Schnit-a) -5 0 Index ν 5 10
-80 -60 -40 -20 0
Koppelkoeffizient 20lg( k nν
) / dB
1 2 3 4 Element n
b) -5 0 Index ν 5 10
-80 -60 -40 -20 0
Koppelkoeffizient 20lg( k nν
) / dB
1 2 3 4 Element n
Bild 4.5: Betrag der Koppelkoeffizienten knν aus derFourier-Zerlegung der simulierten aktiven Elementdiagramme a) der Gruppe aus vier Dipolen und b) der Gruppe aus vier U-geschlitzten Mikrostreifenleitungsantennen.
tebene Φ = 0 sind dann die gesuchten Fourier-Koeffizienten knν = 1
2π Z π
−π
haktn (Θ)
giso(Θ)e−jνvdv, v =kdsin Θ =πsin Θ. (4.36) Das Elementdiagramm des isolierten Strahlers giso(Θ) muss dabei frei von Nullstellen in-nerhalb des Integrationsbereiches sein. Da die Grenzen des Integrals vmin,max = ±π = πsin Θmin,max sind, muss das Integral bei einem Elementabstand d = λ/2 innerhalb der Grenzen Θmin,max =±π2 ausgewertet werden. Bei gr¨oßerem Elementabstand verringert sich dieser Winkelbereich. Damit die Integration nicht außerhalb des Definitionsbereiches der Elementdiagramme durchzuf¨uhren ist, muss der Elementabstand immer gr¨oßer oder gleich λ/2 sein. Die Bestimmung der Koeffizienten knν aus der Integration ¨uber den Winkel Θ erfolgt somit durch
knν = kd 2π
Z π/2
−π/2
haktn (Θ)
giso(Θ)e−jνπsin Θcos ΘdΘ. (4.37) Die Behandlung zweidimensionaler Gruppen ist analog dazu mit der zweidimensionalen Fourier-Transformation m¨oglich [79]. Die Berechnung der Koeffizienten knν mit Indizes außerhalb des Bereiches 1 ≤ ν ≤ N erlaubt zudem eine qualitative Aussage ¨uber die zu erwartende G¨ute der Kalibrierung [80].
F¨ur die beiden vorgestellten Beispielantennen sind die aus den aktiven Elementdiagrammen berechneten Fourier-Koeffizienten in Bild4.5dargestellt. F¨ur die Dipolgruppe zeigt sich, dass die Koeffizienten knν im Bereich des Index ν = 1. . .4 nennenswerte Beitr¨age liefern.
Weiterhin spiegelt sich die Symmetrie der Elementanordnung in der symmetrischen Struk-tur der Koeffizienten wieder. Außerhalb dieses Indexbereiches fallen die Werte auf unter -50 dB ab und sind daher vernachl¨assigbar. Dieses Ergebnis st¨utzt die eingangs formu-lierte Annahme, dass im Fall der Dipolgruppe vorwiegend von Fehlern durch Verkopplung auszugehen ist, die vollst¨andig durch eine Koppelmatrix Kbeschrieben werden und somit sehr gut kompensierbar sind.
kalibriert nicht kalibriert
a)
-180 -90 0 90 180
Winkel Θ / ° 0
10 20 30 40 50
Relativer Fehler δ / %
b)
-90 -45 0 45 90
Winkel Θ / ° 0
10 20 30 40 50
Relativer Fehler δ / %
Bild 4.6: Relativer Fehler zwischen kalibrierter bzw. unkalibrierter und idealer r¨aumlicher Impulsantwort a) der Gruppe aus vier Dipolen und b) der Gruppe aus vier U-geschlitzten Mikrostreifenleitungsantennen.
Bei Betrachtung der Mikrostreifenleitungsantennen stellt sich ein anderes Ergebnis ein.
Die Werte der Koeffizienten knν fallen außerhalb des Indexbereiches ν = 1. . .4 kaum ab.
Der Grund daf¨ur ist, dass die aktiven Richtdiagramme nicht nur durch die Elementver-kopplung, sondern auch von dem Aufbau der Antenne beeinflusst werden. Beispiele daf¨ur sind hier die endliche Dimension des Substrates und der Massefl¨ache. Dar¨uber hinaus ist davon auszugehen, dass die Annahme eines monomodigen Elementes verletzt ist. Das be-deutet, dass auf den eingebetteten Antennenelementen Stromverteilungen entstehen, die nicht mehr exakt der Stromverteilung eines isolierten Elementes entsprechen. Dieses Er-gebnis l¨asst bereits vermuten, dass eine winkelunabh¨angige Kalibrierung der Gruppe mit diesem Verfahren nur mit Einschr¨ankungen m¨oglich sein wird.
Zur Quantifizierung des Kalibrierfehlers wird der in Gleichung 4.29gegebene relative Feh-ler zwischen kalibrierter und unkalibrierter r¨aumlicher Impulsantwort ausgewertet und ist f¨ur die beiden Beispiele in Bild 4.6 gezeigt. Die Berechnung basiert dabei zun¨achst auf den simulierten aktiven Elementdiagrammen in ∆Θ = 1 –Schritten. F¨ur die Mikrostrei-fenleitungsantenne ist der Fehler nur im Winkelbereich ±90 dargestellt, da das ideale Elementdiagramm außerhalb dieses Bereiches Null und der relative Fehler somit nicht de-finiert ist. Der Fehler in den unkalibrierten Diagrammen liegt f¨ur beide Gruppen in der gleichen Gr¨oßenordnung. Die Kalibrierung der Dipolgruppe funktioniert mit diesem An-satz hervorragend und best¨atigt somit die Beobachtungen bei den Koppelkoeffizienten in Bild 4.5 a). Im Gegensatz dazu zeigt sich f¨ur die Mikrostreifenleitungsantenne nur eine geringe Verbesserung des Fehlers durch diese Kalibrierung.
Liegen nur Messungen innerhalb eines eingeschr¨ankten Winkelsegmentes vor, kommt das einer Fensterung der Referenzdaten im Winkelbereich gleich. Dies hat im Spektralbereich eine Faltung mit der entsprechenden Fourier-Transformierten der Fensterfunktion zur
Folge. Dadurch wird die Bestimmung der Koppelkoeffizienten bei diesem Vorgehen unter Umst¨anden ungenauer und ein anderes Verfahren zur Bestimmung einer Korrekturmatrix ist vorzuziehen.
4.2.3 Lineare Interpolation der r¨ aumlichen Impulsantwort
F¨ur die Kalibrierung der fehlerhaften r¨aumlichen Impulsantwort der Gruppe l¨asst sich das in [81] vorgestellte Verfahren zur Interpolation der Mannigfaltigkeit einer Antennengruppe durch die einer virtuellen Gruppe anwenden. Die Basis dazu ist die Suche eines Minimums f¨ur den Mittelwert des quadratischen Fehlersδ(Ω) aus Gleichung4.28innerhalb eines vorab bestimmten Winkelsegmentes. Die grunds¨atzliche Annahme der linearen Interpolation ist, dass eine Matrix Cl existiert, welche die fehlerbehaftete und die ideale r¨aumliche Impuls-antwort innerhalb der Grenzen Ωl,min ≤Ω≤Ωl,max miteinander verkn¨upft:
Clhˇ−h ≈0. (4.38)
Neben der Festlegung der Winkelsektoren, innerhalb derer die N¨aherung g¨ultig sein soll, ist f¨ur die Interpolation vor allem die Frage der Auslegung der virtuellen Gruppe zu beantwor-ten. Im Falle der Kalibrierung wird diese Rolle naturgem¨aß durch die fehlerfreie Gruppe ubernommen. Es ist jedoch strengstens darauf zu achten, dass die Phasenreferenz, d.h. der¨ zur Bestimmung der Phasenbeziehungen festgelegte Referenzpunkt der beiden Gruppen bzw. Impulsantworten, ¨ubereinstimmt. Ist dies nicht der Fall, dann wird die Kalibrierung oder Interpolation keine guten Ergebnisse liefern, da eine winkelabh¨angige Variation der Phase durch diesen Ansatz nicht erfasst werden kann.
Um die AnzahlLder getrennt zu behandelnden Sektoren klein zu halten, ist ein m¨oglichst großer Winkelbereich f¨ur die Interpolation w¨unschenswert. Der zul¨assige Fehler der In-terpolation wird dabei eine Untergrenze f¨ur L bestimmen. Werden nun innerhalb des zu interpolierenden bzw. kalibrierenden SektorsO Referenzwinkel Ωofestgelegt, dann entsteht f¨ur die Berechnung der Koppelmatrix Cl das System:
minCl
Cl·Hˇ −H . (4.39)
Darin enthalten die Matrizen H und H, beide mit der Dimensionˇ N × O, jeweils die idealen und fehlerbehafteten r¨aumlichen Impulsantworten der Referenzwinkel Ωo aus dem l–ten Sektor. In diesem Gleichungssystem treten N2 Unbekannte in der Matrix Cl auf, f¨ur deren Bestimmung N ·O Gleichungen vorliegen. Da die Anzahl der Referenzwerte die Anzahl der Elemente h¨aufig deutlich ¨ubersteigt, handelt es sich um ein ¨uberbestimmtes Gleichungssystem. Die Kalibrier- bzw. Interpolationsmatrizen Cl entsprechen somit der L¨osung dieses Systems und sind im Sinne des kleinsten quadratischen Fehlers durch die Multiplikation mit der Pseudoinversen von Hˇ zu berechnen:
Cl =H·Hˇ† (4.40)
-90 -45 0 45 90 Winkel Θ / °
0 10 20 30 40 50
Relativer Fehler δ / %
Kalibriersektor -60° ... 60°
-60° ... -20°
-20° ... 20°
20° ... 60°
-60° ... 60°
-20° ... -20°
-60° ... -20°
20° ... 60°
Bild 4.7: Relativer Fehler zwischen kalibrierter bzw. unkalibrierter und idealer r¨aumlicher Impulsantwort nach Interpolation der r¨aumlichen Impulsantworten f¨ur unterschiedliche Winkelsektoren.
Mit der so erhaltenen Korrekturmatrix und der Gleichung 4.26erfolgt die Bestimmung der kalibrierten r¨aumlichen Impulsantwort der Gruppe. Wie bei der Bestimmung der Kalibrier-matrix aus derFourier-Zerlegung der aktiven Elementdiagramme ist die Kalibrierung der Dipolgruppe mit einem Restfehler unterhalb 0.5 bereits mit wenigen Referenzwerten f¨ur den gesamten betrachteten Winkelbereich m¨oglich. Die Kalibrierung ist also durch die Interpolation in einem einzigen Winkelsektor sehr gut m¨oglich.
Dem Bild 4.7 ist zu entnehmen, dass die Kalibrierung der Mikrostreifenleitungsantenne innerhalb des Winkelsektors Θ = ±60 kaum zu einer Ver¨anderung gegen¨uber dem Fehler δ aus der Fourier-Zerlegung der aktiven Elementdiagramme in Bild 4.6 b) f¨uhrt. Durch die variable Auslegung der Interpolationssektoren, z.B. drei Sektoren zu je 20 , kann der Fehler jedoch deutlich abgesenkt werden.