Das Feld einer rechteckigen Leiterschleife

3.3.1 Die Einkopplung einer rechteckigen Leiterschleife

Um ein m¨oglichst großes Meßsignal zu erhalten, sollte der Hall-Sensor m¨oglichst stark vom Magnetfeld des im Ring zirkulierenden Stromes durchsetzt werden, d. h.

der Fluß durch die aktive Fl¨ache des Sensors muß maximiert werden. Um dies zu erreichen ist anschaulich leicht einzusehen, daß der supraleitende Ring durch eine quadratische Leiterschleife realisiert werden sollte, da dann die ebenfalls quadrati-sche, aktive Fl¨ache des Hall-Magnetometers bestm¨oglichst ausgef¨ullt wird. In die-sem Abschnitt soll theoretisch abgesch¨atzt werden wie sich die Einkopplung verh¨alt, wenn man das Verh¨altnis der Kantenl¨angen von Leiterschleife und Hall-Sensor vari-iert, aber auch wie sich die Signalausbeute ¨andert, wenn sich das 2DEG n¨aher, bzw.

tiefer von der Oberfl¨ache der Halbleiterheterostruktur ausbildet.

Dazu soll der supraleitende SNS-Ring durch eine quadratische Leiterschleife mit nur einem Stromfaden angen¨ahert werden. Dies entspricht dem realen System zwar nur in grober N¨aherung, vermittelt aber qualitativ durchaus einen Eindruck davon, wie die Probe zu gestalten ist, um die Signalausbeute zu maximieren. Die Schleife soll in der x,y-Ebene liegen und der Mittelpunkt liege im Ursprung des Koordinaten-systems. Die Kantenl¨ange der Schleife soll mit R und die Hallkreuzbreite mit W bezeichnet werden. Mit Hilfe des Gesetzes von Biot-Savart kann dann das Magnet-feld in jedem Punkt (x, y, z) in Abh¨angigkeit des zirkulierenden StromesI berechnet werden.

Da der Sensor nur auf die Feldkomponente senkrecht zur aktiven Fl¨ache sensitiv ist, reicht es die z-Komponente des B-Feldes zu berechnen:~

B_z(x, y, z) = µ0I Lei-terelementsd~l= (dlx, dly, dlz). Die Auswertung des Integrals ist analytisch m¨oglich, doch wird aus Gr¨unden der ¨Ubersichtlichkeit und des Platzbedarfes darauf verzichtet das Ergebnis abzudrucken.

In der Abb. 3.5 istB_z/I in Abh¨angigkeit des Ortes dargestellt, wobei die Ortskoor-dinate in Einheiten vonRaufgetragen ist. Auff¨allig ist, daß das Feld im Zentrum des Rings anfangs relativ schwach von der Entfernung d der Leiterschleife vom 2DEG abh¨angt. Das ¨andert sich erst, wenndin die Gr¨oßenordnung vonR/4 gelangt. Da das Hall-Magnetometer das mittlere magnetische Feld also den Fluß gemittelt ¨uber die Sensorfl¨ache mißt, kann man erkennen, daß f¨ur eine optimale EinkopplungW/R = 1 gelten sollte, denn dann ist das Fl¨achenintegralR

S

R Bdxdy~ maximal.

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0

Abbildung 3.5:Magnetfeld einer rechteckigen Leiterschleife mit Kantenl¨ange R in Einheiten des zirkulierenden Stromes I. (a) Die z-Komponente B_z des magnetischen Feldes entlang der x-Achse f¨ury= 0 und verschiedene Abst¨ande d der Leiterschleife vom 2DEG. (b) Dreidimensionaler Plot von B_z f¨ur einen Abstand von d/R= 0,03 zwischen dem Ring und dem 2DEG.

In der Abb. 3.6 (a) ist dargestellt, wie sich die Einkopplung α in Abh¨angigkeit des Verh¨altnisses W/R verh¨alt. Dabei ist der Abstand des Rings zum 2DEG d/R kon-stant gehalten. Wie man erkennen kann besitzt α ein Maximum, wenn die Leiter-schleife die Sensorfl¨ache genau abdeckt (W/R = 1) und d klein gegen¨uber R ist.

Wird die Sensorfl¨ache gr¨oßer als der Ring, dann f¨alltαschneller ab, als im gegentei-ligen Fall, wenn der Ring gr¨oßer als der Sensor ist. Wird der Abstand d gr¨oßer, ist das Maximum bei W/R = 1 weniger betont, das generelle Verhalten bleibt jedoch gleich. Wie α vom Abstand zwischen Ring und 2DEG abh¨angt ist in Abb. 3.6 (b) dargestellt, wobei gelten soll W/R =konst. Die Einkopplung f¨allt mit gr¨oßer wer-denden Abstandd anfangs schwach ab. Ab einem gewissen Wert f¨ur den Abstand d sinktα mit steigendemd dann logarithmisch ab. Der genaue Wert f¨urd, ab dem die Einkopplung schneller absinkt, steigt mit steigendem Verh¨altnisW/R an. Wenn der Ring nicht optimal auf den Sensor eingepaßt ist, s¨attigt also α bereits bei gr¨oßeren Abst¨anden und eine weitere Ann¨aherung bringt keine wesentlich gr¨oßere Signalaus-beute mit sich.

Typische Abmessungen von Sensoren sind W = 10µm und f¨ur die Tiefe des 2DEG d_2DEG = 0,2µm. Die Ringe haben außen eine Kantenl¨ange vonR_außen= 10µm und innen Rinnen = 9,2µm. Die Schichtdicke des Supraleiters betr¨agt ca. 200 nm oder auch 400 nm. Der mittlere Abstand des Rings zum 2DEG kann dann mitd= 300 nm, alsod/R = 0,03 bzw.d/R = 0,05 f¨ur die gr¨oßere Schichtdicke angesetzt werden. F¨ur die Al/Ag SNS-Ringe (Schichtdicke 400 nm), im Abschnitt 5.2 ab Seite 93, wird eine

3.3.1. Das Feld einer rechteckigen Leiterschleife 35

Abbildung 3.6: (a) Die Einkopplung α in Abh¨angigkeit des Verh¨altnisses von Sensorbreite W zur Kantenl¨ange R des Rings f¨ur einen konstanten Ab-stand d/R = 0,03 des Rings vom 2DEG. Die beiden Bildeins¨atze deuten die Gr¨oßenverh¨altnisse zwischen Ring und Magnetometer im Bereich W/R < 1 und W/R > 1 an. (b) α als Funktion des Abstandes d zwischen Ring und Sensor wenn giltW/R=konst.

Einkopplung von ca. 0,5 erreicht. Dies stimmt recht gut mit den hier abgesch¨atz-ten Werabgesch¨atz-ten ¨uberein. Bei den Nb/Ag SNS-Schleifen, bei denen die Schichtdicke ca.

200 nm betr¨agt wird eine Einkopplung von nur 0,35–0,4 erreicht, obwohl hier d/R kleiner ist. Die Abweichung l¨aßt sich wohl mit der gr¨oßeren Eindringtiefe λ bei Nb erkl¨aren, was zu einer weniger ¨ortlich konzentrierten Stromverteilung f¨uhrt. D. h.

ein eindimensionaler Stromfaden ist bei der Stromverteilung von Nb eine schlechtere N¨aherung als bei Al. Ferner wird der Ansatz eines Stromfadens generell bei kleinem Abstandd ein schlechteres Ergebnis liefern, als bei gr¨oßerem Abstand.

In dieser Arbeit wurde versucht, daß die Ringe die aktive Fl¨ache immer m¨oglichst gut ausf¨ullen. Aufgrund des Maximums bei W/R = 1 (s. Abb. 3.6 (a)) reichen deshalb schon kleine ¨Anderungen von R aus um α kleiner werden zu lassen. Es ist also zu erwarten, daß mit der Temperaturabh¨angigkeit von λ und der einhergehenden Anderung der Stromverteilung auch der F¨ullfaktor¨ αtemperaturabh¨angig wird, was sich auch in den Messungen best¨atigt.

Ferner muß auch beachtet werden, daß sichW/Rimmer im Bereich gr¨oßer 1 bewegen d¨urfte, da die ¨außere Kantenl¨ange der quadratischen Ringe nicht gr¨oßer sein kann als die Hall-Kreuz Breite W. Es ist deshalb zu erwarten, daß selbst f¨ur extrem oberfl¨achennahe 2DEGs (d/R=0,01) keine wesentlich bessere Einkopplung als α = 0,65 erreicht werden kann, wie man in Abb. 3.6 (a) beispielsweise f¨ur den Wert W/R= 1,06 nachvollziehen kann.