Absch¨atzung des Diskretisierungsfehlers

Lemma 5 : Es seien(x^o, w^o, v^o)eine regul¨are L¨osung der Aufgabe(Pw),λ^oder zugeh¨orige Lagrange-Multiplikator mit λ^o ∈ W^1,∞([0,1], IRⁿ), l(k) ∈ {0,· · ·, N} der Index von Zu-standsgitterpunkten mit der Eigenschaftt_l(k) =τ_k, k = 0,· · ·, M sowieM_k, k = 1,· · ·, M die Anzahl der Unterteilung des Teilintervalls [τk−1, τ_k]. Es gelten die Voraussetzungen der Annahmen A3 - A9. Dann existieren f¨ur jedes gen¨ugend große N ein lokales Mini-mum (x^h, w^h, v^h) der Aufgabe (3.32)-(3.34) sowie λ^h der diskrete zugeh¨orige Lagrange-Multiplikator und es gilt folgende Fehlerabsch¨atzung zur L¨osung der parametrisierten Auf-gabe (3.10)-(3.12):

l(k−1)≤l≤l(k)max |u(t_l, w^o)−u^h_l| = O h M_k

!

, (4.37)

l(k−1)≤l≤l(k)max |x^o(t_l)−x^h_l| = O h M_k

!

, (4.38)

l(k−1)≤l≤l(k)max |λ^o(t_l)−λ^h_l| = O h Mk

!

, (4.39)

f¨urk = 0,· · ·, M. Beweis:

F¨ur den Beweis wenden wir das Lemma 2 an. Es seien [τk−1, τ_k], k = 1,· · ·, M Teilin-tervalle von[0,1]mit τ_k−1, τ_k ∈ I_h und M_k die Anzahl der Unterteilungen von [τ_k−1, τ_k].

Es seien z^a = (x^a, w^a, v^a, λ^a) und z^b = (x^b, w^b, v^b, λ^b) zwei Elemente aus Bβ(z^o), wo-bei(w^a, v^a) durch die Optimierung bestimmt werden, x^a bzw. λ^a der zugeh¨orige Zustand bzw. Lagrange-Multiplikator ist. Dabei wird die Existenz vonλ^aangenommen. Die Kompo-nentenw^b, v^b, x^b, λ^b werden analog definiert. Wir definieren entsprechend in Lemma 2 die ParameterD_β,∆_β undδdurch:

Dβ(h) := sup

za,zb∈Bβ(zo)∩Ωh za6=zb

||T^h(z^b)− T^h(z^a)−Υ^h(z^b) + Υ^h(z^a)||_Yh

||z^b−z^a||Z_h

(4.40)

∆β(h) := ∆β(h, z^o) mit ∆β(h, x) = ^[

z∈B_β(x)∩Ω_h

{T^h(z)−Υ^h(z)}, (4.41) δ(h) := ||T^h(z)−Υ^h(z)−y_h||_Yh. (4.42) Konvergenz vonD_β(h)

Der Z¨ahler auf der rechten Seite von (4.40) kann wie folgt umgeschrieben werden

||E^h(z^b)−E^h(z^a)||Y_h

wobei die FunktionE^h(z^b) den Fehler bei der Linearisierung vonT^h(z^b)im Punkt z^o ist, d.h.:

E^h(z^b) = T^h(z^b)− M(z^b) +M(z^o).

F¨ur hinreichend kleineβ existiere eine Konstantec, die der Absch¨atzung:

D_β(h)≤c β O(z^b−z^a)

||z^b−z^a||Z_h

gen¨ugt. Damit konvergiertD_β(h)gegen Null, fallshundβgegen Null konvergieren.

Konvergenz vonδ(h)im Punktz^o

Zu zeigen ist die Konvergenz vonδ(h)gegen Null, fallsβ und hgegen Null konvergieren.

Außerdem interessieren wir uns f¨ur die Konvergenzgeschwindigkeit vonδ(h).

||T^h(z^o)−y_h||Y_h =||T_h,1(z^o)−y_h,1||_IRL+do +||T_h,2(z^o)−y_h,2||_l¹ +||T_h,3(z^o)−y_h,3||_l¹

mityh,1 ∈IR^L+do,yh,2 ∈l¹(N, IRⁿ),yh,3 ∈l¹(N, IRⁿ).

F¨ur den ersten TeiloperatorT_h,1(z)gilt:

||T_h,1(z^o)−y_h,1||_IRL+do =||∇_w,v

mitc_λ eine passende Konstante. Mit Hilfe der Ungleichung (3.30) von Annahme A6ergibt sich die Absch¨atzung:

mit einer passenden positiven Konstante c₂. Aus den Annahmen A9(e) und A6 folgen die Absch¨atzungen:

mit einer passenden positiven Konstantec₂.

Wegenq≥1konvergiertδ(h)gegen Null, fallsβundhgegen Null konvergieren und es gilt die Absch¨atzung:

Lipschitzeigenschaft der approximierend verallgemeinerten Aufgabe

Die vollst¨andige Anwendung von Lemma2erfordert die Lipschitzeigenschaft f¨ur die Aufga-be (4.14) Aufga-bez¨uglichy ∈ ∆_β(h) = ∆_β(h, z^o). Das heißt, es soll eine Konstanteγ existieren, die der Ungleichung (4.5) gen¨ugt.

Es sei der Parameter y beschrieben durch y := ((yw, yv), yx, yλ) ∈ Yh mit yx :=

Nun untersuchen wir, wie die L¨osung des Systems (4.44) vom Parameter y :=

((y_w, y_v), y_x, y_λ) gest¨ort werden k¨onnte. Das System (4.44) umfaßt die notwendigen Opti-malit¨atsbedingungen des folgenden nichtlinearen Optimierungsproblems:

minx,w,v die gleiche L¨osung genau dann, wenn die Koerzitivit¨atsbedingung (4.15) aus der Annahme A8gilt. Außerdem, es existiere eine positine Konstantec, so daß

||w¹−w²||_IR^L+||v¹−v²||_IRdo ≤c[||(yw, yv)¹−(yw, yv)²||_IRL+do+||y_x¹−y_x²||_l²+||y_λ¹−y²_λ||_l²].

(4.46) Absch¨atzung der L¨osung inL^∞-Norm

Die Ungleichung (4.46) ist f¨ur optimale Steuerungsprobleme nicht stark genug, da die Funk-tionen, die die Aufgabe beschreiben, im RaumL^∞definiert sind. Interessant w¨are die Her-leitung einer ¨ahnlichen Ungleichung in dieL^∞-Norm.

Die Funktion u(t,·) ist stetig Fr´echet-differenzierbar nach dem Parameter w ∈ W (siehe (3.18) in Annahme A4) mit beschr¨ankte erste Ableitung (siehe (3.19) in Annahme A4). F¨ur jedew¹, w² ∈W existiert einw_t, daß zwischenw¹undw²liegt mit der Eigenschaft:

||u(t, w¹)−u(t, w²)||L^∞ ≤ sup

t∈[0,1]

|∇_wu(t, w_t)| ||w¹−w²||_IR^L, t∈[0,1].

Wegen (3.19) in Annahme A4existiere eine positive Konstantec1 mit der Eigenschaft ku(·, w¹)−u(·, w²)kL^∞ ≤c1||w¹−w²||_IR^L (4.47) Eine Kombination von (4.46) und (4.47) ergibt folgende Absch¨atzung inL^∞-Norm:

ku(·, w¹)−u(·, w²)kL^∞+||v¹−v²|| ≤ c₁c[||y¹₂−y₂²||_IRL+do+||y₁¹−y₁²||_l² +||y¹₃−y₃²||_l²].

(4.48) Anschließend folgen aus (4.25) und (4.26) die strengen Absch¨atzungen

||x¹−x²||L^∞ = max

1≤l<N{|x¹_l −x²_l|} ≤c₅(||w¹−w²||_IR^L+||v¹−v²||_IRdo), (4.49)

||λ¹−λ²||L^∞ = max

1≤l<N{|λ¹_l −λ²_l|} ≤c₆(||w¹−w²||_IR^L+||v¹−v²||_IRdo), (4.50) mit passenden Konstantenc₅undc₆. Es folgt aus (4.46) und (4.48) die strenge Absch¨atzung:

||x¹−x²||L^∞ +||u(·, w¹)−u(·, w²)||L^∞ +||λ¹−λ²||L^∞+||v¹−v²||_IRdo

≤γ[||y₁¹−y₁²||_IRL+do +||y₂¹−y²₂||_l² +||y₃¹−y²₃||_l²]. (4.51) Damit existiert eine Konstanteγ, die der Ungleichung (4.5) gen¨ugt.

Lokale Optimalit¨at von(x^h, w^h, v^h) Wir betrachten folgende diskrete Aufgabe:

minF(x, w, v), (x, w, v)∈ C bzgl. C(x, w, v) = 0, (4.52) wobei die FunktionenF,Cund die MengeC wie folgt gegeben sind:

C = IR^(N+1)n×W ×V_a, F(x, w, v) = 1

2(x, w, v)H^d(x, w, v)^>

C(x, w, v) = (C₀(x, w, v),· · ·, C_N(x, w, v))^>mit C₀(x, w, v) = x₀−x₀(v),

C_l(x, w, v) = x_l−xl−1−h_l(˘a_l,1x_l+ ˘a_l,2xl−1+ ˘p_lw+ ˘q_lv), l= 1,· · ·, N.

Die FunktionenF und C sind nach ihrer Herleitung zweimal stetig differenzierbare Funk-tionen inC.

Es seien (x, w, v) ein zul¨assiger Punkt der Aufgabe (4.52), λ = (λ₀,· · ·, λ_N)ein Element ausIR^(N+1)n,L¯die Lagrange-Funktion zur Aufgabe (4.52) gegeben durch:

L(x, w, v, λ) =¯ F(x, w, v)−λ^>C(x, w, v),

undUceine abgeschlossene Kugel um den Punkt(x, w, v)mit dem Radiusβund eine Menge U_c gegeben durch:

U_c :=C ∩B_β(x, w, v).

Die MengeU_cist konvex, abgeschlossen und beschr¨ankt inIR^(N+1)n×IR^L×IR^do und somit kompakt. Damit existiert eine lokale L¨osung(¯x,w,¯ v)¯ f¨ur die Aufgabe (4.52) und es gilt die Gleichung:

∇_(x,w,v)L(¯¯ x,w,¯ v,¯ λ)¯ ∈ N_c[U_c](¯x,w,¯ ¯v). (4.53) mitλ¯L¨osung von:

λ_l = λ_l+1+h_lλ^>_l a˘_l,1+h_l+1λ^>_l+1a˘_l+1,2, l=N −1,· · ·,1, λ_N = ∇_xNg₀(x_N,v) +¯ h_N[∇_xNϕ_N(x_N, x_N−1,w,¯ ¯v)]^>λ_N.

Die Gleichung ist (4.53) ist eine Linearisierung von (3.37)-(3.37) im Punkt(x^o, w^o, v^o)aus der Umgebung vonUc. Folglich, es existiert einen Punkt(x^h, w^h, v^h), der die Voraussetzun-gen f¨ur die Optimalit¨atsbedingunVoraussetzun-gen erster Ordnung (3.37) erf¨ullt. Die VoraussetzunVoraussetzun-gen f¨ur die Optimalit¨atsbedingungen zweiter Ordnung in A8sind eine Folgerung von Annahme A5 und der Stabilit¨at der Bedingung zweiter Ordnung f¨ur kleine St¨orung an den Matrizen˘a_l,1,

˘

a_l,2p˘_l,q˘_l,H^df¨url = 1,· · ·, N (siehe Gleichung (4.11)).

Im Abschnitt4.4.2werden Voraussetzungen zur Gew¨ahrleistung der Stabilit¨at der Matrizen in (4.11) f¨ur das Runge-Kutta-Verfahren formuliert und bewiesen. Damit ist die Existenz und die lokale Optimalit¨at von (w^h, v^h) bewiesen und folglich das Lemma 5 vollst¨andig bewiesen✍

4.3.3 Lipschitz-Stetigkeit der L¨osung gew¨ohnlicher Differentialglei-chungen bzgl. Parametern

Es seif aufIRⁿ×IR^r×IR^do stetig und existiere eine reelle positive ZahlL_f mit der Eigen-schaft:

||f(x₁, u₁, v₁)−f(x₂, u₂, v₂)|| ≤L_f(||x₁−x₂||+||u₁−u₂||+||v₁−v₂||),

∀(xi, ui, vi)∈IRⁿ×IR^r×IR^do, i= 1,2.

Die Aufgabe

˙

x(t) = f(x(t), u(t), v), x(0) =x0(v), t∈[0,1].

besitze eine eindeutige L¨osungx^∗ f¨ur (u, v) = (u^∗, v^∗)mitx^∗ ∈ W^1,∞. In Verbindung mit Annahme A2 sei mitu(·, w^o)eine minimale St¨orung vonu^∗ gegeben. Wir f¨uhren folgende gew¨ohnliche Differentialgleichung ein

˙

x(t) =f(x(t), u(t, w^o), v), x(0) =x₀(v), t∈[0,1]. (4.54)

Es seiλ^∗eine L¨osung der linearen Anfangswertaufgabe:

λ(t) =˙ −λ^>(t)∇_xf(x^∗(t), u^∗(t), v^∗), λ(1) = [∇_xg₀(x^∗(1), v^∗)]^>,

mitλ^∗ ∈ W^1,∞.λ^∗ ist der assoziierte Lagrange-Multiplikator zu(x^∗, u^∗, v^∗). Es seix^o eine L¨osung von (4.54). Wir betrachten folgende gest¨orte Aufgabe:

λ(t) =˙ −λ^>(t)∇_xf(x^o(t), u(t, w^o), v^∗), λ(1) = [∇_xg₀(x^o(1), v^∗)]^>. (4.55)

Lemma 6 : Es sei die Funktionfin allen Argumenten Lipschitz-stetig. Es gilt die Annahmen A1– A3. Dann besitze die Differentialgleichung (4.54) bzw. (4.55) eine eindeutige L¨osung x^obzw.λ^ound es gilt die Absch¨atzungen:

||x^∗ −x^o||L^∞ ≤ co||u^∗−u(·, w^o)||L¹ (4.56)

||λ^∗−λ^o||L^∞ ≤ c_o||u^∗−u(·, w^o)||_L¹, (4.57) mit einer geeigneten positiven Konstantec_o.

Beweis

F¨ur den Beweis wird Lemma 3.11 in [24] angewendet. Es sei f Lipschitz-stetig mit der KonstanteL_f. Die gest¨orte Gleichung (4.54) k¨onnen wir folgendermaßen umformulieren:

˙

x(t) = f(x(t), u^∗(t), v^∗) +g(t) mit

g(t) = f(x(t), u(t, w^o), v^∗)−f(x(t), u^∗(t), v^∗).

Die Ungleichung (3.11) in [24] liefert f¨urε₀ = 0,ε₁ = 1die Absch¨atzung:

||x^∗(t)−x^o(t)|| ≤

Zt

0

exp[(s−0)L_f]· ||f(x^∗(s), u(s, w^o), v^∗)−f(x^∗(s), u^∗(s), v^∗)||ds

≤ max

0≤t≤1exp[(t−0)L_f]

t

Z

0

||u(s, w^o)−u^∗(s)||ds

≤ exp[L_f]

1

Z

0

||u(s, w^o)−u^∗(s)||ds.

Somit existiert eine Konstante c_o, die der Ungleichung (4.56) gen¨ugt. F¨ur den Beweis der Eindeutigkeit von x^o, nehmen wir an, die Gleichung (4.54) besitze zwei unterschiedliche L¨osungenx^o₁undx^o₂. Mit Hilfe der Dreieckungleichung gilt die Ungleichungskette

||x^o₁−x^o₂|| ≤ ||x^o₁−x^∗||+||x^∗−x^o₂||

≤ 2co||u^∗−u(·, w^o)||L¹

≤ 2c_o(h)

mit lim

h→0(h) = 0 (siehe Annahme A2). Dies widerspricht die Unterschiedlichkeit beider L¨osungen.

F¨ur den Beweis von (4.57) betrachten wir die Gleichung λ(t) =˙ −(λ(t))^>∇xf(x^∗(t), u^∗(t), v^∗) +g(t) mit

g(t) = −(λ(t))^>∇_xf(x^o(t), u(t, w^o), v^∗) + (λ(t))^>∇_xf(x^∗(t), u^∗(t), v^∗).

Die Funktion∇_xf ist nach A3(b) Lipschitz-stetig. Es seiL∇x die Lipschitz-Konstante von

∇_xf. Mit Hilfe von (4.56) und [24], (3.11) gilt folgende Ungleichungskette:

||λ^∗(t)−λ^o(t)|| ≤

t

Z

0

exp[(s−0)L∇x]· ||(λ(s))^>∇_xf(x^o(s), u(s, w^o), v^∗)

−(λ(s))^>∇_xf(x^∗(s), u^∗(s), v^∗)||ds

≤ max

0≤t≤1exp[(t−0)L∇x]

Zt

0

||x^o(s)−x^∗(s)||+||u(s, w^o)−u^∗(s)||ds

≤ c exp[L∇x]

1

Z

0

||u(s, w^o)−u^∗(s)||ds,

mit einer geeigneten Konstantec. Es folgt die Ungleichung (4.57). Die Eindeutigkeit vonλ^o ist offensichtlich✍

Im Dokument Zur Lösung optimaler Steuerungsprobleme (Seite 63-70)