Finite-Elemente in der Mechanik

Die Methode der Finite-Elemente (FEM) findet in vielen Bereichen Anwendung [89], da sie allgemein zur numerischen Lösung von partiellen Differentialgleichungen genutzt werden kann. In dieser Arbeit wird sie in Kapitel 5.2 zur Lösung von elas-tostatischen Problemen genutzt [90].

Dabei wurde die kommerzielle Software „ABAQUS“ verwendet, deren Umfang deutlich größer ist als der Teil der hier diskutiert werden soll. Insbesondere sind die Details der internen Programmabläufe nicht für den Nutzer zugänglich, so dass hier nur auf die mathematische Formulierung der Problemstellung und den Lösungsan-satz im Allgemeinen eingegangen werden soll.

Zur Erleichterung des Verständnisses sei zunächst ein Beispiel angenommen, zu dem eine analytische Lösung existiert. Das nachfolgende Beispiel ist weitergehend in Referenz [91] erläutert. Gegeben seien zwei gekoppelte Stäbe mit den Knotenpunkten 1 und 2 bzw. 2 und 3. An die Stäbe sei eine Kraft angelegt (siehe Grafik 2.9).

Abbildung 2.9: Beispiel zweier gekoppelter Stäbe zur Erläuterung der Methode der Finiten Elemente (FEM); exemplarisch eingezeichnet ist die KraftF und VerschiebungU des Knotenpunkts 3

Die finiten Elemente sind in diesem Fall die beiden Stäbe selbst. Für jedes Element existiert eine ElementsteifigkeitsmatrixK^e, die die Verschiebung der Knotenpunkte Ui mit den angreifenden KräftenFi verknüpft. Für Element 1 mit den Knotenpunk-ten 1 und 2 kann dann das Hooke’sche Gesetz in dieser Form angegeben werden:

2 Grundlagen

k₁ −k₁

−k₁ k1

!

· u₁ u2

!

= F₁ F2

!

(2.45) Dabei bezeichnet k₁ die Steifigkeit des Elements (Federkonstante), d.h.k = ^EA_l , mit dem E-Modul E, der Querschnittsfläche A und der Länge des Stabsl.

Zur Beschreibung des Gesamtsystems kann die Gleichgewichtsbedingung, eben das Hooke’sche Gesetz, wie in der Gleichung oben geschrieben werden, allerdings wird statt der Elementsteifigkeitsmatrix die Systemsteifigkeitsmatrix benötigt, die sich durch Summation der Elementsteifigkeitsmatrizen ergibt:

K=K¹+K². (2.46)

Dazu müssen die Elementsteifigkeitsmatrizen auf die Dimension der Systemstei-figkeitsmatrix erweitert werden. Als Letztes bleibt dann die Gleichgewichtsgleichung des Systems bzgl. des unbekannten KnotenpunktsverschiebungsvektorU = (U1, U2, U3) zu lösen:

K·U~ =F .~ (2.47)

Da die angelegten Kräfte Fi durch die Problemstellung bekannt sein sollten, be-deutet dies nur, dass ein lineares Gleichungssystem gelöst werden muss. Diese Aufga-be kann jedoch für große Gleichungssysteme zeitaufwendig werden und wird deshalb dem Rechner übertragen. Aus den ermittelten Verschiebungen können die Dehnun-gen und dann auch die inneren SpannunDehnun-gen berechnet werden.

Abbildung 2.10: Zweidimensionaler Körper unterteilt in die Finiten Elemente Für den Fall eines kontinuierlichen Mediums stellt sich die Beschreibung des Pro-blems deutlich komplizierter dar. In Grafik 2.10 ist ein zweidimensionaler Körper dargestellt, der mit einem Gitternetz (Mesh) überzogen ist. Dabei sind die einge-schlossenen Flächen zwischen den Knotenpunkten des Gitternetze die Finiten

Ele-2.6 Finite-Elemente und Mechanik

mente. Für jedes dieser Elemente gilt analog zu Gleichung 2.47 die Beziehung:

K^e·U~^e=F~^e. (2.48)

Die nachfolgende Herleitung folgt der aus Referenz [92]. Das Ziel ist nun die hier unbekannte ElementsteifigkeitsmatrixK^e herzuleiten. Dazu muss zunächst das Ver-schiebungsfeldu(x, y) bzw.v(x, y), das die Verschiebungen auf dem Element durch die KnotenpunktsverschiebungenU~^ebeschreibt, bestimmt werden. Man erhält bspw.

diese Verknüpfung:

u(x, y) =N~(x, y)·U~^e. (2.49) Dabei beschreibt N~(x, y) einen Vektor von sogenannten Ansatzfunktionen. Zur Herleitung dieser Ansatzfunktionen ist eine Annahme erforderlich, wie sich die Ver-schiebungen auf dem Element verhalten. Üblicherweise wird hierfür ein Polynom angesetzt, wobei die Ordnung des Polynoms Einfluss auf die Qualität der Simulati-onsergebnisse haben kann.

Die relative Dehnung des Elements (^e) ist im kontinuierlichen Fall als partielle Ableitung des Verschiebungsfeldes definiert, z.B.:

_xx= ∂u_x

∂x . (2.50)

Damit erhält man eine Matrix B^e, die die relative Dehnung mit den Knoten-punktsverschiebungen verknüpft. Davon ausgehend kann eine weitere Matrix C^e definiert werden, mit der die auf das Element wirkenden Spannungen mit den relati-ven Dehnungen verbunden werden. Diese Matrix enthält dabei die Eigenschaften des Materials, d.h. im Falle elastischer Verformungen, den E-Modul und die Poissonzahl.

Als letztes benötigt man noch eine MatrixA^e, die die äußeren KräfteF~^e in Span-nungen überführt. Damit erhält man für Gleichung 2.48:

K^e·U~^e =F~^e⇔A^eC^eB^e·U~^e=F~^e. (2.51) Wie im diskreten Fall zuvor müssen nun die Elementsteifigkeitsmatrizen zu einer Systemsteifigkeitsmatrix zusammengebaut werden. Dabei kann ausgenutzt werden, dass die einzelnen Elemente auch nach einer Deformation noch lückenlos zu einan-der passen müssen. Das bedeutet, dass die Position eines Knotenpunkts bei allen Elementen gleich sein muss, zu denen er gehört. Ebenso gilt im statischen Fall das Kräftegleichgewicht. Man erhält die Gleichung für die Systemsteifigkeitsmatrix:

K·U~ =F .~ (2.52)

Die Lösung der Systemgleichung ist dann nur noch eine Aufgabe für den Rech-ner. Damit sollte die generelle Formulierung des Problems für eine Finite-Elemente Software geklärt sein. Tatsächlich übernimmt die Software das Aufstellen sämtlicher

2 Grundlagen

Matrizen und führt eine Reihe von Optimierungen durch. So optimiert sie die Indi-zierung der Knotenpunkte, um Gleichung 2.52 zu vereinfachen und überführt zum gleichen Zweck Berechnungen jeweils in das lokale Koordinatensystem der Elemente.

Der dreidimensionale, kontinuierliche Fall kann völlig analog bearbeitet werden, es erhöht sich nur die Dimension der Matrizen und Vektoren.

3 Kurzbeschreibung der Experimente

Auf den folgenden Seiten sollen kurz die mit dieser Arbeit verknüpften Experimente beschrieben werden. Der Sinn dieses Kapitel soll darin liegen zu diskutieren wo und wie die experimentellen Daten, die später modelliert werden, aufgenommen wurden.

3.1 I: Sorptionsverhalten von mesoporösen Materialien

Das nachfolgend beschriebene Experiment wurde von Dr. S. Jähnert durchgeführt, technische Details sind ihrer Dissertation [46] und den Referenzen [13, 93, 94] zu entnehmen.

Dieses Sorptionsexperiment wurde an der Berliner Synchrotroneinrichtung (BES-SY) an der µ-Spot-Beamline durchgeführt. Dazu wurde Synchrotronstrahlung im Röntgenfrequenzbereich genutzt, die zu einem sehr schmalen Strahl fokussiert wur-de. Die Details der Fokussierung des Strahl und anderer technischer Eigenschaften der Beamline sollen hier nicht besprochen werden, sind aber in [75, 95] zu finden. In Grafik 3.1 ist nun schematisch der Aufbau des Experiments dargestellt.

Der Röntgenstrahl trifft hier auf eine Zelle, in der sich eine leicht gepresste Pul-verprobe des mesoporösen Materials befindet und wird dort gestreut. Die Zelle ist mit für Röntgenstrahlung durchlässigen Kapton-Fenstern versehen, die die strahlung passieren lassen und die Zelle dicht versiegeln. Jedoch wird der Röntgen-strahl auch an diesen Fenstern gestreut, allerdings in einem anderen q-Bereich als die Streuung der Probe. Diese Streuung lässt sich dabei als interner Standard für die Intensität des einfallenden Strahls nutzen, da die Streuung der Kapton-Fenster nicht durch die Sorption beeinflusst werden sollte.

Der gestreute Strahl durchläuft anschließend einen mit Helium gefüllten Bereich (nicht eingezeichnet), um die Luftstreuung zu reduzieren und trifft danach auf einen CCD-Flächendetektor. Ein typisches Detektorbild ist Grafik 3.1 zu sehen.

Zur Beobachtung der Sorption von Fluiden in den mesoporösen Materialien kann ein Fluidreservoir über ein Dosierungssystem mit der Probenkammer verbunden werden. Die Dosierung erfolgt dabei über Proportionalventile, die von Hand oder über einen Messrechner gesteuert werden können. Zur Kontrolle des Drucks ist ei-ne Druckmessdose in der Nähe der Probe installiert. Die Temperatur der Proben-kammer kann über ein Peltier-Element eingestellt werden und wird üblicherweise

3 Kurzbeschreibung der Experimente

Abbildung 3.1: Schematischer Aufbau des Röntgenbeugungsexperiments am BESSY

so gewählt, dass sie etwas niedriger als die Umgebungstemperatur liegt, damit das Fluid in der Nähe des Sättigungsdampfdrucks nur in der Probe und nicht in den Zuleitungen kondensiert. Vor dem Beginn des Experiments wurde zudem durch Ab-pumpen der Restluft in der Probenkammer sicher gestellt, dass kein Restgas mehr vorhanden ist. In manchen Fällen wurde dies durch Ausheizen der Probe unterstützt.

Während des Sorptionsexperiments wurde nun der Dampfdruck des Fluids durch Öffnen des Ventilsystems langsam erhöht und währenddessen die Spektren aufge-nommen. Typische Messdauern waren dabei 30 bis 120 Sekunden pro Spektrum und 1 bis 4 Stunden für eine Adsorption. Nach Beendigung der Adsorption wurde die Desorption durch langsames Abpumpen des Fluids durchgeführt und wieder die Spektren aufgenommen.

Die so ermittelten Streubilder wurden anschließend radial gemittelt (in 1D-Streu-spektren überführt). Diese sind dann der Ausgangspunkt für die Modellierung der Streuung mit Hilfe von Formfaktorfits (s. Kapitel 4.1) und durch ein numerisches Gittermodell (s. Kapitel 4.2). Zudem sind die aus diesen Daten berechneten integrier-ten Inintegrier-tensitäintegrier-ten in Kapitel 4.3 zur Berechnung der Sorptionsisothermen verwendet worden.