2.3 Richtungssch¨atzung
3.1.3 Fallbeispiele
vorgenommen. Diese liefert auf der Diagonalen von Λ die beiden Eigenwerte λmax und λmin, denen die Eigenvektoren umax und umin in der Matrix U zugeordnet sind. Demnach wird das Maximum genau dann erreicht, wenn die Polarisation der zu empfangenden oder abzustrahlenden Welle
popt =uHmax (3.26)
ist. Die obere Grenze f¨ur die Direktivit¨at in Richtung Ω0 ist weiterhin durch den großen Eigenwert λmax gegeben und kann somit ohne a-priori-Kenntnis der Polarisation aus der durchgef¨uhrten Eigenwertzerlegung bestimmt werden.
Dem zweiten Eigenwert λmin ist analog dazu die Direktivit¨at zugeordnet, welche mit der zu popt orthogonalen Polarisation uHmin erreicht wird. Die zwei Eigenwerte legen also den Wertebereich fest, in dem sich die maximale partielle Direktivit¨at bewegt:
λmin ≤Dp,max≤λmax. (3.27)
Neben der Winkelabh¨angigkeit der optimalen Direktivit¨at Dopt(Ω0) ist deshalb auch das Verh¨altnis der beiden Eigenwerte λmin und λmax ein relevanter Parameter zur Charakteri-sierung der Gruppe:
ν(Ω0) = λmin
λmax
. (3.28)
Sind die aus der Eigenwertzerlegung resultierenden Eigenwerte gleich groß und ν = 1, so kann die optimale Direktivit¨at Dopt f¨ur jede beliebige Polarisation in dieser Richtung erhalten werden. Die so bestimmte maximal erreichbare Direktivit¨at ist eine intrinsische Eigenschaft der Antennengruppe und somit als charakteristischer Parameter zur Spezifit-kation oder zur Bewertung einer Gruppenkonfiguration zu verwenden.
a)
0 30 60 90 120 150 180
Schwenkwinkel Θ0 / ° 6
9 12 15 18
Maximale Direktivität Dmax / dBi
0.3 0.5 0.7 Abstand d/λ
b)
0 30 60 90 120 150 180
Schwenkwinkel Θ0 / ° 6
9 12 15 18
Maximale Direktivität Dmax / dBi
0.3 0.5 0.7 Abstand d/λ
Bild 3.1: Maximal erreichbare Direktivit¨at einer linearen Antennengruppe entlang der z-Achse ausN = 9 Elementen im Abstand d: a) Isotrope Kugelstrahler und b)z-gerichtete Hertz’sche-Dipole.
r¨aumlichen Impulsantwort ist die Bestimmung der partiellen und der optimalen Direkti-vit¨at nicht gegeben. Vielmehr vereinen sich im polarisationsfreien Fall alle DirektiDirekti-vit¨aten in der durch Gleichung 3.21 gegebenen maximal erreichbaren Direktivit¨at
Dmax =hH0h0 =N, (3.30)
die somit in dem speziellen Fall d= λ2 unabh¨angig vom Schwenkwinkel ist und der Anzahl der Gruppenelemente entspricht.
Wie der Verlauf der maximal erreichbaren Direktivit¨at f¨ur eine entsprechende Gruppe aus N = 9 Elementen in Bild 3.1 a) zeigt, entsteht bei Variation des Elementabstan-des eine Winkelabh¨angigkeit f¨ur die maximal erreichbare Direktivit¨at. Die analytische L¨osung f¨ur eine lineare Gruppe mit Elementen im Abstand d = 0.5λ liefert den Wert Dmax =lg(9)=9.5 dBi. Durch die vergr¨oßerte Apertur im Fall d = 0.7λ ist senkrecht zur Gruppenachse eine gr¨oßere Direktivit¨at von Dmax =10.8 dBi in einem Winkelbereich von
±20 senkrecht zur Gruppenachse festzustellen. Gr¨oßere Schwenkwinkel f¨uhren im Richt-diagramm zu auftretenden sekund¨aren Hauptkeulen und dadurch zur Verringerung der Di-rektivit¨at. Die Verkleinerung des Elementabstandes aufd= 0.3λbewirkt dementsprechend senkrecht zur Gruppenachse die Verringerung der erreichbaren Direktivit¨at. Entlang der Gruppenachse k¨onnen dagegen extrem hohe Werte auftreten. Diesem in der Literatur als Superdirektivit¨at bezeichnetem Effekt kommt praktisch jedoch nur eine geringe Bedeutung zu, da der Wirkungsgrad der Gruppe durch die starke elektromagnetische Verkopplung der Antennenelemente in diesem Betriebspunkt ¨ublicherweise schlecht ist. Der gelegentlich in der Literatur verwendete Begriff
”Super-Gain“ ist daher irref¨uhrend, weil der sehr hohen Direktivit¨at in der Regel nur ein geringer Antennengewinn zugeordnet ist [6].
Im Vergleich dazu zeigt das Bild 3.1 b) die Ergebnisse der maximal erreichbaren Direk-tivit¨at einer linearen Gruppe, nun aus neun z-gerichteten Hertz’schen-Dipolen mit den
a)
x y z
b)
x y z
c)
x y z
Bild 3.2: Unterschiedliche Kreisgruppen aus N = 9 a)z-gerichteten, b)ρ-gerichteten und c) φ-gerichteten Hertz’schen-Dipolen im Abstand 0.5λ entlang des Kreisbogens.
Elementdiagrammen nach Gleichung B.5. In Richtung der Gruppenachse zeigen die Ele-mentdiagramme eine Nullstelle und demnach ist die erreichbare Direktivit¨at klein. In dem Winkelbereich von etwa±30 senkrecht zur Gruppenachse sind die Resultate von denen der Gruppe aus isotropen Strahlern kaum zu unterscheiden. Das ist insofern bemerkenswert, da die Direktivit¨at der Gruppenelemente von 0 dBi auf 1.76 dBi gestiegen ist, die Direktivit¨at der Gruppe sich in diesem Winkelbereich aber nur um wenige Zehntel dB verbessert. Die anschauliche Begr¨undung daf¨ur liegt in der Tatsache, dass sich das Diagramm der Gruppe bei diesen Schwenkrichtungen nicht nennenswert durch die Elementdiagramme der Dipole ver¨andert.
Mit Hilfe der optimalen Direktivit¨at wird nachfolgend der Vergleich der Kreisgruppen aus Bild3.2mit jeweilsN = 9 unterschiedlich orientiertenHertz’schen-Dipolen durchgef¨uhrt.
Die Position der Elemente ist f¨ur alle Gruppen durch rn =
ρ·cosφn
ρ·sinφn
0
(3.31)
gegeben, wobei die Winkel φn = (n−1)2πN und der Radius ρ= N d2π sind. Die entsprechende r¨aumliche Impulsantwort der Gruppe ist dann
h = diag
ejkρsin(Θ) cos(Φ−φ)
·g. (3.32)
Der Vektor φ= [φn] enth¨alt dabei die N Elementwinkel w¨ahrend die Elementdiagramme der ρ-, φ- oder z-gerichteten Hertz’schen-Dipole, entsprechend der Gleichung B.9, in der Matrix g zusammengefasst sind. Bei dem gew¨ahlten Abstand der Elemente von 0.5λ ent-lang des Kreisbogens folgt der Gruppenradius f¨ur alle drei betrachteten Konfigurationen zu ρ = 4π9 λ.
Die Resultate der maximal erreichbaren Direktivit¨at sind nahezu rotationssymmetrisch, sodass die Diskusion der Ergebnisse in Bild 3.3a) auf die Abh¨angigkeiten vom Elevations-schwenkwinkel Θ0 beschr¨ankt ist.
Da bei Ausrichtung aller Elemente entlang der z-Richtung nur Θ-gerichtete Feldkompo-nenten auftreten, entf¨allt die Betrachtung der Polarisationsabh¨angigkeit der erreichbaren
a)
0 30 60 90 120 150 180
Schwenkwinkel Θ0 / ° 0
5 10 15
Optimalwert der Direktivität Dopt / dBi
0 1 2 3 : : : ρφ z
Dipolaus-richtung
Eigenwertverhältnis ν
b)
0 30 60 90 120 150 180
Elevationswinkel Θ / ° -25
-20 -15 -10 -5 0
Richtdiagramm |c(Θ)| / dB
: : ρφ Dipolausrichtung
Bild 3.3: a) Optimum der erreichbaren Direktivit¨atDopt und Verh¨altnis der Eigenwerte ν der in Bild 3.2gezeigten Kreisgruppen aus neun unterschiedlich orientierten Hertz ’schen-Dipolen. b) Elevationsdiagramme der Kreisgruppen aus ρ- und φ-gerichteten Dipolen f¨ur den Schwenkwinkel Θ0 = 0 und zirkulare Polarisation.
Direktivit¨at. Weiterhin ist in diesem Fall das Eigenwertverh¨altnis ν = 0, unabh¨angig vom Schwenkwinkel. Erwartungsgem¨aß liegt das Maximum der erreichbaren Direktivit¨at in der Ebene Θ0=90 , in der auch die Elementdiagramme ihren H¨ochstwert erreichen. Gegen¨uber der linearen Konfiguration aus dem vorhergehenden Beispiel werden trotz der kompakteren kreisf¨ormigeren Anordnung der Elemente mit bis zu 11.2 dBi vergleichbar hohe Direkti-vit¨atswerte erreicht.
Beim Vergleich der verbleibenden beiden Kreisgruppen mit ρ- undφ-orientierten Elemen-ten ist zun¨achst kaum ein nennenswerter Unterschied zu vermuElemen-ten, da zu jedem Element der einen Gruppe ein Pendant in der anderen Gruppen finden ist. Im Schwenkwinkelbereich von 90 ±60 trifft dies auch so zu. In diesem Winkelbereich ist das Verh¨altnis der Eigenwer-teν sehr klein, da die Anregung der Φ-gerichteten Feldkomponenten dominant ist. Dagegen ist das Eigenwertverh¨altnis beider Gruppenkonfigurationen in Richtung der Gruppenachse ν = 1 und der optimale Direktivit¨atswert ist damit polarisationsunabh¨angig. Weiterhin sind Unterschiede im Verlauf der optimalen Direktivit¨aten in dieser Richtung festzustel-len. W¨ahrend mit der Gruppe aus ρ-gerichteten Elementen Direktivit¨aten von ¨uber 9 dBi m¨oglich sind, liegen die Werte der Gruppe aus φ-gerichteten Elementen ¨uber 3 dB darun-ter. Die Ursache daf¨ur ist aus den Richtdiagrammen f¨ur den Fall zirkularer Polarisation in Bild 3.3b) zu erkennen. F¨ur beide Gruppen ist der Verlauf der Hauptkeule fast identisch.
Mit der Gruppe aus ρ-gerichteten Elementen ist aber eine recht gute Unterdr¨uckung der Nebenkeulen zu erreichen, w¨ahrend die Gruppe ausφ-gerichteten Elementen in einem sehr großen Winkelbereich nur eine Nebenkeulenunterdr¨uckung unterhalb 10 dB zeigt, was zu der deutlichen Verkleinerung der Direktivit¨at f¨uhrt. In der Richtung Θ=180 verschwin-det die Abstrahlung in der gew¨unschten zirkularen Polarisation, w¨ahrend die hier nicht gezeigte, entgegengesetzt zirkular polarisierte Abstrahlung in dieser Richtung maximal ist.
a)
0 30 60 90 120 150 180
Schwenkwinkel Θ0 / ° 2
4 6 8 10 12
Optimalwert der Direktivität Dopt / dBi
30°
45°
60°
52°
Dipolaus-richtung
b)
0 30 60 90 120 150 180
Schwenkwinkel Θ0 / ° 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Eigenwertverhältnis ν
30°
45°
60°
52°
Dipolaus-richtung
Bild 3.4: Parameterstudie a) zum Optimalwert der erreichbaren Direktivit¨at und b) zum Eigenwertverh¨altnis einer Kreisgruppe aus neun ρ-z-orientierten Dipolen. Dipolausrich-tung: 0 = Orientierung entlang der z-Achse, 90 = Orientierung entlang der ρ-Achse.
Aus diesen Resultaten ist zu schließen, dass nur durch ¨Anderung der Orientierung der Dipole in der Kreisgruppe ein gew¨unschter Verlauf der optimalen Direktivit¨at und des Eigenwertverh¨altnisses anzun¨ahern ist. In Bild3.4sind die entsprechenden Ergebnisse einer Parameterstudie vom ¨Ubergang der z-orientierten in die ρ-orientierte Lage der Dipole gezeigt. Der Winkel der Dipolausrichtung bewegt sich dazu innerhalb der Grenzen 0 , d.h. der Orientierung entlang der z-Achse, und 90 , d.h der Orientierung entlang der ρ-Achse. Aus den Ergebnissen f¨ur die Kippwinkel 30 , 45 und 60 ist zu erkennen, dass eine Konfiguration m¨oglich ist, mit der ein gleichm¨aßiger Verlauf der optimal erreichbaren Direktivit¨at und einem Eigenwertverh¨altnis nahe Eins f¨ur alle Schwenkwinkel m¨oglich ist.
Diese Konfiguration erh¨alt man schließlich durch Verkippung der Elemente um etwa 52 gegen¨uber der Gruppenachse.
Mit der Bestimmung der optimal erreichbaren Direktivit¨at Dopt(Ω0) und dem Eigenwert-verh¨altnis ν(Ω0) sind zwei wesentliche Gr¨oßen zur Spezifikation der Diagrammformungs-eigenschaften von Gruppenkonfigurationen definiert. Weiterhin ist es denkbar, erreichbare Direktivit¨aten unter der Annahme weiterer Randbedingungen, wie auftretender St¨orsignale oder Anforderungen an die Nebenkeulenunterdr¨uckung, zu bestimmen. Diese Gr¨oßen sind jedoch nur teilweise durch die Gruppenkonfiguration festgelegt und in der Regel durch itterative L¨osungsverfahren zu ermitteln. Daher erscheint die Anwendung solcher Gr¨oßen zur allgemeinen Charakterisierung von Gruppenkonfigurationen nicht sinnvoll.
Bei der Anwendung von Diagrammformungsverfahren zur Richtungssch¨atzung ist die er-reichbare Direktivit¨at und deren Verkn¨upfung mit der Breite der Hauptkeule einer Antenne sicherlich als Kenngr¨oße f¨ur die Genauigkeit einer Richtungssch¨atzung anwendbar. F¨ur die Verwendung hochaufl¨osender Verfahren ist dieser Ansatz jedoch nicht ausreichend. Der folgende Abschnitt behandelt daher die Entwicklung einer entsprechenden Kennzahl zur Spezifikation der Winkelaufl¨osung einer Gruppenkonfiguration.