46 Kapitel 3. Merkmalsgewinnung
0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
Psi1 Psi2 Psi3 Psi4
Pixelgröße / [a.u.]
σΨ,norm/ [%]
Ψ1 Ψ2
Ψ3
Ψ4
Abbildung 3.6: Abhängigkeit der MomentinvariantenΨ1 bisΨ4 von der Pixelgröße bei einer Vektor-Raster-Konversion. Auf der Ordinate ist die Standardabweichung der Invarianten, normiert auf den unverrauschten Wert, abgetragen.
3.2. Kreuzmomente 47 Aus Gleichung 3.22 und Gleichung 3.23 lässt sich folgende relative affine Invariante ableiten:
[(xa−x¯a)(ya−y¯a)−(xa−x¯a)(ya−y¯a)] = detA[(x−¯x)(y−y¯)−(x−x¯)(y−y¯)] . (3.24) Wenn die drei Punktexi(xi,yi),xj(xj,yj)undx(¯x,y¯)nicht kollinear sind und damit ein Dreieck bilden, so besagt Gleichung 3.24, daß für die Flächen S des originalen und Sa des affin transformierten Dreieckes die folgende relative Invarianzbeziehung gilt:
Sa= detA∗S , (3.25)
da sich die Dreiecksflächen auch durch S=
¯
x y¯ 1
x y 1
x y 1
= ¯x(y−y) + ¯y(x−x) +xy−xy
= (x−x¯)(y−y¯)−(x−x¯)(y−y¯) beziehungsweise
Sa=
¯
xa y¯a 1 xa ya 1 xa ya 1
= ¯xa(ya−ya) + ¯ya(xa−xa) +xaya−xaya
= (xa−x¯a)(ya−y¯a)−(xa−x¯a)(ya−y¯a)
ausdrücken lassen. Dieser Sachverhalt wird mit der folgenden Abbildung 3.7 (entnommen aus [Yang & Cohen 1999]) veranschaulicht.
O x
y Pj(xj,yj)
Pi(xi,yi) S
SP(x,y)
O x
y
Sa Paj(xaj,yaj)
Pai(xai,yai)
affine Transformation
a a
SP(x ,y )
Abbildung 3.7: Affine Transformation eines Dreiecks aus zwei aufeinanderfolgenden Konturpunkten und dem Objektschwerpunkt zur Veranschaulichung der relativen Invarianten aus Gl.3.24.
Die Invarianzbeziehung aus Gleichung 3.24 legt fogende beiden Definitionen der Kreuzkorrelationsfunktion na-he:
w1,s(x, y, x, y) = [(x−x)(y−y)−(x−x)(y−y)]s (3.26a) w2,s(x, y, x, y) =|(x−x)(y−y)−(x−x)(y−y)|s . (3.26b) Den Exponentensbezeichnet man alsGewichtsfaktor. Für diese Definitionen gelten infolge ihrer Linearität in xundy folgende Invarianzbeziehungen:
w1a,s(xa, ya, xa, ya) = (detA)sw1,s(x, y, x, y) (3.26c) w2a,s(xa, ya, xa, ya) =|detA|sw2,s(x, y, x, y). (3.26d) Die Beziehungen der Gleichungen 3.26c und 3.26d erfordern zur Berechnung die Kenntnis von Punktkorre-spondenzen, die nur schwierig oder unter hohem Aufwand zu erhalten sind. Man kann nun versuchen, eine Invarianzbeziehung für die Kreuzmomente anstelle der Kreuzkorrelationsfunktionen zu gewinnen. Dazu setzt man die Kreuzkorrelationsfunktionen der Gleichungen 3.26a und 3.26b in die Definition der Auto-Kreuzmomente (Gleichung 3.20) ein. Für die nullte Ordnug steht dann:
µi,(0,0,0,0),s=
B
B
wi,s(x, y, x, y)dxdydxdy füri∈ {1,2} (3.27)
48 Kapitel 3. Merkmalsgewinnung beziehungsweise nach affiner Transformation:
µia,(0,0,0,0),s =
B
B
wia,s(xa, ya, xa, ya)dxadyadxadya füri∈ {1,2} . (3.28)
Für die weitere Ableitung soll ausschließlich die Alternative w1,s(xa, ya, xa, ya) verfolgt werden, da für diese Alternative und für positive ganzzahlige Exponentens die Auto-Kreuzmomente in Abhängigkeit der zentralen geometrischen Momente angegeben werden können. Darauf wird später in diesem Abschnitt näher eingegangen.
Die Frage lautet nun: In welcher Beziehung stehen die Kreuzmomente nullter Ordnung vor und nach Affintrans-formation zueinander ?
Nach Gleichung 3.22 in koordinatenweiser Darstellung stehen die transformierten Koordinaten zu den untrans-formierten in folgender funktionaler Beziehung:
xa=xa(x, y) =a11x+a12y+b1 (3.29a) ya=ya(x, y) =a21x+a22y+b2. (3.29b) Zur Darstellung eines Integrals in transformierten Koordinaten muß man deren funktionale Beziehung in Form der Jacobi-Determinante einbringen.
Für den Ausdruck der affin transformierten Koordinaten in untransformierten lautet die Jacobi-Determinante:
∂(xa, ya)
∂(x, y) =
∂xa
∂x
∂ya
∂xa ∂x
∂y
∂xa
∂y
=
a11 a21 a12 a22
= detA. (3.30)
Diese Beziehung gilt äquivalent auch für(xa, ya, x, y).
Anschaulich ausgedrückt gibt die Jacobi-Determinante die Änderung der Größe einer Koordinaten-Einheitszelle (im R2 eine Fläche) bei Durchführung einer gegebenen Transformation an. Im vorliegenden Fall der affinen Transformation imR2ist das Verhältnis von transformierter zu untransformierter Fläche eben gerade gleich der Determinante der Matrix des homogenen Teils der Affintransformation.
Formal muß man also beim Übergang von affin transformierten zu untransformierten Koordinaten für das Integral in Gleichung 3.28 folgende Ersetzungen vornehmen:
dxadya−→ ∂(xa, ya)
∂(x, y) dxdy= (detA)dxdy bzw. dxadya −→∂(xa, ya)
∂(x, y)dxdy= (detA)dxdy. Damit und mit den Gleichungen 3.26c und 3.26d lassen sich nun die affin transformierten Kreuzmomente nullter Ordnung in Abhängigkeit der untransformierten Koordinaten angeben und damit direkt mit den untransfor-mierten Kreuzmomenten nullter Ordnung in Beziehung setzen. Die affin transforuntransfor-mierten Kreuzmomente nullter Ordnung nehmen dabei folgende Gestalt an:
µ1a,(0,0,0,0),s =
B
B
w1a,s(xa, ya, xa, ya)dxadyadxadya (3.31)
=
B
B
(detA)sw1,s(x, y, x, y) (detA)2dxdydxdy (3.32)
= (detA)s+2
B
B
w1,s(x, y, x, y)dxdydxdy (3.33) und damit
µ1a,(0,0,0,0),s= (detA)s+2µ1,(0,0,0,0),s. (3.34) Damit ist der Zusammenhang zwischen transformierten und untransformierten Auto-Kreuzmomenten herge-stellt. Die Kenntnis konkreter Punktkorrespondenzen ist dazu nicht mehr notwendig4.
Die abgeleitete Gleichung 3.34 stellt eine relative Invarianzbeziehung dar. Um daraus absolute affine Invarianten abzuleiten, muß die Abhängigkeit von (detA) eliminiert werden. Dazu geht man vor wie in Abschnitt 3.1.4
4Zur Anmerkung sei gesagt, daß analog dazu die Beziehungµ2a,(0,0,0,0),s=|detA|s+2µ2,(0,0,0,0),sgilt.
3.2. Kreuzmomente 49 und betrachtet die Auto-Kreuzmomente für zwei unterschiedliche Exponentens0unds1. Man benutzt also die relativen Invarianzbeziehungen
µ1a,(0,0,0,0),s0 = (detA)s0+2µ1,(0,0,0,0),s0 (3.35) µ1a,(0,0,0,0),s1 = (detA)s1+2µ1,(0,0,0,0),s1 . (3.36) Die Eliminierung von (detA) aus den Gleichungen 3.35 und 3.36 liefert die folgende Schar absoluter affiner Invarianten:5
φ(s0,s1) =
s1+2õ1a,(0,0,0,0),s1
s0+2õ1a,(0,0,0,0),s0 =
s1+2õ1,(0,0,0,0),s1
s0+2√µ1,(0,0,0,0),s0 . (3.37) Bis hierher wurde an die Exponentens0 unds1 keine einschränkende Bedingung gestellt. Wie man Gleichung 3.26a entnehmen kann, zeigt die Kreuzkorrelationsfunktionw1,s(x, y, x, y)folgendes Symmetrieverhalten:
w1,s(x, y, x, y) =
−w1,s(x, y, x, y)(antisymmetrisch) fur¨ s ist natürliche, ungerade Zahl
w1,s(x, y, x, y)(symmetrisch) fur¨ sist natürliche, gerade Zahl . (3.38) Ohne Beweis wird das folgende Theorem gegeben:
Theorem 10 (Symmetrietheorem) Wenn die Kreuzkorrelationsfunktion antisymmetrisch ist, also die Be-ziehung: w1,s(x, y, x, y) =−w1,s(x, y, x, y)gilt, dann ist auch das zugehörige Auto-Kreuzmoment antisymme-trisch, d.h. µ1,(p,q,k,l),s=−µ1,(k,l,p,q),s.Insbesondere gilt für die nullte Ordnung: µ1,(0,0,0,0),s= 0.
Wie bereits weiter oben angedeutet, lassen sich die Auto-Kreuzmomente nullter Ordnung für positive ganze Zahlen durch die zentralen geometrischen Momentemp,q ausdrücken:
µ1,(0,0,0,0),s= s g=0
(−1)s−g s
g
mg,s−gms−g,g. (3.39)
Zusammenfassend läßt sich also folgende für das Ziel der vorliegenden Arbeit wichtige Aussage treffen:
Für positive, gerade Zahlen s0, s1 lassen sich mit Hilfe von Auto-Kreuzmomenten nullter Ordnung absolute Invarianten unter affiner Transformation aus zentralen geometrischen Momentenmp,qableiten. Die Invarianten nehmen dabei folgende Gestalt an:
Φ(s0,s1) =
s1+2
s1
g1=0(−1)s1−g1s1
g1
mg1,s1−g1ms1−g1,g1
s0+2
s0
g0=0(−1)s0−g0s0 g0
mg0,s0−g0ms0−g0,g0
. (3.40)
Wählt mans0=s1,so ergibt sich der TrivialfallΦ(s0,s1) = 1,der jedoch für die angestrebte Objekterkennungs-aufgabe keine Bedeutung besitzt.
Die in Gleichung 3.20 definierten Auto-Kreuzmomente lassen sich naturgemäß nicht nur für ganze, sondern für beliebige reelle Zahlen s berechnen. Im allgemeinen Fall geht aber der Zusammenhang zu den zentralen geometrischen Momenten verloren. Aus diesem Grund werden hier nur positive, gerade s behandelt. Eine Diskussion zu reellen sfindet sich sich bei Yang & Cohen [1999].
Beispiel 11 Als Beispiel sei hier die absolute Invariante fürs0= 2unds1= 4angegeben, die den einfachsten nichttrivialen Fall darstellt. Sie nimmt folgende Form an:
Φ(2,4) = 6
m4,0m0,4+ 3m22,2−4m3,1m1,3
4
m2,0m0,2−m21,1
. (3.41)
In Abschnitt 3.1.5 wurde für Momentinvarianten aus algebraischen Momenten der Einfluß von Rauschen (sta-tistisch und aufgrund der Diskretisierung) untersucht. Eine entsprechende Untersuchung wurde auch für die soeben eingeführten Momentinvarianten aus Kreuzmomenten durchgeführt. Aus Gründen der direkten Ver-gleichbarkeit wurden ebenfalls die Bundesländer der BRD herangezogen (siehe Abbildung 3.2). Auch hier wird statistisches und Diskretisierungsrauschen unterschieden.
5Das Ergebnis in Yang & Cohen [1999] lautet abweichend davon: φ(s0,s1) = s1
õ
1,(0,0,0,0),s1 s√0µ
1,(0,0,0,0),s0,d.h. die Radikanden sind jeweils um den Wert 2 kleiner. Die Ursache hierfür liegt in der Ableitung. Yang & Cohen [1999]leiten die absoluten Invarianten aus Kreuzmomenten in diskreten Koordinaten (Raster) ab. Dabei wird nach Ansicht des Autors fälschlicherweise die Rolle der Jacobi-Determinante vernachlässigt. Dies schlägt sich darin nieder, daß das Ergebnis von Yang & Cohen [1999]für alle Transformationen, deren Determinante1ist, richtig ist, für alle anderen jedoch nicht. Diese Aussage läßt sich leicht durch Einsetzen beweisen.
50 Kapitel 3. Merkmalsgewinnung Statistisches Rauschen und Kreuzmoment-Invarianten
Der Einfluß von weißem Rauschen auf die Kreuzmoment-Invarianten Φ(2,4) bis Φ(8,6) (s. Gleichung 3.40) wurde durch Anbringen von statistischem Rauschen an den Polygonecken mit Standardabweichungen zwischen σmin= 0undσmax= 1/100◦ (etwa 1000m) untersucht. Die Auswirkungen des angebrachten Rauschens sind in Abbildung 3.3 am Beispiel der Grenze des Landes Berlin aufgezeigt. Hier wurden von den verrauschten Länder-konturen für alle Bundesländer die MomentinvariantenΦ(2,4)bisΦ(8,6)berechnet. Die Werte wurden normiert auf den jeweiligen unverrauschten Wert. Die relative Änderung der normierten Kreuzmoment-Invarianten ge-genüber dem unverrauschten Wert zeigt Abbildung 3.8.
0 ,0 0 ,2 0 ,4 0 ,6 0 ,8 1 ,0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
σRausch/ [1/1000˚]
σφ,norm/ [%]
φ8−2 φ6−2 φ8−4 φ4−2 φ6−4 φ8−6
Abbildung 3.8: Verhalten der Momentinvarianten Φ(2,4) bis Φ(8,6) unter statistischem Rauschen. Die Standardabweichung ist in der Abszisse abgetragen, während auf der Ordinate die Standardabweichung der Invarianten, gemittelt über alle Objekte aus Abbildung 3.2, abgetragen ist.
Im Gegensatz zu den MomentinvariantenΨ1bisΨ4, bei denen im gleichen Untersuchungsintervall (0.001-0.01◦) relative Fehler von bis über 30% auftraten, liegen hier die relativen Fehler über alle Objekte des Testdaten-satzes gemittelt für alle Invarianten unter 1%. Für weißes Rauschen zeigt sich also eine wesentlich verringerte Empfindlichkeit der Kreuzmoment-Invarianten.
Diskretisierungsrauschen und Kreuzmoment-Invarianten
Für den Einfluß der Pixelgröße auf die Kreuzmoment-Invarianten Φ(2,4) bis Φ(8,6) wurde analog zu den Betrachtungen in Abschnitt 3.1.6 eine Aufrasterung der Länderpolygone in Pixelgrößen von 1-10 Einheiten untersucht. Die Ergebnisse zeigt Abbildung 3.9. Auch hier ist mit einem maximalen relativen Fehler von weniger als 5% im selben Untersuchungsbereich gegenüber mehr als 150% für Momentinvarianten (Abbildung 3.6) eine deutliche Abnahme der Empfindlichkeit gegen Diskretisierungsrauschen zu beobachten.
Insgesamt zeigen die Untersuchungen zum Einfluß von statistischem Rauschen und Diskretisierungsrauschen, daß Kreuzmoment-Invarianten infolge höherer Robustheit besser zur Objekterkennung geeignet sind als die Momentinvarianten, die auf algebraischen Invarianten beruhen. Für den weiteren Verlauf der Arbeit werden aufgrund dieses Ergebnisses lediglich die Kreuzmoment-Invarianten betrachtet.