Funktionen, die sich durch Potenzreihen darstellen lassen, sind notwendigerweise glatt, d.h. unendlich oft differenzierbar. Außerdem gilt f¨ur nichtkonstante Po-lynome p, daß lim
x→∞|p(x)| = ∞, woraus folgt, daß sie nicht geeignet sind, um periodische Funktionen zu approximieren. Diese Nachteile treten nicht auf bei so-genannten “Fouriereihen”, die von Ch. Fourier im 19ten Jahrhundert entwickelt wurden, als er die sogenannte “W¨armeleitungsgleichung” studierte.16
Eine Funktionf :R →R heißt periodisch, wenn eine konstante L > 0 existiert, sodaß f(x) = f(x+L) f¨ur alle x ∈ R. Durch geeignete Skalierung kann man immer erreichen, daß die Periodenl¨angeLgleich 2π ist. Typische Beispiele solcher Funktionen mit Periode 2π sind Funktionen der Gestalt
a0
16Die W¨armeleitungsgleichung ist eine partielle Differentialgleichung, die die Ausbreitung von W¨arme in einem erhitzten Draht beschreibt, dessen Enden durch K¨uhlung auf konstante Temperatur gehalten werden.
die als “trigonometrische Polynome” bezeichnet werden. Eine “trigonometrische Reihe” ist eine Reihe der Gestalt
a0 2 +
∞
X
n=1
ancos(nx) +bnsin(nx)
Es ist im allgemeinen sehr schwierig f¨ur eine vorgegebene trogonometrische Reihe zu entscheiden, f¨ur welchex sie konvergiert. Wenn aber f¨ur eine Funktion f gilt, daß
f(x) = a0
2 +
n
X
k=1
akcos(kx) +bksin(kx)
dann hat manf als eine ¨Uberlagerung von Schwingungen ganzzahliger Frequenz dargestellt, was in Physik und Elektrotechnik von großem Interesse ist, insbeson-dere weil man zeigen kann, daß die Koeffizienten eindeutig sind und sich folgen-dermaßen bestimmen lassen
an= 1 π
2π
Z
0
f(t) cos(nt)dt bn = 1 π
2π
Z
0
f(t) sin(nt)dt
Die zugeh¨orige trigonomterische Reihe heißt Fourierreihe der Funktion f und wird mit F(f) bezeichnet.
F¨ur st¨uckweise stetig differenzierbare17 Funktionen f : [0,2π] → R mit f(0) = f(2π) kann man zeigen, daß f¨ur allex∈[0,2π] gilt
F(f)(x) = f(x+) +f(x−) 2
wobei f(x+) = lim
t→x+f(t) und f(x−) = lim
t→x−f(t). Deshalb gilt f¨ur solche f, die
¨uberdies auf [0,2π] stetig sind, daß
F(f)(x) =f(x) f¨ur alle x.
Beispiel VI.4.1 Betrachten wir die 2π-periodische Funktion f(x) =
(h 0< x≤π
−h π < x <2π wobei h >0.
17d.h. es gibt eine Partition a0 < a1 < . . . an−1 < an des Definitionsbereiches von f, sodaß die Einschr¨ankungen vonf auf die Intervalle ]ak−1, ak[ alle stetig differenzierbar sind
Die Fourierreihe von f ist
VII Lineare Algebra
Es ist von der Schule her bekannt, daß die Ebene und der Raum durch R2 bzw.
R3 beschrieben werden k¨onnen, indem man Punkte mit ihren Koordinaten bzgl.
eines orthogonalen, d.h. rechtwinkligen, Koordinatensystems identifiziert. Die we-sentlichen Operationen aufR2 undR3 sind komponentenweise Addition und Mul-tiplikation mit einem Skalar. Offenbar kann man diese Operationen auch auf Rn f¨ur beliebige n ∈ N definieren, auch wenn f¨ur n > 4 kein (unmittelbarer) Zu-sammenhang mit Raum und Zeit mehr auszumachen ist. Außerdem treten in der Mathematik oft auch unendlich dimensionale R¨aume auf wie z.B. die Men-ge C[0,1] aller stetigen Funktion von [0,1] nach R, die bekanntermaßen unter punktweiser Addition und Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen sind.
Bevor wir in voller Allgemeinheit in die lineare Algebra einsteigen, rufen wir in den ersten beiden Unterabschnitten nochmal das Schulwissen ¨uber die euklidische Ebene und den euklidischen Raum in Erinnerung.
VII.1 Die euklidische Ebene
Punkte in der Ebene werden durch Paare (x, y) ∈ R2 repr¨asentiert, wobei x und y als kartesischen Koordinaten des Punktes bezeichnet werden. Man kann einen solchen Punkt auch durch seine Polarkoordinaten (r, ϕ) ∈ [0,∞[ ×[0,2π[
beschreiben, wobei der Zusammenhang durch
x=rcosϕ y =rsinϕ gegeben ist. Es gilt r = p
x2+y2. Den Winkel ϕ bestimmt man mithilfe der arctan Funktion, da tanϕ= sincosϕϕ = yx.
Lemma VII.1.1 Wenn(x1, x2) = (rcosα, rsinα)und(y1, y2) = (scosβ, ssinβ), dann gilt x1y1+x2y2 =rscos(β−α).
Beweis: Aufgrund des Additionstheorems f¨ur cos gilt
cos(β−α) = cos(β) cos(−α)−sin(β) sin(−α) = cosαcosβ+ sinαsinβ woraus die Behauptung durch Multiplikation mit rsfolgt.
Wir definieren nun Geraden als bestimmte Teilmengen von R2.
Definition VII.1.2 Eine Gerade in der Ebene ist eine Menge der Gestalt {(x, y)∈R2 |ax+by=c}
wobei a, b, c∈R und a6= 0 oderb 6= 0.
Eine Geradengleichung ax+by = c ist in Hesse Normalform, wenn a2 +b2 = 1 und c≥0.
Falls b6= 0, kann man die Gleichung ax+by=cumformen zu y=−abx+cb und analog, falls a6= 0, zu x=−aby+ac.
Offenbar ver¨andert sich die L¨osungsmenge der Gleichungax+by=cnicht durch Multiplikation mit einer Konstanten λ ∈ R\ {0}. Falls c ≥ 0, erh¨alt man ei-ne Hesse Normalform durch Multiplikation mit √ 1
a2+b2 und, falls c < 0, durch Multiplikation mit −√ 1
a2+b2.
Intuitiv ist ein Vektor ~v in der euklidischen Ebene eine Klasse von Strecken mit gleicher Richtung und gleicher L¨ange. Er wird durch ein Paar reeller Zahlen
~v = vx
vy
(x- und y-Komponente von ~v) oder alternativ durch Strecken mit beliebigem Anfangspunkt (x0, y0) und Endpunkt (x0+vx, y0+vy) dargestellt. Spalten-vektor und (vx, vy) alsZeilenvektor. Die offensichtliche Bijektion zwischen Zeilen-und Spaltenvektoren wird mithilfe folgender Notation bewerkstelligt
(vx, vy)T =
wobei (−)T f¨ur “Transposition” steht. De facto besteht kein wesentlicher Unter-schied zwischen Punkten und ihren Ortsvektoren, die vom Ursprung nach eben-diesem Punkt zeigen. Wir werden aber sp¨ater sehen, daß die Schreibweise als Spaltenvektoren sich f¨ur den Matrizenkalk¨ul als ¨außerst hilfreich erweisen wird.
Rechenoperationen auf Vektoren
Vektoren imR2. Ihre Summe ist definiert als
~u+~v =
ux+vx uy +vy
Diese Operation der Vektoraddition entspricht geometrisch der Hintereinander-ausf¨uhrung der durch die beiden Vektoren bezeichneten Verschiebungen. F¨ur einenSkalar λ∈R sei die Skalarmultiplikation mitλ definiert als
λ·~u=
λux λuy
Geometrisch entspricht diese Operation der Streckung des Vektors ~u um den Faktor λ.
Aufgrund des Satzes von Pythagoras berechnet sich die L¨ange eines Vektors als
||~u||=||~u||2 =q
u2x+u2y
die auch alseuklidische Norm von~ubezeichnet wird. Es ist geometrisch klar, daß die Dreiecksungleichung
||u+v|| ≤ ||u||+||v||
gilt. Daraus folgt ( ¨Ubung!), daß auch
||~u−~v|| ≥ ||~u|| − ||~v||
gilt. Vektoren der L¨ange 1 heißen Einheitsvektoren. Ihre allgemeine Form ist cosϕ
sinϕ
mit ϕ∈R. Die Vektoren
~ e1 =
1 0
~ e2 =
0 1
heißenKoordinateneinheitsvektoren. F¨ur jeden Vektor~uin der euklidischen Ebene gibt es eindeutig bestimmte Skalareλ, µ∈R mit
~
u=λ ~e1+µ ~e2 n¨amlich λ =ux und µ=uy.
F¨ur Vektoren ~u und~v ist ihr Skalarprodukt definiert als
~
u·~v =||~u|| · ||~v|| ·cosϕ
wobei ϕ der durch ~u und ~v eingeschlossenen Winkel ist. Aufgrund von Lem-ma VII.1.1 gilt
~
u·~v =uxvx+uyvy
woraus sich unmittelbar folgende Rechenregeln f¨ur das Skalarprodukt ablesen lassen
~u·~v =~v·~u
(~u+~v)·w~ =~u·w~ +~v·w~ (λ·~u)·~v =λ·(~u·~v) =~u·(λ·~v)
~
e1·~u=ux und e~2·~u=uy Als Spezialfall erhalten wir
~
ei·e~j =δij =
(1 i=j 0 i6=j
Mithilfe des Skalarprodukts l¨aßt sich der (cos des) von den Vektoren ~u und ~v eingeschlossene Winkel(s) ϕ berechnen als
cosϕ = ~u·~v
||~u|| · ||~v|| = uxvx+uyvy q
(u2x+u2y)(vx2+vy2)
Offenbar gilt f¨ur Vektoren ~u, ~v 6=~0 =
Mithilfe des Sklarprodukts l¨aßt sich eine Geradengleichung ax+by =c
in Hesse Normalform deuten als a was besagt, daß die Projektion des Ortsvektors
x
Eine Gerade in Parameterdarstellung ist gegeben durch
~
r =r~0+λ·~t (λ∈R)
wobeir~0 ein Punkt auf der Geraden ist und~tals einRichtungsvektor der Geraden zu verstehen ist, der als von~0 verschieden vorausgesetzt wird. Die Gerade selbst ist die Punktmenge {r~0 +λ·~t | λ ∈ R}, die durch λ ∈ R “parameterisiert”
wird. Wir diskutieren nun, wie man die zugeh¨orige Geradengleichung in Hesse Normalform bestimmen kann. Zu diesem Zweck bestimmen wir erst mal einen Vektor~s =
sx sy
, der orthogonal zum Richtungsvektor~t= tx ist ein Einheitsvektor, der senkrecht zur Geraden steht und vom Ursprung aus in ihre Richtung zeigt. Der Skalar d=r~0·~n gibt den Abstand der Geraden zum Ursprung an. Also liegt~r genau dann auf der Geraden, wenn~r·~n =d. Somit ist
~
n·~r=d
eine Gleichung der Geraden in Hesse Normalform. F¨ur einen beliebigen Punkt mit Ortsvektor~ul¨aßt sich seine Lage relativ zur Geraden folgendermaßen bestimmen
~n·~u < d ⇔ Punkt liegt auf selber Seite wie der Ursprung
~n·~u > d ⇔ Punkt liegt auf der dem Ursprung gegen¨uber liegenden Seite
~n·~u=d ⇔ Punkt liegt auf der Geraden.