Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizien- Koeffizien-ten

Skalare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Eine homogene skalare lineare DG n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat die Form

a_ny⁽ⁿ⁾ + a_n−1y⁽ⁿ⁻¹⁾ + · · · + a₁y⁰ + a₀y = 0 (2.7) mit a_k ∈ R oder a_k ∈ C, k = 0, . . . , n. Der Exponentialansatz

y(t) = e^λt (2.8)

mit λ ∈ C f¨uhrt auf

(a_nλⁿ + a_n−1λⁿ⁻¹ + · · · + a₁λ + a₀)e^λt = 0.

Dies motiviert die folgende Definition.

Definition 2.4 Das Polynom

p(λ) := a_nλⁿ + a_n−1λ⁽ⁿ⁻¹⁾ + · · · + a₁λ + a₀ ist das charakteristische Polynom der DG (2.7).

Somit gilt

Satz 2.5 Die Funktion y(t) = e^λt ist genau dann eine L¨osung der DG (2.7), wenn λ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms der DG ist.

Falls das charakteristische Polynom n verschiedene Nullstellen λ_k ∈ C, k = 1, . . . , n besitzt, erh¨alt man n verschiedene - sp¨ater werden wir sagen n linear unabh¨angige -L¨osungen

y₁(t) = e^λ1t, y₂(t) = e^λ2t, . . . , y_n(t) = e^λnt der DG. Dabei kann man t ∈ R aber auch t ∈ C zulassen.

Im Fall mehrfacher Nullstellen werden weitere L¨osungen ben¨otigt.

Satz 2.6 Falls eine Nullstelle λ des charakteristischen Polynoms die Vielfachheit m > 1 hat, sind die Funktionen

y₁(t) = e^λt, y₂(t) = te^λt, . . . , y_m(t) = t^(m−1)e^λt m verschiedene L¨osungen der DG (2.7).

Beweis: Das charakteristische Polynom habe k verschieden Nullstellen λ₁, . . . , λ_k mit Vielfachheiten m₁, . . . , m_k. Dann gilt

p(λ) = a_n(λ −λ₁)^m1(λ − λ₂)^m2· · ·(λ −λ_k)^mk. Daher kann die DG als

a_n( d

dt −λ₁)^m1(d

dt − λ₂)^m2( d

dt − λ_k)^mky = 0

geschrieben werden, wobei es auf die Reihenfolge der Faktoren nicht ankommt. Somit gen¨ugt es zu zeigen, dass f¨ur eine m-fache Nullstelle λ gilt

( d

dt −λ)^m(t^je^λt) = 0, 0 ≤ j ≤ m − 1.

Es gilt

(d

dt − λ)(e^λt) = λe^λt − λe^λt = 0 und

( d

dt −λ)(t^je^λt) = d

dt(t^je^λt) − λt^je^λt = jt^j−1e^λt. Daher gilt f¨ur 0 ≤ j ≤ m − 1

( d

dt −λ)^m(t^je^λt) = ( d

dt − λ)^m−1(d

dt − λ)(t^je^λt) = j( d

dt − λ)^m−1(t^j−1e^λt) = · · · = j!(d

dt −λ)^m−j(e^λt) = 0.

¤ Falls das charakteristische Polynom eine komplexe Nullstelle λ = α + iβ besitzt, ist

e^λt = e^αt+iβt = e^αte^iβt = e^αt( cosβt+ isinβt)

eine komplexwertige L¨osung. Falls die Koeffizienten der DG reell sind, ist man an re-ellen L¨osungen interessiert. Aufspalten der DG in ihren Real- und Imagin¨arteil unter Verwendung der Linearit¨at zeigt, dass in diesem Fall

<(e^λt) = e^αtcosβt und =(e^λt) = e^αtsinβt

zwei verschiedene reelle L¨osungen der DG sind, die dem Paarα±iβ konjugiert komplexer Nullstellen entsprechen. Falls die komplexe Nullstelle die Vielfachheit m hat, sind die Funktionen

t^je^αtcosβt und t^je^αtsinβt, j = 0,1, . . . , m− 1 2m verschiedene reelle L¨osungen der DG.

Da das Polynom p(λ) - nach Vielfachheiten gez¨ahlt - genau nNullstellen hat, erh¨alt man auch im Fall mehrfacher Nullstellen n verschiedene L¨osungen y₁, . . . , y_n der DG. Sp¨ater wird gezeigt, dass die allgemeine L¨osung der DG die Form

y(t) = c₁y₁(t) + · · · + c_ny_n(t) mit c_k ∈ R bzw. c_k ∈ C, k = 1, . . . , n hat.

Anmerkung: Das Verhalten einer L¨osungen y(t) = t^je^λt f¨ur t → ∞ wird vor allem durch den Realteil von λ bestimmt. Im Fall <λ < 0 gilt lim_t→∞y(t) = 0, f¨ur <λ > 0 gilt lim_t→∞|y(t)| = ∞. F¨ur =λ 6= 0 oszilliert die L¨osung, im Fall =λ = 0 ist die L¨osung monoton. Im Fall λ = 0 ist die L¨osung konstant bzw. polynomial in t.

Systeme mit konstanten Koeffizienten

Ein lineares System von DG 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat die Form

x⁰ = Ax (2.9)

mit x ∈ Rⁿ oder x ∈ Cⁿ und einer reellen oder komplexen n × n Matrix A. Einsetzen des Exponentialansatzes x(t) = e^λtv mit λ ∈ C und einem Vektor v ∈ Rⁿ oder v ∈ Cⁿ in die DG ergibt

λe^λtv = A(e^λtv) = e^λtAv.

Daher gilt

Satz 2.7 Die Funktion x(t) = e^λtv ist genau dann eine L¨osung der DG (2.9), wenn gilt

Av = λv,

d.h. λ ist Eigenwert der Matrix A mit Eigenvektor v.

Anmerkung: Aufgrund dieses Resultats ist das Eigenwertproblem der linearen Algebra von großer Bedeutung f¨ur DG.

Aus der linearen Algebra ist folgendes bekannt.

Satz 2.8 F¨ur eine n× n Matrix A gilt:

1. Die Eigenwerte von A sind genau die Nullstellen des charakteristischen Po-lynoms der Matrix

p(λ) := det(A − λI).

2. Zu jedem Eigenwert existiert mindestens ein Eigenvektor.

3. Falls die Matrixnverschiedene Eigenwerteλ₁, . . . , λ_n besitzt, bilden die dazu-geh¨origen Eigenvektoren v₁, . . . , v_n eine Basis des Rⁿ bzw. Cⁿ und die Matrix ist diagonalisierbar.

4. Die Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn f¨ur jeden Eigenwert die algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen Vielfachheit ist.

5. Falls Eigenwerte mit unterschiedlicher algebraischer und geometrischer Viel-fachheit auftreten, kann die Matrix auf Jordansche Normalform transfor-miert werden.

Anmerkung: Im Fall komplexer Eigenwerte liegen die entsprechenden Eigenvektoren in Cⁿ. Im Fall einer reellen Matrix mit reellen Eigenwerten sind auch alle Eigenvektoren reell und man kann in Rⁿ arbeiten.

Eine typische n × n Matrix A hat n verschiedene Eigenwerte und ist daher diagonali-sierbar. Daher beschr¨anken wir uns vorerst auf den Fall diagonalisierbarer Matrizen A mit n - nicht notwendig verschiedenen - Eigenwerten λ₁, . . . , λ_n und dazugeh¨origen Ei-genvektoren v₁, . . . , v_n. Aufgrund der obigen ¨Uberlegungen hat die DG (2.9) in diesem Fall n verschiedene - genauer gesagt linear unabh¨angige - L¨osungen

x₁(t) = e^λ1tv₁, x₂(t) = e^λ2tv₂, . . . , x_n(t) = e^λntv_n.

Wegen der Linearit¨at der DG (2.9) ist jede Linearkombination dieser L¨osungen ebenfalls eine L¨osung. Daher kann man versuchen die L¨osung eines Anfangswertproblems x(0) = a als Linearkombination dieser L¨osungen darzustellen. Um Eindeutigkeitsaussagen zu erhalten ben¨utzen wir im folgenden die Diagonalisierbarkeit der Matrix A.

Sei V die regul¨are n × n Matrix mit Spalten v₁, . . . , v_n und D die Diagonalmatrix mit d_kk = λ_k, k = 1, . . . , n. Dann gilt

AV = V D bzw.

V⁻¹AV = D.

Die Koordinatentransformation

x = V y ergibt

V y⁰ = x⁰ = Ax = AV y.

Daher gilt

y⁰ = V⁻¹AV y = Dy.

In den y Koordinaten lautet die DG

y₁⁰ = λ₁y₁ y₂⁰ = λ₂y₂

... ... ...

y_n⁰ = λ_ny_n

Die allgemeine L¨osung dieser n entkoppelten skalaren Differentialgleichungen ist yk(t) = cke^λkt, ck ∈ C, k = 1, . . . , n.

Durch R¨ucktransformation x(t) = V y(t) folgt

Satz 2.9 Die n × n Matrix A sei diagonalisierbar mit Eigenwerten λ₁, . . . , λ_n mit dazugeh¨origen Eigenvektoren v₁, . . . , v_n. Dann sind die Funktionen

x₁(t) = e^λ1tv₁, x₂(t) = e^λ2tv₂, . . . , x_n(t) = e^λntv_n n linear unabh¨angige L¨osungen der DG

x⁰ = Ax.

Die allgemeine L¨osung der DG ist

x(t) = c₁e^λ1tv₁ + c₂e^λ2tv₂· · · + c_ne^λntv_n, c_k ∈ C, k = 1, . . . , n.

Das AWP x(0) = a hat die eindeutige L¨osung

x(t) = α₁x₁(t) + α₂x₂(t) + · · · + α_nx_n(t),

wobei α₁, . . . , α_n die Koordinaten des Anfangswertes a bez¨uglich der Basis v₁, . . . , v_n sind, die durch L¨osen des (eindeutig l¨osbaren) linearen Gleichungssy-stems

α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn = a berechnet werden k¨onnen.

Beispiel 2.12 Das AWP

x⁰₁ = x₂

x⁰₂ = −3x₁ − 4x₂

x(0) = (2,2)^T ist zu l¨osen. Die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix µ 0 1 mit c₁, c₂ ∈ C. Das AWP f¨uhrt auf das lineare Gleichungssytem

µ 1 1

Die Integralkurven dieser DG sind in Abbildung 2.1 dargestellt. Alle L¨osungen konver-gieren f¨ur t → ∞ gegen die Ruhelage im Ursprung. Man spricht von einem stabilen Knoten.

Abbildung 2.1: Stabiler Knoten

3

Im folgenden sei A eine reelle n × n Matrix. Ein reeller Eigenwert λ hat in diesem in Cⁿ. Zwei reelle L¨osungen erh¨alt man durch Zerlegen von z in Real- und Imagin¨arteil.

Lemma 2.1 Sei A eine reelle n × n Matrix und z(t) = x(t) + iy(t) ∈ Cⁿ eine L¨osung der DG z⁰ = Az. Dann sind x(t) und y(t) reelle L¨osungen der DG x⁰ = Ax. entsprechen daher die beiden reellen L¨osungen

x(t) = e^αt(cosβt a − sinβt b) und y(t) = e^αt(sinβt a + cosβt b).

Im Fall α = 0 sind die Integralkurven Kreise, die f¨ur β > 0 im Uhrzeigersinn und f¨ur β < 0 gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen werden. Begr¨unden Sie diese Aussagen! F¨ur α 6= 0 sind die Integralkurven logarithmische Spiralen, die f¨ur t → ∞ im Fallα < 0 zum Ursprung und im Fall α > 0 weg vom Ursprung spiralen. Im Fall α < 0 spricht man von

Abbildung 2.2: Stabile Spirale

einer stabilen Spirale und im Fall α > 0 von einer instabilen Spirale. In Abbildung 2.2 sind die Integralkurven einer stabilen Spirale f¨ur α < 0 und β > 0 dargestellt. 3 Sei A eine reelle 2 × 2 Matrix mit konjugiert komplexen Eigenwerten λ = α ± iβ und Eigenvektoren a ±ib, a, b ∈ R². Aus

Aa + iAb = A(a + ib) = (α + iβ)(a + ib) = αa− βb + i(βa + αb) folgt

Aa = αa − βb und Ab = βa + αb.

Daher gilt f¨ur die 2 × 2 Matrix T = (a, b) AT = T

µ α β

−β α

¶

bzw.

T⁻¹AT =

µ α β

−β α

¶

Anwenden der Koordinatentransformation

x = T y (2.10)

auf die DG x⁰ = Ax ergibt

T y⁰ = x⁰ = Ax = AT y.

Daher gilt

y⁰ = T⁻¹AT y

In den y Koordinaten hat die DG daher die Form von Beispiel 2.4 y⁰ =

µ α β

−β α

¶ y.

Die Integralkurven des Systems in y-Koordinaten werden durch die Koordinatentrans-formation (2.10) in die Integralkurven der DG x⁰ = Ax abgebildet. Aus den Kreisen des y-Systems, die im Fall α = 0 auftreten, werden daher Ellipsen des x-Systems. Be-gr¨unden Sie diesen Sachverhalt! Die f¨ur α 6= 0 auftretenden logarithmischen Spiralen des y-Systems werden zu verzerrten Spiralen des x-Systems.

Anmerkung: Im Fall einer reellenn×nMatrixAmit komplexen Eigenwertenλ = α±iβ und Eigenvektoren a±ib, a, b ∈ Rⁿ hat man genau die oben beschriebene Situation auf dem durch die Vektoren a, b aufgespannten zweidimensionalen Unterraum des Rⁿ.

Im Dokument Differentialgleichungen 1 (Seite 35-44)