Kurze Zeit nachdem die heutige Quantentheorie im Jahre 1926 von E. Schrödinger und W. Heisenberg begründet wurde, hatten L. H. Thomas[78] und E. Fermi[79] erstmals die Idee, die Energie ( (sowie andere Eigenschaften) eines Systems als Funktional der Elektronendichte ρU auszudrücken. Die Genauigkeit der ersten Versuche war allerdings – durch den Mangel an geeigneten Molekülorbitalen – alles andere als zufriedenstellend.
Die grundlegenden Theoreme des Dichtefunktionalformalismus stammen von P. Hohenberg und W. Kohn (1. Hohenberg-Kohn-Theorem).[80] Sie zeigten, dass die Eigenschaften des Grundzustandes eines Systems aus Elektronen und Ionen in einem äußeren Feld 9H[W
ausschließlich durch die Elektronendichte Q(U) bestimmt werden. Aufgrund seiner Arbeiten zur Dichtefunktionaltheorie erhielt W. Kohn zusammen mit J. A. Pople, der entscheidend zur Entwicklung quantenmechanischer Berechnungen mit Computerprogrammen, die für einen breiten Anwenderkreis verfügbar sind, beitrug, im Jahre 1998 den Nobelpreis für Chemie.
Die Elektronendichte bestimmt das externe Potential eindeutig und damit den Hamilton-Operator, der wiederum die Wellenfunktion und somit alle Moleküleigenschaften als
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Erwartungswerte entsprechender Operatoren bestimmt. Die Gesamtenergie ist also ein Funktional der Dichte, d.h. ( = (Q. Weiter zeigten P. Hohenberg und W. Kohn (2. Hohenberg-Kohn-Theorem), dass das Variationsprinzip auf Dichtefunktionale angewendet werden darf. Es gilt (Q≥(GZ (GZ=Grundzustand); die Gleichheit ist erreicht für Q = QGZ. Praktisch anwendbar wurde dieser Formalismus durch die Beobachtung von W. Kohn und L. J. Sham,[81] dass die Minimierung von (Q wesentlich vereinfacht wird, wenn (Q aufgeschlüsselt wird in:
70 ist hier die kinetische Energie eines Systems der Elektronendichte Q ohne Elektron-Elektron-Wechselwirkung. ϕ(U) ist das Coulomb-Potential, und ([F definiert die Austauschkorrelationsenergie. Das Variationsprinzip ergibt [3.2], wobei µ der Lagrange-Parameter ist, der mit der Bedingung konstanter Teilchenzahl zusammenhängt.
δ µ
Gleichung [3.2] gilt für ein wechselwirkendes System aus Elektronen und Ionen. Die Lösung der entsprechenden Gleichung [3.3] für ein System nicht-wechselwirkender Teilchen wird durch Lösen der Schrödinger-Gleichung [3.4a] erhalten. Für die Dichte ergibt sich Gleichung [3.4b], in der die Summe über i Orbitale mit Besetzungszahlen Ii läuft.
δ µ
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Die Probleme [3.2] und [3.3] sind mathematisch identisch, wenn man 9(U) gemäß [3.5]
definiert.
Diese Bedingung wird in der Praxis durch einen Selbstkonsistenz-Cyclus erfüllt (SCF-Methode; VHOIFRQVLVWHQWILHOG). Das Verfahren ist analog der Methode des selbstkonsistenten Feldes zur Lösung der Vielteilchen-Schrödingergleichung, es handelt sich ebenfalls um ein iteratives Verfahren. Zusätzlich wird bei DF-Rechnungen der Wert ([F bestimmt, der jedoch nicht analytisch abgeschätzt werden kann, sondern über eine numerische Integration berechnet werden muss.
Bei der Methode des selbstkonsistenten Feldes wird zur Lösung der Schrödingergleichung zunächst eine bestimmte Basis für die Berechnung ausgewählt. Aus der mit dieser Basis erhaltenen Elektronenverteilung wird die potentielle Energie aller Elektronen berechnet. Die Schrödingergleichung für ein Molekül mit P Elektronen wird in P Gleichungen für jeweils ein Elektron aufgespaltet. Für HLQ Elektron wird die Schrödingergleichung anschließend numerisch gelöst. Das Verfahren wird für alle Elektronen des Moleküls wiederholt, so dass man einen verbesserten Satz an Orbitalen erhält. Dieser unterscheidet sich in der Regel von der Originalbasis. Das Verfahren wird so lange fortgesetzt, bis sich keine signifikante Änderung während der Iteration mehr ergibt. In diesem Stadium sind Orbitale selbstkonsistent und werden als beste Lösung für das System akzeptiert. Das Verfahren wurde ursprünglich von D. Hartree angewandt und durch W. A. Fock verfeinert. Aus diesem Grunde wird es häufig Hartree-Fock-Verfahren genannt.[82]
Der mathematische Ausdruck des von W. Kohn und L. J. Sham erarbeiteten Verfahrens zur Berechnung der Elektronendichten ergibt sich aus dem Ansatz von D. Hartree und W. A. Fock.
Die Gleichungen ähneln sich und sie sind mit denselben Methoden zu lösen. Das Verfahren zur Lösung der Dichtefunktional-Einteilchengleichungen beginnt mit einer Anfangsdichte Q, die einer vorgegebenen geometrischen Ordnung der Atomkerne entspricht. Meist wird diese Anfangsdichte durch Extrapolation von Atomdichten erhalten. Im Standardverfahren werden die DF-Gleichungen gelöst, indem die Einteilchenwellenfunktionen (Molekülorbitale) variierend in Basissätze expandiert werden. Wenn der Hamilton-Operator und die Elemente der
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Überlappungsmatrix berechnet sind, werden die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmt. Die Orbitale werden dem Aufbauprinzip entsprechend besetzt (unter Anwendung der Fermi-Dirac-Statistik) woraus eine neue Elektronendichte resultiert. Dies komplettiert einen Cyclus des SCF-Verfahrens.[83] Von dem Anfangswert der Dichte Q ausgehend wird also 9(U) berechnet und daraus Q. Dieser Vorgang wird wiederholt bis Q=Q.
Als Lösung erhält man die Energie und Elektronendichte des Grundzustandes eines Systems und alle daraus abgeleitete Größen. Mit dieser Methode lässt sich allgemein der energetisch tiefstliegende Zustand einer gegebenen Symmetrie berechnen, wenn man sich bei der Dichtevariation auf Dichten beschränkt, die durch die richtigen Symmetriequantenzahlen charakterisiert sind.
Das Problem der DF-Theorie ist, dass zwar 70, sowie die Ionen- und Elektronen-Elektronen-Wechselwirkungen in Gleichung [3.1] ohne Schwierigkeiten zu bestimmen sind, aber ([F nur als Differenz zwischen der Summe dieser Terme und der exakten Energie GHILQLHUW ist. In ([F sind alle unbekannten Größen enthalten. Für Atome und Moleküle ist ([F relativ klein, aber dennoch keineswegs vernachlässigbar. Näherungen für ([F spielen demnach in Anwendungen der DF-Theorie eine wesentliche Rolle, und es macht den Unterschied zwischen den verschiedenen Methoden und Näherungsverfahren aus, ZLH([F beschrieben wird.
1lKHUXQJVYHUIDKUHQ
Für Dichtefunktionalmethoden ist eine möglichst gute Annäherung an ([F notwendig. Selbst die beste Lösung von DF-Gleichungen kann nur die Genauigkeit der Näherung für ([F
widerspiegeln. Es besteht keine Möglichkeit, die Genauigkeit der Rechnungen systematisch zu verbessern.[84] Dies ist einer der bedeutendsten konzeptionellen Unterschiede zu Hartree-Fock-Methoden, bei denen zumindest prinzipiell ein systematischer Weg zur Verbesserung der Ergebnisse existiert.
Gewöhnlich wird ([F aufgeteilt in den Austausch- und in den Korrelationsteil:
([FQ) = ([ (Q) + (F (Q) [3.6]
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Beide Funktionale können dabei zwei unterschiedlichen Typen angehören: ORNDOHQ Funktionalen, die nur von der Elektronendichte abhängig sind oder JUDGLHQWHQNRUULJLHUWHQ Funktionalen, die zusätzlich einen Gradienten enthalten.[85]
Die gängigste Näherung für ([F ist die Lokale-Spindichte-Näherung (ORFDO GHQVLW\
DSSUR[LPDWLRQ, LDA).[84]
([F = ∫GUQUεxcQ↑UQ↓U [3.7]
Hier ist ε[FQ↑UQ↓U die Austausch- und Korrelationsenergie pro Teilchen eines homogenen, spinpolarisierten Elektronengases mit Dichten n↑ und n↓ für Spin ↑ bzw. Spin ↓. Lokale Dichtenäherungen sind exakt für Systeme mit konstanter Elektronendichte, wie z. B.
ein ideales Metall. Je stärker die Elektronendichte variiert, desto ungenauer ist die Methode.
Dichteverteilungen in Atomen und Molekülen sind sehr inhomogen, daher sind gradientenkorrigierte Funktionale vorzuziehen, bei denen die Spindichten jeweils mit einem Gradienten erweitert werden.