Eine Beziehung zwischen Zeit und Schrittanzahl

Die Zeit, die ein Photon braucht, um eine bestimmte Schrittanzahl zur¨ uck-zulegen, h¨angt von den Winkeln der Photonenbahn innerhalb der Kan¨ale ab. Im vorherigen Abschnitt wurde gezeigt, dass im Verlaufe jeder Bahn im regelm¨aßig hexagonalem Gitter nur drei verschiedene Winkel aufteten k¨onnen. Der kleinste Winkelα₁ tritt dabei jedes zweite Mal auf; die Winkel α^(a)₂ = ^π₃ −α₁ und α^(b)₂ = ^π₃ +α₁ in den Kan¨alen dazwischen. Ob α^(a)₂ oder α^(b)₂ auftritt, h¨angt davon ab, ob der Kanalwechsel gem¨aß Fall a (Abbil-dung 3.7a) oder Fall b (Abbil(Abbil-dung 3.7b) stattfindet. Um nun festzustellen, wie h¨aufig bei einer Bahn der Winkel α^(a)₂ und wie h¨aufig α^(b)₂ vorkommt, muss berechnet werde, wann bei einem Kanalwechsel Fall a und wann Fall b eintritt. Da dies sehr kritisch von den Anfangsbedingungen abh¨angt (wie in sp¨ateren Abschnitten noch genauer gezeigt werden wird), werden hier nur Wahrscheinlichkeiten f¨ur Kanalwechsel gem¨aß Fall a oder Kanalwechsel gem¨aß Fall b berechnet.

Wahrscheinlichkeiten f¨ur das Auftreten von Fall a bzw. b:

Um die Wahrscheinlichkeiten f¨ur das Eintreten von Fall a oder b zu be-rechnen, geht man im Ursprungskanal von einem festen Winkelα₁ aus dem Intervall 0 bis ^π₆ aus, die genaue Lage des Strahles hingegen wird als rein zuf¨allig angenommen. Ausgehend von einem Strahl kommen alle senkrecht zum Strahlenverlauf verschobenen Strahlen mit der gleichen Wahrscheinlich-keit vor. Um nun die WahrscheinlichWahrscheinlich-keit f¨ur einen der F¨alle zu erhalten, muss also berechnet werden, f¨ur wie viele dieser Strahlen der Fall eintritt. Dazu werden zu jedem Fall die Strahlen betrachten, die bei dem gegebenem Win-kel gerade noch in den geforderten Kanal gelangen (siehe auch Abbildung 3.9). Als Maß f¨ur die Anzahl der Strahlen zwischen diesen Grenzstrahlen, wird der senkrecht Abstand ha bzw. h_b zwischen diesen berechnet. Man erh¨alt (wobei d die Breite der Kan¨ale ist):

h_a=dsinπ 6 +α₁ h_b =dsinπ

6 −α₁

3.2. THEORIE I: ALLGEMEINES 23

α +π/6 1

h_a

d α1

a)

π/6−α1

α1

hb _d

b)

Abbildung 3.9: Um die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, mit denen Fall a (links) oder Fall b (rechts) auftreten, wird die maximale Breitehabzw.hbder Strahlen berechnet, die in den geforderten Kanal gelangen k¨onnen.

Hiermit lassen sich die Wahrscheinlichkeitenpaundp_bf¨ur das Auftreten der F¨alle a bzw. b wie folgt berechnen:

p_a= h_a

h_a+h_b = sin ^π₆ +α₁ sin ^π₆ +α₁

+ sin ^π₆ −α₁ = sin ^π₆ +α₁

cos (α₁) (3.2) p_b = h_b

h_a+h_b = sin ^π₆ −α₁ sin ^π₆ +α₁

+ sin ^π₆ −α₁ = sin ^π₆ −α₁

cos (α₁) (3.3) Die mittlere Zeit pro Schritt:

Die Zeit, die ein Strahl f¨ur das Durchlaufen desi-ten Kanales ben¨otigt, kann aus der Kanall¨angel₀, der Kanalbreite dund dem Winkel α_i zwischen Ka-nalbegrenzungslinien und dem Strahl berechnet werden:

Zun¨achst wird nur die Zeit betrachtet, die der Strahl ben¨otigt, um den Kanal zwischen den dreieckigen Verzweigungsfl¨achen zu durchqueren. Die L¨ange dieses Kanalbereiches, welche gleich der L¨ange einer Begrenzungsli-nie ist, ergibt sich aus Abbildung 3.10 zu l₀−^√₃³d. Die Zeit, die ein Strahl braucht, um diesen Kanalabschnitt zu durchqueren, ist, wenncdie Lichtge-schwindigkeit im Wandmedium ist:

t⁰_i = l₀−^√₃³d

ccos (αi). (3.4)

3 d/6 3 d/6

α

0 i

l i

ct’

Abbildung 3.10: Die Zeit, die ein Strahl zum Durchlaufen eines Kanales ben¨otigt wird aus der L¨ange des Strahles innerhalb des Kanales bestimmt, wobei hier zun¨achst nur der Anteil betrachtet wird, der im geraden Kanal zwischen den Verzweigungen liegt. Der Anteil, der beim Durchlaufen der Dreiecksfl¨ache bei der Verzweigungsstelle hinzukommt wird gesondert betrachtet. Die L¨ange des Kanales zwischen den Verzweigungsfl¨achen ist wie man der Zeichnung entnehmen kannl0−√

3d/3.

Zu dieser Zeit muss nun noch die Zeit hinzugez¨ahlt werde, die der Strahl ben¨otigt, um die dreieckige Fl¨ache zwischen den Kan¨alen zu durchqueren.

Geht man wie bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten p_a und p_b da-von aus, dass alle parallel verschobenen Strahlen gleichh¨aufig vorkommen, so l¨asst sich ein Mittelwert dieser L¨ange wie folgt berechnen:

Zun¨achst wird von einem Winkel zwischen 0 und ^π₆ ausgegangen. Es werden die Photonenbahnen betrachtet, die gerade noch in den neuen Kanal gelangen. Wie man in Abbildung 3.11 erkennt, sind dies die Bahnen, die die l¨angste bzw. k¨urzeste Zeit zum Durchqueren des Dreieckes ben¨otigen.

Diese extremalen Zeiten sindt⁰⁰_i,min= 0 undt⁰⁰_i,max= ¹_c^√₂³d/cos(αi). Mittelt man ¨uber alle Zeiten, die die Photonen der dazwischenliegenden Bahnen ben¨otigen, so erh¨alt man:

t⁰⁰_i = 1 2 0 +

√3 2 d ccos(α_i)

!

=

√3 4 d

ccos (α_i) (3.5)

3.2. THEORIE I: ALLGEMEINES 25

d/2 3

i,min

ct’’

ct’’ =0

i,max

α i

Abbildung 3.11: Die Zeit, die der Strahl braucht, um die Dreiecksfl¨ache zwischen den Kan¨alen zu durchqueren, kann als Mittelwert der extremalen Photonenbahnen berechnet werden.

Liegt αi nicht im Intervall von 0 bis ^π₆, so muss wie im vorhergehenden Abschnitt gezeigt wurdeα_i+1 in diesem Intervall liegen und Gleichung (3.5) l¨aßt sich ebenfalls anwenden, nur dassα_i durchα_i+1 ersetzt werden muss.

Als Gesamtzeit, die ein Photon im Mittel pro Schritt ben¨otigt, ergibt sich durch Addition der Zeiten aus (3.4) und (3.5):

0≤αi ≤ π

6 : ti=t⁰_i+t⁰⁰_i = l0−^√₃³d ccos (α_i) +

√3 4 d

ccos (α_i) = l0−^√₁₂³d ccos (α_i) αi > π

6 : ti=t⁰_i+t⁰⁰_i+1= l₀−^√₃³d ccos (αi) +

√3 4 d

ccos (αi+1) (3.6) Die Beziehung zwischen Zeit und Schrittanzahl:

Gleichung (3.6) enth¨alt noch den Winkel zwischen Strahl und Kanalrandli-nie. Um eine allgemeine Formel, die die Zeit mit der Schrittanzahl f¨ur eine beliebige Bahn im regelm¨aßig hexagonalem Gitter verbindet, zu erhalten, m¨ussen die Wahrscheinlichkeiten f¨ur das Auftreten bestimmter Winkel ver-wendet werden. Wie im vorherigen Abschnitt gezeigt, tritt α₁ bei jedem

zweiten Schritt auf. In den ¨ubrigen F¨allen kommt der Winkelα^(a)₂ = ^π₃−α1

mit der Wahrscheinlichkeit p_a und α^(b)₂ = ^π₃ +α₁ mitp_b vor. Somit ergibt sich unter Verwendung der Gleichungen (3.2) und (3.3) als mittlere Zeit f¨ur nSchritte:

Diese Formel ist f¨ur hinreichend große Schrittanzahlen g¨ultig, da es dann keine Rolle mehr spielt, ob die Bahnen mit einem Winkel kleiner als ^π₆ (al-so mit α₁) oder mit einem anderem Winkel begonnen wurden. Außerdem spielt es dann auch keine Rolle mehr, wo genau der Strahl gestarten worden ist: z.B. kann dann der Unterschied zwischen einem beim Schnittpunkt der Mittelparallelen zu einem zwischen den Anfangspunkten der Kanalbegren-zungslinien gestartetem Strahl vernachl¨assigt werden.

L¨ost man die Formel nach der Schrittanzahl auf, so lautet sie:

n(t) = 2ccos (α1)

3l₀−^√₂³dt (3.8)

In Abbildung 3.12 erkennt man deutlich, dass diese Formel ausgezeichnet mit Simulationsergebnissen ¨ubereinstimmt.

3.3. THEORIE II: UNREGELM ¨ASSIGE SCH ¨AUME 27

50000 55000 60000 65000 70000 75000

-1/6

-1/3 0

Startwinkelα /π_S n(t=100000 l /c)0

Schrittanzahl

Abbildung 3.12: Schrittanzahl nach der Zeit t = 100000l0/c im exakten Sechseckgitter mit d/l0 = 0,1 in Abh¨angigkeit vom Startwinkel αS/π. Die Punkte ergeben sich aus Simulationen (siehe auch Abschnitt 3.6), die gestrichelten Kurven stellen (3.8) mitα1=αS

bzw.α1= ^π₃ −αS dar. Die meisten Simulationspunkte liegen fast unmittelbar auf diesen Kurven (f¨ur−^π₃ ≤αS ≤ −^π₆ auf der Kurve mitα1 = ^π₃ −αS, f¨ur−^π₆ ≤αS≤0 auf der mitα1=αS), nur sehr wenige Punkte weichen wesentlich ab (einige wenige liegen nicht im dargestellten Bereich).

3.3 Theorie II: Photonenausbreitung in

Im Dokument Lichttransport in zellulären Strukturen (Seite 24-29)