3Differenzieren mehrstelliger reeller Funktionen

P

i=1

a_ix_i. Sei C :=

n

P

i=1

|a_i|. Es gilt dann f¨ur alle x ∈ Rⁿ, daß |f(x)| ≤

n

P

i=1

|a_ix_i| ≤ C· ||x||_∞. Wegen der Linearit¨at vonf gilt dann aber auch

|f(x)−f(y)|=|f(x−y)| ≤C· ||x−y||

f¨ur allex, y ∈Rⁿ. Mithilfe von Satz VIII.2.5 ist es nun leicht zu zeigen ( ¨Ubung!),

daß f stetig ist.

Folgender Satz ist auch in Anwendungen von gr¨oßter Wichtigkeit.

Satz VIII.2.10 Sei K ⊆ Rⁿ kompakt und f : K → R stetig. Dann existieren a, b∈K mit

f(a) = sup

x∈K

f(x) und f(b) = inf

x∈Kf(x) und somit ist f insbesondere auch beschr¨ankt.

Beweis: Sei (x_k) eine Folge in K mit lim

k→∞f(x_k) = sup

x∈K

f(x). Da K kompakt ist, existiert wegen Satz VIII.1.10 eine konvergente Teilfolge (x_ki) von (x_k). Da K insbesondere abgeschlossen ist, ist a = lim

i→∞x_ki ∈ K. Weil f stetig ist, gilt nun f(a) = lim

i→∞f(x_ki) = lim

k→∞f(x_k) = sup

x∈K

f(x). Analog zeigt man die Existenz von b∈K mit f(b) = inf

x∈Kf(x).

Da f¨ur alle x∈K gilt f(b)≤f(x)≤f(a) ist f beschr¨ankt.

VIII.3 Differenzieren mehrstelliger reeller Funktionen

Es erhebt sich die Frage, was es heißt, daß eine Funktionf :D→Rmit D⊆Rⁿ ina∈Ddifferenzierbar ist. Wenn man versucht wie im Fallen = 1, die Ableitung von f an der Stelle a∈D∩H(D) als

f⁰(a) = lim

x→a

f(x)−f(a) x−a

zu definieren, dann erhabt sich das Problem, daß man imRⁿnicht dividieren kann.

F¨ur einstellige reelle Funktionen gibt aber Satz III.1.6 eine Charakterisierung der Differenzierbarkeit, die in ihrer Formulierung jedwede Bezugnahme auf die Division vermeidet. Deshalb liegt es nahe diese Charakterisierung als Definition nehmen, wobei allerdings die Ableitung durch eine geeignete Matrix gegeben ist.

Definition VIII.3.1 (Differenzierbarkeit mehrstelliger reeller Funktionen) Sei U ⊆ Rⁿ offen und f : U → R^m. Die Funktion f ist an der Stelle a ∈ U differenzierbar, wenn es eine Matrix A ∈ Rⁿm und eine Funktion g : U → R^m gibt, sodaß folgende beide Bedingungen gelten

1. f(a+h) =f(a) +A·h+||h|| ·g(h) f¨ur alle h∈Rⁿ mita+h∈U 2. lim

h→0g(h) = 0.

Die Matrix A heißt Ableitung von f an der Stelle a.

Aufgrund von Satz VIII.1.11 ist diese Definition unabh¨angig von der Wahl der Norm|| · ||. Man sieht auch leicht ( ¨Ubung!), daß f an der Stellea stetig ist, wenn f eine Ableitung an der Stellle a hat.

Außerdem ist die Ableitung eindeutig ist, sofern sie existiert, wie folgende ¨ Uber-legung zeigt. Angenommen A⁰ ∈ Rⁿm und g⁰ : U → R erf¨ullen die beiden Bedin-gungen von Def. VIII.3.1. Dann gilt f¨ur alle h mit a+h ∈U, daß (A−A⁰)·h =

||h||·(g⁰(h)−g(h)) und somit (A−A⁰)·_||h||^h = (g⁰(h)−g(h)) fallsh6= 0. Seix∈Rⁿ mit ||x|| = 1. Es gibt dann eine gegen 0 konvergierende Folge reeller Zahlen λ_n mit a+λ_n·x∈U, f¨ur die dann gilt (A−A⁰)·x=g⁰(λ_n·h)−g(λ_n·h). Da aber

n→∞lim λ_n·h= 0, gilt (A−A⁰)·x= 0. Also ist (A−A⁰)·x= 0 f¨ur alle x∈Rⁿ und somitA =A⁰.

Definition VIII.3.2 Wenn die Ableitung von f an der Stelle a existiert, bezei-chen wir sie mit D(f)(a) und nennen sie das totale Differential von f an der Stellea.

Die Def. VIII.3.1 zugrundeliegende Intuition ist, daß h7→ T_a(h) := f(a) +A·h die Tangentialebene f¨ur f an der Stelle a beschreibt. Die beiden Bedingungen von Def. VIII.3.1 besagen n¨amlich, daß

h→∞lim

f(a+h)−T_a(h)

||h|| = 0 und somit

∀ε >0∃δ >0∀h0<||h||< δ∧a+h∈U ⇒ ||f(a+h)−T_a(h)||

||h|| < ε d.h., daß f¨ur ε > 0 in einer gen¨ugend kleinen Umgebungen von a der Fehler

||f(a+h)−Ta(h)|| durch ε· ||h|| beschr¨ankt werden kann. In anderen Worten gesagt ist T_a die beste “lineare Approximation” an f an der Stellea.

Es erhebt sich nun die Frage, wie man das totale Differential D(f)(a) berech-net, sofern es existiert. Zu diesem Zweck ist es w¨unschenswert die Eintra¨ge von D(f)(a) durch Ableitungen geeigneter einstelliger Funktionen anzugeben, wie in folgendem Satz geschieht.

Satz VIII.3.3 Sei U ⊆ Rⁿ offen und f : U → R^m. Wenn f¨ur a ∈ U die Ableitung D(f)(a) existiert, dann ist

D(f)(a)_ij =D_j(f_i)(a) wobei

D_j(f_i)(a) = lim

h→0

f(a₁, . . . , aj−1, a_j +h, a_j+1, . . . , a_n)−f(a) h

welche wir als j-te partielle Ableitung der i-ten Koordinatenfunktion bezeich-nen.¹⁹

Beweis: Einfache ¨Ubung!

Aus der Existenz aller partiellen Ableitungen in einem Punkta∈Rⁿfolgt jedoch im allgemeinen nicht, daßf ina differenzierbar ist. Man sieht dies leicht anhand der Funktion f : R² → R mit f(x, y) = 1 falls x, y > 0 und f(x, y) = 0 sonst.

Offenbar ist D₁(f)(0,0) = D₂(f)(0,0) = 0, obwohl f im Punkt (0,0) nicht dif-ferenzierbar ist, da D(f)(0,0) = (0,0) sein m¨ußte, aber lim

n→∞

f(n¹,_n¹)^−f(0,0)

||⁽n¹,_n¹)|| = ∞, obwohl lim

n→∞

f(_n^1,_n¹)^−f(0,0)

||⁽_n^1,_n¹⁾|| = 0 gelten m¨ußte, wenn D(f)(0,0) = (0,0) w¨are.

Folgender Satz jedoch stellt die Existenz des totalen Differentials unter ziemlich allgemeinen Annahmen sicher.

Satz VIII.3.4

SeiU ⊆Rⁿ offen undf :U →R. Wenn alleD_i(f) existieren und ina∈U stetig sind, dann ist f in a differenzierbar, wobei D(f)(a) = (D₁(f)(a), . . . , D_n(f)(a)).

Wenn f¨ur f :U →R^m alleD_j(f_i) existieren und ina∈U stetig sind, dann ist f in a differenzierbar, wobei D(f)(a)_ij =D_j(f_i)(a) f¨ur alle a∈U.

Beweis: Weil U offen ist, gibt es ein ε > 0 mit U_ε(a) ⊆ U. Sei x ∈ Rⁿ mit

||x||∞ < ε. F¨ur i = 0, . . . , n definieren wir y⁽ⁱ⁾ = a+

i

P

k=1

x_ke_k wobei e_k der k-te Koordinak-teneinheitsvektor ist. Die Punkk-te y⁽ⁱ⁾ liegen alle in Uε(a) und es gilt y⁽¹⁾ =aundy⁽ⁿ⁾ =a+x. Aufgrund des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung gibt es f¨ur jedes i= 1, . . . , n ein θ_i ∈[0,1] mit

f(y⁽ⁱ⁾)−f(y⁽ⁱ⁻¹⁾) = Di(f)(z⁽ⁱ⁾)xi wobei z⁽ⁱ⁾=y⁽ⁱ⁻¹⁾+θixiei

19Wenn f :U →RundU ⊆Rⁿ offen ist, dann schreiben wir f¨ur diei-te partielle Ableitung D_i(f) auch

D_i(f)(x) =∂f(x)

∂xi

= lim

h→0

f(x₁, . . . , x_i−1, x_i+h, x_i+1, . . . , x_n)−f(x) h

Wennm= 1, dann nennt manD(f)(a) auch denGradienten vonf an der Stelleaund schreibt daf¨urgrad(f)(a) bzw.∇(f)(a).

und somit gilt

f(a+x)−f(a) =

n

X

i=1

D_i(f)(z⁽ⁱ⁾)x_i Also gilt

f(a+x) = f(a) +

n

X

i=1

D_i(f)(a)x_i+||x||∞·g(x) wobei

g(x) =

n

P

i=1

(D_i(f)(z⁽ⁱ⁾)−D_i(f)(a))x_i

||x||∞

Da die D_i(f) in a stetig sind, gilt lim

x→ag(x) = 0 (wobei man beachte, daß die z⁽ⁱ⁾ von x abh¨angen!). Also ist f an der Stelle a differenzierbar mit D(f)(a) = (D₁(f)(a), . . . , D_n(f)(a)).

F¨ur m≥ 2 folgt die Behauptung, indem man die bereits bewiesene Behauptung f¨urm = 1 auf die Koordinatenfunktionen anwendet.

Beispiel VIII.3.5

(1) Sei f :R² →Rdefiniert alsf(x, y) =x+y. Offenbar ist D₁(f)(x, y) = 1 = D₂(f)(x, y). DaD₁(f)undD₂(f)stetig sind, gilt aufgrund von Satz VIII.3.4, daß D(f)(x, y) = (1,1).

(2) Sei f : R² → R definiert als f(x, y) = xy. Offenbar ist D₁(f)(x, y) = y und D₂(f)(x, y) = x. Da D₁(f) und D₂(f) stetig sind, gilt aufgrund von Satz VIII.3.4, daß D(f)(x, y) = (y, x).

(3) Seif :R×(R\{0})→Rdefiniert alsf(x, y) = ^x_y. Offenbar istD₁(f)(x, y) =

1

y und D₂(f)(x, y) = ^−x_y2. Da D₁(f)und D₂(f)auf R×(R\ {0}) stetig sind, gilt aufgrund von Satz VIII.3.4, daß D(f)(x, y) =

1 y,^−x_y2

. (4) Sei f : Rⁿ → R : x 7→ ||x||₂. Es gilt D_i(f)(x) = ¹₂√ ¹

x²₁+···+x²_n ·2x_i = _||x||^xi

2. Da die Di(f) auf Rⁿ\ {0} stetig sind, gilt aufgrund von Satz VIII.3.4, daß D(f)(x) = _||x||^x

2. Man zeigt leicht ( ¨Ubung!), daß f in 0nicht differenzierbar ist.

(5) Sei U eine offene Teilmenge von R und seien f1, . . . , fn : U → R stetig differenzierbar. Dann gilt aufgrund von Satz VIII.3.4 f¨ur f :U →Rⁿ:t7→

(f₁(t), . . . , f_n(t)), daß D(f)(t) = (f₁⁰(t), . . . , f_n⁰(t)), da die D(f_i) = f_i⁰ nach Annahme alle stetig sind.

Satz VIII.3.6 (Kettenregel)

Seien U₁ und U₂ offene Teilmengen von Rⁿ¹ bzw. Rⁿ² und f₁ : U₁ → Rⁿ² und f₂ :U₂ →Rⁿ³ mit {f₁(x)|x∈U₁} ⊆U₂ und {f₂(y)|y∈U₂} ⊆U₃. Wenn f₁ in a und f₂ in f₁(a) differenzierbar sind, dann ist f₂◦f₁ in a differenzierbar, wobei D(f₂◦f₁)(a) =D(f₂)(f₁(a))·D(f₁)(a).

Beweis: Weil f₁ in a und f₂ in f₁(a) differenzierbar sind, gibt es Funktionen g₁ :U₁ →Rⁿ² und g₂ :U₂ →Rⁿ³, sodaß

(1) f₁(a+h) =f₁(a) +D(f₁)(a)·h+||h||_∞·g₁(h) f¨urh∈Rⁿ¹ mit a+h∈U₁ (2) lim

h→0g1(h) = 0

(3) f₂(f₁(a) +k) =f₂(f₁(a)) +D(f₂)(f₁(a))·k+||k||∞·g₂(k) f¨ur k ∈Rⁿ² mit f₁(a) +k∈U₂

(4) lim

k→0g₂(k) = 0.

F¨urh ∈Rⁿ¹ mit a+h∈U1 gilt nun

f₂(f₁(a+h)) =f₂(f₁(a) +D(f₁)(a)·h+||h||∞·g₁(h)

| {z }

kh:=

) =

=f₂(f₁(a)) +D(f₂)(f₁(a))·k_h +||k_h||_∞·g₂(k_h) =

= f₂(f₁(a)) +D(f₂)(f₁(a))·D(f₁)(a)·h+ D(f₂)(f₁(a))· ||h||∞·g₁(h) +||k_h||∞·g₂(k_h)

| {z }

eg(h):=

Wir definiereng(h) := ^eg(h)_||h||. Um zu zeigen, daß

D(f₂◦f₁)(a) = D(f₂)(f₁(a))·D(f₁)(a) m¨ussen wir noch nachweisen, daß lim

h→0g(h) = 0. Es gilt aufgrund der Dreiecksun-gleichung, daß

(†) ||g(h)|| ≤ ||D(f₂)(f₁(a))·g₁(h)||+||kh||

||h|| · ||g₂(k_h)||

Der linke Summand geht aber gegen 0, da lim

h→0g₁(h) = 0 und wegen Satz VIII.2.9 lineare Abbildungen stetig sind. Aus (dem Beweis von) Satz VIII.2.9 folgt die Existenz einer KonstantenC₁ ≥0 mit||D(f₁)(a)·h|| ≤C₁·||h||. Da lim

h→0g₁(h) = 0 gibt es einC₂ ≥0 und ein δ >0, sodaß||g₁(h)|| ≤C₂ falls||h||< δ. Deshalb gilt f¨urhmit||h||< δ, daß||kh|| ≤(C1+C2)·||h||. Also gilt auch lim

h→0kh = 0 und somit

h→0lim

||kh||

||h|| · ||g₂(k_h)||= 0. Also gehen in der Ungleichung (†) beide Summanden auf der rechten Seite gegen 0, wenn h gegen 0 geht, woraus folgt, daß lim

h→0g(h) = 0

wie behauptet.

Wir illustrieren nun den Gebrauch der Kettenregel anhand diverser Beispiele.

Beispiel VIII.3.7

(1) Sei U ⊆ Rⁿ offen und seien f, g : U → R in a ∈ U differenzierbar. F¨ur h : U → R : x 7→ f(x) +g(x) gilt dann aufgrund der Kettenregel und Beispiel VIII.3.5 (1), daß

D(h)(a)_i = (1,1)·

D_i(f)(a) D_i(g)(a)

=D_i(f)(a) +D_i(g)(a)

(2) Sei U ⊆ Rⁿ offen und seien f, g : U → R in a ∈ U differenzierbar. F¨ur h : U → R : x 7→ f(x)· g(x) gilt dann aufgrund der Kettenregel und Beispiel VIII.3.5 (2), daß

D(h)(a)_i = (g(a), f(a))·

D_i(f)(a) D_i(g)(a)

=

=g(a)·D_i(f)(a) +f(a)·D_i(g)(a) =

=D_i(f)(a)·g(a) +f(a)·D_i(g)(a)

(3) Sei U ⊆ Rⁿ offen und seien f, g : U → R mit g(x) 6= 0 f¨ur x ∈ U. Seien weiters f und g in a ∈U differenzierbar. F¨ur h :U →R: x7→f(x)·g(x) gilt dann aufgrund der Kettenregel und Beispiel VIII.3.5 (3), daß

D(h)(a)i = (_g(a)¹ ,^−f_g(a)^(a)2)·

Di(f)(a) D_i(g)(a)

= ^Di_g(a)^(f)(a) −f(a)·^D_g(a)^i(g)(a)2 =

= ^Di(f)(a)·g(a)=f(a)·D_i(g)(a) g(a)²

(4) Sei U ⊆ Rⁿ offen und f : U → R differenzierbar. Sie I ⊆ R offen und p:I →Rⁿ differenzierbar. Dann gilt aufgrund der Kettenregel, daß

(f◦p)⁰(t) =

n

X

i=1

D_i(f)(p(t))·p⁰_i(t) =hD(f)(p(t))|p⁰(t)i

wobeip_i diei-te Koordinatenfunktion vonpist undp⁰(t) = (p⁰₁(t), . . . , p⁰_n(t)).

Ein wichtiger Spezialfall von Beispiel VIII.3.7 (4) ist die sogenannte Richtungs-ableitung einer Funktion f : U → R mit U ⊆ Rⁿ. F¨ur a ∈ U und u ∈ Rⁿ mit

||u||₂ = 1 betrachten wir die Funktion p_u : R → Rⁿ : t 7→ t·u. Dann ist die Ableitung vonf an der Stellea in Richtung u definiert als

D_u(f)(a) := (f◦p)⁰(0) =hD(f)(a)|p⁰_u(0)i=hD(f)(a)|ui

Aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung folgt dann, daßD_u(f)(a) den gr¨oßten Wert annimmt, wenn der Winkel zwischen D(f)(a) und u gleich 0 ist. Somit weist der Gradient D(f)(a) in die Richtung des st¨arksten Anstiegs von f im Punkt a.

Mittelwertsatz f¨ur mehrstellige Funktionen

Sei U ⊆ Rⁿ offen und f : U → R stetig differenzierbar. Nehmen wir weiter an, es seinen x, y ∈ U mit x+t(y −x) ∈ U f¨ur alle t ∈ [0,1]. Dann hat die Funktion g : [0,1] → R : t 7→ x+t(y−x) ihr Bild in U und ist beliebig oft differenzierbar. Also ist f ◦g : [0,1] → R stetig differenzierbar mit Ableitung (f ◦g)⁰(t) =

n

P

i=1

D_i(f)(x+t(y−x))·(y_i−x_i). Aufgrund von Satz III.2.3 gibt es dann ein ξ∈]0,1[ mit

(1) f(y)−f(x) = f(g(1))−f(g(0)) =

n

P

i=1

Di(f)(x+ξ(y−x))·(yi−xi) Aufgrund des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung gilt aber auch

(2) f(y)−f(x) =

n

P

i=1 1

R

0

D_i(f)(x+t(y−x))dt·(y_i−x_i)

Wenn nun f :U →R^m stetig differenzierbar ist, gilt ein Analogon von (1) selbst dann im allgemeinen nicht mehr, wenn n = 1, wie folgendes Beispiel zeigt. Sei U =R und

f :R→R:t 7→

f₁(t) f2(t)

= t²

t³

F¨urx=y= 0 gilt nun

f1(1)−f1(0) =f₁⁰(ξ1) = 2ξ1 und f2(1)−f2(0) =f₂⁰(ξ2) = 3ξ₂² genau dann, wenn ξ1 = ¹₂ und ξ2 =

q1

3. Also gibt es kein ξ ∈ [0,1] mit f(1)− f(0) =f⁰(ξ).

Jedoch l¨aßt sich (2) folgendermaßen verallgemeinern.

Satz VIII.3.8 (Mittelwertsatz der Diff.-rechnung f¨ur mehrstell. Funktionen) Sie U ⊆ Rⁿ offen und f : U → R^m stetig differenzierbar. F¨ur x, y ∈ U mit x+t(y−x)∈U f¨ur alle t∈[0,1] gilt dann

f(y)−f(x) =A(x, y)·(y−x) wobei A(x, y) die m×n Matrix ist mit

A(x, y)_ji =

1

Z

0

D_i(f_j)(x+t(y−x))dt f¨ur 1≤j ≤m und 1≤i≤n.

Beweis: Folgt unmittelbar aus Anwendung von (2) auf die Komponenten f_j der

Funktionf.

Im Dokument Mathematik f¨ur Informatiker (Seite 138-145)