Vorlesungszyklus - Maus
Funktionale Zusammenhänge
Funktionale
Zusammenhänge
Funktionale Zusammenhänge
Die uns umgebende Welt steckt voller
funktionaler Zusammenhänge:
Funktionale Zusammenhänge – Beispiele
Die uns umgebende Welt steckt voller funktionaler Zusammenhänge:
Bremsweg
Bremsweg → Geschwindigkeit?
ODER
Geschwindigkeit → Bremsweg?
Funktionale Zusammenhänge – Beispiele
Füllhöhe
Würde grundsätzlich auch die Zuordnung Füllhöhe → verstrichene Zeit einen Sinn ergeben?
Funktionale Zusammenhänge – Beispiele
Füllhöhe
Würde grundsätzlich auch die Zuordnung Füllhöhe → verstrichene Zeit einen Sinn ergeben?
Es muss nicht immer
sein:Funktionale Zusammenhänge – Beispiele
Füllhöhe
Würde grundsätzlich auch die Zuordnung Füllhöhe → verstrichene Zeit
einen Sinn ergeben?
Es muss nicht immer sein:
ISBN-Nummer Buchtitel → Preis
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Unterschiedliche
Betrachtungsebenen
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
2 Betrachtungsebenen
quantitativ qualitativ
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
2 Betrachtungsebenen
Unterschiedliche Tiefen der Betrachtung:
Je mehr
mathematische Werkzeuge zur Verfügung stehen, desto tiefer können
Betrachtungen und Einsichten sein
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar als Formel
darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Es können nur grundsätzliche
Aussagen getroffen werden, z.B.:
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar als Formel
darstellbar
Formel liefert
eine Erklärung Formel liefert
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Es können nur grundsätzliche
Aussagen getroffen werden, z.B.:
Die Füllhöhe nimmt zu.
Da der Graph nicht gleichmäßig verläuft, wird es „Störungen“
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar als Formel
darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Möchte man tiefere Einsicht in den Vorgang gewinnen,
benötigt man quantitative Informationen:
ZAHLEN
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar als Formel
darstellbar
Formel liefert
eine Erklärung Formel liefert
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Nun können etwa folgende Fragen
beantwortet werden:
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar als Formel
darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Nun können etwa folgende Fragen
beantwortet werden:
Wann wurde welche Füllhöhe erreicht?
Wie schnell steigt der Füllpegel ? (absolut
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar als Formel
darstellbar
Formel liefert
eine Erklärung Formel liefert
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Für einen solchen
unregelmäßigen Verlauf wird es in der Regel keine „Formel“ geben, die diesen Verlauf beschreibt.
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar als Formel
darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Das Schnurproblem
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Auf dem Boden wird an zwei vorgegebenen Punkten eine Schnur befestigt, die ein Meter länger ist als der Abstand zwischen den beiden Punkten. Anschließend wird die Schnur in der Mitte in die Höhe gezogen.
Frage: Was geschieht mit der „Schnurhöhe“, wenn die Länge der Schnur zunimmt?
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
begründete Vermutungen
aufstellen
nimmt ab bleibt gleich
wird größer
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar als Formel
darstellbar
Formel liefert
eine Erklärung Formel liefert
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Sammeln von konkreten Messdaten
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar als Formel
darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Aufstellen einer Formel
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar als Formel
darstellbar
Formel liefert
eine Erklärung Formel liefert
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Erklärung finden
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar als Formel
darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar als Formel
darstellbar
Formel liefert
eine Erklärung Formel liefert
Schicke Überleitung
Um diese Schlussfolgerung ziehen zu können, müssen Schüler folgendes wissen bzw.
erkennen können:
1. Mit zunehmender Schnurlänge a wächst der Radikand streng monoton.
2. Die Wurzelfunktion ist streng monoton steigend.
Schicke Überleitung
Und weiter gedacht:
Im Unterricht wird man schnell und oft auf Fragen stoßen, deren Antwort nicht ganz so leicht aus dem Funktionsterm „abgelesen“ werden kann, z.B. Fragen nach
optimalen Verpackungsgrößen.
Schicke Überleitung
Fazit:
Der Schulunterricht in der Sekundarstufe wird schnell die Kenntnis des Funktionsbegriffs erforderlich machen.
Funktionsbegriff(e)
Funktionsbegriff(e)
Funktionsbegriff(e)
Funktionsbegriff(e)
Funktionsbegriff(e)
Funktionsbegriff(e)
Funktionsbegriff(e)
Funktionsbegriff(e)
Funktionsbegriff(e)
Funktionsbegriff(e)
Gibt es eigentlich einen
Unterschied zwischen den Begriffen „Funktion“ und
„Abbildung“?
Funktionsbegriff(e)
Zwischenbilanz
Zwischenbilanz
Zwischenbilanz
Wie könnte nun ein guter Mathematikunterricht aussehen?
konkreter Kontext (innermathematisch) (außermathematisch)
konkrete Fragestellung (erarbeiten lassen)
Funktionsterm (aufstellen lassen) mathematischer
Werkzeugkasten
Zwischenbilanz
Werkzeug
KV Extremwert-
untersuchungen
Flächenberechnungen
Schnittwinkel-
Tangenten bestimmen
Parameterunter- suchungen
…
Zwischenbilanz
Werkzeug
KV Extremwert-
untersuchungen
Flächenberechnungen
Schnittwinkel- berechnungen
Tangenten bestimmen
Parameterunter- suchungen
…
Kurvendiskussion
Kurvendiskussion
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Kurvendiskussion?
JA!
Aber:
WIE?
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Kurvendiskussion?
JA!
Aber:
WIE?
Dazu zunächst ein Paar Expertenmeinungen aus
der Praxis zum Status Quo:
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Der Mathematiker Pro Kommentar
Es werden zumindest technische Fertigkeiten vermittelt.
Dieser Aspekt gehört nicht zu den primären Zielen, die der Mathematikunterricht vermitteln sollte.
In vielen Fällen könnte dies auch von einem CAS
übernommen werden.
In vielen Bundesländern ist dies auch schon gängige Praxis (z.B. Niedersachsen).
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Der Mathematiker Contra Kommentar
Es werden keine Kurven diskutiert. Der
Untersuchungsgegenstand ist in der Tat nicht immer eine Kurve im eigentlichen mathematischen Sinne.
Stört in der Praxis aber nicht wirklich.
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Der Mathematiker Contra Kommentar
Es werden keine Kurven diskutiert. Der
Untersuchungsgegenstand ist in der Tat nicht immer eine Kurve im eigentlichen mathematischen Sinne.
Stört in der Praxis aber nicht wirklich.
Es werden keine Kurven diskutiert. Stimmt. Es findet keine Diskussion statt. Es wird lediglich ein Algorithmus abgearbeitet. Dies gilt es zu ändern.
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Der Mathematiker Contra Kommentar
Es werden keine Kurven diskutiert. Der
Untersuchungsgegenstand ist in der Tat nicht immer eine Kurve im eigentlichen mathematischen Sinne.
Stört in der Praxis aber nicht wirklich.
Es werden keine Kurven diskutiert. Stimmt. Es findet keine Diskussion statt. Es wird lediglich ein Algorithmus abgearbeitet. Dies gilt es zu ändern.
Selten anwendungsrelevante Stimmt. Dies gilt es zu
Der Mathematik-Didaktiker Pro Kommentar
--- ---
Kleiner Einschub:
Heuristik: ???
Kleiner Einschub:
Heuristik: Die Kunst
mit begrenztem Wissen und wenig Zeit
zu guten Lösungen zu kommen.
Der Mathematik-Didaktiker Contra Kommentar Kein Erlernen und Erleben
heuristischer Denk- und Arbeitsweisen.
Stimmt. Die Schüler
werden nicht aufgefordert eigene, andere , elegante,
… Lösungsansätze zu finden.
Für die Schüler gibt es nicht wirklich etwas zu entdecken!
Dies gilt es zu ändern.
Der Mathematik-Didaktiker Contra Kommentar Kein Erlernen und Erleben
heuristischer Denk- und Arbeitsweisen.
Stimmt. Die Schüler
werden nicht aufgefordert eigene, andere , elegante,
… Lösungsansätze zu finden.
Für die Schüler gibt es nicht wirklich etwas zu entdecken!
Dies gilt es zu ändern.
Damit
zusammenhängend: Die typische Kurvendiskussion ist einseitig
ergebnisorientiert angelegt.
Stimmt. Dies gilt es zu ändern.
Auch in der Schule gilt:
„Der Weg ist das Ziel.“
Der Mathematik-Lehrer Pro Kommentar Typ A
Schüler sind beschäftigt und im Allgemeinen nicht überfordert.
1. Seien wir ehrlich:
manchmal ist es
notwendig, dass man die Schüler auf einfache Weise lange beschäftigen kann.
Aber: dies kann natürlich nicht der grundsätzliche Anspruch an einen
Aufgabentyp sein.
2. Lieber das Niveau
senken als sich Gedanken zu machen, wie man den Stoff vernünftig
aufbereiten kann?
Der Mathematik-Lehrer Pro Kommentar Typ A
Es handelt sich um einen korrekturfreundlichen Unterrichtsgegenstand.
Das ist ein Aspekt der
Arbeit eines Lehrers, der in der Praxis ein großes
Gewicht besitzt.
Eine schriftliche
Leistungskontrolle sollte stets korrekturfreundlich konzipiert werden, ohne dabei anspruchslos zu sein.
Der Mathematik-Lehrer Contra Kommentar Typ B
Eintönig und erstarrt. Stimmt. Dies gilt es zu ändern.
Der Mathematik-Lehrer Contra Kommentar Typ B
Eintönig und erstarrt. Stimmt. Dies gilt es zu ändern.
Keine inhaltliche Tiefe. Stimmt. Dies gilt es zu ändern.
Der Mathematik-Schüler Pro Kommentar Typ A
Im Gegensatz zu Beweisen und „Denksport-Aufgaben“
sind das „richtige“
Aufgaben:
„Und das ist auch gut so!“
„Brot für die Armen.“
Man weiß, was man machen soll und was für die Klausur zu lernen ist.
Solche Aufgaben(teile) muss es auch weiterhin geben!
Der Mathematik-Schüler Contra Kommentar Typ B
Keine umfassenden Denkanstrengungen:
Da lächelt der Mathematik- Didaktiker ´:
„Eine Kurvendiskussion, bei der es nichts zu entdecken gibt, langweilt mich.“
Dies gilt es zu ändern.
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Zusammenfassung
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Änderungsprogramm für didaktisch erstrebenswerte Kurvendiskussionen Bei der Untersuchung von
Funktionen und deren Graphen sollte eine wirkliche Diskussion stattfinden.
Es sollte die Möglichkeit von „heuristischen
Entdeckungsreisen“
gegeben sein.
Mehr (echte und sinnvolle) anwendungsbezogene
Kontexte.
Aufgaben variieren und anhaltenden Eintönigkeit vermeiden.
Mehr Prozessorientierung bei der Aufgabenstellung.
Mehr inhaltliche Tiefe.
Und nicht vergessen: Nicht nur fordern, auch fördern !!!!
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Der Weg zum Ziel
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Es ist möglich, durch leichte Akzentverschiebungen und
Ergänzungen den „herkömmlichen“ Aufgaben eine neue
Qualität zu verleihen:
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
qualitative Analysis: Integration neuer Technologien: veränderte Aufgabenstellungen stärkere Betonung
nicht-algorithmischer Elemente
Geogebra CAS
…
aktive Mathematik:
Erkunden Vermuten Begründen Darstellen
Kurvendiskussion: Beispiel
Ein konkretes Beispiel
Kurvendiskussion: Beispiel
Kurvendiskussion: Beispiel
Vorteile dieses Einstiegs und dieser Aufgabenstellung:
Kurvendiskussion: Beispiel
Vorteile dieses Einstiegs und dieser Aufgabenstellung:
Durch den frühen Blick auf die Funktionsgraphen bekommt der Schüler sofort einen Eindruck von den wichtigsten Eigenschaften der Funktion. Der Graph ist hier nicht irgendein nebulöses Ziel, sondern Basis der Untersuchungen.
Kurvendiskussion: Beispiel
Vorteile dieses Einstiegs und dieser Aufgabenstellung:
Durch den frühen Blick auf die Funktionsgraphen bekommt der Schüler sofort einen Eindruck von den wichtigsten Eigenschaften der Funktion. Der Graph ist hier nicht irgendein nebulöses Ziel, sondern Basis der Untersuchungen.
Dadurch wird eine heuristisch-aktive Bearbeitung möglich:
1.
2.
3.
Kurvendiskussion: Beispiel
Vorteile dieses Einstiegs und dieser Aufgabenstellung:
Durch den frühen Blick auf die Funktionsgraphen bekommt der Schüler sofort einen Eindruck von den wichtigsten Eigenschaften der Funktion. Der Graph ist hier nicht irgendein nebulöses Ziel, sondern Basis der Untersuchungen.
Dadurch wird eine heuristisch-aktive Bearbeitung möglich:
1. Punkt (0/4) ablesen und Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen 2. Schnittstelle 2 ablesen und in die entsprechende Gleichung einsetzen
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile:
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile: Diese Frage ist sehr offen formuliert, so dass Schüler zum Erkunden, Vermuten und Begründen aufgefordert sind. Dies kann wird eine
„richtige“ Diskussion zur Folge haben.
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile: Diese Frage ist sehr offen formuliert, so dass Schüler zum Erkunden, Vermuten und Begründen aufgefordert sind. Dies kann wird eine
„richtige“ Diskussion zur Folge haben.
Auch hier gibt es zumindest zwei unterschiedliche Herangehensweisen:
1. Wer will, kann hier den „sicheren“ Weg einer „normalen“
Kurvendiskussion gehen. Vorteil: Man wird durch die Abbildung zu Beginn der Aufgabe geleitet.
2. Mit Hilfe eines Funktionsplotters kann der Parameter a schnell
variiert werden. Die beobachteten Invarianten müssen dann z.B. mit Hilfe des Funktionsterms begründet werden.
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile: Der rechnerische Weg ist die sichere Variante, bei der auch eher leistungsschwache Schüler wissen, wie zumindest der Lösungsweg aussieht:
fa´(-x) = -fa´(x).
Bei der Variante ohne Rechnung muss der Schüler Überblick und Kombinationsgeschick beweisen, z.B.:
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile: Der rechnerische Weg ist die sichere Variante, bei der auch eher leistungsschwache Schüler wissen, wie zumindest der Lösungsweg aussieht:
fa´(-x) = -fa´(x).
Bei der Variante ohne Rechnung muss der Schüler Überblick und Kombinationsgeschick beweisen, z.B.:
- Graph der Funktion selbst ist achsensymmetrisch zur y-Achse - Punkte mit demselben Abstand zum Ursprung haben bis auf das
Vorzeichen die gleiche Steigung
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile: Das „Bestimmen“ entspricht wieder dem Standardkalkül und ist für jeden Schüler machbar. Das Ergebnis kann anhand der Abbildung überprüft werden.
Die Erklärung ohne den Ableitungsbegriff verlangt ein genaues Verständnis der Definition von lokalen Extrema:
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile: Das „Bestimmen“ entspricht wieder dem Standardkalkül und ist für jeden Schüler machbar. Das Ergebnis kann anhand der Abbildung überprüft werden.
Die Erklärung ohne den Ableitungsbegriff verlangt ein genaues Verständnis der Definition von lokalen Extrema:
- mit Hilfe des Funktionsterms lässt sich begründen:
- lokal um 0 herum sind alle Funktionswerte kleiner als fa(0)
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile: Die an sich mechanische Wendepunktberechnung wird in eine Frage eingebettet, deren Antwort nicht offensichtlich ist.
Zunächst können / sollen wieder mit Hilfe von Funktionsplottern begründet verschiedene Parameterwerte ausprobiert werden („Probieren mit System“ verlangt ebenfalls gewisse mathematische Fähigkeiten.)
In diesem Fall ist die Antwort negativ. Eine vernünftige Begründung kommt wahrscheinlich nicht ohne eine konkrete Berechnung der Koordinaten aus.
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile: Dies ist eine sehr anspruchsvolle Aufgabe, die mit reinem Rechnen nichts zu tun hat.
Der Schüler muss einen mathematischen Aufsatz schreiben. Dabei müssen
- wesentliche Aspekte erkannt und - in einer logischen Struktur
- zusammenhängend dargestellt werden.
Dies ist auch für leistungsstarke Schüler keine leichte Aufgabe.
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
im Original:
Die Vorteile:
Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
im Original:
Die Vorteile: Aufgabenstellung und Graphik sichern nicht im schon a priori die Existenz des Schnittpunktes für alle zugelassenen Parameterwerte. Dies muss erst noch begründet werden.
Kurvendiskussion: Beispiel
Zwischenbilanz
Kurvendiskussion: Beispiel
Änderungsprogramm für didaktisch erstrebenswerte Kurvendiskussionen Bei der Untersuchung von
Funktionen und deren Graphen sollte eine wirkliche Diskussion stattfinden.
Es sollte die Möglichkeit von „heuristischen
Entdeckungsreisen“
gegeben sein.
Mehr (echte und sinnvolle) anwendungsbezogene
Kontexte.
Aufgaben variieren und anhaltenden Eintönigkeit vermeiden.
Mehr Prozessorientierung bei der Aufgabenstellung.
Mehr inhaltliche Tiefe.
Und nicht vergessen: Nicht nur fordern, auch fördern !!!!
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
echte und sinnvolle
anwendungsbezogene
Kontexte
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
echte und sinnvolle anwendungsbezogene Kontexte stellen Anforderungen an Schüler
und Lehrer
(häufige) Probleme
gründliche Auseinandersetzung mit dem Kontext
alle (!) Beteiligten können schnell überfordert sein
verfügbarer (Zeit-)Rahmen kann gesprengt werden
Mathematisieren adäquate Mathematisierung mit
schulmathematischen Mitteln oft nicht möglich
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
echte und sinnvolle anwendungsbezogene Kontexte stellen Anforderungen an Schüler
und Lehrer
(häufige) Probleme
gründliche Auseinandersetzung mit dem Kontext
alle (!) Beteiligten können schnell überfordert sein
verfügbarer (Zeit-)Rahmen kann gesprengt werden
Mathematisieren adäquate Mathematisierung mit
schulmathematischen Mitteln oft nicht möglich
Die Folge: Es gibt wenige wirklich geeignete Aufgaben … 1. mit relevantem Sachkontext
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
ein gut erprobtes Beispiel
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Das Objekt: Die Messdaten:
Eine 1-Liter-Milchtüte a = 7,1 cm, h = 19,7 cm
Die Frage: Eine Überraschung:
Wird bei der Herstellung der Verpackung darauf geachtet, möglichst wenig Material zu verbrauchen?
Die Messdaten ergeben ein Volumen von ungefähr 993 cm3.
Das Faltnetz: Aufatmen:
Eine gefüllte Milchtüte ist „bauchig“ und bietet ausreichend Platz.
Zu untersuchen:
Sind die Maße von a und h optimal?
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Die Zielfunktion:
Mit der Nebenbedingung a2 h = 1000 cm3 ergibt sich
?
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Erinnerung
Im „herkömmlichen“ Unterricht würde (schon) jetzt rechnerisch das globale Minimum der Funktion bestimmt (notwendiges und hinreichendes Kriterium, Randwertbetrachtung).
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Erinnerung
Im „herkömmlichen“ Unterricht würde (schon) jetzt rechnerisch das globale Minimum der Funktion bestimmt (notwendiges und hinreichendes Kriterium, Randwertbetrachtung).
Aber No.1:
Dieser Vorgang wäre rein ergebnisorientiert.
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Erinnerung
Im „herkömmlichen“ Unterricht würde (schon) jetzt rechnerisch das globale Minimum der Funktion bestimmt (notwendiges und hinreichendes Kriterium, Randwertbetrachtung).
Aber No.1:
Dieser Vorgang wäre rein ergebnisorientiert.
Aber No.2:
Der Funktionsgraph und seine Eigenschaften würden in keiner Weise diskutiert.
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
2 Nebenbemerkungen:
1. Das notwendige Kriterium führt in diesem Fall ohnehin auf eine Gleichung 4.Grades, die mit schulischen Mitteln nicht zu lösen ist.
2. Beim reinem Rechnen würden
interessante Erkenntnisse verloren gehen.
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Die Zielfunktion:
Mit der Nebenbedingung a2 h = 1000 cm3 ergibt sich
Ein Bild vom Funktionsplotter hilft:
?
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Die Zielfunktion: Begründung für das lokale Minimum – Teil 1 Mit der Nebenbedingung a2 h = 1000 cm3
ergibt sich
kleines a → ersten drei Summanden klein letzte beiden Summanden groß Ein Bild vom Funktionsplotter hilft: großes a → genau umgekehrt
Fazit: Für kleine und große a ist M(a) groß.
„Schluss“: Es ist plausibel, dass
„zwischendrin“ ein Minimum angenommen wird.
?
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Begründung für das lokale Minimum – Teil 2 Ableitungen →
2. Ableitung → Wegen a > 0 ist M´´ stets positiv.
1. Ableitung → M´ ist also streng monoton steigend.
Bestätigung →
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Begründung für das lokale Minimum – Teil 2 Begründung für das lokale Minimum – Teil 3
Ableitungen → Die Ausgangsfunktion M ist links von der
Nullstelle von M´ streng monoton fallend.
Die Ausgangsfunktion M ist rechts von der Nullstelle von M´ streng monoton wachsend.
2. Ableitung → Wegen a > 0 ist M´´ stets positiv.
1. Ableitung → M´ ist also streng monoton steigend.
Damit besitzt M an der entsprechenden Stelle ein Minimum.
Bestätigung → q.e.d.
(Die Existenz der Nullstelle wird durch den Zwischenwertsatz für stetige Funktionen gesichert.)
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Schlussbetrachtungen:
Ablesen ergibt einen Wert von ungefähr a = 7,8,
der damit um 9% von dem gemessenen Wert a = 7,1 abweicht.
Diese Abweichung zieht aber nur einen Mehrverbrauch von 2% Material nach sich.
Dies lässt sich an dem flachen Verlauf des Graphen von M´ nachvollziehen:
In der Nähe dieser Extremstelle verändern sich die Funktionswerte nur wenig.
!
!
!
Kurvendiskussion: anwendungsbezogene Kontexte
Schlussbetrachtungen:
Ablesen ergibt einen Wert von ungefähr a = 7,8,
der damit um 9% von dem gemessenen Wert a = 7,1 abweicht.
Diese Abweichung zieht aber nur einen Mehrverbrauch von 2% Material nach sich.
Dies lässt sich an dem flachen Verlauf des Graphen von M´ nachvollziehen:
In der Nähe dieser Extremstelle verändern sich die Funktionswerte nur wenig.
Ergebnis: Der gemessene Wert entspricht nicht dem theoretischen Optimum, der Unterschied scheint aber vernachlässigbar.
!
!
!
Kurvendiskussion: Beispiel
Schlussbilanz
Kurvendiskussion: Beispiel
Änderungsprogramm für didaktisch erstrebenswerte Kurvendiskussionen Bei der Untersuchung von
Funktionen und deren Graphen sollte eine wirkliche Diskussion stattfinden.
Es sollte die Möglichkeit von „heuristischen
Entdeckungsreisen“
gegeben sein.
Mehr (echte und sinnvolle) anwendungsbezogene
Kontexte.
Aufgaben variieren und anhaltenden Eintönigkeit vermeiden.
Mehr Prozessorientierung bei der Aufgabenstellung.
Mehr inhaltliche Tiefe.
Und nicht vergessen: Nicht nur fordern, auch fördern !!!!
Extremwertprobleme
Extremwertprobleme
Extremwertprobleme: Probleme
Häufig werden Extremwertprobleme ähnlich wie Kurvendiskussionen unterrichtet:
Funktionsgleichung aufstellen + Kurvendiskussion + Randwertbetrachtung + Ergebnisinterpretation
Problem: Das Lösen von Extremwertproblemen wird gleichgesetzt mit dem Bestimmen von Extrempunkten mit Hilfe von notwendigem und hinreichendem Kriterium.
Dadurch kann der Eindruck entstehen, dass diese Aufgaben nur auf diesem einen Weg gelöst werden kann.
„Lösung“: Einbeziehen von - elementaren mathematischen Methoden - historischen Lösungswegen
- CAS, Geogebra, …
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
kleine
Stellschrauben
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Manchmal hängt es an Kleinigkeiten, warum der
Unterricht nicht wie gewünscht funktioniert.
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken besitzt den größten Flächeninhalt?
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken besitzt den größten Flächeninhalt?
Mögliches Hindernis Nummer 1
Manchmal ist nicht das Lösen der Aufgabe das Problem, sondern das Verstehen der Problemstellung:
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken besitzt den größten Flächeninhalt?
Mögliches Hindernis Nummer 1
Manchmal ist nicht das Lösen der Aufgabe das Problem, sondern das Verstehen der Problemstellung:
Lehrer: Welche Größen ändern sich bei den verschiedenen Rechtecken?
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken besitzt den größten Flächeninhalt?
Mögliches Hindernis Nummer 1
Manchmal ist nicht das Lösen der Aufgabe das Problem, sondern das Verstehen der Problemstellung:
Lehrer: Welche Größen ändern sich bei den verschiedenen Rechtecken?
Schüler: Na alle natürlich, denn die Form des Rechtecks ändert sich laufend.
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken besitzt den größten Flächeninhalt?
Mögliches Hindernis Nummer 1
Manchmal ist nicht das Lösen der Aufgabe das Problem, sondern das Verstehen der Problemstellung:
Lehrer: Welche Größen ändern sich bei den verschiedenen Rechtecken?
Schüler: Na alle natürlich, denn die Form des Rechtecks ändert sich laufend.
Lehrer: Welche Größen genau meinst du?
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken besitzt den größten Flächeninhalt?
Mögliches Hindernis Nummer 1
Manchmal ist nicht das Lösen der Aufgabe das Problem, sondern das Verstehen der Problemstellung:
Lehrer: Welche Größen ändern sich bei den verschiedenen Rechtecken?
Schüler: Na alle natürlich, denn die Form des Rechtecks ändert sich laufend.
Lehrer: Welche Größen genau meinst du?
Schüler: Seitenlängen, Flächeninhalt und Umfang.
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken besitzt den größten Flächeninhalt?
Mögliches Hindernis Nummer 1
Manchmal ist nicht das Lösen der Aufgabe das Problem, sondern das Verstehen der Problemstellung:
Vorschlag
Zu Beginn der Aufgabe stets klar stellen (lassen), welche Größen variieren und welche nicht.
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken besitzt den größten Flächeninhalt?
Mögliches Hindernis Nummer 2
Vielfach führt die Intuition der Schüler zu der lapidaren Feststellung „Natürlich beim Quadrat“. Und nicht jeder Schüler wird das Bedürfnis haben, hier noch etwas zu
beweisen.
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das isometrische Problem für Rechtecke
Es werden umfangsgleiche Rechtecke untersucht.
Frage: Welches von diesen Rechtecken besitzt den größten Flächeninhalt?
Mögliches Hindernis Nummer 2
Vielfach führt die Intuition der Schüler zu der lapidaren Feststellung „Natürlich beim Quadrat“. Und nicht jeder Schüler wird das Bedürfnis haben, hier noch etwas zu
beweisen.
Vorschlag
Die Frage nach dem „Warum?“.
Extremwertprobleme: kleine Stellschrauben
Das analytische Warum Das geometrische Warum
Kriterien auf dem Prüfstand
Ein Blick auf die Kriterien
einer Kurvendiskussion
Kriterien auf dem Prüfstand: Übersicht
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium
• Eine auf einem Intervall
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium
• Eine auf einem Intervall
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Was bedeutet „globaler Satz“?
• Eine auf einem Intervall
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Was bedeutet „globaler Satz“?
• Eine auf einem Intervall Ein wenig anders formuliert:
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung Wenn nachgewiesen ist, dass eine Funktion an jeder Stelle eines Intervalls eine positive Ableitung besitzt,
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Was bedeutet „globaler Satz“?
• Eine auf einem Intervall Ein wenig anders formuliert:
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung Wenn nachgewiesen ist, dass eine Funktion an jeder Stelle eines Intervalls eine positive Ableitung besitzt,
• ist dort streng monoton wachsend.
dann ist gewiss, dass sie auf diesem Intervall streng monoton steigend ist.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Was bedeutet „globaler Satz“?
• Eine auf einem Intervall Ein wenig anders formuliert:
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung Wenn nachgewiesen ist, dass eine Funktion an jeder Stelle eines Intervalls eine positive Ableitung besitzt,
• ist dort streng monoton wachsend.
dann ist gewiss, dass sie auf diesem Intervall streng monoton steigend ist.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Eine triviale Aussage?
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Was bedeutet „globaler Satz“?
• Eine auf einem Intervall Ein wenig anders formuliert:
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung Wenn nachgewiesen ist, dass eine Funktion an jeder Stelle eines Intervalls eine positive Ableitung besitzt,
• ist dort streng monoton wachsend.
dann ist gewiss, dass sie auf diesem Intervall streng monoton steigend ist.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Eine triviale Aussage? JA!
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Was bedeutet „globaler Satz“?
• Eine auf einem Intervall Ein wenig anders formuliert:
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung Wenn nachgewiesen ist, dass eine Funktion an jeder Stelle eines Intervalls eine positive Ableitung besitzt,
• ist dort streng monoton wachsend.
dann ist gewiss, dass sie auf diesem Intervall streng monoton steigend ist.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Eine triviale Aussage? JA!
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz. In diesem Sachzusammenhang gilt aber:
Der Wert des Merksatzes liegt nicht darin, was er sagt,
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Was bedeutet in diesem Zusammenhang „lokal“?
• Eine auf einem Intervall „Lokal“ wird hier im Sinne von „an einer Stelle“
verwendet.
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Warum ist der Satz nicht lokal?
• Eine auf einem Intervall
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Warum ist der Satz nicht lokal?
• Eine auf einem Intervall Die Intuition lässt vielleicht dieses vermuten:
• differenzierbare Funktion Wenn die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0 positiv ist,
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend. dann existier t eine genügend kleine Umgebung von x0 (also ein Intervall, welches x0 enthält),
Merke: in der die Funktion streng monoton wächst:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Warum ist der Satz nicht lokal?
• Eine auf einem Intervall Die Intuition lässt vielleicht dieses vermuten:
• differenzierbare Funktion Wenn die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x0 positiv ist,
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend. dann existier t eine genügend kleine Umgebung von x0 (also ein Intervall, welches x0 enthält),
Merke: in der die Funktion streng monoton wächst:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Warum ist der Satz nicht lokal?
• Eine auf einem Intervall Wie könnte nun ein Funktionsgraph aussehen,
• differenzierbare Funktion der an einer Stelle x0 eine positive Ableitung besitzt,
• mit überall positiver Ableitung zu der es aber keine noch so kleine Umgebung gibt,
• ist dort streng monoton wachsend. in der die Funktion streng monoton wächst?
Merke: (Die Funktionsgleichung ist nicht von Interesse.) Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Warum ist der Satz nicht lokal?
• Eine auf einem Intervall
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz. Der Graph oszilliert umso schneller, je mehr er sich der Stelle x0 = 0 nähert.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Warum ist der Satz nicht lokal?
• Eine auf einem Intervall
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Warum ist der Satz nicht lokal?
• Eine auf einem Intervall
• differenzierbare Funktion
• mit überall positiver Ableitung
• ist dort streng monoton wachsend.
Merke:
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Oder Merke dies:
Dieser Satz ist kein lokaler Satz. Die Funktion besitzt aber eine andere nützliche
Eigenschaft: f wächst beim Durchgang durch die Stelle x . Es gilt folgender Satz:
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Lokale Trennungseigenschaft
• Eine auf einem Intervall • Besitzt f an der Stelle x0 eine positive Ableitung,
• differenzierbare Funktion • so existiert eine hinreichend kleine Umgebung,
• mit überall positiver Ableitung • in der gilt:
• ist dort streng monoton wachsend. • alle Funktionswerte links von x0 sind kleiner und
• alle Funktionswerte rechts von x0 sind größer
Merke: • als f(x0).
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Merke:
Dieser Satz ist ein lokaler Satz.
Kriterien auf dem Prüfstand: Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium Lokale Trennungseigenschaft
• Eine auf einem Intervall • Besitzt f an der Stelle x0 eine positive Ableitung,
• differenzierbare Funktion • so existiert eine hinreichend kleine Umgebung,
• mit überall positiver Ableitung • in der gilt:
• ist dort streng monoton wachsend. • alle Funktionswerte links von x0 sind kleiner und
• alle Funktionswerte rechts von x0 sind größer
Merke: • als f(x0).
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Merke:
Dieser Satz ist ein lokaler Satz.
(Analoges gilt für eine negative Ableitung.)
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Lokale Extrema
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Die
Definition
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das Auffinden
Für das Auffinden der Extrempunkte sind die Definitionen nicht geeignet:
1. Die Definitionen geben keine
Anhaltspunkte, wo genau gesucht werden sollen.
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das Auffinden
Für das Auffinden der Extrempunkte sind die Definitionen nicht geeignet:
1. Die Definitionen geben keine
Anhaltspunkte, wo genau gesucht werden sollen.
2. Es werden keine Punkte ausgeschlossen.
Es müssen also Eigenschaften der Extrempunkte gefunden werden, die das Auffinden effizient gestalten:
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das Auffinden
Die Abbildung zeigt:
Wenn eine Funktion f an einer Stelle xo einen Extrempunkt besitzt,
dann gilt: die Ableitung der Funktion an dieser Stelle ist 0: f´(x ) = 0.
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das Auffinden
Die Abbildung zeigt:
Wenn eine Funktion f an einer Stelle xo einen Extrempunkt besitzt,
dann gilt: die Ableitung der Funktion an dieser Stelle ist 0: f´(x0) = 0.
(Alternative 1: Die Steigung an dieser Stelle
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das Auffinden
Die Abbildung zeigt:
Wenn eine Funktion f an einer Stelle xo einen Extrempunkt besitzt,
dann gilt: die Ableitung der Funktion an dieser Stelle ist 0: f´(x ) = 0.
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das Auffinden
Die Abbildung zeigt: Für das Suchen verwendet man allerdings die andere Richtung:
Wenn eine Funktion f an einer Stelle xo einen Extrempunkt besitzt,
Man bestimme die Punkte mit f´(x0) = 0 dann gilt: die Ableitung der Funktion an
dieser Stelle ist 0: f´(x0) = 0.
und hoffe, dass es ein Extrempunkt ist.
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das Auffinden
Die Abbildung zeigt: Die Abbildung zeigt aber:
Wenn eine Funktion f an einer Stelle xo einen Extrempunkt besitzt,
Wenn die Ableitung einer Funktion an einer Stelle 0 ist,
dann gilt: die Ableitung der Funktion an dieser Stelle ist 0: f´(x ) = 0.
dann gilt: Die Funktion besitzt an dieser Stelle einen Extrempunkt oder einen
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das Auffinden
Die Abbildung zeigt:
Fazit:
Wenn eine Funktion f an einer Stelle xo einen Extrempunkt besitzt,
Die Eigenschaft „f´(x0) = 0“ ist zwar ein notwendiges Kriterium („es muss so sein“), dann gilt: die Ableitung der Funktion an
dieser Stelle ist 0: f´(x0) = 0.
es ist aber nicht hinreichend (im Sinne von
„ausreichend“).
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das Auffinden
Die Abbildung zeigt:
Neue Aufgabe
Wenn eine Funktion f an einer Stelle xo einen Extrempunkt besitzt,
Finde ein zusätzlichesMerkmal zur Unterscheidung von Extrem- und Sattelpunkten.
dann gilt: die Ableitung der Funktion an dieser Stelle ist 0: f´(x ) = 0.
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das Auffinden
Das Monotoniekriterium hilft hier weiter:
Handelt es sich um einen Hochpunkt, so ändert sich das Monotonieverhalten:
f steigt lokal links von xo streng monoton und fällt lokal rechts von x0 streng monoton:
Das Vorzeichen der Ableitung wechselt
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das Auffinden
Das Monotoniekriterium hilft hier weiter:
Handelt es sich um einen Hochpunkt, so ändert sich das Monotonieverhalten:
Bei einem Tiefpunkt verhält es sich natürlich genau umgekehrt:
f steigt lokal links von xo streng monoton und fällt lokal rechts von x streng monoton:
f fällt lokal links von xo streng monoton und steigt lokal rechts von x streng monoton:
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das Auffinden
Das Monotoniekriterium hilft hier weiter: Qualitätskontrolle dieses Merkmals:
Handelt es sich um einen Hochpunkt, so ändert sich das Monotonieverhalten:
Bei einem Sattelpunkt ändert sich das Monotonieverhalten gar nicht.
f steigt lokal links von xo streng monoton und fällt lokal rechts von x0 streng monoton:
Das Vorzeichen der Ableitung wechselt
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das Auffinden
Damit ist mehr erreicht als ursprünglich vorgesehen:
Erstes hinreichendes Kriterium:
Es kann nicht nur zwischen Extrempunkt und Sattelpunkt unterschieden werden,
Ist f´(xo) = 0 und wechselt f´ bei xo das Vorzeichen von + nach – (von – nach +), sondern sogar zwischen Hochpunkt und
Tiefpunkt.
so hat f bei x0 ein lokales Maximum (Minimum).
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das Auffinden
Dieses Kriterium hat einen Nachteil: Erstes hinreichendes Kriterium:
Man kann sich bei der Untersuchung nicht auf die Stelle xo beschränken,
Ist f´(xo) = 0 und wechselt f´ bei xo das Vorzeichen von + nach – (von – nach +), sondern muss eine ganze Umgebung von x0
einbeziehen.
so hat f bei x0 ein lokales Maximum (Minimum).
Das ist sehr mühsam.
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das Auffinden
Dieses Kriterium hat einen Nachteil: Erstes hinreichendes Kriterium:
Man kann die Untersuchung auf Testeinsetzungen reduzieren.
Ist f´(xo) = 0 und wechselt f´ bei xo das Vorzeichen von + nach – (von – nach +), Das ist sehr mathematisch nicht
befriedigend.
so hat f bei x0 ein lokales Maximum (Minimum).
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das Auffinden
Wünschenswert: Erstes hinreichendes Kriterium:
Ein Kriterium, welches sich ausschließlich der Stelle x0 bedient.
Ist f´(xo) = 0 und wechselt f´ bei xo das Vorzeichen von + nach – (von – nach +), so hat f bei x0 ein lokales Maximum (Minimum).
Zu Erinnerung:
Das Monotoniekriterium Lokale Trennungseigenschaft
• Eine auf einem Intervall • Besitzt f an der Stelle x0 eine positive Ableitung,
• differenzierbare Funktion • so existiert eine hinreichend kleine Umgebung,
• mit überall positiver Ableitung • in der gilt:
• ist dort streng monoton wachsend. • alle Funktionswerte links von x0 sind kleiner und
• alle Funktionswerte rechts von x0 sind größer
Merke: • als f(x0).
Dieser Satz ist ein globaler Satz.
Merke:
Dieser Satz ist ein lokaler Satz.
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das Auffinden
Wünschenswert: Nach der lokalen Trennungseigenschaft gilt:
Ein Kriterium, welches sich ausschließlich der Stelle x0 bedient.
Wenn die zweite Ableitung an der Stelle xo positiv ist, dann wächst die erste Ableitung an dieser Stelle .
Und da die erste Ableitung bei x0 den Wert 0 hat, muss das Vorzeichen entsprechend von – nach + wechseln.
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das Auffinden
Zweites hinreichendes Kriterium: Erstes hinreichendes Kriterium:
Ist f´(xo) = 0 und f´´(x0) > 0 (f´´(x0) < 0 ), Ist f´(xo) = 0 und wechselt f´ bei xo das Vorzeichen von + nach – (von – nach +), so besitzt f bei x0 ein lokales Minimum
(Maximum).
so hat f bei x0 ein lokales Maximum (Minimum).
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das Auffinden
Zweites hinreichendes Kriterium: Auch dieses 2. Kriterium hat einen Nachteil:
Ist f´(xo) = 0 und f´´(x0) > 0 (f´´(x0) < 0 ), Das zweite Kriterium kann nicht alle lokalen Extrema erfassen.
so besitzt f bei x0 ein lokales Minimum (Maximum).
Beispiel: x4 besitzt ein lokales Minimum, die zweite Ableitung ist Null.
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das Auffinden
Gleicher Nachteilbeim 1. Kriterium: Auch dieses 2. Kriterium hat einen Nachteil:
Das zweite Kriterium kann nicht alle lokalen Extrema erfassen.
Das zweite Kriterium kann nicht alle lokalen Extrema erfassen.
Beispiel: Beispiel: x4 besitzt ein lokales Minimum, die
zweite Ableitung ist Null.
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das Auffinden
Gleicher Nachteilbeim 1. Kriterium: f besitzt an der Stelle 0 ein lokales
Minimum. Die Steigung von f wechselt aber umso rascher von positiven zu negativen Werten, je näher man dem Nullpunkt kommt. Es gibt also kein Umgebung von Null mit einheitlichem Vorzeichen auf einer der beiden Seiten. Damit gibt es auch keine Vorzeichenwechsel bei 0.
Das zweite Kriterium kann nicht alle lokalen Extrema erfassen.
Beispiel:
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das Auffinden
Gleicher Nachteilbeim 1. Kriterium: f besitzt an der Stelle 0 ein lokales Minimum.
Die Steigung von f wechselt aber umso rascher von positiven zu negativen Werten, je näher man dem Nullpunkt kommt. Es gibt also kein Umgebung von Null mit
einheitlichem Vorzeichen auf einer der Das zweite Kriterium kann nicht alle lokalen
Extrema erfassen.
Beispiel:
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das Auffinden
Gleicher Nachteilbeim 1. Kriterium: f besitzt an der Stelle 0 ein lokales Minimum.
Die Steigung von f wechselt aber umso rascher von positiven zu negativen Werten, je näher man dem Nullpunkt kommt. Es gibt also kein Umgebung von Null mit
einheitlichem Vorzeichen auf einer der beiden Seiten. Damit gibt es auch keine Vorzeichenwechsel bei 0.
Das zweite Kriterium kann nicht alle lokalen Extrema erfassen.
Beispiel:
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das Auffinden
Gleicher Nachteilbeim 1. Kriterium: f besitzt an der Stelle 0 ein lokales Minimum.
Die Steigung von f wechselt aber umso rascher von positiven zu negativen Werten, je näher man dem Nullpunkt kommt. Es gibt also kein Umgebung von Null mit
einheitlichem Vorzeichen auf einer der Das zweite Kriterium kann nicht alle lokalen
Extrema erfassen.
Beispiel:
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Achtung! Merke! Beachte!
Folgendes bitte nie vergessen
den Schülern vermitteln
und immer wieder in Erinnerung rufen:
Kriterien auf dem Prüfstand: lokale Extrema
Das Auffinden
Die Abbildung zeigt:
Neue Aufgabe
Wenn eine Funktion f an einer Stelle xo
einen Extrempunkt besitzt, Finde ein
zusätzliches Merkmal
zur Unterscheidung von Extrem- und Sattelpunkten.
dann gilt: die Ableitung der Funktion an
