Ballistische N¨aherung f¨ ur das exakte Gitter

In Abschnitt 3.3.1 wurde die mittlere quadratische Ortsabweichung σ² = h~r·~ri der Photonen f¨ur den Fall berechnet, dass die Photonen an den Ver-zweigungen rein zuf¨allig in einen der beiden m¨oglichen Kan¨ale ¨ubergehen.

Im regelm¨aßig hexagonalen Gitter geschieht der Kanalwechsel jedoch nicht zuf¨allig, sondern kann exakt berechnet werden. Dies wird in den Simula-tionen auch gemacht werden (siehe Abschnitt 3.6.1). Man k¨onnte meinen, dass durch die Mittelung ¨uber Bahnen mit vielen verschiedenen Startwin-keln und verschiedenen Startpositionen, sich ein ¨ahnliches Ergebnis wie bei rein zuf¨alligen Kanalwechseln ergibt. In Abschnitt 3.2.1 wurde jedoch ge-zeigt, dass im regelm¨aßig hexagonalen Gitter im Verlaufe einer Photonen-bahn nur drei verschiedene Winkel auftreten k¨onnen. Dies legt nahe, dass auch bei Mittelung ¨uber viele Startkonfigurationen, man eine andere Pho-tonenverteilung als bei einer rein zuf¨alligen Photonenausbreitung erh¨alt, da der Kanalwechsel eines Photons von der Vorgeschichte abh¨angt. Auch gibt es im regelm¨aßig hexagonalen Gitter einige streng periodische Bah-nen oder BahBah-nen, bei deBah-nen sich die PhotoBah-nen ¨uber sehr viele Schritte

im-3.4. THEORIE III: EXAKTE UND FAST EXAKTE GITTER 33 mer in die gleiche Richtung bewegen (ein paar Beispiele f¨ur solche Bah-nen werden in Abschnitt 3.6.2 beschrieben). Solche BahBah-nen tragen dazu bei, dass bei Mittelung ¨uber verschiedene Startwinkel, die Skalarprodukte inσ² =h~r·~ri=nl²₀+ 2Pn

i=1

Pn−i

k=1h~r_i·~r_i+kiwesentlich von denen, die man bei zuf¨alliger Ausbreitung erh¨alt, abweichen.

Auch in diesem Abschnitt werden bei der Berechnung vonσ² wie bereits in Abschnitt 3.3 nur die Kan¨ale betrachtet, durch die ein Photon l¨auft. Die Photonenposition nach n Schritten ist ~r = P_n

i=1~r_i wobei |~r_i|=l₀ die Ka-nall¨ange ist.

Im Folgenden wird eine Photonenbahn immer einer der beiden Katego-rien zugeordnet:

• Gerade Bahn: Ein Photon auf einer geraden Bahn l¨auft bei jedem zweiten Schritt in die gleiche Richtung. Die Schritte dazwischen sind beliebig. In Abbildung 3.13 sind die m¨oglichen nach rechts laufenden geraden Bahnen (durchgezogene Linien) dargestellt. F¨ur die Skalar-produkte muß also gelten:~ri ·ri+2j~ = 1 und~ri ·ri+2j+1~ = ¹₂ f¨ur alle j.

• Andere Bahnen: Die Photonen laufen entweder auf geschlossenen Kreis-bahnen oder es ist keine besondere Regelm¨aßigkeit festzusellen. Die-se Photonen tragen nichts zum superdiffusiven Ausbreitungsverhalten bei, deshalb wird hier n¨aherungsweise angenommen, dass die Skalar-produkte im Mittel verschwinden, dass also h~r_i·r_i+j~ i = 0 f¨ur j ≥ 1 ist.

Um das superdiffusive Ausbreitungsverhalten erkl¨aren zu k¨onnen, muss man ausschließlich die geraden Bahnen betrachten. Dabei interessieren vor allem die folgenden beiden Fragen:

• Wenn sich ein Photon im i-ten Schritt z.B. nach rechts bewegt, mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet es sich dann auf einer geraden Bahn, d.h. mit welcher Wahrscheinlichkeit wird es sich danach in jedem zweiten Schritt nach rechts bewegen?

• Wenn ein Photon auf einer geraden Bahn l¨auft, wann wird es diese wieder verlassen?

Die auftretenen Wahrscheinlichkeiten werden hier ¨uber eine sehr große An-zahl von Photonen definiert, die mit unterschiedlichen Winkeln gestartet werden. Die Frage nach dem Zeitpunkt des Verlassens einer geraden Bahn wird erst in Abschnitt 3.4.2 vollst¨andig behandelt. Um die erste Frage soll es nun gehen:

i

Abbildung 3.13: Die Grafik verdeutlicht gerade Bahnen, also Wege, bei denen jeder zweite Schritt in die gleiche Richtung wie deri-te Schritt geht (durchgezogene Linien). Desweite-ren ist dargestellt, an welchen Verzweigungen ein Photon eine gerade Bahn verlassen kann.

Dies ist n¨amlich nur an den mit einem Kreis gekennzeichneten Verzweigungen m¨oglich (die abweichenden Bahnen sind gepunktet angedeutet). An den mit einem Quadrat gekenn-zeichneten Verzweigungen spielt es keine Rolle, welche Richtung das Photon einschl¨agt:

War ein Photon zuvor auf einer geraden Bahn, so ist es danach sicher immer noch auf einer solchen. Mit diesen ¨Uberlegungen kann abgesch¨atzt werden, wie viele Photonen sich auf einer geraden Bahn bewegen (siehe Text).

H¨aufigkeit gerader Bahnen:

Es gilt herauszufinden, wie viele der Photonen, die im i-ten Schritt einen Kanal in eine bestimmte Richtung durchqueren, danach auf einer geraden Bahn in diese Richtung weiterlaufen. In Abbildung 3.13 ist dargestellt, wel-che geraden Bahnen es gibt, wenn das Photon beimi-ten Schritt nach rechts gelaufen ist. Um auf einer geraden Bahn zu bleiben spielt es an den Qua-dratverzweigungen keine Rolle, in welchen Kanal das Photon weitergeht.

An den Kreisverzweigungen jedoch entscheidet sich, ob das Photon auf ei-ner geraden Bahn weiterl¨auft oder diese verl¨aßt. Der Kanalwechsel an den Kreisverzweigungen ist also entscheidend. Er kann auf zwei Arten stattfin-den:

• Fall 1: Der Winkel zwischen Photonenbahn und Kanalmittelparallelen im Kanal vor der Kreisverzweigung ist kleiner als ^π₆: Dann gibt es die

3.4. THEORIE III: EXAKTE UND FAST EXAKTE GITTER 35 in Abschnitt 3.2.1 in Abbildung 3.7 mit Fall a und b bezeichneten M¨oglichkeiten des Kanalwechsels.

• Fall 2: Der Winkel im Kanal vor der Kreisverzweigung ist gr¨oßer als ^π₆: Somit entscheidet nur die Anzahl der Reflektionen im Kanal vor der Kreisverzweigung ¨uber den Verbleib auf einer geraden Bahn: Ist diese Anzahl gerade, so l¨auft das Photon auf der geraden Bahn weiter; ist die Anzahl ungerade, so verl¨aßt es die gerade Bahn (siehe Abbildung 3.14).

Fall a Fall b

Abbildung 3.14: Das Photon l¨auft auf einer geraden Bahn weiter, wenn die Anzahl der Re-flektionen im Kanal vor der entscheidenden Verzweigung (siehe Kreise) gerade ist. W¨urde das Photon einmal mehr oder weniger reflektiert, so w¨urde es die gerade Bahn verlassen.

Dies gilt unabh¨angig davon ob der Kanalwechsel zuvor gem¨aß Fall a (unten) oder b (oben) stattfand.

Da sich der Winkel kleiner ^π₆ in jedem zweiten Kanal wiederholt (siehe Abschnitt 3.2.1), tritt bei einer geraden Bahn entweder an allen Kreisver-zweigungen immer Fall 1 oder immer Fall 2 auf. Im Folgenden wird nun

davon ausgegangen, dass innerhalb einer geraden Bahn es zu jedem Winkel eine feste Reflektionsanzahl gibt. Wird das Photon in einem Kanal, in dem die Photonenbahn den Winkelα zur Kanalmittelparallelen hat, alsom mal reflektiert, so wird es auch in jedem sp¨ateren Kanal, in dem der Winkel α ist, m mal reflektiert. Diese Forderung geht davon aus, dass der Weg des Photons in einem Kanal sich bei einer geraden Bahn in einem regelm¨aßi-gen Gitter exakt wiederholt. Eine solche gerade Bahn weist also eine Art Periodizit¨at auf. In Abschnitt 3.4.2 wird von dieser Forderung abgesehen.

Tats¨achlich kann sich die Position des Photons innerhalb des Kanales bei jedem Schritt leicht verschieben. Dies f¨uhrt dann dazu, dass das Photon nach einiger Zeit die gerade Bahn verl¨aßt. Aus Gr¨unden der Darstellung soll aber zun¨achst die Forderung nach sich wiederholenden Reflektionsanzahlen streng erf¨ullt sein. Somit ergibt sich f¨ur die obigen F¨alle:

• bei Fall 1 an allen Kreisverzweigungen: Damit ein Photon auf einer ge-raden Bahn bleibt, m¨ussen die Kanalwechsel an den Kreisverzweigun-gen immer gem¨aß Fall a oder immer gem¨aß Fall b stattfinden; erfolgt einmal ein Kanalwechsel gem¨aß dem anderen Fall, so verl¨aßt das Pho-ton die gerade Bahn. Nach 2j Schritten befindet sich ein Photon also nur noch mit der Wahrscheinlichkeitp^ja+p^j_b auf einer geraden Bahn, wobeip_abzw.p_bdie Wahrscheinlichkleiten f¨ur das Eintreten eines Ka-nalwechsels gem¨aß Fall a bzw. b sind. Diese Wahrscheinlichkeit nimmt exponentiell mit der Schrittanzahl ab; die entsprechenden Photonen spielen daher keine Rolle f¨ur das superdiffusive Ausbreitungsverhalten (wie unten noch genauer erl¨autert wird).

• bei Fall 2 an allen Kreisverzweigungen: Entscheidend f¨ur den Verbleib dieser Photonen auf geraden Bahnen ist nur, dass die Anzahl der Re-flektionen vor dem Kanalwechsel an den Kreisverzweigungen immer gerade sein muss (siehe oben). Vor einer Kreisverzweigung tritt entwe-der ein Winkelα^(a) zwischen ^π₆ und ^π₃ (wenn zuvor ein Kanalwechsel gem¨aß Fall a stattfand) oder ein Winkelα^(b) zwischen ^π₃ und ^π₂ (nach Wechseln gem¨aß Fall b) auf. Interessant ist der Fall, bei dem sowohl f¨ur α^(a)als auch f¨urα^(b)die Reflektionsanzahlen gerade sind. Dann bleibt das Photon n¨amlich f¨ur immer auf der geraden Bahn. Dies ist der entscheidende Anteil, der zum nichtdiffusiven Ausbreitungsverhalten f¨uhrt. Alle anderen F¨alle tragen nicht zum superdiffusiven Verhalten bei: Ist die Reflektionsanzahl f¨ur beide Winkel ungerade, so wird das Photon immer die gerade Bahn verlassen (das Photon l¨auft dann ¨ ubri-gens auf einer Kreisbahn). Ist sie nur f¨urα^(a)gerade, so darf nur Fall a eintreten, damit das Photon auf der geraden Bahn bleibt (Wahrschein-lichkeit nach 2j daf¨ur: p^j_a). Ist entsprechend die Reflektionsanzahl nur f¨urα^(b) gerade, so darf nur Fall b stattfinden (Wahrscheinlichkeitp^j_b).

3.4. THEORIE III: EXAKTE UND FAST EXAKTE GITTER 37 Geht man davon aus, dass alle hier genannten F¨alle gleichh¨aufig auftreten, so kommt der interessante Fall, bei dem das Photon unendlich lange auf ei-ner geraden Bahn bleibt, mit der Wahrscheinlichkeit ¹₈ vor. Bei den anderen F¨allen ist das Photon nach 2jSchritten mit einer Wahrscheinlichkeit propor-tional zu

p^ja+p^j_b

auf einer geraden Bahn. Dieser exponentiell abnehmen-de Anteil f¨uhrt zu einem diffusiven Anteil bei der Photonenausbreitung, der gegen¨uber dem ballistischen Anteil der unendlich langen geraden Bahnen vernachl¨assigt werden kann. Erst in Abschnitt 3.5 wird der diffusive Anteil wieder ber¨ucksichtigt, wenn es darum geht, ein Modell f¨ur den ¨Ubergang von der Ausbreitung in fast exakten zur Ausbreitung in unregelm¨aßigen Gittern zu finden.

F¨ur die Skalarprodukte auf geraden Bahnen gilt (siehe oben):~r_i·r_i+2j~ = 1 und ~r_i·r_i+2j+1~ = ¹₂ f¨ur alle j. Auf diesen Bahnen laufen ¹₈ der Photonen.

Somit ergibt sich f¨ur die mittlere quadratische Abweichung:

σ²(n) =nl²₀+ 2

Beim Berechnen der Summen wirdnals groß angenommen. Alle Terme, die nicht quadratisch innsind, werden vernachl¨assigt:

σ²(n) =nl²₀+ 2l²₀

Man erkennt, dass sich dieser N¨aherungsrechnung zufolge ein Teil der Pho-tonen rein ballistisch ausbreitet. Sie dominieren dann auch das gesamte Aus-breitungsverhalten.

Ergebnis in Abh¨angigkeit von der Zeit:

Das Ergebnis f¨ur σ² in der ballistischen N¨aherung (3.18) l¨aßt sich durch Einsetzen von Gleichung (3.8) in Abh¨angigkeit von der Zeit t ausdr¨ucken.

Die dann entstehende Formel ist vom Winkel α₁ abh¨angig. Bei der Herlei-tung der entsprechenden Ausdr¨ucke wurde allerdings bereits verwendet, dass es sich um einen Mittelwert von Photonen, die unter vielen verschiedenen

Winkeln gestartet wurden, handelt. Es muss also noch ¨uber den Winkel α1

gemittelt werden, der Werte zwischen 0 und ^π₆ annimmt:

σ²(n) = 6

Vergleiche mit den Simulationen sowie Diskussionen ¨uber die Qualit¨at der N¨aherungen, finden sich in Abschnitt 3.7.

3.4.2 Abnehmende Photonenzahl auf geraden Bahnen