Allgemeine Darstellung relativer Kontrasteffekte

Relative Kontrasteffekte

pℓ = X

i:cℓi<0

X

j:cℓj≥0

|cℓi|cℓjpij

sind für ℓ = 1, . . . ,q gewichtete Linearkombinationen relativer Effekte pij =R

FidFj. Da die Anzahl a der Stichproben bzw. der Verteilungen Fi fest ist, ist die mögliche Anzahla(a−1)an relativen Effektenpij =R

FidFj im Modell (4.1, S.16) beschränkt.

Ohne Einschränkung der Allgemeinheit ist somit ein Vektor r ∈ [0,1]^a(a−1) formulier-bar, der alle möglichen paarweise gebildeten relativen Effekte pij enthält. Die Effekte pℓ sind somit auch so zu verstehen, dass sie sich auf bestimmte Art und Weise aus allen möglichen relativen Effektepij ergeben, die im Vektor rzusammengefasst seien.

Welche relativen Effekte dabei verwendet werden, wird durch die bekannte normierte Kontrastmatrix C_q×a = (cℓi) festgelegt. Beispielsweise reduzieren sich bei Dunnett-Vergleichen die Linearkombinationen relativer Effekte aufp = (p12, . . . ,p1a). Hier sind alle relativen Effekte pij für i 6= 1 aus dem Kontrast ausgeschlossen. Um für beliebi-ge Kontraste eine allbeliebi-gemeine Darstellung - insbesondere eine allbeliebi-gemeine Darstellung der Kovarianzmatrix - zu erhalten, soll eine allgemeine Darstellungsmethode relativer Kontrasteffekte ausgearbeitet werden. Hier bietet es sich an, die Linearkombinationen relativer Effekte mit Hilfe einer Matrix zu erzeugen, die sich aus der Kontrastmatrix C ergibt. Die Matrix, die jene speziellen Linearkombinationen erzeugt, wird als die Gewichtsmatrix W bezeichnet. Sie soll so konstruiert sein, dass für einen beliebigen relativen Kontrasteffektp die Beziehung p=Wr erfüllt ist.

Ohne die Effekte zu verändern können zusätzlich beliebige relative Effekte pij mit in die Linearkombinationen p_ℓ aufgenommen werden, wenn sie mit dem Gewicht Null multipliziert werden. Beispielsweise wird der relative Dunnett-Effekt nicht verändert, wenn die Effekte zup1j + 0·p2j, j = 2, . . . ,a, modifiziert werden. Allgemein ist pℓ mit allen Elementen des Vektors r darstellbar, wenn all diejenigen Effekte p_ij mit Null gewichtet werden, die durch den Kontrast aus der Analyse ausgeschlossen werden.

Die GewichtsmatrixWsowie der Vektorrexistieren, da sowohl die Gewichte als auch die relativen Effekte fest und keine Zufallsvariablen sind. Eine eindeutige Matrix W kann nicht existieren, da die Reihenfolge der Effekte pij in den Linearkombinationen

von p_ℓ nicht relevant sind. Sie muss somit heuristisch konstruiert werden.

Gegeben seien dazu die in ihrer Dimension immer kleiner werdenden Vektoren¹ r⁽₁^|t) = (p12,p13, . . . ,p1a)^′, r⁽₂^|t) = (p23,p24, . . . ,p2a)^′, . . . ,r⁽_a^|₋^t)₁ = (p(a−1)a)^′ (4.10) die aus relativen Effekten p_ij, für i < j, bestehen. Dabei bezeichne t den Index für die nach Tukey reguläre Anordnung beim Vergleich zweier Gruppen (dieses sind die Vergleiche aller Gruppen i,j mit i < j). Die Notation |t soll hierbei den Index t vom Indexℓabgrenzen, der in der vorliegenden Arbeit die Nummer des Kontrasts (bzw. die Zeilenvektoren von C) charakterisiert. Später werden beide Indizes benötigt, sodass mit der Notation ℓ|t diese Indizes strikt getrennt sind und zu keinen Missverständ-nissen führen können. Der später auftauchende Index v bezeichne die im Sinne Tukey vertauschten Indizes (das sind die Vergleiche mit i > j). Die Vektoren (4.10) werden zunächst im Vektorr^(|t)= (r⁽₁^|t)′, . . . ,r⁽_a^|₋^t)₁^′)^′ zusammengefasst. Aufgrund der Beziehung pij = 1−pji lässt sich im nächsten Schritt der Vektor

r= (r^(|t)′,1^′−r^(|t)′)^′ = (r^(|t)′,r^(|v)′)^′ (4.11) konstruieren, der alle möglichen paarweise gebildeten relativen Effektep_ij enthält. Die Gewichtsmatrix Wwird nun so konstruiert, dass sie auf den Aufbau des Vektors r in (4.11) abgestimmt ist.

Es sei zunächst eine Indikatorfunktion J(x,y) =

1, x <0∧y >0, 0, sonst

definiert, um später ausgeschlossene Effekte mit dem Gewicht Null zu multiplizieren.

Weiterhin seien die Vektoren

w^(ℓ₁^|t) = (w^(ℓ)₁₂, . . . ,w_1a^(ℓ))^′, w^(ℓ₂^|t) = (w₂₃^(ℓ), . . . ,w_2a^(ℓ))^′, . . . ,w_a^(ℓ₋^|t)₁ = (w^(ℓ)_(a−1)a)^′,

w^(ℓ₁^|v) = (w^(ℓ)₂₁, . . . ,w_a1^(ℓ))^′, w^(ℓ₂^|v) = (w₃₂^(ℓ), . . . ,w_a2^(ℓ))^′, . . . ,w_a^(ℓ₋^|v)₁ = (w^(ℓ)_a(a−1))^′ (4.12) für ℓ = 1, . . . ,q definiert, wobei deren Komponenten entweder die Gewichte |cℓrcℓs| oder Nullen enthalten:

w^(ℓ)_rs = |cℓrcℓs| J(cℓr,cℓs), ℓ= 1, . . . ,q. (4.13)

1Obwohl der Vektor r^(|_a^t)

−1 nur eindimensional ist, soll er aus Gründen der Einheitlichkeit auch als Vektor geschrieben werden. Im Verlauf der Arbeit werden bei weiteren auf diesem aufbauenden -Algorithmen Zahlen als Vektoren bezeichnet.

4.5 Eigenschaften und Interpretationen

Beispielsweise bezieht sich w₁^(ℓ|t) stets auf r⁽₁^|t) in (4.10) und w^(ℓ₁^|v) auf1−r⁽₁^|t) =r⁽₁^|v), wobei ℓ= 1, . . . ,q. Weiterhin werden sie in

w^(ℓ) = (w^(ℓ₁^|t)′,w₂^(ℓ|t)′, . . . ,w^(ℓ_a−^|t)₁^′,w₁^(ℓ|v)′,w^(ℓ₂^|v)′, . . . ,w_a^(ℓ₋^|v)₁^′)^′

für ℓ= 1, . . . ,q zusammengefasst. Die Gewichtsmatrix W ergibt sich schließlich als W= (w^(1)′,w^(2)′, . . . ,w^(q)′)^′ ∈[0,1]^q×a(a−1). (4.14) In der nächsten Proposition wird bestätigt, dass durch diese heuristische Konstruktion die Beziehungp=Wr erfüllt ist.

Proposition 4.5.3 [Matrixdarstellung der relativen Kontrasteffekte]

Sei C_q×a = (cℓi) eine normierte Kontrastmatrix, p der zugehörige relative Kontrast-effekt, r der Vektor aller relativen Effekte in (4.11) und W die in (4.14) definierte Gewichtsmatrix, die sich durch (4.13) aus der Kontrastmatrix C ergibt. Dann gilt

p=Wr. (4.15)

Beweis: Siehe AnhangA.1, S. 65.

Die Darstellung des relativen Kontrasteffekts durch eine erzeugende Gewichtsmatrix ist auch aus praktischen Gründen vorteilhaft, da eine tabellarische Übersicht zugleich eine Interpretationshilfe liefert (siehe Tabelle 4.1).

Tabelle 4.1: Struktur der Gewichtsmatrix W.

p p12 p13 . . . p(a−1)a p21 p31 . . . pa(a−1)

p1 w⁽¹⁾₁₂ w⁽¹⁾₁₃ . . . w_(a⁽¹⁾_−1)a w₂₁⁽¹⁾ w₃₁⁽¹⁾ . . . w⁽¹⁾_a(a−1) p2 w⁽²⁾₁₂ w⁽²⁾₁₃ . . . w_(a⁽²⁾_−1)a w₂₁⁽²⁾ w₃₁⁽²⁾ . . . w⁽²⁾_a(a−1) p3 w⁽³⁾₁₂ w⁽³⁾₁₃ . . . w_(a⁽³⁾_−1)a w₂₁⁽³⁾ w₃₁⁽³⁾ . . . w⁽³⁾_a(a−1)

... ... ... ... ... ... ... ... ...

pq w₁₂^(q) w^(q)₁₃ . . . w_(a^(q)_−1)a w₂₁^(q) w₃₁^(q) . . . w^(q)_a(a−1)

Für den relativen Dunnett-Effekt ergibt sich beispielsweise die Gewichtsmatrix W= (Ia−1,0_a(a−2)+1), wobei hier I_a−1 die (a −1)-dimensionale Einheitsmatrix und 0_a(a−2)+1 die a(a−2) + 1-dimensionale Nullmatrix darstellen.

Bis zu diesem Punkt wurde der relative Kontrasteffekt p als Modellgröße verwen-det. Im nächsten Kapitel werden Punktschätzer fürp konstruiert, die einen wichtigen Grundbaustein zur Konstruktion simultaner Konfidenzintervalle liefern.

5 Punktschätzer

Im vorangehenden Kapitel wurde diskutiert, inwieweit sich relative Effekte als Funktio-nale dazu eignen, bestimmte Alternativen abzubilden und die Verteilungen im Mehr-stichprobenfall zusammenfassend zu beschreiben. Mit Hilfe der Integraldarstellung ergaben sich die relativen Kontrasteffekte allein unter Verwendung der Verteilungs-funktionen. Dieses ist aber noch nicht ausreichend dafür, dass sie in der Statistik nützlich und vielseitig einsetzbar sind. Es muss darüber hinaus auch möglich sein, auf Grundlage erhobener Daten Rückschlüsse auf die relativen Kontrasteffekte zu ziehen.

Die einfachste Methode ist die Berechnung von Punktschätzern, die der Hauptgegen-stand dieses Kapitels ist.

5.1 Konstruktion

Relative Kontrasteffekte sind gewichtete Linearkombinationen relativer Effekte pij =R

FidFj (vgl. Definition4.3.1). In Abschnitt 3.4wurden bereits erwartungstreue undL2-konsistente Punktschätzerpbij fürpij diskutiert. Hierbei wurde die Einsetzungs-methode als Konstruktionsprinzip verwendet (vgl. z.B. Brunner und Munzel, 2000).

Die unbekannten VerteilungsfunktionenFi(x)undFj(x)werden durch die empirischen Verteilungsfunktionen nor-malisierte Version der empirischen Verteilungsfunktion in (5.1) führt automatisch zu den Mittelrängen, sodass sowohl stetige als auch diskrete oder ordinale Daten mit in die Analyse eingeschlossen werden. Bei stetigen Verteilungen sind Mittelränge,

Minimum-und Maximumränge identisch. Aus diesem GrMinimum-und werden die Mittelränge stets als Ränge bezeichnet. Die Schätzer pbij in (5.2) werden weiterhin zur Konstruktion des Schätzers pb linear kombiniert:

b

p= (pb1, . . . ,pbq)^′, wobei pbℓ = X

i:cℓi<0

X

j:cℓj≥0

|cℓi|cℓjpbij. (5.3)