Bestimmung der Dämpfungsparameter

Bevor der Rechenaufwand des gedämpften Kontaktsubmodells diskutiert wer-den kann, wird die Bestimmung geeigneter Dämpfungsparameter erläutert. Dies wird exemplarisch am Stoßsystem Kugel-Stab durchgeführt und ist auf alle an-deren Stoßsysteme in dieser Arbeit übertragbar. Für eine numerisch effiziente Simulation mit dem gedämpften Kontaktsubmodell wird die Berechnung der Dämpfung nach Abschnitt 3.5 durchgeführt. Dazu werden abhängig von der Trennfrequenz Ω^hf die Dämpfungsparameter ξ^hf_t,i im Übergangsbereich und die gedämpfte Schwingungsdauer T_d,i^hf gewählt. Bei der Wahl dieser Parameter zur Berechnung der Dämpfungsparameterξ^hf_i für die hochfrequenten elastischen Ko-ordinaten ist wichtig, dass die niederfrequente Dynamik und damit die Wellen-ausbreitung nicht beeinflusst wird. Werden die Dämpfungsparameter zu hoch gewählt, so werden die niederfrequenten Anteile mit gedämpft. Dies kann zum Beispiel in der Frequenzgangmatrix nach Abschnitt 2.10 geprüft werden.

5.1 Stoß der Stahlkugel auf die Aluminiumstäbe

0 1 2 3 4 5

0 200 400 600

Stab (eben)

Stab (Innenradius)

Abstand [mm]

Vergleichsspannung[MPa]

FE-Referenz DS 491-280 QS 491-280 FE-Referenz (ri) DS 587-404 (ri) QS 587-404 (ri)

Abbildung 5.7: Vergleichsspannung entlang der Symmetrieachse der Stäbe

Zur Bestimmung der Parameter T_d,i^hf und ξ_t,i^hf wird folgendermaßen vorgegan-gen: Zunächst wird abhängig vom Frequenzinhalt der verwendeten reduzierten Systeme die maximal mögliche gedämpfte Schwingungsdauer T_d,i^hf festgelegt, für welche die niederfrequenten Anteile noch nicht gedämpft werden. Diese ist bei den in diesem Abschnitt untersuchten Stoßsystemen T_d,i^hf = 0.001 ms. Bei größe-ren Werten werden die Dämpfungsparameter nach Gl. (3.47) so groß, dass die niederfrequente Dynamik gedämpft wird. Idealerweise wird T_d,i^hf für alle Kör-per gleich groß gewählt damit die schnellen Zeitkonstanten, eingeführt durch die hohen Eigenfrequenzen, in allen Körpern die gleiche Größenordnung haben, siehe Abbildung 5.8 links, und damit die numerische Steifigkeit möglichst weit reduziert wird. Der Übergangsbereich zwischen nieder- und hochfrequenten elas-tischen Koordinaten reduziert sich im gezeigten Fall auf eine elastische Koordi-nate, siehe Abbildung 5.8 rechts. Abhängig von der Wahl der Schwingungsdauer wird anschließend die Dämpfung des Übergangsbereichs festgelegt. Auch hierbei muss beachtet werden, dass die niederfrequente Dynamik nicht gedämpft wird.

In Abbildung 5.8 sind die gedämpften Eigenfrequenzen und die Dämpfungspara-meter für T_d,i^hf = 0.0005 ms und T_d,i^hf = 0.001 ms mit jeweils ξ^hf_t,i = 0.05 im Über-gangsbereich dargestellt. Aufgrund der hohen Eigenfrequenzen im System stei-gen die Dämpfungsparameter ξ_i^hf für beide T_d,i^hf sehr schnell an und nähern sich mit höheren Eigenfrequenzen dem Wert ξ_i^hf = 1 an, siehe Abbildung 5.8 rechts.

Da dem Kontaktsubmodell schwache Dämpfung zugrunde liegt sind keine höhe-ren Dämpfungsparameter zur Berechnung der reduzierten Dämpfungsmatrix ¯De

nach Gl. (2.170) möglich. Da sich das System mit höheren

Dämpfungsparame-Kapitel 5: Numerische Stoßanalysen

Abbildung 5.8: Eigenfrequenzen sowie die Dämpfungsparameter der Kugel, be-rechnet mit jeweils ξ_t,i^hf = 0.05 und T_d,i^hf = 0.0005 ms (blau) bzw.

T_d,i^hf = 0.001 ms (rot)

tern unphysikalisch verhält sind hohe Dämpfungsfaktoren darüber hinaus nicht sinnvoll. Wird von beiden in Abbildung 5.8 gezeigten Systemen der numerische Aufwand ausgewertet, so ist festzustellen, dass bei gleichen Penalty-Faktoren mit T_d,i^hf = 0.001 ms im Vergleich zu T_d,i^hf = 0.0005 ms die numerische Effizienz aufgrund der größeren Dämpfung besser ist, siehe Tabelle 5.3. Es sind weniger Neuapproximationen der Jacobi-MatrixJode im ode15s notwendig und die Zeit-schrittweite ist etwas größer, was auf eine reduzierte numerische Steifigkeit und eine bessere Konvergenzrate des Newton-Verfahrens im ode15s zurückzuführen ist. Die Rechenzeit im Vergleich zuT_d,i^hf = 0.0005 ms kann um etwa 7 % reduziert werden.

Eine Vergrößerung von ξ_t,i^hf im Übergangsbereich auf ξ_t,i^hf = 0.1 kann die numeri-sche Effizienz bei T_d,i^hf = 0.0005 ms im Vergleich zu ξ_t,i^hf = 0.05 ebenfalls steigern,

Tabelle 5.3: Numerischer Aufwand zur exemplarischen Bestimmung der Dämp-fungsparameter beim Stoßsystem Kugel-Stab

T_d,i^hf [ms] 0.0005 0.0005 0.0005 0.001 0.001

ξ_t,i^hf 0.05 0.1 0.2 0.05 0.1

CPU [min] 242 235 254 225 258

J_ode 235 233 247 222 246

nsteps 6384 6315 5283 6457 5661

nfailed 1319 1107 902 1307 1015

max. Schrittw. [s] 1.497e⁻⁶ 1.699e⁻⁶ 1.591e⁻⁶ 1.686e⁻⁶ 1.471e⁻⁶ min. Schrittw. [s] 1.823e⁻⁹ 1.899e⁻⁹ 2.289e⁻⁹ 2.289e⁻⁹ 2.289e⁻⁹

5.1 Stoß der Stahlkugel auf die Aluminiumstäbe

wie Tabelle 5.3 zu entnehmen ist. Wird beiT_d,i^hf = 0.001 ms der Übergangsbereich mit ξ_t,i^hf = 0.1 stärker gedämpft, so wird das Konvergenzverhalten des Newton-Verfahrens im ode15s etwas verschlechtert, siehe Tabelle 5.3. Es werden zwar weniger Zeitschritte verworfen, aber die Rechenzeit kann aufgrund der größeren Anzahl Neuapproximationen von Jode nicht reduziert werden. Durch die höhe-ren Dämpfungsparameter wird mehr kinetische Energie durch die Materialdämp-fung dissipiert, weshalb höhere Penalty-Faktoren notwendig sind um die gleiche maximale Kontaktkraft wie bei ξ_t,i^hf = 0.05 und T_d,i^hf = 0.001 ms zu erreichen.

Damit erhöht sich jedoch die numerische Steifigkeit weiter und die numerische Effizienz verschlechtert sich erneut. Gleiches Verhalten ist zu beobachten wenn T_d,i^hf weiter erhöht wird. Mit T_d,i^hf = 0.001 ms nehmen die Dämpfungsparameter schneller zu als beiT_d,i^hf = 0.0005 ms, siehe Abbildung 5.8. Wird gleichzeitig noch der Übergangsbereich zum Beispiel mit ξ_t,i^hf = 0.2 stärker gedämpft, so ist das System überdämpft was sich aufgrund des geänderten Schwingungsverhaltens bereits bei T_d,i^hf = 0.0005 ms negativ auf das Konvergenzverhalten des ode15s auswirkt, siehe Tabelle 5.3. Wird ξ_t,i^hf verkleinert, zum Beispiel auf ξ_t,i^hf = 0.01 oder kleiner, so ist der Übergangsbereich zu schwach gedämpft. Die numerische Steifigkeit kann dann nicht signifikant reduziert werden, weshalb erheblich mehr Zeitschritte im ode15s notwendig sind als bei ξ_t,i^hf = 0.05.

Aus diesem Zusammenhang ist ersichtlich, dass beide Parameter ξ_t,i^hf und T_d,i^hf nicht unabhängig voneinander gewählt werden können. Die beste numerische Ef-fizienz beim Stoßsystem Kugel-Stab ist ausgehend von diesen Beobachtungen möglich, wenn die Dämpfungsparameter über ξ_t,i^hf = 0.05 und T_d,i^hf = 0.001 ms nach Abschnitt 3.5 berechnet werden. Beim Stab mit Innenradius erfolgt die Be-rechnung der Dämpfungsparameter über ξ_t,i^hf = 0.05 und T_d,i^hf = 0.0005 ms. Wird in diesem SystemT_d,i^hf = 0.001 ms wie beim ebenen Stab verwendet, so sind mehr Neuapproximationen vonJode im ode15s notwendig als beiT_d,i^hf = 0.0005 ms. Die Dämpfungsparameter sind für diesen Fall mit den stark ausgeprägten Wellen-effekten zu hoch gewählt weshalb die Konvergenz des Newton-Verfahrens im ode15s damit schlechter ist. Wird im Übergangsbereich ξ_t,i^hf = 0.1 gewählt, so nimmt die numerische Effizienz ebenfalls ab. In diesem Fall ist das System über-dämpft, was sich bei der starken Wellenausbreitung negativ bemerkbar macht.

Mit der Wahl der Trennfrequenz Ω^hf nach Tabelle 5.1 und den so berechneten Dämpfungsparametern bleibt die niederfrequente Dynamik ungedämpft. Somit kann in beiden Stoßsystemen die Wellenausbreitung in Abbildung 5.3 genau er-fasst werden.

5.1.2 Rechenaufwand bei den FMKS-Simulationen mit CB-Modellen