Approximierende verallgemeinerte Gleichung

F¨ur die Formulierung der approximierenden verallgemeinerten Gleichung (vgl. (4.3)) wird zuerst ein Operator Υ_h derart konstruiert, daßΥ_h eine

”sehr gute“ Approximation von T_h darstellt. Die Grundgedanken f¨ur die Konstruktion vonΥ_h sind die folgenden. Die Inklu-sion (4.10) enth¨alt die notwendigen Optimalit¨atsbedingungen erster Ordnung der diskreten Aufgabe (3.32)-(3.34). Es wird eine Familie von Aufgaben konstruiert, die eine passende

Approximation von (3.32)-(3.34) bilden. Anschließend werden die notwendigen Optima-lit¨atsbedingungen der entsprechenden Approximation von (3.32)-(3.34) in Form einer ver-allgemeinerten Gleichung formuliert.

Es sei(x^o, w^o, v^o)eine L¨osung von P_w, so daß die Komponente w^o, die Voraussetzungen von Annahme A2erf¨ullt. Wir betrachten den Punktz^o := (x^o, w^o, v^o, λ^o)als Referenzpunkt.

Unter der Voraussetzung von von Annahme A7 f¨uhren wir ¨ahnlich zum stetigen Fall (vgl.

(3.22)) die Matrizen˘al,1,a˘l,2p˘l,q˘l,w˘^d,˘r^d,˘s^d,v˘^d,x˘^d,˘j^d,˘l^d,k˘^d,˘i^d,

wobei

k˘^d =

Wir betrachten folgende modifizierte Lagrange-Funktion:

L^dm(x, w, v, λ) := ¹₂

Die Ausrechnung der Ableitungen vonL^dmergibt: Wir definieren diel-te Komponente vonMh,2bzw.Mh,3 durch:

(M_h,2)_l(z) := x_l−xl−1−h_l[˘a_l,1x_l+ ˘a_l,2xl−1+ ˘p_lw+ ˘q_lv],

Die OperatorenM_h,1,M_h,2,M_h,3 fassen wir in den OperatorMzusammen:

M(z) :=

Mit Hilfe vonMwird der HilfsoperatorΥ^hwie folgt definiert:

Υ^h(z) =M(z)− M(z^o).

F¨ury_hbetrachten wir ein Element ausY_hdefiniert durch:

yh := wobei die einzelnen Komponenten vony_h wie folgt beschrieben sind:

y_j^h :=∇_w ^PN

Schließlich formulieren wir folgende approximierende verallgemeinerte Gleichung:

F inde z ∈Ω_h : Υ^h(z) +y_h ∈ F^h(z). (4.14)

4.3 Konvergenzsatz

Eines der Ziele dieser Arbeit ist die Verbesserung der Konvergenz durch den Einsatz von Integrationsverfahren h¨oherer Ordnung. Die Anwendung solcher Verfahren erfordert zus¨atz-liche Bedingungen, welche im folgenden zu erkl¨aren sind. W¨ahrend die erste Annahme Vor-aussetzungen f¨ur die Optimalit¨atsbedingungen zweiter Ordnung bereitstellt, setzt die zweite Annahme gewisse Absch¨atzungen der Ableitungen der Verfahrensfunktion voraus. Beide Annahmen werden bei der Absch¨atzung des Diskretisierungsfehlers ben¨otigt.

Vor der Erzeugung des SteuerungsgittersIh sind weder die Anzahl der m¨oglichen auftre-tenden Sprungstellen der optimalen Steuerung u^∗ noch ihre genaue Lage bekannt. F¨ur die gesuchte Funktionu(·, w^o), die eine gute Approximation vonu^∗ auf dem RaumU_w darstellt (siehe Ungleichung (3.13)), sind die Teilintervalle, auf denen die Funktion u(·, w^o) st¨uck-weise stetig ist, durch die Vorgabe des Gitters I_h bekannt. Damit das Einschrittverfahren eine Konsistenzordnung von mindestens Eins besitzen kann, ist neben der geeigneten Be-stimmung vonϕlim allgemeinen erforderlich, daß die Funktionf aus (3.11) ¨uber die Stetig-keit hinaus gewisse DifferenzierbarStetig-keitseigenschaften auf dem ganzen Segment[0,1]besitzt.

Dies hat zur Folge, daß auch die L¨osungu(·, w^o)weitergehende Differenzierbarkeiten als die Stetigkeit aufweist. Die Definitionen (3.7), (3.8) und (3.9) bieten je nach der gew¨unschten Glattheitsvoraussetzungen und den dazugeh¨origen Restriktionen drei Ansatzm¨oglichkeiten f¨ur die Definition der Funktion u(·, w^o) mit Hilfe von Funktionen aus dem Raum IP_µ,Ih,η. Somit ist die parametrisierte Funktion u(·, w) eine Zusammensetzung von N Polynomen vom Gradµ, die (µ−1)-mal Fr´echet-differenzierbar sind. Die Funktion u(·.w^o)selbst und ihre(µ−1)-ten Ableitungen besitzen an den Knoten τ_k, k = 1,· · ·, M −1keine Sprung-stellen.

A 8 (Voraussetzung f ¨ur diskrete Optimalit¨atsbedingungen zweiter Ordnung) : Es exi-stiere ein Skalarα >0, unabh¨angig vonN mit der Eigenschaft:



Wegen der Lipschitz-Stetigkeit der Verfahrenfunktionen ϕl, l = 1,· · ·, N (siehe A7) ist das Einschrittverfahren (3.31) stabil. Damit die Konvergenz des Approximationsverfahrens gesichert ist, sollen auch Konsistenzbedingungen vorhanden sein.

Definition 3 : Das Integrationsverfahren (3.31) heißt gleichm¨aßig konsistent (

”uniformly consistent“, vgl. [25]) von der Ordnungq ∈ IN\{0}, falls es eine Konstanteρexistiert, die vom GitterI_h unabh¨angig ist, so daß

||γ_l^x(x_p, w, v)|| ≤ ρ·h^q, ∀(w, v)∈W ×V_a, l= 1,· · ·, N, (4.17) γ_l^x(x_p, w, v) := 1

h_l(x_p(t_l)−x_p(tl−1))−ϕ_l(x_p(t_l), x_p(tl−1), w, v), (4.18) wobeix_pdie L¨osung des Anfangswertproblems (3.11) f¨ur das Parameterpaar(w, v) bezeich-net.

Wir nehmen folgendes an:

A 9 : Es existiere zwei positive Konstantencundκmit 0 ≤ κ ≤ 1, so daß f¨ur die L¨osung (x^o, w^o, v^o)der Aufgabe(Pw)und die L¨osungλ^o von (3.24) sowieλ^h L¨osung des diskreten dualen Systems (3.39), folgende Voraussetzungen erf¨ullen:

(a): das Integrationsverfahren (3.31) sei gleichm¨aßig konsistent von Ordnungqmitq ≥ 1 bez¨uglich des GittersG_h,

(b): ||

tl

R

tl−1

(∇x_lϕl(xl, xl−1, w, v)−κ∇xf(x(t), u(t, w), v))|_(xo,w^o,v^o)dt|| ≤c hl,

|| ^Rtl

tl−1

(∇_xl−1ϕ_l(x_l, xl−1, w, v)−(1−κ)∇_xf(x(t), u(t, w), v))

(x^o,w^o,v^o)dt|| ≤c h_l, (c): || ^Rtl

tl−1

(∇_wϕ_l(x_l, xl−1, w, v)− ∇_uf(x(t), u(t, w), v)∇_wu(t, w))|_(xo,w^o,v^o)dt|| ≤c h_l,

(d): ||

tl

R

tl−1

(∇_vϕ_l(x_l, xl−1, w, v)− ∇_vf(x(t), u(t, w), v))|_(xo,w^o,v^o)dt|| ≤c h_l, (e): max

l∈{1,···,N}||λ^o(t_l)−λ^h_l||=O(h).

Die Bedingungen A9(b) – (d) beziehen sich auf die Teilintervalle[τk−1, τ_k), k= 1,· · ·, M. Die gleichm¨aßige konsistente Eigenschaft A9(a) ist auf dem Segment[0,1]definiert.

Das in dieser Arbeit eingesetzte diskrete duale Gleichungssystem (3.39) resultiert aus dem Differenzieren der diskreten Lagrange-Funktion (3.36). Folgt man den Beweisweg f¨ur die Bestimmung der Ordnung beim Integrationsverfahren, so kann man folgendes beobachten.

Die Ordnung der L¨osung des Integrationsverfahrens (3.31) ist nicht immer gleich der Ord-nung einer N¨aherungsl¨osung des diskreten dualen Gleichungssystems (3.39). Dies begr¨undet die Voraussetzung A9(e). F¨ur ein allgemeines explizites Runge-Kutta-Verfahren wollen wir im folgenden Lemma die stets Erf¨ullbarkeit der Voraussetzung A9(e) nachweisen.

Lemma 3 Es seien(x^o, w^o, v^o)bzw.(x^h, w^h, v^h)ein regul¨arer Punkt. Es gelten die Voraus-setzungen von Annahmen A3, A4, A6, A7und die Beschr¨ankheit von[∇x_lϕl+1]. Es seienλ^o L¨osung des dualen Systems (3.23) mitλ^o ∈ W^1,∞([0,1], IRⁿ),(x^h, w^h, v^h)eine L¨osung von (P_wd),λ^hL¨osung des diskreten dualen Systems

λ_N =∇_xg₀(x_N, v)^>, λ_l−λ_l+1 =h_l+1[∇_xlϕ_l+1]^>λ_l+1, l=N −1,· · ·,0, (4.19)

Das System (4.19) ist ein lineares Gleichungssystem bez¨uglichλ. Damit ist die Verfahrens-funktion des Einschrittverfahrens (4.19) Lipschitz-stetig. Somit folgt aus 4.2.8 Satz in [123]

die Stabilit¨at des Einschrittverfahrens (4.19).

Zum Beweis der Konsistenz betrachten wir den folgenden lokalen Verfahrensfehler:

r(t_l+1, h_l+1, λ^o) := 1

h_l+1(λ^o(t_l)−λ^o(t_l+1))−[∇_xlϕ_l+1(x^o(t_l+1), x^o(t_l), w^o, v^o)]^>λ^o(t_l+1) Wegen der Lipschitz-Stetigkeitsvoraussetzungen in A3(b), die zugeh¨origkeit vonu(·, w^o)zu IP_µ,Ih,η(siehe (3.20)) undλ^o∈ W^1,∞([0,1], IRⁿ)existiere eine allgemeine positive Konstan-tec, so daß folgende Absch¨atzungskette gilt:

||r(t_l+1, h_l+1, λ^o)||

+||u(t, w^o)−u(tl+cihl+1, w^o)||+||λ^o(t)−λ^o(tl+1)||}dt

≤ c{ max

l∈{1,···,N}||x^o(t)−x^o(t_l)||+h_l+1 max

i∈{1,···,q}

i−1

X

j=1

α_ij||K_l+1,j||

+ max

i∈{1,···,q}

l∈{1,···,N}

||u(t, w^o)−u(t_l+c_ih_l+1, w^o)||+ max

l∈{1,···,N}||λ^o(t)−λ^o(t_l+1)||}

≤ c·h.

Damit ist die Voraussetzung A9(e) f¨ur ein allgemeines explizites Runge-Kutta-Verfahren st¨andig erf¨ullt✍

Wir wollen zwei Ungleichungen (4.25) und (4.26) beweisen. Diese Ungleichungen sind f¨ur die Untersuchungen in dieser Arbeit von erheblicher Bedeutung. Sie werden sp¨ater im Be-weis des Konvergenzsatzes f¨ur den ¨Ubergang von der schwachen Norm k · k_l² zur starken Normk · k_l^∞ ausgenutzt.

4.3.1 Normenvergleich

Dieser Abschnitt dient dem Vergleich von zwei Normen (siehe Definitionen (4.21), (4.22)).

Es seien N, M ∈ IN\{0}, [τ_l(k), τ_l(k+1)), k = 1,· · ·, M Teilintervalle auf [0,1], l^e(N, IRⁿ), 1 ≤ e ≤ ∞ ein Raum aus st¨uckweise stetigen Funktionen auf dem GitterG_h. Der Rauml^e(N, IRⁿ)wird mit folgenden Normen versehen:

(||x||_l^e)^e :=

N

X

l=1

h_l||x_l||^e, 1≤e <∞, (4.21)

||x||_l^∞ := max

0≤l≤N{||x_l||}, (4.22)

wobeix={xl}^N_l=0. Die Steuerungsgitterpunkteτk, k= 0,1,· · ·, M sind im Abschnitt3.3.1 eingef¨uhrt, die Indizesl(j), j = 0,1,· · ·, M + 1 im Abschnitt 3.7definiert. Einfachheits-halber betrachten wir ein ¨aquidistantes Zustandsgitter (d.h.h_l =h, l= 1,· · ·, N).

Lemma 4 Es sei{x_l}^N_l=0eine L¨osung des diskreten Gleichungssystems:

x_l =xl−1+h_l(˘a_l,1x_l+ ˘a_l,2xl−1 + ˘p_lw+ ˘q_lv), l= 1,· · ·, N, x₀ = 0, (4.23) (vgl. Gleichungssystem (4.16) in der Annahme A8) f¨ur (w, v) = ( ¯w,¯v) und {λ_l}^N_l=0 eine L¨osungsfolge der diskreten dualen Gleichungen:

λ_N = ∇_xNg₀(x_N, v) +h_N[∇_xNϕ_N(x_N, xN−1, w, v)]^>λ_N

λ_l = λ_l+1+h_l+1(λ^>_l ˘a_l,1+λ^>_l+1˘a_l+1,2), l=N −1,· · ·,1, (4.24)

f¨ur (w, v) = ( ¯w,v)¯ und x = {xl}^N_l=0 L¨osung von (4.23). Dann existieren zwei positive Konstantenc₃undc₄, welche den Ungleichungen:

||xl|| ≤c3(||w||¯ +||¯v||) (4.25) wobei die Matrizena,˘ p, und˘ q˘ im Abschnitt 3.3 definiert sind. Es sei y^h eine st¨uckweise konstante Erweiterung der Folge{y_l}auf[tl−1, t_l], l = 1,· · ·, Nmity^h(t) = yl−1 := ¯x(tl−1) f¨urt ∈ [tl−1, t_l), l = 1,· · ·, N −1und y^h(t) = yN−1 := ¯x(tN−1) f¨urt ∈ [tN−1, t_N]. Wir betrachten eine Konstanteκals gegeben in der Annahme A9. Die Integration von (4.27) auf dem Intervall[t_l−1, t_l]ergibt:

y_l =y_l−1+h_l(˘a_l,1y_l+ ˘a_l,2y_l−1+ ˘p_lw¯+ ˘q_l¯v) +δ_x,l (4.28) mitδ_x,l gegeben durch:

δ_x,l := −h_lδ˘a_l,1y_l−h_lδ˘a_l,2yl−1−δy_l−h_lδ˘p_lw¯−h_lδ˘q_l¯v,

Aus den Annahmen A7 und A9(b) existiert eine positive Konstante c₀, so das folgende Absch¨atzung von||δ˘a_l,1||und||δ˘a_l,2||gen¨ugt:

Analog werden die Termeδp˘l, δ˘ql,l= 1,· · ·, N mit Hilfe der Annahmen A7und A9(c)-(d) von oben abgesch¨atzt.

Bei immer klein werdenden Schrittweitenh_l, l= 1,· · ·, N ist die Norm

||¯x(t)−(κy_l + (1−κ)yl−1)|| mit hilfe einer geeigneten Konstantec von oben durchc h_l absch¨atzbar. Somit existiert eine positive Konstantec₁, so daß

||

Das Subtrahieren der diskreten Differenzengleichung (4.23) von (4.28) ergibt die Absch¨atzung:

mit einer passenden Konstantec₅. Nach der Definition vonδ_x,l existiert eine Konstantec₆, so daß

||δ_x,l|| ≤c₆ h_l(h_l||y_l||+h_l||w||¯ +h_l||¯v||), l= 1,· · ·, N. (4.31) Aus der Differentialgleichung (4.27) folgt die Ungleichungskette:

ky^hk_l² ≤ ky^hk_l^∞ ≤ k¯xk_L^∞ ≤c₇(||w||¯ +||¯v||), (4.32) wobeic₇ eine vonhunabh¨angige und geeignete Konstante f¨ur allehgen¨ugend klein ist. Die Ungleichung (4.32) folgt aus folgender ¨Uberlegung:

Die Matrix-Funktionen˘a[t],p[t]˘ undq[t]˘ sind auf den Teilintervallen[τk−1, τk]⊂[0,1], k = 1,· · ·, M stetig. F¨ur jede L¨osungx,¯ w¯undv¯der Differentialgleichung (4.27) folgt aus§I, Theorem 11.1 in [55] die Absch¨atzung:

||¯x(t)|| ≤ exp wobeiexpdie Exponentialfunktion bezeichnet und c₈ eine passende positive Konstante ist.

Es folgt somit folgende Absch¨atzung auf dem ganzen Intervall[0,1]

k¯xkL^∞ ≤ max

t∈[τk−1,τk] k∈{1,···,M}

||¯x(t)|| ≤ c9(||w||¯ +||¯v||).

Die Absch¨atzung ky^hk_l² ≤ ky^hk_l^∞ folgt aus der ¨Aquivalenz von Normen in endlich-dimensionalen R¨aumen (vgl. [122],§10, III. Hilfssatz).

Es folgt aus den Ungleichungen (4.30) – (4.32) und der Ungleichungskette (3.30) die Absch¨atzung:

||x_l−y_l|| ≤ 2c₁₀h ^PN

l=1

h_l(||w||¯ +||y_l||+||¯v||) = 2c₁₀h(||y||_l¹ +||w||¯ +||¯v||)

≤ c₁₁h(||w||¯ +||¯v||).

(4.34) Die Gleichung (4.34) verdeutlicht eine

”gute“ Approximation vonx¯durch die Folge{x_l}^N_l=0. Wegen der Ungleichung (4.34) gen¨ugt auch die L¨osungsfolge von (4.23) f¨ur hinreichend großeN einer ¨ahnlichen Ungleichung. Das heißt, es gilt die Ungleichung:

||x_l|| ≤c₃(||w||¯ +||¯v||). (4.35) Es seien{λ_l}¹_l=N ein L¨osung von (4.24),¯λeine L¨osung von

λ(t) =˙¯ −(λ(t))^>˘a[t], λ(1) =¯ λ_N (4.36) Wir betrachten y^h diesmal als eine st¨uckweise konstante Erweiterung der Folge {y_l} auf [tl−1, t_l], l= 1,· · ·, N mity^h(t_l) = y_l := ¯λ(t_l). Wir betrachten

y_l =y_l+1+h_l+1(λ^>_l a˘_l,1+λ^>_l+1˘a_l+1,2), l=N−1,· · ·,1,

und definieren die Terme (analog wie in der Ggleichung (4.28)) δ_λ,l, δ˘a_l,1, δ˘a_l,2, δy_l, l = 1,· · ·, N.

Schließlich verfolgen wir die Beweisschritte wie bei dem Beweis von (4.25). Es folgt die Absch¨atzung (4.26)✍

Im Dokument Zur Lösung optimaler Steuerungsprobleme (Seite 52-63)