Anwendung: Homogene autonome lineare Rekursionsgleichungen

Nach Beispiel (6.3) ist P_−,1 ein Eigenvektor von A zum Eigenwert 1 und P_−,2 ein Eigenvektor von A zum Eigenwert3. Ferner ist(P_−,1, P_−,2)linear unabhängig nach Korollar (6.7), also P ∈GL₂(Q), und nach Bemer-kung (6.45) gilt

P⁻¹AP = 1 0

0 3

. Nach Bemerkung (6.56) folgt

A^k=P

Anwendung: Homogene autonome lineare Rekursionsgleichungen

Als nächste Anwendung der Eigenwerttheorie wollen wir sogenannte homogene autonome lineare Rekursions-gleichungen studieren. Betrachten wir zum Einstieg die sogenannte Fibonacci-Folgef = (fk)k∈N0 ∈R^N0, welche rekursiv durch man nun nur einen Wert der Fibonacci-Folge an einer großen Stelle wissen, etwaf₁₀₀₀₀, so muss man mit dieser rekursiven Definition erst die Wertefi füri∈N⁰ mit i≤9999berechnen. Es stellt sich daher die Frage, ob es nicht eine „geschlossene Formel“ für diese Folge gibt, welche einem die direkte Berechnung vonf10000ermöglicht.

Es sei n∈ N⁰ gegeben. Einehomogene autonome lineare Rekursionsgleichung vom Grad nin den Unbekann-tenxk fürk∈N⁰überK ist durch

x_k+n=a₀x_k+a₁x_k+1+. . .+a_n−1x_k+n−1= X

i∈[0,n−1]

a_ix_k+i

für k∈ N0, wobei ai ∈ K für i ∈[0, n−1], gegeben. Genau genommen handelt es sich bei einer homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichung also nicht um eine Gleichung, sondern um unendlich viele Gleichungen, welche alle den gleichen Aufbau haben:

x_n = a₀x₀ + a₁x₁ + . . . + a_n−1x_n−1, x_n+1 = a₀x₁ + a₁x₂ + . . . + a_n−1x_n, xn+2 = a0x2 + a1x3 + . . . + a_n−1xn+1,

...

Wenn wir eine solche homogene autonome lineare Rekursionsgleichung lösen wollen, so suchen wir die Menge allerx= (xk)_k∈N0 ∈K^N0, welche alle diese Gleichungen erfüllen.

Während sich lineare Gleichungssysteme mit Hilfe von Matrizen ausdrücken lassen, siehe Definition (A.155), eignen sich normierte Polynome zur Kodierung homogener autonomer linearer Rekursionsgleichungen. Für eine homogene autonome lineare Rekursionsgleichung wie oben nennen wir

Xⁿ− X

i∈[0,n−1]

aiXⁱ

dascharakteristische Polynom der homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichung. Wir werden in Lem-ma (6.73) sehen, dass in der Tat dieses Polynom und nicht nur dessen Koeffizienten eine tragende Rolle bei der Lösung der homogenen autonomen Rekursionsgleichung eine Rolle spielt.

(6.58) Bemerkung. Die Abbildung σ:K^N0→K^N0,x7→(xk+1)_k∈N0

ist einK-Vektorraumendomorphismus vonK^N0. Beweis. Dies sei dem Leser zur Übung überlassen.

(6.59) Definition (Shift). DerK-Vektorraumendomorphismus σ:K^N0→K^N0,x7→(x_k+1)_k∈N0

wirdShift (oderShiftendomorphismus) vonK^N0 genannt.

Ähnlich wie bei homogenen linearen Gleichungssystemen, vgl. Korollar (3.36), und bei Interpolationen, vgl.

Bemerkung (3.49), ist der Lösungsraum einer homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichung der Kern eines geeigneten Vektorraumhomomorphismus und damit insbesondere ein Untervektorraum:

(6.60) Definition (Lösung einer homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichung). Es sei ein normier-tesf ∈K[X]\ {0} gegeben. DieLösungsmenge der homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichung (oder derLösungsraum der homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichung) zum charakterischen Polynom f ist definiert als

SolRec(f) := Kerf(σ).

Ein Element vonSolRec(f)wirdLösung der homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichung zum charak-teristischen Polynomf genannt.

(6.61) Bemerkung. Es seienn ∈N0, f ∈ K[X] unda ∈ K^[0,n−1] mit f =Xⁿ−P

i∈[0,n−1]aiXⁱ gegeben.

Der Lösungsraum der homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichung zum charakteristischen Polynomf ist gegeben durch

SolRec(f) ={x∈K^N0|xk+n= X

i∈[0,n−1]

aixk+i fürk∈N0}.

Beweis. Es ist

SolRec(f) = Kerf(σ) ={x∈K^N0 |(f(σ))(x) = 0}={x∈K^N0|(σⁿ− X

i∈[0,n−1]

aiσⁱ)(x) = 0}

={x∈K^N0|σⁿ(x)− X

i∈[0,n−1]

a_iσⁱ(x) = 0}

={x∈K^N0|(xk+n)k∈N0− X

i∈[0,n−1]

ai(xk+i)k∈N0= 0}

={x∈K^N0|(xk+n− X

i∈[0,n−1]

aixk+i)_k∈N0 = 0}

={x∈K^N0|x_k+n− X

i∈[0,n−1]

a_ix_k+i= 0 fürk∈N0}

={x∈K^N0|xk+n= X

i∈[0,n−1]

aixk+i fürk∈N0}.

(6.62) Beispiel. Es seia∈K gegeben. Fürx∈K^N0 gilt genau dann xk+1=axk

fürk∈N0, wenn x_k=a^kx₀

für k∈ N0 ist. Der Lösungsraum der homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichung zum charakteristi-schen PolynomX−aist gegeben durch

SolRec(X−a) =K(a^k)k∈N0.

Beweis. Dies sei dem Leser zur Übung überlassen.

In Korollar (6.74) werden wir sehen, dass der Lösungsraum einer homogenen autonomen linearen Rekursi-onsgleichung endlichdimensional ist und die Dimension gerade dem Grad ihres charakteristischen Polynoms entspricht.

Die Fibonacci-Folgef = (fk)_k∈N0 inRerfüllt die homogene autonome lineare Rekursionsgleichung fk+2=fk+fk+1

für k∈ N0. Der Trick zum Lösen einer solchen Rekursionsgleichung besteht darin, dass wir die Gleichung zu einem ganzen Gleichungssystem „aufblasen“: Statt f betrachten wir die Folge g = (g_k)_k∈N0 in R^2×1 gegeben durch

g_k= fk

fk+1

fürk∈N0. Diese Folge mit Einträgen inR^2×1 erfüllt gk+1=

fk+1

fk+2

= 0 1

1 1 fk

fk+1

= C(X²−X−1)^trgk

fürk∈N0. Wir erkennen also, dass das Studium einer homogenen autonomen Rekursionsgleichung vom Grad2 zum Studium eines sogenannten homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichungssystems von Grad 1 führt. Hierbei entspricht das Polynom X²−X−1 gerade dem charakteristischen Polynom der die Fibonacci-Folge definierenden homogenen autonomen Rekursionsgleichung sowie dem charakteristischen Polynom der Ma-trixC(X²−X−1)^tr, siehe Proposition (6.22).

Es sei n ∈ N0 gegeben. Ein homogenes autonomes lineares Rekursionsgleichungssystem vom Grad 1 in den Unbekanntenx_k fürk∈N0überK ist durch

xk+1=Axk

für k ∈ N⁰, wobei A ∈ K^n×n, gegeben. Wenn wir ein solches homogenes autonomes lineares Rekursions-gleichungssystem lösen wollen, so suchen wir die Menge aller x = (xk)_k∈N0 ∈ (K^n×1)^N0, welche alle diese Gleichungen erfüllen.

Wir werden sehen, dass sich die Lösungen von homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichungssystemen vom Grad 1 als direkte Verallgemeinerungen der Lösungen von homogenen autonomen linearen Rekursions-gleichungen vom Grad 1ergeben, siehe Beispiel (6.62) und Proposition (6.67). Da homogene autonome lineare Rekursionsgleichungen wie oben angedeutet in Zusammenhang zu homogenen autonomen linearen Rekursions-gleichungssystemen vom Grad 1 stehen, ergeben sich hieraus auch die Lösungen von homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichungen beliebigen Grades als Spezialfälle, siehe Korollar (6.74). Der präzise Zusam-menhang zwischen homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichungen und homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichungssystemen vom Grad1 findet sich in Lemma (6.73).

(6.63) Notation. Es seienn∈N0 undA∈K^n×n gegeben. Wir schreiben τ_A: (K^n×1)^N0 →(K^n×1)^N0,x7→(x_k+1−Ax_k)_k∈N0.

(6.64) Bemerkung. Es seienn∈N0undA∈K^n×n gegeben. Die Abbildung τA: (K^n×1)^N0 →(K^n×1)^N0,x7→(xk+1−Axk)_k∈N0

ist einK-Vektorraumendomorphismus von(K^n×1)^N0. Beweis. Dies sei dem Leser zur Übung überlassen.

(6.65) Definition (Lösung eines homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichungssystems). Es seien n∈N0 undA∈K^n×n gegeben. Die Lösungsmenge des homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichungs-systems(oder derLösungsraum des homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichungssystems) zur Koeffizi-entenmatrixAist definiert als

SolRec(A) := KerτA.

Ein Element vonSolRec(A)wirdLösung des homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichungssystems zur KoeffizientenmatrixAgenannt.

(6.66) Bemerkung. Es seienn∈N0 und A∈K^n×n gegeben. Der Lösungsraum des homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichungssystems zur KoeffizientenmatrixA ist gegeben durch

SolRec(A) ={x∈(K^n×1)^N0 |xk+1=Axk fürk∈N0}.

Beweis. Dies sei dem Leser zur Übung überlassen.

Als nächstes geben wir eine Beschreibung des Lösungsraums eines beliebigen homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichungssystems vom Grad1als Verallgemeinerung zu Beispiel (6.62) an.

(6.67) Proposition. Es seienn∈N0undA∈K^n×n gegeben. Die Abbildungen SolRec(A)→K^n×1,x7→x0,

K^n×1→SolRec(A),c7→(A^kc)k∈N0

sind wohldefinierte, sich gegenseitig invertierendeK-Vektorraumisomorphismen. Insbesondere ist der Lösungs-raum des homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichungssystems zur KoeffizientenmatrixAgegeben durch

SolRec(A) ={(A^kc)_k∈N0|c∈K^n×1}.

Beweis. Es seiϕ: SolRec(A)→K^n×1,x7→x0. Fürx, y∈(K^n×1)^N0 gilt ϕ(x+y) =ϕ((x_k+y_k)_k∈N0) =x₀+y₀=ϕ(x) +ϕ(y).

Füra∈K,x∈(K^n×1)^N0 gilt

ϕ(ax) =ϕ((axk)_k∈N0) =ax0=a ϕ(x).

Nach dem Kriterium für Vektorraumhomomorphismen (2.2) istϕein Homomorphismus.

Da es nach dem Rekursionssatz [12, Prop. (9.5)] für jedesc∈K^n×1 genau einx∈SolRec(A)mit x0=c gibt, istϕbijektiv und damit ein Isomorphismus nach Bemerkung (2.9).

Fürc ∈K^n×1 giltA^k+1c =AA^kc für allek∈N0 und damit(A^kc)_k∈N0 ∈SolRec(A). Somit erhalten wir eine

(6.68) Beispiel. Es seiA∈Q^2×2gegeben durch A=

fürk∈N0 ist. Der Lösungsraum des homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichungssystems zur Koeffi-zientenmatrixAist gegeben durch

SolRec(A) =Q(

Nach Korollar (1.23)(b), (c) gilt insbesondere SolRec(A) ={(A^kc)k∈N0|c∈Q^2×1}={(1

Im Beweis zu Beispiel (6.68) haben wir gesehen, dass wir die zunächst erhaltene Basis (1

2(

1 + 3^k

−1 + 3^k

)_k∈N0,1 2(

−1 + 3^k 1 + 3^k

)_k∈N0)

noch etwas umformen mussten, um auf die angegebene Basis ((

1

−1

)_k∈N0,(3^k 1

1

)_k∈N0)

von etwas einfacherer Gestalt zu kommen. Dies liegt daran, dass die Basis des Lösungsraums eines homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichungssystems im Allgemeinen nicht eindeutig ist. Wir wollen nun zeigen, dass die Angabe einer „schönen“ Basis wie in Beispiel (6.68) möglich ist, sofern die Koeffizientenmatrix des homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichungssystems diagonalisierbar ist, siehe Bemerkung (6.72).

Zunächst betrachten wir beliebige Basen des Lösungsraums:

(6.69) Bemerkung. Es seienn∈N⁰, A∈K^n×n und eine Basis(s1, . . . , sn)vonK^n×1gegeben. Dann ist t:= ((A^ks1)_k∈N0, . . .(A^ksn)_k∈N0)

eine Basis vonSolRec(A) und fürx∈SolRec(A)ist die Koordinatenspalte κt(x)von xzur Basist gerade die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems zur erweiterten Koeffizientenmatrix s1 . . . sn x0

. Beweis. Nach Proposition (6.67) sind ϕ: SolRec(A) → K^n×1, x 7→ x0 und ψ: K^n×1 → SolRec(A), c 7→ (A^kc)_k∈N0 wohldefinierte, sich gegenseitig invertierende K-Vektorraumisomorphismen, so dass nach Pro-position (2.21) dasn-Tupel

t= (ψ(s1), . . . , ψ(sn)) = ((A^ks1)k∈N0, . . .(A^ksn)k∈N0) eine Basis vonSolRec(A)ist.

Die Darstellungsmatrix vonψ zu den BasensundtistMt,s(ψ) = En. Fürx∈SolRec(A)gilt daher s₁ . . . s_n

κ_t(x) = M_e,s(id_Kn×1)(M_t,s(ψ))⁻¹κ_t(x) = M_e,t(id_Kn×1◦ψ⁻¹)κ_t(x) = M_e,t(ϕ)κ_t(x)

=κe(ϕ(x)) =x0

nach Proposition (3.13)(c), (a) und Proposition (3.11), d.h.κ_t(x)∈Sol( s₁ . . . s_n

, x₀). (⁶) (6.70) Korollar. Es seienn∈N0undA∈K^n×n gegeben. Dann ist

t:= (((A^k)−,1)k∈N0, . . .((A^k)−,n)k∈N0)

eine Basis vonSolRec(A)und fürx∈SolRec(A)ist die Koordinatenspalte vonxzur Basist gegeben durch κ_t(x) =x₀.

Beweis. Nach Bemerkung (6.69) ist

((A^ke1)_k∈N0, . . .(A^ken)_k∈N0) = (((A^k)_−,1)_k∈N0, . . .((A^k)_−,n)_k∈N0)

eine Basis von SolRec(A)und für x∈ SolRec(A)gilt{x0}= Sol(En, x0) = Sol( e1 . . . en

, x0) ={κt(x)}, alsoκt(x) =x0.

Als nächstes zeigen wir, dass Eigenwerte und Eigenvektoren der Koeffizientenmatrix eines homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichungssystems zu Lösungen von besonders einfacher Gestalt führen.

(6.71) Bemerkung. Es seien n ∈ N0 und A ∈ K^n×n gegeben. Für jeden Eigenwert a von A und jeden Eigenvektorc vonAzum Eigenwert aist

(a^kc)_k∈N0

eine Lösung des homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichungssystems zur KoeffizientenmatrixA.

6Da(s1, . . . , sn)eine Basis vonK^n×1 ist, giltrk s1 . . . sn

=n. Das lineare Gleichungssystem zur erweiterten Koeffizie-tenmatrix s1 . . . sn x0

hat nach Bemerkung (3.42) also nurκt(x)als Lösung.

Beweis. Für jeden EigenwertavonA und jeden Eigenvektorc vonAzum Eigenwertaist (a^kc)_k∈N0 = (A^kc)_k∈N0 ∈SolRec(A)

nach Proposition (6.67).

(6.72) Bemerkung. Es seien n∈N0, A∈ K^n×n, einn-Tupel (a₁, . . . , a_n) in K und eine Basis (s₁, . . . , s_n) vonK^n×1so gegeben, dass für jedesi∈[1, n]der Vektorsi ein Eigenvektor vonAzum Eigenwertai ist. Dann ist

t:= ((a^k₁s1)_k∈N0, . . .(a^k_nsn)_k∈N0)

eine Basis vonSolRec(A) und fürx∈SolRec(A)ist die Koordinatenspalte κt(x)von xzur Basist gerade die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems zur erweiterten Koeffizientenmatrix s₁ . . . s_n x₀

. Beweis. Nach Bemerkung (6.69) ist

((A^ks1)_k∈N0, . . .(A^ksn)_k∈N0) = ((a^k₁s1)_k∈N0, . . .(a^k_nsn)_k∈N0) eine Basis vonSolRec(A)und fürx∈SolRec(A)giltSol( s1 . . . sn

, x0) ={κt(x)}.

Mit Hilfe der Erkenntnisse aus Bemerkung (6.72) lässt sich der Beweis von Beispiel (6.68) ohne die Vorarbeit des Potenzierens der Koeffizientenmatrix aus Beispiel (6.57) führen.

Alternativer Beweis von Beispiel (6.68). Es sei(s1, s2)inQ^2×1 gegeben durch s1=

Nach Beispiel (6.3) ist dann s₁ ein Eigenvektor von A zum Eigenwert 1 und s₂ ein Eigenvektor von A zum Eigenwert 3. Ferner ist (s₁, s₂) nach Korollar (6.7) linear unabhängig und damit eine Basis von Q^2×1. Nach Bemerkung (6.72) ist somit

t:= ((1^k eine Basis vonSolRec(A), so dass insbesondere

SolRec(A) =Q(1^k

ist, d.h. wenn x_k=

Nachdem wir einen Überblick über den Lösungsraum eines beliebigen homogenen autonomen linearen Rekur-sionsgleichungssystems vom Grad 1gewonnen haben, geben wir nun den Zusammenhang zwischen homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichungen beliebigen Grades und eben solchen homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichungssystemen vom Grad1 an.

(6.73) Lemma. Es seienn∈Nund ein normiertesf ∈K[X]\ {0}mitdegf =ngegeben. Dann sind

wohldefinierte, sich gegenseitig invertierendeK-Vektorraumisomorphismen. (⁷) Beweis. Es seia∈K^[0,n−1] mit f =Xⁿ−P

Somit haben wir eine wohldefinierte Abbildung

ϕ: SolRec(f)→SolRec(C(f)^tr),x7→( sich gegenseitig invertierendeK-Vektorraumisomorphismen.

Füra∈K,x∈SolRec(f)gilt

Nach dem Kriterium für Vektorraumhomomorphismen (2.2) istϕein Homomorphismus.

Füry∈SolRec(C(f)^tr)gilt ferner fürx∈SolRec(f)sowie

ϕ(ψ(y)) =ϕ((y_k,1)_k∈N0) = ( invertierende Abbildungen. Daϕ ein Homomorphismus ist, sindϕund ψ=ϕ⁻¹ nach Bemerkung (2.9) sogar Isomorphismen.

Unsere Erkenntnisse über die Lösungsmenge eines linearen Rekursionsgleichungssystems vom Grad1liefern nun folgende Beschreibung des Lösungsraums einer beliebigen homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichung:

(6.74) Korollar. Es seienn∈Nund ein normiertesf ∈K[X]\ {0}mit degf =ngegeben. Die Abbildungen

sind wohldefinierte, sich gegenseitig invertierende Vektorraumisomorphismen. Insbesondere ist der Lösungsraum der homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichung zum charakteristischen Polynomf gegeben durch

SolRec(f) ={(((C(f)^tr)^kc)1)_k∈N0|c∈K^n×1}.

Beweis. Nach Lemma (6.73) ist

ϕ: SolRec(f)→SolRec(C(f)^tr),x7→(

ein wohldefinierter Isomorphismus mit Inverser

ϕ⁻¹: SolRec(C(f)^tr)→SolRec(f),y7→(yk,1)k∈N0

und nach Proposition (6.67) ist

ψ: SolRec(C(f)^tr)→K^n×1,y7→y0

ein Isomorphismus mit Inverser

ψ⁻¹: K^n×1→SolRec(C(f)^tr),c7→((C(f)^tr)^kc)_k∈N0. Folglich ist auch das Kompositum

ψ◦ϕ: SolRec(f)→K^n×1,x7→





 x0

... x_n−1







ein wohldefinierter Isomorphismus mit Inverser

(ψ◦ϕ)⁻¹=ϕ⁻¹◦ψ⁻¹:K^n×1→SolRec(f), c7→(((C(f)^tr)^kc)₁)_k∈N0.

Mit Hilfe der Eigenwerttheorie lässt sich eine homogene autonome lineare Rekursionsgleichung nach Korol-lar (6.74) also lösen, indem man die Potenzen der Transponierten der Begleitmatrix ihres charakteristischen Polynoms berechnet. Hierzu benutzen wir die in Bemerkung (6.56) angegebene Methode, sofern die Trans-ponierte der Begleitmatrix diagonalisierbar ist. Wenn die Begleitmatrix nicht diagonalisierbar ist, lassen sich ähnliche Methoden verwenden, die allerdings im Allgemeinen etwas tiefergehende Resultate der Eigenwerttheorie (die sogenannte Jordanform) verwenden, welche wir im Rahmen dieser Vorlesung nicht studieren werden.

Als Illustration leiten wir im folgenden Beispiel eine geschlossene Formel für die Lösungen einer beliebigen nicht-ausgearteten homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichung vom Grad 2 her. Nicht-ausgeartet bedeutet hierbei, dass unser Setup gerade so gewählt ist, dass die Transponierte der Begleitmatrix genau zwei verschiedene Eigenwerte besitzt und daher diagonalisierbar wird.

(6.75) Beispiel. Es seienf ∈K[X],a0, a1∈Kmitf =X²−a1X−a0und Nullstellenb1,b2vonf mitb16=b2

gegeben. Fürx∈K^N0 gilt genau dann x_k+2=a₀x_k+a₁x_k+1

fürk∈N0, wenn xk= b^k₁b2−b^k₂b1

b2−b1

x0+b^k₂−b^k₁ b2−b1

x1

für k∈ N0 ist. Der Lösungsraum der homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichung zum charakteristi-schen Polynomf ist gegeben durch

SolRec(f) =K(b^k₁)_k∈N0+K(b^k₂)_k∈N0.

Beweis. Die Eigenwerte von C(f)^tr sind nach Korollar (6.14) gerade die Eigenwerte von C(f), nach Korol-lar (6.23) also gerade die Nullstellenb1 undb2 vonf. DaC(f)^tr wegenb16=b2somit2verschiedene Eigenwerte hat, istC(f)^tr nach Korollar (6.53) diagonalisierbar. Nach Bemerkung (6.4) ist der Eigenraum vonC(f)^trzum Eigenwertbi füri∈ {1,2}gegeben durch

Eig_bi(C(f)^tr) = Sol(C(f)^tr−biE2,0) = Sol(

−bi 1 a0 a1−bi

,0) =K 1

bi

. FürP ∈GL2(K)gegeben durch

P =

1 1 b1 b2

gilt nach Bemerkung (6.45) folglich P⁻¹C(f)^trP=

b1 0 0 b2

. Nach Bemerkung (6.56) folgt

(C(f)^tr)^k =P

b^k₁ 0 0 b^k₂

P⁻¹=

1 1 b1 b2

b^k₁ 0 0 b^k₂

· 1 b2−b1

b2 −1

−b1 1

= 1

b2−b1

1 1 b₁ b₂

b^k₁b₂ −b^k₁

−b^k₂b₁ b^k₂

= 1

b2−b1

b^k₁b2−b^k₂b1 b^k₂−b^k₁ b^k+1₁ b2−b^k+1₂ b1 b^k+1₂ −b^k+1₁

= 1

b2−b1

b^k₁b2−b^k₂b1 b^k₂−b^k₁ b^k+1₁ b2−b^k+1₂ b1 b^k+1₂ −b^k+1₁

fürk∈N⁰.

Nun seix∈K^N0 gegeben. Nach Korollar (6.74) gilt genau dannx∈SolRec(f), wenn x= (((C(f)^tr)^k

x0

x1

)1)_k∈N0

ist. Somit gilt genau dannxk+2=a0xk+a1xk+1 fürk∈N0, wenn xk= ( 1

b2−b1

b^k₁b2−b^k₂b1 b^k₂−b^k₁ b^k+1₁ b2−b^k+1₂ b1 b^k+1₂ −b^k+1₁

x₀ x₁

)1= b^k₁b2−b^k₂b1

b2−b1

x0+b^k₂−b^k₁ b2−b1

x1

fürk∈N0 ist.

Nach Korollar (1.23)(b), (c) gilt insbesondere

SolRec(f) ={(((C(f)^tr)^kc)₁)_k∈N0|c∈K^2×1}={(b^k₁b2−b^k₂b1

b₂−b₁ c₁+b^k₂−b^k₁

b₂−b₁c₂)_k∈N0 |c∈K^2×1}

={c1

1 b2−b1

(b^k₁b₂−b^k₂b₁)_k∈N0+c₂ 1 b2−b1

(b^k₂−b^k₁)_k∈N0 |c∈K^2×1}

=h 1 b2−b1

(b^k₁b2−b^k₂b1)k∈N0, 1 b2−b1

(b^k₂−b^k₁)k∈N0i

=h 1 b2−b1

(b^k₁b2−b^k₂b1)_k∈N0+b1

1 b2−b1

(b^k₂−b^k₁)_k∈N0, 1 b2−b1

(b^k₂−b^k₁)_k∈N0i

=h 1

b₂−b₁(b^k₁b2−b^k+1₁ )_k∈N0, 1

b₂−b₁(b^k₂−b^k₁)_k∈N0i=h(b^k₁)_k∈N0, 1

b₂−b₁(b^k₂−b^k₁)_k∈N0i

=h(b^k₁)_k∈N0,(b^k₂−b^k₁)_k∈N0i=h(b^k₁)_k∈N0,(b^k₂−b^k₁)_k∈N0+ (b^k₁)_k∈N0i=h(b^k₁)_k∈N0,(b^k₂)_k∈N0i.

Als Anwendung von Beispiel (6.75) können wir nun insbesondere eine geschlossene Formel für die Fibonacci-Folge bestimmen.

(6.76) Beispiel (Binets Formel für die Fibonacci-Folge). Es seif ∈R^N0 gegeben durch

fk=







0, fürk= 0,

1, fürk= 1,

f_k−2+f_k−1, fürk∈N0mit k≥2.

Dann gilt fk= 1

√5((1 +√ 5

2 )^k−(1−√ 5 2 )^k) fürk∈N0.

Beweis. Die Nullstellena1 unda2 vonX²−X−1 sind gegeben durch a₁= 1 +√

5

2 ,a₂= 1−√ 5 2 . Nach Beispiel (6.75) folgt

fk= a^k₁a2−a^k₂a1

a2−a1

f0+a^k₂−a^k₁ a2−a1

f1= a^k₂−a^k₁ a2−a1

=(¹⁻

√5

2 )^k−(¹⁺

√5 2 )^k

1−√ 5 2 −¹⁺

√5 2

= 1

√5((1 +√ 5

2 )^k−(1−√ 5 2 )^k) fürk∈N⁰.

Das zunächst Erstaunliche an Binets Formel (6.76) ist die Verwendung der irrationalen Zahlen ¹⁺

√5

2 und ¹⁻

√5 2 ; es ist dieser Formel nicht anzusehen, dass die Fibonacci-Folge lediglich ganzzahlige Einträge besitzt.

Im Beweis zu Beispiel (6.75) haben wir die Basis ( 1

b₂−b₁(b^k₁b2−b^k₂b1)_k∈N0, 1

b₂−b₁(b^k₂−b^k₁)_k∈N0) umgeformt, um die etwas „schönere“ Basis

((b^k₁)_k∈N0,(b^k₂)_k∈N0)

zu erhalten. Dass dies möglich war, liegt wie bei allgemeinen (nicht-ausgearteten) homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichungssystemen an der Diagonalisierbarkeit der Koeffizientenmatrix, in diesem Fall also an der Diagonalisierbarkeit von C(f)^tr, siehe Korollar (6.54).

Um ein solches Resultat für homogene autonome lineare Rekursionsgleichungen von beliebigem Grad zu er-halten, müssen wir die Eigenräume von C(f)^tr studieren. Wir verwenden die in Definition (3.58) eingeführte Vandermondematrix:

(6.77) Bemerkung. Es sei ein normiertesf ∈K[X]\ {0}mit degf ≥1gegeben. Für jede Nullstelleavonf istV(a)^tr ein Eigenvektor vonC(f)^tr zum Eigenwerta.

Beweis. Dies sei dem Leser zur Übung überlassen.

(6.78) Korollar. Es seienn∈Nund ein normiertesf ∈K[X]\{0}mitdegf =ngegeben. Für jede Nullstellea vonf ist

(a^k)_k∈N0

eine Lösung der homogenen autonomen linearen Rekursionsgleichung zum charakteristischen Polynomf. Beweis. Es sei eine Nullstelle a von f gegeben. Nach Bemerkung (6.77) ist dann V(a)^tr ein Eigenvektor von C(f)^tr zum Eigenwert a. Folglich ist (a^kV(a)^tr)_k∈N0 ∈ SolRec(C(f)^tr) nach Bemerkung (6.71) und da-mit

(a^k)_k∈N0 = ((a^kV(a)^tr)1)_k∈N0∈SolRec(f) nach Lemma (6.73).

(6.79) Korollar. Es seienn∈N, ein normiertesf ∈K[X]\ {0} mit degf =n und ein n-Tupel(a1, . . . , an) inK von verschiedenen Nullstellen vonf gegeben. Dann ist

s:= ((a^k₁)_k∈N0, . . . ,(a^k_n)_k∈N0)

eine Basis von SolRec(f) und fürx∈SolRec(f)ist die Koordinatenspalteκ_s(x) von xzur Basiss gerade die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems zur erweiterten Koeffizientenmatrix







x0

V<n(a1, . . . , an)^tr ... xn−1





=







a⁰₁ . . . a⁰_n x0

... ... ... aⁿ⁻¹₁ . . . aⁿ⁻¹_n x_n−1





.

Beweis. Nach Bemerkung (6.77) ist V(ai)^tr für i ∈ [1, n] ein Eigenvektor von C(f)^tr zum Eigenwert ai. Da(a1, . . . , an)einn-Tupel aus verschiedenen Nullstellen vonf ist, ist(V(a1)^tr, . . . ,V(an)^tr)nach Korollar (6.7) linear unabhängig und damit nach Beispiel (b) und Korollar (1.67) eine Basis vonK^n×1. Nach Bemerkung (6.72) ist

t:= ((a^k₁V(a1)^tr)_k∈N0, . . .(a^k_nV(an)^tr)_k∈N0)

eine Basis vonSolRec(C(f)^tr)und füry∈SolRec(C(f)^tr)gilt Sol(V(a1, . . . , an)^tr, y0) = Sol( V(a₁)^tr . . . V(a_n)^tr

, y0) ={κt(y)}.

Da

SolRec(f)→SolRec(C(f)^tr),x7→(





 x_k

... x_k+n−1





)_k∈N0, SolRec(C(f)^tr)→SolRec(f),y7→(y_k,1)_k∈N0

nach Lemma (6.73) wohldefinierte, sich gegenseitig invertierende Isomorphismen sind, ist s= ((a^k₁)_k∈N0, . . . ,(a^k_n)_k∈N0) = (((a^k₁V(a1)^tr)1)_k∈N0, . . .((a^k_nV(an)^tr)1)_k∈N0)

nach Proposition (2.21) eine Basis vonSolRec(f)und fürx∈SolRec(f)gilt

Sol(V(a1, . . . , an)^tr,





 x0

... x_n−1





) ={κt((





 xk

... x_k+n−1





)k∈N0)}={κs(x)}.

Alternativer Beweis von Beispiel (6.75). Nach Korollar (6.79) ist s:= ((b^k₁)_k∈N0,(b^k₂)_k∈N0)

eine Basis vonSolRec(f), so dass insbesondere SolRec(f) =K(b^k₁)_k∈N0+K(b^k₂)_k∈N0 gilt. Fürx∈SolRec(f)ist fernerSol(V(b1, b2)^tr,

x0

x1

) ={κs(x)}, also

κ_s(x) =

1 1 b1 b2

−1 x0

x1

= 1

b₂−b₁

b2 −1

−b1 1 x0

x1

= 1

b₂−b₁

b2x0−x1

−b1x0+x1

. Folglich gilt fürx∈K^N0 genau dannx_k+2=a₀x_k+a₁x_k+1 fürk∈N0, wenn

x= b2x0−x1

b2−b1

(b^k₁)_k∈N0+−b1x0+x1

b2−b1

(b^k₂)_k∈N0 = (b2x0−x1

b2−b1

b^k₁+−b1x0+x1

b2−b1

b^k₂)_k∈N0 ist, d.h. wenn

x_k= b₂x₀−x₁ b2−b1

b^k₁+−b₁x₀+x₁ b2−b1

b^k₂ =b^k₁b₂−b^k₂b₁ b2−b1

x₀+b^k₂−b^k₁ b2−b1

x₁ fürk∈N0 gilt.

Invariante Untervektorräume

Zum Abschluss dieses Abschnitts wollen wir den Satz von Cayley/Hamilton (6.84) herleiten. Hierzu benötigen wir den nachfolgenden Begriff:

(6.80) Definition (invarianter Untervektorraum).

(a) Es sei einK-Vektorraumendomorphismusϕ:V →V gegeben. EinK-UntervektorraumU vonV heißt in-variant unter ϕ(oder ϕ-invariant), wenn

ϕ(U)⊆U gilt.

(b) Es seien n∈N⁰ undA∈K^n×n gegeben. EinK-UntervektorraumU von K^n×1 heißt invariant unter A (oder A-invariant), wennU invariant unterϕA ist.

(6.81) Beispiel. Es seiena1, a2, a3, a4, a5∈K undA∈K^3×3 mit

A=





a1 0 0 0 a2 a3

0 a4 a5





gegeben. Dann sindhe₁i undhe₂,e₃iinvariant unter A.

Beweis. Es ist

Ae₁=a₁e₁∈ he₁i

und damitA(b1e1) =b1(Ae1)∈ he1i für alleb1∈K. Ferner ist Ae2=a2e2+a4e3∈ he2,e3i,

Ae3=a3e2+a5e3∈ he2,e3i

und damit A(b2e2+b3e3) = b2(Ae2) +b3(Ae3) für alle b2, b3 ∈ K. Folglich sind he1i und he2,e3i invariant unter A.

Für einen Endomorphismus ϕ: V → V und einen Untervektorraum U von V lässt sich stets die Einschrän-kungϕ|U:U →V,u7→ϕ(u)bilden. IstU zusätzlich invariant unterϕ, so können wir auch den Zielvektorraum einschränken, d.h. die Abbildungϕ|^U_U:U →U,u7→ϕ(u)ist wohldefiniert.

(6.82) Bemerkung. Es seien einK-Vektorraumendomorphismusϕ:V →V, einK-UntervektorraumUvonV, m, n∈N0 und eine Basis s= (s1, . . . , sn) vonV derart gegeben, dass s⁰ = (s1, . . . , sm)eine Basis von U ist.

Genau dann istU invariant unter ϕ, wenn es A∈K^m×m,B ∈K^m×(n−m),C∈K(n−m)×(n−m)mit M_s,s(ϕ) =

A B 0 C

gibt. In diesem Fall gilt M_s⁰_,s⁰(ϕ|^U_U) =A.

Beweis. Zunächst seiU=hs1, . . . , smi invariant unterϕ. Dann gilt insbesondereϕ(sj)∈U =hs1, . . . , smiund damitκs(ϕ(sj))∈ he1, . . . ,emifürj∈[1, m]. Folglich gibt esA∈K^m×m,B∈K^m×(n−m),C∈K(n−m)×(n−m)

mit

M_s,s(ϕ) =

A B 0 C

. Ferner gilt

A= κs⁰(ϕ(s1)) . . . κs⁰(ϕ(sm))

= κs⁰(ϕ|^U_U(s1)) . . . κs⁰(ϕ|^U_U(sm))

= M_s⁰_,s⁰(ϕ|^U_U).

Umgekehrt sei nun M_s,s(ϕ) =

A B 0 C

für gewisse A∈K^m×m, B∈K^m×(n−m),C ∈K(n−m)×(n−m). Für j ∈[1, m]ist dann κs(ϕ(sj))∈ he1, . . . ,emi und damitϕ(sj)∈ hs1, . . . , smi=U. Dies impliziert aber bereits

ϕ( X

j∈[1,m]

ajsj) = X

j∈[1,m]

ajϕ(sj)∈U

für allea∈K^mund damitϕ(U)⊆U. Folglich ist U invariant unterϕ.

(6.83) Korollar. Es seien ein endlichdimensionaler K-Vektorraum V, ein K-Vektorraumendomorphis-musϕ:V →V und einϕ-invarianterK-UntervektorraumU vonV gegeben. Dann gilt

χ_ϕ|U U |χ_ϕ.

Beweis. Nach Korollar (1.52) und Korollar (1.55) gibt es eine Basis s = (s1, . . . , sn)von V derart, dass s⁰ = (s₁, . . . , s_m)eine Basis vonU ist. DaU invariant unterϕist, gilt

Ms,s(ϕ) =

Ms⁰,s⁰(ϕ|^U_U) B

0 C

für gewisseB∈K^m×(n−m), C∈K(n−m)×(n−m) nach Bemerkung (6.82). Nach dem Kästchensatz für Determi-nanten (5.15) folgt

χϕ=χ_Ms,s(ϕ)= det(XEn−Ms,s(ϕ)) = det(X

Em 0 0 En−m

−

Ms⁰,s⁰(ϕ|^U_U) B

0 C

)

= det

XEm−Ms⁰,s⁰(ϕ|^U_U) −B

0 XE_n−m−C

= det(XEm−Ms⁰,s⁰(ϕ|^U_U)) det(XEn−m−C)

=χ_M

s0,s0(ϕ|^U_U)χ_C =χ_ϕ|U Uχ_C und damitχ_ϕ|U

U |χ_ϕ.

Alternativer Beweis von Proposition (6.19). Es lässt sich zeigen, dassEig_a(ϕ)einϕ-invarianter K-Untervektor-raum vonV ist; der Beweis sei dem Leser zur Übung überlassen. Die Einschränkung

ϕ|^Eig_Eig^a(ϕ)

a(ϕ): Eig_a(ϕ)→Eig_a(ϕ) ist gegeben durch

(ϕ|^Eig_Eig^a(ϕ)

a(ϕ))(v) =ϕ(v) =av fürv∈Eig_a(ϕ), d.h. es ist ϕ|^Eig_Eig^a(ϕ)

a(ϕ)=aid_Eig

a(ϕ). Nach Korollar (6.83) gilt χϕ|^Eig_Eig^a(ϕ)

a(ϕ)

|χ_ϕ, es folgt also

ma(ϕ) = ma(χϕ)≥ma(χ_ϕ|Eiga(ϕ) Eiga(ϕ)

) = ma(aidEig_a(ϕ)) = ma((X−a)^ga(ϕ)) = ga(ϕ).

Im Dokument Lineare Algebra für Informatiker Manuskript (Seite 147-161)