Magnetisierung in Abh¨ angigkeit von der Temperatur bei

Als erstes wird die Magnetisierung der Cluster in Anh¨angigkeit von der Tem-peratur untersucht. In Abbildung 14 ist das Ergebnis der Simulation sowohl f¨ur das 2x2-Cluster als auch f¨ur das 4x4-Cluster zu sehen. Die Magnetisierungskur-ve entspricht ziemlich genau den KurMagnetisierungskur-ven aus Abbildung 7, also den Ergebnissen f¨ur ein einzelnes{Mo₇₂Fe30}-Molek¨ul. Außerdem sind die Kurven f¨ur alle Kopp-lungen identisch, darum wurde an dieser Stelle auch nur ein Diagramm erstellt.

An dieser Stelle werden keine weiteren Betrachtungen f¨ur die Magnetisierung durchgef¨uhrt. Allerdings sind noch weitere gehende Untersuchungen zum Ver-halten der Magnetisierung erforderlich.

5.3.2 Spezifische W¨arme in Abh¨angigkeit von der Temperatur bei B = 0 T

In den Abbildungen 15 und 16 sind die Simulationswerte f¨ur die Untersuchung der Spezifischen W¨arme einmal f¨ur das 2x2-Cluster und einmal f¨ur das 4x4-Cluster dargestellt. Diese Kurven unterscheiden sich sehr stark von der Kurve der Spezifischen W¨arme eines einzelnen Molek¨uls, siehe Abbildung 9. Bei allen

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Messwerte bei J_c=−150K Messwerte bei J

c=−15K Messwerte bei J

c=−1,57K

Abbildung 15: Spezifische W¨arme des 2x2-Clusters in Abh¨angigkeit von der Temperatur beiB= 0 T.

Abbildung 16: Spezifische W¨arme des 4x4-Clusters in Abh¨angigkeit von der Temperatur beiB= 0 T.

drei Kopplungen ist ein stark ausgepr¨agtes Peak zu sehen. Dieses Peak ver-schiebt sich bei gr¨oßerer Kopplung zu h¨oheren Temperaturen hin. Nach diesem Peak verl¨auft die Kurve wieder ¨ahnlich wie in Abbildung 9.

Vermutlich handelt es sich bei dem vorliegenden Peak um einen Phasen¨ubergang.

Hierzu sind weitere Untersuchungen erforderlich, die an dieser Stelle allerdings nicht durchgef¨uhrt werden.

5.4 Zusammenfassung und Ergebnisse

In diesem Kapitel wurden die magnetische Eigenschaften f¨ur zwei unterschiedli-che Cluster aus{Mo₇₂Fe₃₀}-Molek¨ulen genauer untersucht. W¨ahrend die Kurve der Magnetisierung bei den Clustern keine großen Unterschiede zu der Kurve des Einzelmolek¨uls aufweist, tritt bei der Spezifischen W¨arme ein stark ausge-pr¨agtes Peak auf. Beide Sachverhalte erfordern noch weitere Untersuchungen.

6 Zusammenfassung und Ausblick

In dieser Arbeit wurden die magnetischen Eigenschaften sowohl eines{Mo₇₂Fe₃₀ }-Molek¨uls als auch eines {Mo₇₂Fe₃₀}-Clusters untersucht werden. In den Kapi-teln4 und 5 sind die Ergebnisse dieser Untersuchungen dargestellt.

Die Untersuchungen am {Mo₇₂Fe₃₀}-Molek¨ul zeigen, dass sich seine magneti-schen Eigenschaften durch das klassische Heisenberg-Modell beschreiben lassen.

Mit Hilfe der Monte-Carlo-Methode k¨onnen direkte Messgr¨oßen wie die Innere Energie und die Magnetisierung sehr genau bestimmt werden. Auch Simulatio-nen f¨ur indirekte Messgr¨oßen wie die Spezifische W¨arme liefern gute Werte.

Bei der Untersuchung des Clusters ist der Phasen¨ubergang bei der Spezifischen W¨arme klar zu erkennen. Leider konnte dieser in der Magnetisierung nicht nach-gewiesen werden. An dieser Stelle sind in Zukunft noch weitere Untersuchungen erforderlich.

Die Simulationen in dieser Arbeit wurden mit Java und teilweise auch mit Fortran durchgef¨uhrt. Mit diesen beiden Programmiersprachen ließen sich weit mehr Metropolisschritte realisieren als mit Matlab [5]. Dieses liegt daran, dass bei Programmiersprachen der 3. Generation Decodierung, Interpretation und Ausf¨uhrung des Quellcodes um einiges schneller verl¨auft als bei Programmier-sprachen der 4. Generation (Matlab). Neben Java und Fortran h¨atte auch eine andere Sprachen wie C gew¨ahlt werden k¨onnen. Die Wahl von Java als Program-miersprache f¨ur physikalische Simulationen ist eigentlich eher untypisch und wurde an dieser Stelle haupts¨achlich aus pers¨onlichem Interesse durchgef¨uhrt.

Neben den Simulationen mit Java wurden diese auch mit Fortran durchgef¨uhrt, die Ergebnisse unterscheiden sich nur geringf¨ugig.

Da eine gr¨oßere Anzahl an Metropolisschritten realisiert werden konnten als mit Matlab waren die Simulationswerte, vor allem auch f¨ur die Spezifische W¨arme, genauer. Zur weiteren Verbesserung w¨aren noch mehr sweeps erforderlich gewe-sen, allerdings fehlte am Ende die Zeit um das Fortran-Programm dahingehend zu ver¨andern. Dieses w¨are praktisch gesehen ohne große M¨uhe, aber mit re-lativ viel Laufzeitaufwand m¨oglich gewesen. Bei dem Java-Programm erweist sich eine solche Ver¨anderung als etwas problematischer, da irgendwann der Ar-beitsspeicher ¨uberl¨auft und das Programm abbricht. Dieses h¨angt mit der Art der Abspeicherung der Daten in Arrays zusammen. Hier m¨ussten entweder ge-schickte Arrayaufsplittungen durchgef¨uhrt werden, oder man m¨usste an Stelle der Arrays abstrakte Datentypen wie Collections verwenden.

Neben dem Fehler, der durch zu geringe Menge an sweeps zu Stande kommt, muss der statistische Fehler der Monte-Carlo-Simulation ber¨ucksichtigt wer-den. In [5] ist dargestellt, wie sich dieser Fehler berechnen l¨asst. Diese Fehler-absch¨atzungen m¨ussten zum besseren Vergleich zwischen Simulationsdaten und realen Messwerten noch in die Simulationen eingebaut werden. Allerdings fehlte auch hier am Ende die Zeit, da eine derartige Ver¨anderung des Programms mit einer deutlichen Laufzeiterh¨ohung verbunden ist.

Neben dem in dieser Arbeit betrachteten Metropolis-Algorithmus existieren noch weitere Algorithmen zur Realisierung der Monte-Carlo-Methode⁷. Die-se Algorithmen haben andere Randbedingungen und k¨onnen, abh¨angig vom untersuchten System, zu verbesserten Ergebnissen f¨uhren. Manche von diesen Algorithmen benutzen an der Stelle der hier verwendten single-spin-dynamic-Methode die sogenannte multi-spin-dynamic-single-spin-dynamic-Methode, wo eine Menge an Spins gleichzeitig geflippt wird. Diese Algorithmen k¨onnten eventuell zu noch genaue-ren Ergebnissen f¨uhren.

7Dieses sind zum Beispiel der Wolff-Algorithmus, der Swendsen-Wang-Algorithmus, der Wang-Landau-Algorithmus, der Cluster-Algorithmus und noch viele mehr. Genauere Betrach-tungen zu diesen Algortihmen sind in [2] und [8] zu finden.

7 Abstract

In this Bachelor-Thesis, the basic idea of the Monte-Carlo algorithm is app-lied to a giant keplerate molecule named {Mo₇₂Fe₃₀}. Several observables are analyzed.

After a short introduction, the theoretical basics of statistical mechanics are established. Thermodynamic observables, such as the magnetisation, the inter-nal energy and the specific heat, are introduced and derived. In addition, the idea of the statistical equilibrium and the transition probability are mentioned.

Chapter 3 deals with the theoretical background of the Monte-Carlo method.

Once a system has reached the state of equilibrium, its values will stay con-stant from that moment on. In most numerical calculations, it is only possible to sample a very small fraction of the total number of possible states. For weigh-ting states, the idea of

”importance sampling“ is introduced. Only such states are generated whose probabilities correspond with the Boltzmann distribution.

Starting with a state, one can use Markov processes to generate a new state which is afterwards taken to be the starting point for the next Markov process.

The addition of several Markov processes is called Markov chain. A Markov process is chosen in a very special way: After the system has come to equilibri-um, the process generates a succession of states which appear with probabili-ties given by the Boltzmann distribution. In order to achieve this, two further conditions, the condition of ergodicity and the condition of detailed balance, have to be satisfied. The condition of ergodicity on the one hand signifies that any state of the systems might be reached from any other state after waiting long enough. On the other hand, the condition of detailed balance ensures that the states really appear with their Boltzmann distribution. For optimizing the Markov chain, the concept of the acceptance ratios ist established. Finally, one gains insight into the Metropolis algorithm which is a standard Monte-Carlo algorithm.

In chapter4, the Metropolis algorithm is applied to the molecule {Mo₇₂Fe₃₀}.

The geometry of this molecule can be described as an icosidodecahedron with an Fe³⁺-ion placed on each of the 30 vertexes, each with a spin of 5/2. By comparing the results of the simulation with measurements, one can see that the classical Heisenberg model describes the analyzed molecule very well.

Finally, two clusters of{Mo₇₂Fe30}with different extensions are examined. One can obviously see the phase transition in the specific heat for all analyzed coup-lings.

A Wechselwirkungsmatrix und Nummerierung der

Abbildung 17:In dieser Arbeit verwendete Wechselwirkungsmatrix. Diese Matrix diente in allen Simulationen zur Kopplung der benachbarten Spins.

Eine Wechselwirkung von zwei Spins ist durch

”1“ gekennzeichnet.

Abbildung 18: Nummerierung der Spins

Literatur

[1] Achim M¨uller, Marshall Luban, Christian Schr¨oder, Robert Modler, Paul K¨ogerler, Maria Axenovich, J¨urgen Schnack, Paul C. Canfield, Sergey Bud’ko, Neil Harrison. Classical and quantum magnetism in giant keple-rate magnetic molecules. Chem. Phys. Chem, 2:517-521, 2001.

[2] M.E.J. Newman, G.T. Barkema. Monte Carlo Methods in Statistical Phy-sics. Oxford University Press, Inc., New York, 1999.

[3] Wolfgang Nolting. Grundkurs Theoretische Physik 6 - Statistische Physik.

Springer Verlag Berlin Heidelberg, 2002.

[4] N. Metropolis, Aw. Rosenbluth , Mn. Rosenbluth, Ah. Teller, E. Teller.

Equation of state calculations by fast computing machines. Journal of Che-mical Physics, 21:1087–1092, 1953.

[5] Stefan Torbr¨ugge. Anwendung der Monte-Carlo-Methode auf klassische Spinsysteme. Universit¨at Osnabr¨uck, Bachelorarbeit, 2003.

[6] Sergey Bud’ko, Paul C. Canfield, Paul K¨ogerler, Christian Schr¨oder, Mars-hall Luban, Achim M¨uller, J¨urgen Schnack.Observation of a magnetic phase transition in two-dimensional layers of giant magnetic molecules.

[7] Maria Axenovich, Marshall Luban.Exact ground state properties of the clas-sical Heisenberg model for giant magnetic molecules. PHYSICAL REVIEW B, 63:100407–1 – 100407–4, 2001.

[8] David P. Landau, Kurt Binder. A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics. Cambridge University Press, 2000.

[9] Andreas Greuling, Thomas Langer. Fl¨ussigkeit-Gas-Phasen¨ubergang bei Argon-Clustern. Universit¨at Osnabr¨uck, 2005.

Danksagung Diese Bachelorarbeit entstand in der Arbeitsgruppe

”Makroskopische Systeme und Quantentheorie“ des Fachbereiches Physik an der Univerit¨at Osnabr¨uck.

Ganz besonders m¨ochte ich Herrn Apl. Prof. Dr. J¨urgen Schnack f¨ur die in-tensive Betreuung und die ¨außerst interessante Themenstellung danken. Auf-grund seines Engagements entdeckte ich meine Begeisterung f¨ur die Numerische Physik und entschied mich, meine Bachelorarbeit im Bereich der theoretischen Physik zu schreiben.

Außerdem geht ein besonderer Dank an Stefan Torbr¨ugge, der mir eines seiner Programme zur Verf¨ugung gestellt hat und dessen Bachelorarbeit eine sehr gute Basis f¨ur die vorliegende Arbeit darstellt.

Des weiteren danke ich meinen Mitstudenten und Freunden, die mir in der letzten Zeit mit Rat und Tat zur Seite gestanden haben. Besonders hervor-zuheben sind hierbei Thomas Langer und Andreas Greuling, die mir bei pro-grammiertechnischen Problemen geholfen haben, sowie Andreas Br¨oermann f¨ur seine kreativen Ideen. Außerdem m¨ochte ich meiner Schwester Verena, Femke Houben und Eva-Maria St¨urenberg f¨ur die moralische Unterst¨utzung danken ;).

Ein ganz besonderer Dank gilt meinen Eltern, die mich in jeder Hinsicht un-terst¨utzen und auch die finanzielle Last meines Studiums maßgeblich tragen.

Eidesstattliche Erkl¨arung

Hiermit erkl¨are ich an Eides Statt, dass ich die vorliegende Bachelorarbeit selbstst¨andig verfasst, keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel verwen-det und zuvor noch keine Bachelorpr¨ufung der Fachrichtung Physik abgelegt habe.

Osnabr¨uck, der 20. April 2006

∗ ∗ ∗∗Katrin Jahns∗ ∗ ∗∗