Bemerkung 23.1. Wir übertragen die Endlichkeitsbedingungen für Moduln auf Ringe und werden feststellen, dass es (im Gegensatz zu Moduln) durchaus Abhängigkeiten zwischen den Begriffen gibt.
Definition 23.2. Ein Ring R heißt (links)noethersch (bzw. (links)artinsch, (links)halbeinfach), falls der reguläreR-Linksmodul noethersch (bzw. artinsch, halbeinfach) ist.1
Beispiel 23.3.
(i) Jeder Körper K ist noethersch, artinsch und halbeinfach, denn hier sind 0 undK die einzigen Linksideale.
(ii) Jeder Hauptidealring ist noethersch, denn hier ist jeder Untermodul ein Hauptideal und daher von nur einem Element erzeugt. Andererseits sind die Hauptidealringe ZundK[X]nicht artinsch (siehe Beispiel 22.5).
(iii) Der (endliche) Ring Z/4Zist artinsch, aber nicht halbeinfach.
(iv) SeiK ein Körper,n∈NundR :=Kn×n. Jedes LinksidealM ≤R ist dann einK-Vektorraum wegen λm = (λ1n
|{z}∈R
)m ∈ M für alle m ∈M und λ∈ K. Aus Dimensionsgründen ist R sowohl noethersch als auch artinsch.
(v) Sei nun Q ein Schiefkörper, n ∈ N und R := Qn×n. Die Menge der Spaltenvektoren Qn×1 ist offenbar einR-Modul bzgl. Matrizenmultiplikation. Sei0̸=a= (a1, . . . , an)t ∈Qn×1undb∈Qn×1 beliebig. Seiai ̸= 0undx:=ba−1i ei ∈R, wobeiei := (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0). Dann gilt xa=b. Dies zeigt, dassQn×1 einfach ist. Offenbar ist dann
R=Qn×1e1⊕. . .⊕Qn×1en≃(Qn×1)n
halbeinfach. Nach Bemerkung 22.9 ist außerdem jeder einfacheR-Modul zu Qn×1 isomorph.
Lemma 23.4.
(i) Ist R noethersch (bzw. artinsch), so ist jeder endlich erzeugt R-Modul noethersch (bzw. artinsch). (ii) IstR halbeinfach, so ist jederR-Modul halbeinfach.
Beweis.
(i) SeiM =Rm1+. . .+Rmk. Dann ist die Abbildungf:Rk→M,(r1, . . . , rk)7→r1m1+. . .+rkmk ein Epimorphismus. Nach Bemerkung 22.7 und Lemma 22.6 sind Rk und M ≃ Rk/Ker(f) noethersch (bzw. artinsch).
1Achtung: In den meisten Büchern ist noethersch=linksnoethersch+rechtsnoethersch (vgl. Aufgabe 108). Genauso mit artinsch und halbeinfach.
(ii) WegenR=P
m∈MRmgenügt es zu zeigen, dassRmhalbeinfach ist. Dies folgt aus Lemma 22.10, denn fürf:R→Rm,r7→rmgiltRm≃R/Ker(f).
Satz 23.5 (Artin-Wedderburn). Für jeden Ring R sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(1) R ist halbeinfach.
(2) Es existieren n1, . . . , nk ∈N und SchiefkörperQ1, . . . , Qk mit R∼=Qn11×n1 ×. . .×Qnkk×nk.
Gegebenenfalls ist kdie Anzahl der Isomorphieklassen einfacher R-Moduln und die Paare (ni, Qi) sind bis auf die Reihenfolge (und Isomorphie) eindeutig bestimmt.
Beweis. (trans-poniert) ein Ringisomorphismus. Also hatR die angegebene Struktur.
(2)⇒(1): Nach Beispiel 23.3 sind die RingeRi:=Qnii×ni halbeinfach und es giltRi=Mi1⊕. . .⊕Mini wenn Ri =Rj). Nach Bemerkung 22.9 kommt jeder einfache R-Modul als Kompositionsfaktor vonR vor. Daher ist kdie Anzahl der Isomorphieklassen einfacher R-Moduln. Außerdem istni als Vielfachheit des Kompositionsfaktors Mfi1 eindeutig durch R bestimmt. Für
ei := (0, . . . ,0,
gilte2i =ei undRei =Mfi1. Nach Lemma 22.20 ist
Auf diese Weise wird auch der Isomorphietyp vonQi durch R bestimmt.
Folgerung 23.6. Jeder halbeinfache Ring ist artinsch.
Beweis. Wie im Beweis von Satz 23.5 ist R = M1 ⊕. . .⊕Mn mit einfachen Moduln M1, . . . , Mn. Offenbar ist dann0≤M1 ≤M1+M2 ≤. . .≤R eine Kompositionsreihe des regulärenR-Moduls. Nach Satz 22.8 istR artinsch.
Satz 23.7 (Wedderburn). Endliche Schiefkörper sind Körper.
Beweis (Witt). SeiR ein endlicher Schiefkörper. Dann ist das Zentrum Z := Z(R) ein kommutativer Teilring von R. Wegenxr=rx⇔rx−1 =x−1r ist Z sogar ein Körper. Seiq :=|Z|. Offenbar ist Rein Z-Vektorraum und daher|R|=qn für einn∈N. Wir nehmen indirektn >1an. Für x∈Rist auch der Zentralisator CR(x) ={r ∈R:rx=xr}einZ-Vektorraum (nachrechnen) und es folgt|CR(x)|=qax für ein ax ≤ n. Sei S ein Repräsentantensystem für die Konjugationsklassen der Einheitengruppe G:=R×=R\ {0}. Die Klassengleichung zeigt
Für allex∈R\Z giltax< n. Mit den Kreisteilungspolynomen ergibt sich Φn(q)
Definition 23.8. Für einen R-ModulM seiJ(M) der Durchschnitt aller maximalen Untermoduln von M. Besitzt M keine maximalen Untermoduln, so setzt man J(M) = M. Man nennt J(M) das (Jacobson-)Radikal von M. Außerdem seiJ(R) das Radikal des regulärenR-Moduls.
Beispiel 23.9.
(i) Sei M ein halbeinfacherR-Modul und M =L
i∈ISi mit einfachen Untermoduln Si≤M (i∈I).
Füri∈I ist dann Mi :=L
j∈I\{i}Sj ein maximaler Untermodul von M, denn M/Mi ≃Si ist einfach. Dies zeigt
J(M)⊆\
i∈I
Mi = 0.
(ii) Sei M ein artinscher R-Modul mit J(M) = 0. Dann existieren bereits endlich viele maximale UntermodulnM1, . . . , Mk≤M mitM1∩. . .∩Mk= 0(anderenfalls könnte man eine absteigende Kette konstruieren). Da der kanonische Homomorphismus
M →M/M1×. . .×M/Mk, m7→(m+M1, . . . , m+Mk)
injektiv ist, ist M zu einem Untermodul des halbeinfachen Moduls M/M1×. . .×M/Mk iso-morph. Nach Lemma 22.10 istM selbst halbeinfach. Im Allgemeinen ist J(M) also der „kleinste“
Untermodul vonM, sodassM/J(M) halbeinfach ist.
(iii) Für jeden Körper K und n∈Nist J(Kn×n) = 0nach (i) (vgl. Aufgabe 76).
(iv) Die maximalen Untermoduln vonZhaben die FormZpfürp∈P. Dies zeigtJ(Z) = 0. Der einzige maximale Untermodul desZ-ModulsC4 istC2, also J(C4) =C2.
Lemma 23.10 (Nakayama). Sei M ein endlich erzeugter R-Modul und N ≤M mit M =N+ J(M).
Dann ist M =N. Insbesondere ist J(M)< M, falls M ̸= 0.
Beweis. SeiM =Rm1+. . .+Rmk. Nehmen wirN ̸=M an. Dann istM:={L < M :N ≤L} ̸=∅.
Sei ∅ ̸= W ⊆ M total geordnet. Wie üblich ist L :=S
W∈WW ≤ M. Im FallL = M existiert ein W ∈ W mitm1, . . . , mk∈W. Dann erhält man den Widerspruch M =Rm1+. . .+Rmk⊆W < M. Also ist L ∈ M eine obere Schranke für W. Nach Zorn existiert daher ein maximaler Untermodul S ≤M, derN enthält. Man erhält den WiderspruchM =N+ J(M)⊆S < M.
Lemma 23.11. Sei R̸={0} ein Ring und seiM ein Repräsentantensystem für die Isomorphieklassen einfacherR-Moduln. Dann gilt
J(R) = \
M∈M
AnnR(M).
Insbesondere ist J(R) ein echtes Ideal von R.
Beweis. Nach Beispiel 21.15 ist M ̸= ∅. Für 0 ̸= m ∈ M ∈ M ist die Abbildung f: R → M, r→rm ein Epimorphismus. Nach dem Homomorphiesatz istR/Ker(f)≃M einfach undKer(f) ist ein maximales Linksideal. Daher istJ(R)⊆Ker(f) undJ(R)m= 0. Dies zeigt J(R)⊆AnnR(M) und
J(R)⊆ \
M∈M
AnnR(M) =:A
Sei umgekehrt N ≤ R ein maximales Linksideal. Dann existiert ein M ∈ M mit R/N ≃M. Nach Lemma 22.19 istA⊆AnnR(M) = AnnR(R/N). Daher gilt
(A+N)/N ⊆(AR+N)/N =A(R/N) = 0
und A ⊆ N. Dies zeigt A ⊆ J(R). Als Durchschnitt von Idealen ist J(R) = A⊴R (Lemma 22.19).
Wegen M ̸=∅ist J(R)̸=R.
Bemerkung 23.12. Für jeden halbeinfachen R-Modul M istJ(R)M = 0 nach Lemma 23.11. Für r+ J(R) =s+ J(R) und m∈M gilt daherrm= (r−s+s)m= (r−s)m+sm=sm. Durch
(r+ J(R))m:=rm (r∈R, m∈M)
wird M also zu einemR/J(R)-Modul (wohldefiniert). Die einfachen R-Moduln entsprechen auf diese Weise den einfachen R/J(R)-Moduln. Also istM auch halbeinfach als R/J(R)-Modul. Umgekehrt ist jeder halbeinfache R/J(R)-Modul auch halbeinfach alsR-Modul.
Lemma 23.13. SeiRartinsch undM ein endlich erzeugterR-Modul. Dann istR/J(R)ein halbeinfacher Ring und J(M) = J(R)M.
Beweis. MitRist auch derR-ModulR/J(R)artinsch. Nach dem Korrespondenzsatz giltJ(R/J(R)) = 0. Also ist R/J(R) ein halbeinfacher R-Modul nach Beispiel 23.9. Nach Bemerkung 23.12 ist auch der reguläreR/J(R)-Modul halbeinfach.
Nach Lemma 23.4 istM artinsch mitJ(M/J(M)) = 0. Nach Beispiel 23.9 istM/J(M)halbeinfach und J(R)(M/J(M)) = 0. Dies zeigtJ(R)M ⊆J(M). AndererseitsM/J(R)MeinR/J(R)-Modul. MitR/J(R) ist auchM/J(R)M halbeinfach (Lemma 23.4). Es folgtJ(M/J(R)M) = 0 und J(M)⊆J(R)M. Bemerkung 23.14.
(i) Ein Ring R̸={0} heißt einfach, falls0 und R die einzigen Ideale vonR sind. Aus Lemma 23.11 folgt dannJ(R) = 0. Leider sind nicht alle einfachen Ringe halbeinfach (Aufgabe 117). Ist aberR zusätzlich artinsch, so istR nach Lemma 23.13 halbeinfach. Nach Artin-Wedderburn ist dannR zu einem Matrixring über einem Schiefkörper isomorph. Umgekehrt sind solche Matrixringe stets einfach (vgl. Aufgabe 76).
(ii) FürI, J⊴R ist nach Aufgabe 37 auch IJ =nXn
i=1
xiyj :x1, . . . , xn∈I, y1, . . . , yn∈Jo
ein Ideal vonR mitIJ ⊆I∩J. Wir definieren I0 :=R und induktivIn+1:=IIn für n∈N. Es gilt dannR⊇I ⊇I2 ⊇. . .. Existiert einn∈Nmit In= 0, so nennt man I nilpotent.
Lemma 23.15. Ist R artinsch, so istJ(R) nilpotent und jedes nilpotente Ideal von R liegt inJ(R).
Beweis. Da der reguläre R-Modul artinsch ist, wird die FolgeJ :=J(R)⊇J(R)2 ⊇. . .stationär. Sei alsok∈NmitJk=Jk+1 =. . .. Nehmen wir Jk̸= 0. Dann ist die Menge Maller LinksidealeI ≤R mitJkI ̸= 0 nichtleer und besitzt somit ein minimales ElementI ∈ M. Insbesondere existiert einx∈I mit Jkx̸= 0. MitJk ist auch Jkx ein Linksideal und es gilt
Jk(Jkx) =J2kx=Jkx̸= 0,
d. h. Jkx∈ M. Wegen Jkx⊆Rx⊆I folgtI =Jkx aus der Minimalität von I. Daher ist x=yxfür ein y∈Jk⊆J. Nach Aufgabe 115 ist1−y∈R× und es folgt der Widerspruch x∈Rx=R(1−y)x= R(x−yx) = 0. Also istJ(R) nilpotent.
Sei umgekehrtI⊴R nilpotent. Dann istI := (I+ J(R))/J(R)ein nilpotentes Ideal des halbeinfachen Rings R:=R/J(R). Sei R=Qn11×n1×. . .×Qnkk×nk die Artin-Wedderburn-Zerlegung. Dann ist auch die Projektion vonI aufQnii×ni ein nilpotentes IdealIi. Nach Bemerkung 23.14 istQnii×ni einfach und es folgt Ii = 0 füri= 1, . . . , k. Dies zeigt I = 0 und I ⊆J(R).
Satz 23.16 (Hopkins-Levitzki). Jeder artinsche Ring ist noethersch.
Beweis. SeiR artinsch. Nach Lemma 23.15 existiert eink∈Nmit J(R)k= 0. Nach Lemma 22.6 sind dieR-ModulnJi:= J(R)i−1/J(R)i füri= 1, . . . , k artinsch. Dabei gilt
J(Ji)23.13= J(R)J(R)i−1/J(R)i= 0.
Nun istJihalbeinfach nach Beispiel 23.9. Aus Beispiel 22.5 folgt, dassJinoethersch ist. Nach Lemma 22.6 sind mit Jk, Jk−1, . . . , J1 auchJ(R)k−1 ≃Jk,J(R)k−2, . . . ,J(R)0=R noethersch. Also istR als Ring noethersch.
Bemerkung 23.17.
(i) Für Ringe haben wir also gezeigt: halbeinfach =⇒ artinsch=⇒ noethersch. Die Umkehrungen sind jeweils falsch (Beispiel 23.3).
(ii) Im Folgenden studieren wir die Struktur artinscher RingeR. Nach Lemma 23.4, Satz 22.8 und Krull-Schmidt besitzt jeder endlich erzeugteR-Modul eine Kompositionsreihe und eine „eindeutige“
Zerlegung in unzerlegbare Moduln. Nach Lemma 23.13 und Artin-Wedderburn istR genau dann halbeinfach, wennJ(R) = 0.
Definition 23.18. Idempotente e, f eines RingsR heißenorthogonal, fallsef =f e= 0. Besitzte̸= 0 keine Zerlegunge=e1+e2 mit orthogonalen Idempotenten e1, e2 ∈R\ {0}, so nennt man eprimitiv. Man nenntezentral-primitiv, fallse∈Z(R) undeprimitiv in Z(R) ist.
Beispiel 23.19.
(i) Ist e∈R ein Idempotent, so auch 1−eund eist orthogonal zu1−e, denne(1−e) =e−e2 = e−e= 0 = (1−e)e.
(ii) Sind e, f ∈ R orthogonale Idempotente, so ist auch e+f ein Idempotent, denn (e+f)2 = e2+ef+f e+f2=e+f.
(iii) Iste∈R ein (primitives) Idempotent undx∈R×, so ist auchxex−1 ein (primitives) Idempotent.
(iv) SeiQein Schiefkörper undR:=Qn×n. Die MatrizenEkk:= (δikδjk)i,j ∈A(δis ist das Kronecker-Delta) mit einer Eins an Position(k, k)und sonst nur Nullen sind offenbar paarweise orthogonale Idempotente mit
1n=E11+. . .+Enn.
Lemma 23.21 wird zeigen, dass1n zentral-primitiv und Ekk primitiv ist, denn R ist ein einfacher Ring (Bemerkung 23.14) undAEkk=Qn×1 ist ein einfacher R-Modul (Beispiel 23.3).
(v) SeiKein Körper unde∈Kn×nein Idempotent. Dann ist das Minimalpolynom voneein Teiler von X2−X. Insbesondere istediagonalisierbar mit Eigenwerten0,1(zum Beispiel nach der Weierstraß-Normalform, Bemerkung 25.7). Daher existiertx∈GL(n, K) mit xex−1 =E11+. . .+Ekk für ein0≤k≤n.
Bemerkung 23.20. Im Folgenden nennen wir ein Ideal I eines Rings R unzerlegbar, wenn es keine IdealeI1, I2 ̸= 0 von Rmit I =I1⊕I2 gibt.
Lemma 23.21. Für jedes Idempotent eeines RingR gilt:
(i) Genau dann ist e primitiv, wenn der R-Modul Re unzerlegbar ist.
(ii) Genau dann iste zentral-primitiv, wenn e∈Z(R) und das IdealRe⊴R unzerlegbar ist.
Beweis. Sei e=e1+e2 mit orthogonalen Idempotentene1, e2 ∈ R\ {0}. Dann ist Re ⊆Re1+Re2 und Rei = Re2i = Reie⊆Re für i= 1,2. Wegen ei =e2i ∈ Rei ist Rei ̸= 0. Für x ∈Re1∩Re2 gilt x=xe1 =xe1e2 = 0. Dies zeigt R =Re1⊕Re2. Sind zusätzliche, e1, e2 ∈Z(R), so sindRe=ReR und Rei=ReiR Ideale.
Sei umgekehrt Re = R1 ⊕R2 mit nicht-trivialen Linksidealen I1, I2. Dann existieren ei ∈ Ii mit e = e1 +e2. Im Fall e1 = 0 wäre Re = Re2 ⊆ I2. Also gilt e1 ̸= 0 ̸= e2. Aus e1 ∈ Re folgt e1 =e1e=e21+e1e2. Die eindeutige Darstellung in der direkten Summe zeigte21 =e1 und e1e2 = 0. Analog ist e22 =e2 unde2e1= 0. Also sinde1 unde2 orthogonale Idempotente undeist nicht primitiv.
Sind I1, I2⊴R unde∈Z(R), so giltae1+ae2 =ae=ea=e1a+e2a und es folgt aei =eia für alle a∈R. Dies zeigt e1, e2∈Z(R)und eist nicht zentral-primitiv.
Satz 23.22. Sei R ein artinscher Ring. Dann existieren paarweise orthogonale primitive Idempotente e1, . . . , en∈R mit 1 =e1+. . .+en. Ist auch 1 =f1+. . .+fm eine solche Zerlegung, so ist n=m und es existiertx∈R× mitei=xfix−1 für i= 1, . . . , n. Außerdem ist
R=Re1⊕. . .⊕Ren
eine Zerlegung in unzerlegbare Moduln.
Beweis. Nach Krull-Schmidt besitzt der reguläreR-Modul eine Zerlegung in unzerlegbare Linksideale R=R1⊕. . .⊕Rn. Seiei ∈Ri mit1 =e1+. . .+en. Wie im Beweis von Lemma 23.21 zeigt man, dass e1, . . . , en paarweise orthogonale primitive Idempotente sind. Sei auch 1 =f1+. . .+fm eine solche Zerlegung. Nach Lemma 23.21 ist R = Rf1⊕. . .⊕Rfm eine Zerlegung in unzerlegbare R-Moduln.
Nach Krull-Schmidt istn=m und bei geeigneter Anordnung existieren Isomorphismen γi:Ri →Rfi. Offenbar definiert
γ:R→R,
a1+. . .+an7→γ1(a1) +. . .+γn(an) (ai ∈Ri)
einen Automorphismus des regulären R-Modul. Sei x:=γ(1) undy:=γ−1(1). Aus xy =γ−1(x1) = γ−1(γ(1)) = 1 =yx folgtx=y−1∈R×. Wegen
e1+. . .+en= 1 =γ−1(x) =γ−1(xf11 +. . .+xfn1)
=xf1γ−1(1)
| {z }
∈R1
+. . .+xfnγ−1(1)
| {z }
∈Rn
=xf1x−1+. . .+xfnx−1 ist ei =xfix−1 für i= 1, . . . , n.
Satz 23.23 (Peirce). Sei R artinsch. Dann existieren nur endlich viele zentral-primitive Idempotente z1, . . . , zk∈Z(R). Es gilt 1 =z1+. . .+zk und
R=Rz1⊕. . .⊕Rzk,
wobei Rz1, . . . , Rzk die unzerlegbaren Ideale von R sind. Außerdem ist Rzi = ziRzi ein Ring mit Einselement zi füri= 1, . . . , k.
Beweis. Eine Anwendung von Satz 23.22 auf Z(R) liefert 1 =z1+. . .+zk mit paarweise orthogonalen zentral-primitiven Idempotenten z1, . . . , zk ∈ Z(R). Sei umgekehrt w ∈ Z(R) ein zentral-primitives Idempotent. Dann kann manR=Rw⊕R(1−w) zu einer Zerlegung in unzerlegbare Moduln verfeinern.
Nach Lemma 23.21 erhält man eine entsprechende Zerlegung in paarweise orthogonale zentral-primitive Idempotente 1 =w1+. . .+wk mitw=w1. Nach Satz 23.22 existiertx∈Z(R)× mitw=xzix−1=zi für ein1≤i≤k(beachte: Z(R) ist kommutativ). Also sind z1, . . . , zk die einzigen zentral-primitiven Idempotente. Nach Lemma 23.21 ist R=Rz1⊕. . .⊕Rzk die einzige Zerlegung in unzerlegbare Ideale.
Die letzte Behauptung folgt aus Aufgabe 80.
Bemerkung 23.24.
(i) IstR=Qn11×n1⊕. . .⊕Qnkk×nk halbeinfach mit SchiefkörpernQ1, . . . , Qk, so sindQnii×ni unzerleg-bare (sogar minimale) Ideale vonR. Die Peirce-Zerlegung stimmt also mit der Artin-Wedderburn-Zerlegung überein.
(ii) In der Situation von Satz 23.23 nennt manRz1, . . . , Rzk die Blöcke vonR. Außerdem nennt man zi dasBlockidempotent vonRzi. Das nächste Resultat führt die Bestimmung der einfachen Moduln von R auf die potentiell „kleineren“ Blöcke zurück.
Satz 23.25. Sei R artinsch und M ein unzerlegbarer R-Modul. Dann existiert genau ein Block B von R mit BM ̸= 0. Gegebenenfalls ist M ein B-Modul. Umgekehrt ist jeder B-Modul auch ein R-Modul.
Dabei gilt
(i) Genau dann ist ein B-Modul M einfach (bzw. unzerlegbar), wennM als R-Modul einfach (bzw.
unzerlegbar) ist.
(ii) ZweiB-Moduln sind genau dann isomorph, wenn sie als R-Moduln isomorph sind.
Beweis. Seien B1, . . . , Bk die Blöcke vonRunde1, . . . , ek die entsprechenden Blockidempotente. Dann gilt M =RM =B1M +. . .+BkM, wobei B1M, . . . , BkM nach Beispiel 21.8 Untermoduln von M sind. Seienbi∈Bi und m1, . . . , mk∈M mit b1m1+. . .+bkmk= 0. Dann gilt
bimi=ei(b1m1+. . .+bkmk) = 0
füri= 1, . . . , k. Also istM =B1M⊕. . .⊕BkM. DaM unzerlegbar ist, folgt BiM ̸= 0undBjM = 0 für ein iund allej̸=i. Für jeden UntermodulN ≤M gilt N =RN =BiN. Insbesondere istM als B-Modul einfach (bzw. unzerlegbar), wennM alsR-Modul einfach (bzw. unzerlegbar) ist. Sei schließlich f:M →N ein Isomorphismus von R-Moduln. Dann gilt
BiN =Bif(M) =f(BiM) =f(M) =N.
Also sind M undN auch alsB-Moduln isomorph.
Sei umgekehrt M einBi-Modul. Man prüft leicht, dassM durch r·m:=reim fürr ∈R und m∈M zu einemR-Modul wird. Natürlich können auch die B-Untermoduln vonM als R-Moduln aufgefasst
werden. Daraus folgt (i). Seif:M →N ein Isomorphismus vonB-Moduln. Fürr ∈R undm∈M gilt f(rm) =f(reim) =reif(m) =rf(m). Daher sindM undN auch alsR-Moduln isomorph.
Bemerkung 23.26. Die folgenden Ergebnisse gelten für beliebige RingeR. Wir benutzen dabei, dass jeder R-Modul M auch ein EndR(M)-Modul ist via φ·m := φ(m) für φ ∈ EndR(M) und m ∈ M (Bemerkung 21.11).
Lemma 23.27. Sei S ein einfacherR-Modul und D:= EndR(S). Sei T ⊆S eine endliche Teilmenge und L:={r∈R :rT = 0}. Fürs∈S mitLs= 0 gilt danns∈DT.
Beweis. Induktion nach |T|. Im Fall T = ∅ ist L = R und s = 0 ∈ DT. Sei also t ∈ T und die Behauptung für T′:=T \ {t}bereits gezeigt. Sei
L′ :={r∈R:rT′ = 0}.
Im Fall L′t= 0 istL′ =L unds∈DT′ ⊆DT nach Induktion. Sei also L′t̸= 0. Offenbar ist L′t ein R-Untermodul vonS und die Einfachheit von S liefert L′t=S. Wir betrachtenf:S →S,xt 7→xs mit x∈L′. Sindx, y∈L′ mit xt=yt, so ist (x−y)t= 0, also x−y ∈L und es folgtxs=ys. Daher ist f wohldefiniert und offenbar auchR-linear, d. h.f ∈D. Für x∈L′ folgt
x(s−f(t)) =xs−xf(t) =xs−f(xt) = 0.
Also ist L′(s−f(t)) = 0und s−f(t)∈DT′ nach Induktion. Dies zeigt s∈DT.
Satz 23.28 (Jacobsons Dichtheitssatz). Sei S ein einfacherR-Modul undQ:= EndR(S). SeiT ⊆S eine endliche Teilmenge und f ∈EndQ(S). Dann existiert ein x∈R mit f(t) =xt für alle t∈T. Beweis. Induktion nach |T|: O. B. d. A. seiT ̸=∅,s∈T undT′ :=T\ {s}. Nach Induktion existiert x′ ∈R mitf(t) =x′tfür alle t∈T′. Nehmen wir zunächsts=P
t∈T′λttmit λt∈Qan. Dann gilt f(s) =X
t∈T′
λtf(t) = X
t∈T′
λtx′t= X
t∈T′
λt(x′t) =x′X
t∈T′
λtt=x′s.
Sei nun s /∈ DT und L := {r ∈ R : rT′ = 0}. Nach Lemma 23.27 ist dann Ls ̸= 0. Wie üblich ist Ls=S und es existiert r∈L mit rs=f(s)−x′s. Fürx:=x′+r ∈R und t∈T gilt nun
f(t) =
(x′t=xt fallst̸=s, xt fallst=s.
Bemerkung 23.29.
(i) IstS in der Situation von Satz 23.28 alsQ-Modul endlich erzeugt, so kann man fürT ein Erzeugen-densystem wählen. Man erhält dannR/AnnR(S)∼= EndQ(S). Wir zeigen in Folgerung 24.11, dass EndQ(S) ein Matrixring über dem SchiefkörperQo ist. Dies ist eine weitere Verallgemeinerung von Artin-Wedderburn.
(ii) In Kapitel 29 beschäftigen wir uns mit kommutativen noetherschen Ringen.