop ermittelt werden. Die verwendeten Kalibrierobjekte ha-ben typischerweise 100 bis 400 Kalibrierpunkte, die gleichm¨aßig ¨uber die Bildeha-bene angeordnet werden. Ein Beispiel eines Ausschnittes eines solchen Kalibrierobjektes ist in Abb. 2.12 darges-tellt. Die Sch¨atzung der Position der Kalibrierpunkte in der Aufnahme wird durch eine einfache Mustererkennung gewonnen. Eine subpixelgenaue Bestimmung der Position kann dann durch die Anpassung einer Modellfunktion einer Grauwertverteilung
! < <
durchgef¨uhrt werden. Die Koeffizienten , und beschreiben die konstanten bzw. die linea-ren Komponenten des Grauwerthintergrundes und die Parameter und die Amplitude und die Breite der Diagonalen. Die geometrische Ausrichtung bezogen auf den Ursprung des Koor-dinatensystems ist durch die Winkel und die Achsenabschnitte gegeben (Abb. 2.12 (b)).
Bezeichnet ! < die gemessene Grauwertverteilung in der Umgebung eines Kalibrierpunktes, so wird dessen Lage bestimmt durch den Parametervektor
! ! ! ! minimal wird. Zur numerischen Berechnung wird die Methode der kleinsten Quadrate nach Levenberg-Marquardt verwendet. Die Koordinaten
! <
des Kalibrierpunktes sind dann ge-geben durch die L¨osung des Gleichungssystems