Diskretisierung und L¨ osungsalgorithmen

Obwohl die Diskretisierung der zu l¨osenden Gleichungen sowie der gesamte L¨osungs-prozess bei kommerziellen CFD-Programmen letztendlich komplett programmintern ablaufen, bleibt die Auswahl der zu verwendenden Verfahren dem Anwender ¨uber-lassen. Dadurch k¨onnen sowohl die Genauigkeit als auch die Stabilit¨at und Effizienz maßgeblich gesteuert werden.

Diskretisierungen

W¨ahrend die diffusiven Terme aus der allgemeinen Transportgleichung (3.1) sowohl in StarCD als auch in Fluent mit einem fest gew¨ahlten Schema zweiter Ordnung diskretisiert werden, kann der Anwender f¨ur die Diskretisierung der konvektiven

Layering Sliding Interface

t

Bewegungsrichtung

t

Abbildung 4.6: Das Fahrstuhlprinzip

Terme jeweils aus einer Reihe von Verfahren erster, zweiter und zum Teil auch dritter Ordnung ausw¨ahlen. Dabei k¨onnen die verschiedenen physikalischen Gr¨oßen unterschiedlich behandelt werden.

Das in Abschnitt 3.1.1 pr¨asentierte Upwind-Verfahren erster Ordnung steht in beiden Solvern gleichermaßen als Default-Einstellung zur Verf¨ugung. Ist eine h¨ohere Genauigkeit erforderlich, so empfiehlt Fluent (vgl. [10]) die Diskretisierung mit dem Upwind-Verfahren zweiter Ordnung, wohingegen in StarCD (vgl. [6, 7]) zur Ver-wendung des hausintern entwickelten MARS-Verfahrens geraten wird, obwohl auch hier alternativ ein Upwind-Verfahren zweiter Ordnung angeboten wird. Alle ande-ren Schemata sind zur Diskretisierung der RANS-Gleichungen (2.11) eher ungeeignet und werden hier deshalb nicht weiter untersucht.

In Fluent stehen zus¨atzlich verschiedene Optionen f¨ur die Druckdiskretisierung bereit. W¨ahrend das sogenannte Standard-Schema in vielen F¨allen gute Ergebnisse liefert, wird f¨ur Konfigurationen mit freier Konvektion oder Drallstr¨omungen das PRESTO!-Schema empfohlen (vgl. [10]). Eine erh¨ohte Genauigkeit kann aber je nach Anwendung auch mit dem Second-Order-Schema erreicht werden. Die StarCD-Handb¨ucher [6, 7] liefern hingegen keinerlei Details, wie die Druckdiskretisierung programmintern realisiert wird.

Einen weiteren interessanten Punkt stellt die Gradientenberechnung an Zellmittel-punkten dar. Sie wird einerseits f¨ur die Auswertung von Skalaren und Quelltermen und andererseits f¨ur viele Diskretisierungsverfahren h¨oherer Ordnung ben¨otigt. Auch hier bietet Fluent dem Anwender mehrere alternative M¨oglichkeiten. Im Diskreten ergibt sich n¨amlich nach dem Satz von Gauß f¨ur eine beliebige skalare Gr¨oßeφ

(gradφ)Z = 1 volV

X

f

φfnfSf.

Die Frage ist nun, wie die Gr¨oßenφ_f bestimmt werden. Ein einfacher Ansatz ist,φ_f als Mittelwert der angrenzenden Zellmittelpunktswerte von φ zu berechnen. Dieses Vorgehen wird in Fluent als ”zellbasierte Gradientenberechnung“ bezeichnet. F¨ur verzerrte Gitter liefert dies jedoch nur eine bedingt gute Approximation. Die ”kno-tenbasierte Gradientenberechnung“ erreicht hingegen eine h¨ohere Genauigkeit, in-dem sie die Zellmittelpunktswerte zun¨achst auf die Ecken der Zellen interpoliert und dann hieraus die φ_f-Werte durch Mittelwertbildung gewinnt. Sie kann aller-dings nicht f¨ur allgemeine Polyedernetze verwendet werden. Deshalb steht seit der Fluent-Version 6.3 noch ein drittes Verfahren bereit, das das Problem der Gra-dientenberechnung auf ein lineares Minimierungsproblem zur¨uckf¨uhrt und das sich besonders f¨ur Polyedernetze eignet.

F¨ur die Zeitdiskretisierung bieten beide Programme sowohl das in Abschnitt 3.1.1 diskutierte implizite Euler-Verfahren als auch ein implizites Verfahren zweiter Ord-nung an. Bei Verwendung des dichtebasierten L¨osers kann in Fluent alternativ ein explizites Verfahren gew¨ahlt werden, das sich beispielsweise besonders gut f¨ur die

Berechnung von Schockwellen eignet. Hier spielt es aber aufgrund seiner rigiden An-forderungen an die Zeitschrittweite und der unten diskutierten Einschr¨ankungen des dichtebasierten L¨osers keine Rolle.

L¨osungsverfahren

Auch bei der Betrachtung der zur Verf¨ugung stehenden L¨osungsmethoden stellt man fest, dass Fluent eine gr¨oßere Auswahl anbietet als StarCD. Neben verschiedenen Druck-Korrektur-Methoden finden sich in Fluent auch dichtebasierte und gekoppelte Verfahren, die sich zwar durch gute Konvergenzeigenschaften, aber auch durch einen erh¨ohten Speicherbedarf auszeichnen. Hauptnachteil der dichtebasierten L¨oser in Bezug auf die Trocknersimulation ist jedoch, dass sie nicht mit dem in Abschnitt 4.2.2 beschriebenen Shell-Conduction-Modell kompatibel sind, so dass sie hier nicht weiter untersucht werden.

Beide Programme bieten mit SIMPLE, SIMPLEC/SIMPISO und PISO mehrere alternative Druck-Korrektur-Verfahren an. F¨ur station¨are Probleme empfiehlt sich die Verwendung des schon in Abschnitt 3.1.2 eingef¨uhrten SIMPLE-Algorithmus mit einer geeigneten Unterrelaxationsvorschrift, da er eine schnelle Auswertung jeder ein-zelnen Iteration erm¨oglicht und da sowieso eine Vielzahl von Iterationen n¨otig sein werden. F¨ur instation¨are Fragestellungen ¨uberwiegen h¨aufig die Vorteile des PISO-Algorithmus, der mit Hilfe von einer oder mehreren inneren Iterationen in der Lage ist, eine relativ genaue Druck-Korrektur zu berechnen und deshalb mit geringer Un-terrelaxation und wenigen ¨außeren Iterationen auskommt. Allerdings verh¨alt er sich bei Netzen von minderer Qualit¨at nicht ganz so stabil wie der instation¨are SIMPLE-Algorithmus, der in StarCD aber erst seit der Version 4.0 zur Verf¨ugung steht. Eine Art Kompromiss zwischen SIMPLE und PISO stellen SIMPLEC in Fluent bzw.

SIMPISO in StarCD 3.2 dar.

Beim instation¨aren PISO-Verfahren muss man zwischen dem iterativen und dem nichtiterativen Zeitfortschritt unterscheiden. Die Ablaufschemata beider Methoden sind in Abbildung 4.7 dargestellt. Beim iterativen Zeitfortschritt wird innerhalb je-des Zeitschrittes die gesamte Druck-Korrekturschleife mehrfach durchlaufen, bis das Konvergenzkriterium f¨ur alle Variablen erf¨ullt ist. Dadurch werden die Nichtlinea-rit¨aten und Kopplungen im System voll ber¨ucksichtigt. Das nichtiterative PISO-Verfahren verzichtet hingegen auf die exakte Erfassung der Nichtlinearit¨aten und l¨ost in jedem Zeitschritt die einzelnen Gleichungen der Reihe nach unter Verwen-dung der bereits berechneten Funktionswerte. Dabei wird das Konvergenzkriterium so gew¨ahlt, dass der durch die Vereinfachungen eingeschleppte Fehler von zweiter Ordnung ist und somit die resultierende Gesamtfehlerordnung nicht verschlechtert.

Insgesamt f¨uhrt dieses Vorgehen zu einer deutlichen Reduzierung der Rechenzeit.

In StarCD ist f¨ur den instation¨aren PISO-Algorithmus nur ein nichtiterativer Zeit-fortschritt implementiert, w¨ahrend in Fluent zwar grunds¨atzlich beide Methoden zur Verf¨ugung stehen, aber nur der iterative Zeitfortschritt mit den Strahlungsmodellen

Iterativer Zeitfortschritt

t=t+ ∆t

L¨ose Impulsgleichungen

L¨ose Druckkorrektur

Korrigiere Massenfl¨usse

L¨ose Skalare (Turbulenz, Energie)

Konvergenz?

nein

N¨achster Zeitschritt ja

Nichtiterativer Zeitfortschritt

t=t+ ∆t

L¨ose Impulsgleichungen

L¨ose Druckkorrektur

Korrigiere Massenfl¨usse

L¨ose Turbulenz Konvergenz?

nein Konvergenz?

nein

ja ja

L¨ose andere Skalare Konvergenz?

ja

nein

Konvergenz?

ja nein

N¨achster Zeitschritt

Abbildung 4.7: Ablaufschemata des iterativen und des nichtiterativen PISO-Verfahrens (vgl. [10])

kompatibel ist. Allerdings kann in StarCD die L¨osung der einzelnen Gleichungen mit Ausnahme der Druck-Korrektur nicht unterrelaxiert werden, was insbesondere bei großen Zeitschrittweiten zu Stabilit¨atsproblemen f¨uhren kann (vgl. Abschnitt 5.3.2).

Der mathematische L¨osungsprozess wird in beiden Programmen mit Hilfe eines algebraischen Mehrgitterverfahrens umgesetzt. Als linearen Gleichungsl¨oser verwen-det StarCD dabei ein spezielles Konjugierte-Gradienten-Verfahren und Fluent ein ILU-Verfahren. Obwohl in beiden Programmen prinzipiell die M¨oglichkeit besteht, die voreingestellten Solverparameter zu ver¨andern, ist dies normalerweise nicht emp-fehlenswert.