Berechnung der Jahresgesamtpunktzahl

Nach Angaben der FIFA spielen durchschnittlich aktive Teams zwischen 7 und 10 Spiele pro Jahr. Tatsächlich liegt der Durchschnitt seit 1996 genau bei 10 Spielen pro Jahr. Damit Teams, die weniger häufig spielen, nicht übermäßig benachteiligt werden, werden einerseits die in den Spielen eines Jahres erzielten Punkte nicht einfach aufsummiert, sondern bei mehr als 7 Spielen die durchschnittliche Punktzahl aller Spiele auf 7 Spiele hochgerechnet. Andererseits werden die besten 7 Spiele stärker gewichtet. Die Schranke 7 ist von der FIFA willkürlich festgelegt worden. Auf diese Weise soll Folgendes sicher gestellt werden:

1. Durch die „Dämpfung” bei mehr als 7 Spielen werden Mannschaften, die nur wenige Spiele pro Jahr bestreiten, nicht allzu sehr benachteiligt.

2. Es gibt auch nach 7 Spielen noch Anreiz, weitere Spiele zu bestreiten, um den Durchschnitt der 7 besten Spiele zu heben.

Im Folgenden seienP_ges die Jahresgesamtpunktzahl einer Mannschaft am Ende ei-ner Saison,P_idie imi-ten Spiel erzielte Punktzahl (wobei wir für noch nicht gespielte SpieleP_i=0setzen),t die Schranke, ab der die Jahresgesamtpunktzahl nicht mehr durch einfaches Aufsummieren ermittelt wird (im Fall des FIFA-Rankings:t=7) und n die Gesamtzahl der bisher in diesem Jahr bestrittenen Spiele. Ohne Einschrän-kung seien die Spiele in absteigender Punktzahl sortiert. Insbesondere sei P_t das t-beste undP_ndas schlechteste Spiel.

P_ges(n) = 1

Die erste Summe ist also die Hälfte der Summe der t besten Spiele. Die zweite Summe ergibt die Hälfte des Durchschnitts allernSpiele aufn, höchstens aber auf tSpiele umgerechnet.

Der Anreiz für die Teams, weitere Spiele zu bestreiten, soll im Folgenden untersucht werden.

1. Fall:n<t Für die erstentSpiele istmin(t,n) =n. P_ges(n) =

∑

P_i

Solange die Schranket noch nicht erreicht ist, werden die Punkte für die Spiele also einfach aufsummiert. Der AnreizA(n+1), ein weiteres,(n+1)-tes Spiel zu bestrei-ten, entspricht also der Punktzahl für den erwarteten Ausgang des Spiels. Es ist also A(n+1) =Pges(n+1)−Pges(n), wobei überPges(n+1)natürlich nur spekuliert wer-den kann. Ohne mehr über die Stärke der Gegner in bisherigen Begegnungen und des Gegners der nächsten Begegnung zu wissen, kann man vom Durchschnitt der Punktzahlen der bisherigenn Begegnungen als AnreizA(n+1) für das (n+1)-te Spiel ausgehen:

Selbst im ungünstigsten Fall – wenn die Mannschaft in der(n+1)-ten Begegnung 0Punkte erzielt – kann sich die Jahresgesamtpunktzahl der Mannschaft nicht ver-schlechtern.

2. Fall:n≥t Ab demt-ten Spiel istmin(t,n) =t.

Auch wenn die Schranke t überschritten wird, ist die erwartete Punktzahl für das (n+1)-te Spiel gleich dem Durchschnitt ^∑

n i=1Pi

n der Punktzahlen der bisherigen n Begegnungen. Die angerechnete Punktzahl ist jedoch nicht mehr gleich der erzielten Punktzahl, sondern hängt vom Durchschnitt der bisherigen Begegnungen, von der erzielten Punktzahl im bishert-besten Spiel und der im(n+1)-ten Spiel erzielten PunktzahlPn+1ab.

2.1 Beschreibung des FIFA-Rankings 2 DAS FIFA-RANKING

Betrachten wir zunächst die rechte Summe. Da wir erwarten, dass P_n+1=∑ⁿ_i=1^P_nⁱ ist, und trivialerweise _n+1^t = ^t_n·_n+1ⁿ und _n+1ⁿ =1−_n+1¹ ist, haben wir

Wenig überraschend ändert sich der ₂^t-fache Durchschnitt der Punkte aller Spiele bei einem weiteren, durchschnittlichen Spiel nicht.

Die linke Summe jedoch vergrößert sich um ¹₂·min(P_n+1−P_t,0), also die Hälfte der DifferenzPn+1−Pt, falls diese positiv ist. Wann aber ist dies der Fall?

Wenn man die bisherigen Spiele als Berechnungsgrundlage heranzieht, erwartet man für das (n+1)-te Spiel die selbe Differenz zum bishert-besten Spiel wie im Durchschnitt bei den ersten n Spielen. Gewertet werden in der linken Summe je-doch nur die Spiele, die besser als das t-beste Spiel waren. Das heißt, es wird erwartet, dass sich die erste Summe beim(n+1)-ten Spiel um die Summe der Dif-ferenzen zwischen dent besten Spielen und demt-besten Spiel dividiert durch die Gesamtzahlnder Spiele vergrößert.

P_ges(n+1) = 1

Also ist der Anreiz für das(n+1)-te Spiel

Betrachten und vergleichen wir nun die Grenzfälle beim Überschreiten der Schranke t. Wird im t-ten Spiel durchschnittlich gespielt, so ist ∑^ti=1

P_i

t =∑^t−1_i=1t−1^{Pi . Da wir} vorher ohne Einschränkung angenommen haben, die Spiele seien mit absteigender Punktzahl sortiert, ist fürn=t: P_t das schlechteste Spiel und also

1

Wir haben demnach folgende Fälle:

• Wir erwarten einen durchschnittlichen Punktezuwachs imt-ten Spiel um

A(t) =

t−1

∑

i=1

Pi

t−1

• Wir erwarten einen durchschnittlichen Punktezuwachs im(t+1)-ten Spiel um

A(t+1) = 1 bis-her schlechteste Spiel ist. Das heißt, der Anreiz für dast+1-te Spiel ist maximal halb so groß wie der Anreiz für dast-te Spiel, und je nachdem, wie gut das bisher schlechteste Spiel ausgefallen ist, eher kleiner.

Beispiele Betrachten wir zwei typische Mannschaften und ihre Anreize im FIFA-Ranking für dast-te Spiel. Es istt=7.

Mannschaft A sei recht durchschnittlich und habe von ihren ersten 6 Spielen gleich viele Spiele verloren wie gewonnen. Für ihre Spielgewinne hat sie je ca. 20 Punk-te kassiert, für ihre Unentschieden ca. 10 PunkPunk-te und für ihre SpielverlusPunk-te ca. 0 Punkte.

2.1 Beschreibung des FIFA-Rankings 2 DAS FIFA-RANKING

Für ihr 7. Spiel erwartet Mannschaft A ein Unentschieden und somit einen Gesamt-punktezuwachs von 10 Punkten.

Für ihr 8. Spiel erwartet Mannschaft A ebenfalls ein Unentschieden, der Gesamt-punktezuwachs wäre aber nur noch ¹₂·10−⁰₂=5Punkte.

Mannschaft B sei relativ gut und habe von ihren ersten 6 Spielen keines verloren und gleich viele gewonnen (ca. 20 Punkte) wie unentschieden gespielt (ca. 10 Punkte).

Für ihr 7. Spiel erwartet sie also 15 Punkte und einen ebenso großen Gesamtpunk-tezuwachs.

Für ihr 8. Spiel erwartet Mannschaft B ebenfalls 15 Punkte. Sie erhielte hierfür aber nur einen Gesamtpunktezuwachs von ¹₂·15−¹⁰₂ =2,5Punkten.

Wie sinnvoll ein derart starker Knick in der Anreizkurve ist, ist zumindest fragwürdig.

Die Bewertung mehrerer Spiele in einem Jahr könnte ebenso gut über das Produkt einer Wurzel- oder Logarithmusfunktion mit dem Durchschnitt aller Spiele eines Jah-res berechnet sein. Die Berechnung der JahJah-resgesamtpunktzahl über

P_ges(n) =

∑

Pi

n · √ 7n

zum Beispiel bietet sich an. Auf diese Weise zählt bei sieben Spielen ebenfalls die Summe aller Spiele. Ein Knick im Anreiz jedoch wird vermieden.

Da die Gewichtung für das zeitliche Zurückliegen des jeweiligen Spiels schon in den Jahresgesamtpunktzahlen berücksichtigt wurde, werden zur Berechnung der Gesamtpunktzahlen lediglich die Jahresgesamtpunktzahlen addiert.