Kriterien auf dem Prüfstand
Ein Blick auf die Kriterien
Kriterien auf dem Prüfstand: Übersicht
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium
• Eine auf einem Intervall
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium
• Eine auf einem Intervall
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Was bedeutet „globaler Satz“?
• Eine auf einem Intervall
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Was bedeutet „globaler Satz“?
• Eine auf einem Intervall Ein wenig anders formuliert:
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung Wenn nachgewiesen ist, dass eine Funktion an jeder Stelle eines Intervalls eine positive Ableitung besitzt,
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Was bedeutet „globaler Satz“?
• Eine auf einem Intervall Ein wenig anders formuliert:
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung Wenn nachgewiesen ist, dass eine Funktion an jeder Stelle eines Intervalls eine positive Ableitung besitzt,
• ist dort streng monoton wachsend.
dann ist gewiss, dass sie auf diesem Intervall streng monoton steigend ist.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Was bedeutet „globaler Satz“?
• Eine auf einem Intervall Ein wenig anders formuliert:
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung Wenn nachgewiesen ist, dass eine Funktion an jeder Stelle eines Intervalls eine positive Ableitung besitzt,
• ist dort streng monoton wachsend.
dann ist gewiss, dass sie auf diesem Intervall streng monoton steigend ist.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Eine triviale Aussage?
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Was bedeutet „globaler Satz“?
• Eine auf einem Intervall Ein wenig anders formuliert:
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung Wenn nachgewiesen ist, dass eine Funktion an jeder Stelle eines Intervalls eine positive Ableitung besitzt,
• ist dort streng monoton wachsend.
dann ist gewiss, dass sie auf diesem Intervall streng monoton steigend ist.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Eine triviale Aussage? JA!
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Was bedeutet „globaler Satz“?
• Eine auf einem Intervall Ein wenig anders formuliert:
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung Wenn nachgewiesen ist, dass eine Funktion an jeder Stelle eines Intervalls eine positive Ableitung besitzt,
• ist dort streng monoton wachsend.
dann ist gewiss, dass sie auf diesem Intervall streng monoton steigend ist.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Eine triviale Aussage? JA!
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz. In diesem Sachzusammenhang gilt aber:
Der Wert des Merksatzes liegt nicht darin, was er sagt,
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Was bedeutet in diesem Zusammenhang „lokal“?
• Eine auf einem Intervall „Lokal“ wird hier im Sinne von „an einer Stelle“
verwendet.
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Warum ist der Satz nicht lokal?
• Eine auf einem Intervall
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Warum ist der Satz nicht lokal?
• Eine auf einem Intervall Die Intuition lässt vielleicht dieses vermuten:
• differenzierbare Funktion Wenn die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0 positiv ist,
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend. dann existier t eine genügend kleine Umgebung von x0 (also ein Intervall, welches x0 enthält),
Merke: in der die Funktion streng monoton wächst:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Warum ist der Satz nicht lokal?
• Eine auf einem Intervall Die Intuition lässt vielleicht dieses vermuten:
• differenzierbare Funktion Wenn die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0 positiv ist,
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend. dann existier t eine genügend kleine Umgebung von x0 (also ein Intervall, welches x0 enthält),
Merke: in der die Funktion streng monoton wächst:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Warum ist der Satz nicht lokal?
• Eine auf einem Intervall Wie könnte nun ein Funktionsgraph aussehen,
• differenzierbare Funktion der an einer Stelle x0 eine positive Ableitung besitzt,
• mit überall positiver Ableitung zu der es aber keine noch so kleine Umgebung gibt,
• ist dort streng monoton wachsend. in der die Funktion streng monoton wächst?
Merke: (Die Funktionsgleichung ist nicht von Interesse.) Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Warum ist der Satz nicht lokal?
• Eine auf einem Intervall
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz. Der Graph oszilliert umso schneller, je mehr er sich der Stelle x0 = 0 nähert.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Warum ist der Satz nicht lokal?
• Eine auf einem Intervall
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Warum ist der Satz nicht lokal?
• Eine auf einem Intervall
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz. Die Funktion besitzt aber eine andere nützliche
Eigenschaft: f wächst beim Durchgang durch die Stelle x . Es gilt folgender Satz:
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Lokale Trennungseigenschaft
• Eine auf einem Intervall • Besitzt f an der Stelle x0 eine positive Ableitung,
• differenzierbare Funktion • so existiert eine hinreichend kleine Umgebung,
• mit überall positiver Ableitung • in der gilt:
• ist dort streng monoton wachsend. • alle Funktionswerte links von x0 sind kleiner und
• alle Funktionswerte rechts von x0 sind größer
Merke: • als f(x0).
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Merke:
Dieser Satz ist ein lokaler Satz.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Lokale Trennungseigenschaft
• Eine auf einem Intervall • Besitzt f an der Stelle x0 eine positive Ableitung,
• differenzierbare Funktion • so existiert eine hinreichend kleine Umgebung,
• mit überall positiver Ableitung • in der gilt:
• ist dort streng monoton wachsend. • alle Funktionswerte links von x0 sind kleiner und
• alle Funktionswerte rechts von x0 sind größer
Merke: • als f(x0).
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Merke:
Dieser Satz ist ein lokaler Satz.
(Analoges gilt für eine negative Ableitung.)